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2025-2026学年江苏省常州市高级中学高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知函数f（x）=x2+sinx,则的值为（　　）
A. 0 B. π C. D.
2.设A，B为两个相互独立的随机事件，且P（A）=2P（B）.已知A，B同时发生的概率是，则P（B）=（　　）
A. B. C. D.
3.曲线y=f（x）在x=1处的切线如图所示，则f′（1）-f（1）=（　　）
A. 0
B. -1
C. 1
D. -
4.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F分别是BC，CC1的中点，，则=（　　）
A.
B.
C.
D.
5.若函数f（x）=ex-a+1-x在区间（0，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围为（　　）
A. （-∞，-1] B. （-∞，1） C. [0，+∞） D. （-∞，1]
6.曲线f（x）=lnx上的点到直线x-y+3=0的最短距离是（　　）
A. 1 B. C. 2 D. 3
7.已知某批零件的尺寸X服从正态分布N（98，σ2），其中X∈（97，99）的零件为合格品，且P（X≥99）=，现从这批零件中随机抽取200个，用Y表示这200个零件中合格品的个数，则E（Y）的值是（　　）
A. 180 B. 192 C. 195 D. 198
8.已知函数f（x）=x-alnx,若存在x1，x2∈[1，3]，x2-x1≥1，使得f（x1）=f（x2），则a的最大值是（　　）
A. B. C. 1 D. 3
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.一个质地均匀的正四面体4个表面上分别标有数字1，2，3，4，抛掷该正四面体两次，记事件M为“第一次向下的数字为3或4”，事件N为“两次向下的数字之和为偶数”，则下列说法正确的是（　　）
A. 事件M发生的概率为 B. 事件M与事件N互斥
C. 事件M与事件N相互独立 D. 事件M+N发生的概率为
10.已知x,y为正实数，则“x＜y”的充要条件的是（　　）
A. B. ex-siny＜ey-sinx
C. x+lny＜y+lnx D. x-cosy＜y-cosx
11.设函数f（x）=2x3+3ax2+1，则（　　）
A. 当a＜-1时，f（x）有三个零点
B. 当a＞0时，x=0是f（x）的极大值点
C. 存在a,b,使得x=b为曲线y=f（x）的对称轴
D. 存在a,使得点（1，-3）为曲线y=f（x）的对称中心
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知是空间两个单位向量，且夹角为60°，，，则的值是 .
13.已知函数f（x）=x（ex-a）有两个极值点，则实数a的取值范围是______．
14.随机抛一枚质地均匀的硬币8次，定义数列{an}满足：，记事件A：对于任意1≤n≤8，均有a1+a2+ +an≥0，且a1+a2+ +a8=0.P（A）= .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数f（x）满足满足.
（1）求f（x）的解析式；
（2）求函数g（x）=f（x）-2x2在上的最大值.
16.(本小题15分)
在一个摸球游戏中，有一个装有3个红色、2个蓝色球的不透明盒子，各球除颜色可能不同外，其余均相同.每次游戏，参与者需要从盒子中随机取一个球，取球后将球放回盒予中，且连续取三次.
（1）设三次中恰好有两次取出的球颜色相同的概率为P，求P；
（2）若游戏组织者规定，当三次取球中出现红色球的次数大于等于两次时，参与者获胜；否则，游戏组织者获胜.请判断此游戏是否公平，并通过计算说明理由.
17.(本小题15分)
已知函数f（x）=（x-2）ex-ax2+2ax-4a.
（1）若f（x）的图象在x=0处的切线l过点P（-4，-6），求a的值及l的方程；
（2）若f（x）有两个不同的极值点x1，x2（x1＜x2），且当0＜x＜x2时恒有f（x）＜-4a,求a的取值范围.
18.(本小题17分)
某连锁餐厅有4家分店，将分店按照规模从小到大依次编为1号到4号.每家分店都配备了一定数量的员工，配备方案为：第k号分店员工包含第k号店长和k（1≤k≤4，k∈N*）名服务员.为了加强各分店之间的员工交流与经验分享，提升整体服务水平，餐厅总部决定进行一轮员工轮岗工作，具体安排为：从每家分店随机选派1名员工到下一家分店进行工作，即从1号分店选派1名员工到2号分店，再从2号分店（含轮岗人员）选派1名员工到3号分店，再从3号分店（含轮岗人员）选派1名员工到4号分店，最后从4号分店（含轮岗人员）选派1名员工到1号分店.
（1）在轮岗过程中，求从第2号分店选派一名员工是店长的概率；
（2）在第4号分店选中店长的条件下，若该店长为第X号店长，求随机变量X的分布列.
19.(本小题17分)
已知函数．
（1）讨论f（x）的单调性，并证明f（x）有且仅有2个零点；
（2）设x0是f（x）的一个零点，证明曲线y=ex在点A（x0，ex0）处的切线也是曲线y=lnx的切线．
1.【答案】B
2.【答案】A
3.【答案】C
4.【答案】D
5.【答案】D
6.【答案】C
7.【答案】B
8.【答案】B
9.【答案】AC
10.【答案】BD
11.【答案】AD
12.【答案】-1
13.【答案】（-，0）
14.【答案】
15.【答案】f（x）=2lnx-x+ 2 ln-
16.【答案】 此游戏不公平，理由如下：
三次取球中出现红色球的次数大于等于两次包含两种情况：
两次红球一次蓝球和三次红球，
根据独立重复试验的概率公式可得：
两次红球一次蓝球的概率为，
三次红球的概率为，
所以三次取球中出现红色球的次数大于等于两次的概率为，
因为，即参与者获胜的概率与游戏组织者获胜的概率不相等，所以此游戏不公平
17.【答案】，l的方程为x-3y-14=0；
．
18.【答案】 x的分布列为：
X 1 2 3 4
P

19.【答案】解：（1）f（x）的定义域为（-∞，1）∪（1，+∞），
∵，
∴函数f（x）在（-∞，1），（1，+∞）上单调递增，
∵，
∴f（x）在（-∞，1）上有唯一零点x1∈（-2，-1），即，
又，
故f（x）在（1，+∞）上有唯一零点-x1，
综上，f（x）有且仅有两个零点；
（2）证明：因为，故点在曲线y=lnx上，
由题设知，f（x0）=0，即，
故直线AB的斜率为，
曲线y=lnx在点处切线的斜率是，曲线y=ex在点处切线的斜率也是，
所以曲线y=ex在点处切线也是曲线y=lnx的切线．
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