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2025-2026学年湖南省株洲市部分校高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知集合A={y|y=1+}，B={x|x-3≤0}，则A∩B=（　　）
A. {1，2} B. [1，3] C. （2，3） D. （2，+∞）
2.命题” x∈R，x2+x+2＞0”的否定是（　　）
A. x∈R，x2+x+2≤0 B. x∈R，x2+x+2＞0
C. x∈R，x2+x+2＜0 D. x∈R，x2+x+2≤0
3.1-i的模=（　　）
A. B. C. D.
4.已知向量满足，则向量与夹角的余弦值是（　　）
A. B. C. D.
5.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，B=300，bsinA=1，则a=（　　）
A. B. 1 C. 2 D. 4
6.设f（x）=π-x，g（x）=logπx,h（x）=πx，则f（0.3），g（0.3），h（0.3）的大小关系是（　　）
A. g（0.3）＜f（0.3）＜h（0.3） B. f（0.3）＜g（0.3）＜h（0.3）
C. f（0.3）＜h（0.3）＜g（0.3） D. g（0.3）＜h（0.3）＜f（0.3）
7.已知一个正四棱锥的底面边长为，内切球的体积为，则这个正四棱锥的体积为（　　）
A. B. C. D. 16
8.如图一个三棱锥P-ABC中，PA=PB=AB=AC=BC，H、I、J分别为所在棱中点，D、E分别为所在棱靠近P端的三等分点，沿平面CDE或平面HIJ分割后，截面中均恰好看不见球体.则球O与整个三棱锥体积之比为（　　）
A.
B.
C.
D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.若有一个△ABC，下面说法正确的是（　　）
A. 在△ABC中，若sin2A=sin2B，则△ABC为等腰直角三角形
B. 在△ABC中，a=x,b=2，∠B=45°，若此三角形恰有两解，则实数x的取值范围是
C. 在△ABC中，三边之比为3：5：7，则此三角形的最大内角为120°
D. 在△ABC中，A=60°，且最大边与最小边是方程3x2-27x+32=0的两个实根，则△ABC的外接圆半径
10.三棱锥P-ABC的四个顶点都在球O上，且PA⊥底面ABC，PA=2AB=2AC=2，，则下列说法正确的是（　　）
A. B. 球心O在三棱锥的内部
C. 球心O到底面ABC的距离为1 D. 球O的表面积为8π
11.已知函数，则下列结论正确的是（　　）
A. f（x）的最小值为1 B. f（x）的最大值为
C. f（x）在（1，+∞）上单调递减 D. f（x）的图象是轴对称图形
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.如果向量的模分别为5，，则与的夹角为 .
13.在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别是a,b,c,若2b2=3a（a+c），则的取值范围为 .
14.已知棱长都相等正四棱锥的侧面积为16，则该正四棱锥内切球的表面积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知锐角△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a,b,c,向量，，且.
（1）求角C的值；
（2）若a=4，求b+c的取值范围.
16.(本小题15分)
已知a,b,c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且sin2A-sin2B-sin2C=sinBsinC.
（1）求A；
（2）若a=4，△ABC的面积为，求△ABC的周长.
17.(本小题15分)
对于定义在R上的函数f（x），若 x0∈R，使得f（x0）=x0成立，则称x0为函数f（x）的不动点.
（1）若f（x）=x2-x+1，求y=f（f（x））的不动点；
（2）对于二次函数f（x）=2x2-（2+a）x+a-1.
（i）当0＜x＜2时，函数g（x）=f（x）+2有唯一的不动点，求实数a的取值范围；
（ii）若函数f（x）有两个不相等的不动点x1，x2，且x1，x2＞0，求的最小值.
18.(本小题17分)
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=2，E为线段PB的中点.
（1）若F为线段BC上的动点，证明：平面AEF⊥平面PBC；
（2）若E，F分别为线段PB，DC的中点，过A、E、F三点的平面交PC于点G，求四棱锥P-AEF的体积.
（3）若图1中，E为PB的中点，F是BC的四等分点，若图2中，E，F分别为PB，DC的中点，求图1中EF和平面ABCD夹角的正弦值与图2中EF和平面ABCD夹角的余弦值之比.
19.(本小题17分)
对于定义域为R的函数f（x）以及非空数集S：若对任意x1，x2∈R，当x1-x2∈S时，都有f（x1）-f（x2）∈S，则称f（x）是S关联的.
（1）设f（x）=3x+1，写出符合条件的三个开区间（m,n），使得f（x）是（m,n）关联的；
（2）设f（x）=ax2+bx+1，若存在一个闭区间[m,n]（m＜n）使得f（x）是[m,n]关联的，求f（x）；
（3）证明：f（x）是[1，2]关联的等价于f（x）是[1，2025]关联的.
1.【答案】B
2.【答案】D
3.【答案】A
4.【答案】A
5.【答案】C
6.【答案】A
7.【答案】C
8.【答案】B
9.【答案】BCD
10.【答案】ACD
11.【答案】BCD
12.【答案】arccos
13.【答案】
14.【答案】（32-16）π
15.【答案】C= （2+2，4）
16.【答案】；
．
17.【答案】x=1 （i）（-∞，-1]∪{1}∪[3，+∞）．
（ii）
18.【答案】证明：由PA⊥底面ABCD，BC 底面ABCD，得PA⊥BC，
又底面ABCD为正方形，BC⊥AB，PA∩AB=A，故BC⊥平面PAB．
因为AE 平面PAB，所以BC⊥AE，
又P A=A B，E是PB中点，故AE⊥PB．
PB∩BC=B，因此AE⊥平面PBC，
又AE 平面AEF，故平面AEF⊥平面PBC
19.【答案】（-∞，-1），（1，+∞），（-∞，+∞） f（x）=bx+1，|b|≤1 证明：先证充分性．若 f（x）是[1，2]关联的，则当x1-x2∈[1，2]时，1≤f（x1）-f（x2）≤2．
令x1=x+2，x2=x，则f（x+2）-f（x）≤2．
令x1=x+2，x2=x+1，则f（x+2）-f（x+1）≥1．
于是f（x+1）-f（x）=f（x+2）-f（x）-[f（x+2）-f（x+1）]≤1．
又令x1=x+1，x2=x，得f（x+1）-f（x）≥1．
所以f（x+1）-f（x）=1．
由此可得，对任意整数 k，都有f（x+k）-f（x）=k．
下面证明 f（x）是[1，2025]关联的．任取x1，x2∈R，且x1-x2∈[1，2025]．
若x1-x2∈[1，2]，由[1，2]关联性，直接有f（x1）-f（x2）∈[1，2] [1，2025]．
若x1-x2∈（2，2025]，则可设x1-x2=t+k，其中 t∈[1，2]，k∈N，且1≤k≤2023．
于是f（x1）-f（x2）=f（x2+k+t）-f（x2）=[f（x2+k+t）-f（x2+k）]+[f（x2+k）-f（x2）]．
由t∈[1，2]和[1，2]关联性，得f（x2+k+t）-f（x2+k）∈[1，2]．
又由整数平移关系，得f（x2+k）-f（x2）=k．
所以f（x1）-f（x2）∈[k+1，k+2] [1，2025]．
故 f（x）是[1，2025]关联的．
再证必要性．
若 f（x）是[1，2025]关联的，则因为1∈[1，2025]，所以对任意整数 i=1，2，…，2025，有f（x+i）-f（x+i-1）≥1．
又因为2025∈[1，2025]，所以f（x+2025）-f（x）≤2025．
而f（x+2025）-f（x）=[f（x+1）-f（x）]+[f（x+2）-f（x+1）]+…+[f（x+2025）-f（x+2024）]．
右边共有2025 项，每一项都不小于1，故f（x+2025）-f（x）≥2025．
于是f（x+2025）-f（x）=2025，且每一项都等于1，即f（x+1）-f（x）=1．
因此对任意整数 k，有f（x+k）-f（x）=k．
任取x1，x2∈R，且x1-x2∈[1，2]．
由于[1，2] [1，2025]，由[1，2025]关联性可得f（x1）-f（x2）≥1．
另一方面，x1+2023-x2=（x1-x2）+2023∈[2024，2025] [1，2025]，
所以f（x1+2023）-f（x2）≤2025．
又由整数平移关系，f（x1+2023）-f（x1）=2023．
故f（x1）-f（x2）=[f（x1+2023）-f（x2）]-[f（x1+2023）-f（x1）]≤2025-2023=2．
综上，1≤f（x1）-f（x2）≤2，即f（x1）-f（x2）∈[1，2]．
所以 f（x）是[1，2]关联的．
综上，f（x）是[1，2]关联的等价于 f（x）是[1，2025]关联的
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