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2025-2026学年河南省开封市五校联考高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.复数z=-i（9-8i）的虚部为（　　）
A. -8 B. 8 C. -9 D. 9
2.已知向量，若，则m=（　　）
A. -3 B. 0 C. 3 D. 4
3.在平行四边形ABCD中，E为CD的中点，点F在AB上，且AB=3AF，则=（　　）
A. B. C. D.
4.下列说法正确的是（　　）
A. 有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫做棱锥
B. 直角三角形绕一条边所在直线旋转一周得到的旋转体是圆锥
C. 如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥不可能为六棱锥
D. 用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体是棱台
5.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a,b,c,且，，c=4，则a=（　　）
A. B. C. D.
6.若水平放置的平面四边形AOBC按斜二测画法得到如图所示的直观图，其中A′C′∥O′B′，A′C′⊥B′C′，A′C′=1，O′B′=2，则以原四边形AOBC的边AO为轴
旋转一周得到的几何体的体积为（　　）
A.
B.
C.
D.
7.任何一个复数z=a+bi（其中a,b∈R，i为虚数单位）都可以表示成z=r（cosθ+isinθ）（其中r≥0，θ∈R）的形式，通常称之为复数z的三角形式，法国数学家棣莫弗发现[r（cosθ+isinθ）]n=rn（cosnθ+isinnθ）（n∈N*），我们称这个结论为棣莫弗定理.若复数为纯虚数，则正整数m的最小值为（　　）
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
8.在△ABC中，，则cos2B的最小值为（　　）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.设A，B，C是三个不同的点，m,n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列结论错误的是（　　）
A. 若m α，A∈m,则A α
B. 若A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，则α∩β=AB
C. 若m α，n β，则m与n为异面直线
D. 若A，B，C是平面α内不共线的三点，A∈β，B∈β，则C β
10.已知复数z1，z2，为z1的共轭复数，则下列结论中一定成立的是（　　）
A. 为实数 B.
C. 若|z1|=|z2|，则z1=±z2 D.
11.数学家欧拉曾提出欧拉线定理：任意三角形的外心、重心、垂心依次位于同一条直线上（重心在外心与垂心之间），且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被称为三角形的欧拉线.已知△ABC的外心为O，重心为G，垂心为H，若，AC=5，BC=3，则（　　）
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量与的夹角为，且，，则在上的投影向量为 .
13.如图，在正三棱锥A-BCD中，∠BAD=40°，从C点拉紧一条无弹性的细绳绕过侧棱AB，AD回到C点，若细绳的最短长度为，则该三棱锥的侧棱长为 .
14.如图，某湖泊沿岸有A，B，C，D四个镇，已知A镇与D镇之间的距离为3km,A镇与C镇之间的距离为6km,测得∠DAC=120°，∠BCD=90°，∠BDC=30°，则A，B两镇之间的距离为 km.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知复数z=（2m2-3m-2）+（m2-m-2）i,m∈R.
（1）若z在复平面内对应的点位于第四象限，求m的取值范围；
（2）当m=1时，z是关于x的方程x2+px+q=0的一个根，求实数p,q的值.
16.(本小题15分)
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a,b,c,且a=3acosB+3bcosA.
（1）求的值；
（2）若，△ABC的面积为，求AC边上的高.
17.(本小题15分)
如图是3D打印技术打印的一个艺术品，该艺术品外部的圆锥底面半径为3cm,高为5cm,内部挖去一个高acm的圆柱体.
（1）当时，求该艺术品的体积；
（2）当a为何值时，该艺术品的表面积最大？
18.(本小题17分)
如图，在△ABC中，CA=2，CB=3，D，E分别是边AB，CB上的点，CD与AE交于点O，且，.
（1）若，.
（i）求的值；
（ii）求的值；
（2）若存在实数，使得AE⊥CD，求cos∠ACB的取值范围.
19.(本小题17分)
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a,b,c,若=（sinA-sinB，c+a），=（a+b,sinC），且⊥.
（1）求角B的大小；
（2）若b=，点D是AC的中点，且BD=，求的值；
（3）已知△ABC的面积为，且△ABC所在平面内的点P满足∠BPA=∠BPC=，∠APC=，求（PA+PC） PB-PB2的值.
1.【答案】C
2.【答案】A
3.【答案】B
4.【答案】C
5.【答案】A
6.【答案】B
7.【答案】A
8.【答案】B
9.【答案】AC
10.【答案】ABD
11.【答案】ACD
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】 p=6，q=13
16.【答案】；
．
17.【答案】
18.【答案】（i）；（ii）
19.【答案】；
或3；
8或4．
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