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2025-2026学年河北省唐山市第一中学高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共9小题，共46分。
1.已知x1，x2，…，xn的方差为3，则2x1+1，2x2+1，…，2xn+1的方差为（　　）
A. 6 B. 7 C. 12 D. 18
2.已知f′（x）是函数f（x）的导函数，且，则f′（1）=（　　）
A. 1 B. 2 C. -1 D. -2
3.随机变量X的分布列如图，其中a,b,c成等差数列，则P（|X|=1）=（　　）
X -1 0 1
P a b c
A. B. C. D.
4.甲、乙两名乒乓球运动员进行一场比赛，采用7局4胜制（先胜4局者胜，比赛结束），已知每局比赛甲获胜的概率均为，则甲以4比2获胜的概率为（　　）
A. B. C. D.
5.有5名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙、丙两位同学不能相邻，则不同的站法有（　　）
A. 8种 B. 16种 C. 32种 D. 48种
6.的展开式中x3y3的系数为（　　）
A. 5 B. 10 C. 15 D. 20
7.已知a=ln，则（　　）
A. a＜b＜c B. b＜a＜c C. b＜c＜a D. a＜c＜b
8.函数f（x）=+lnx+b（a∈R，b∈R）的两个极值点x1，x2满足x1＜x2≤2x1，则x1+2x2的最大值为（　　）
A. 2ln2 B. 3ln2 C. 4ln2 D. 5ln2
9.甲、乙两个盒子中分别装有大小、形状、质地相同的1个黑球和2个红球.现从两个盒子中各任取一个球放入对方盒子中称为一次操作，重复进行n（n∈N*）次操作后，甲盒子中恰有0个黑球，1个黑球，2个黑球分别记为事件An，Bn，Cn，则以下错误的是（　　）
A. B.
C. D.
二、多项选择题：本大题共2小题，共12分。
10.已知函数f（x）及其导数f'（x），若存在x0，使得f（x0）=f'（x0），则称x0是f（x）的一个“巧值点”．下列函数中，有“巧值点”的是（　　）
A. f（x）=x2 B. f（x）=e-x C. f（x）=lnx D.
11.若，则下列结论中正确的是（　　）
A. a0=1 B. a1+a2+a3+a4+a5=2
C. a1+a3+a5=-122 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数f（x）=x（x-c）2在x=2处有极大值，则c= ．
13.从6名男生和4名女生中，选出3名代表，要求至少包含1名女生，则不同的选法共有______种．
14.甲乙两名选手进行一场羽毛球比赛，采用三局二胜制，先胜两局者赢得比赛，比赛随即结束，已知任一局甲胜的概率为p，若甲赢得比赛的概率为q，则q-p取得最大值时p=______.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
会员足够多的某知名咖啡店，男会员占60%，女会员占40%.现对会员进行服务质量满意度调查.根据调查结果得知，男会员对服务质量满意的概率为，女会员对服务质量满意的概率为.
（1）随机选取一名会员，求其对服务质量满意的概率；
（2）从会员中随机抽取3人，记抽取的3人中，对服务质量满意的人数为X，求X的分布列和数学期望.
16.(本小题15分)
已知函数f(x)＝excosx－x.
(1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；
(2)求函数f(x)在区间[0，]上的最大值和最小值．
17.(本小题15分)
一个袋子中装有外观、材质完全相同的红、白两种球，其中红球4个，白球n个（n≥4，n∈N*）.现从袋中一次性摸出2个球，若2个球同色，记1分，否则记0分.
（1）求一次摸球得分为1的概率；
（2）若n=4，有放回地摸三次球，求得分X的分布列及期望、方差；
（3）有放回地摸四次球，记四次摸球后得分为3的概率为p,则当n为多少时，p最大？
18.(本小题17分)
已知函数f（x）=lnx-mx2+（1-2m）x+1.
（1）若m=1，求f（x）的极值；
（2）讨论f（x）的单调性；
（3）若对任意x＞0，有f（x）≤0恒成立，求整数m的最小值.
19.(本小题17分)
现有外表相同，编号依次为1，2，3，…，n（n≥3）的袋子，里面均装有n个除颜色外其他无区别的小球，第k（k=1，2，3，…，n）个袋中有k个红球，n-k个白球.随机选择其中一个袋子，并从中依次不放回取出三个球.
（1）当n=4时，
①假设已知选中的恰为2号袋子，求第三次取出的是白球的概率；
②求在第三次取出的是白球的条件下，恰好选的是3号袋子的概率；
（2）记第三次取到白球的概率为p,证明：.
1.【答案】C
2.【答案】A
3.【答案】A
4.【答案】C
5.【答案】B
6.【答案】C
7.【答案】D
8.【答案】D
9.【答案】B
10.【答案】ACD
11.【答案】AC
12.【答案】6
13.【答案】100
14.【答案】
15.【答案】解：（1）记事件A1：会员为男会员，A2：会员为女会员，事件B：对服务质量满意，
则由题可知，，，，，
所以；
（2）X可能的取值为0，1，2，3，
则，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==，
所以X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
所以E（X）=0×=．
16.【答案】解：（1）f（x）=excosx-x，
=ex（cosx-sinx）-1，
可得曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线斜率为，
，切点为（0，1），
曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=1；
（2）f（x）=excosx-x，
=ex（cosx-sinx）-1，
令g（x）=ex（cosx-sinx）-1，
=ex（cosx-sinx-sinx-cosx）=-2ex sinx，
当x∈[0，]，可得=-2ex sinx≤0，
即有g（x）在[0，]上单调递减，
可得g（x）≤g（0）=0，即,
则f（x）在[0，]上单调递减，
即有函数f（x）在区间[0，]上的最大值为f（0）=e0cos0-0=1；
最小值为f（）=cos-=-．
17.【答案】；
分布列见解析，期望为，方差为；
25．
18.【答案】解：（1）当m=1时，f（x）=lnx-x2-x+1，．
当时，f'（x）＞0，则f（x）在上单调递增；
当时，f'（x）＜0，则f（x）在上单调递减．
所以f（x）在x=时取得极大值且极大值为，无极小值；
（2）函数f（x）=lnx-mx2+（1-2m）x+1，定义域为（0，+∞），
则f'（x）===，
①当m≤0时，f'（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，
②当m＞0时，令f'（x）=0得，x=，
所以当x∈（0，）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，当x∈（，+∞）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，
综上所述，当m≤0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；当m＞0时，f（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减；
（3）因为对任意x＞0，f（x）≤0恒成立，
所以lnx+x+1≤m（x2+2x）在（0，+∞）上恒成立，
即在（0，+∞）上恒成立．
设，则．
设φ（x）=-（x+2lnx），
显然φ（x）在（0，+∞）上单调递减，
因为φ（1）=-1＜0，，
所以，使得φ（x0）=0，即x0+2lnx0=0．
当x∈（0，x0）时，φ（x）＞0；
当x∈（x0，+∞）时，φ（x）＜0．
所以F（x）在（0，x0）上单调递增，在（x0，+∞）上单调递减，
所以．
因为，所以，
故整数m的最小值为1．
19.【答案】解：（1）①n=4时，第二个袋中有2白2红，共4个球，
从中连续取出三个球（每个取后不放回），
第三次取出为白球的情况有：红红白，红白白，白红白，
所以第三次取出为白球的概率为；
②设选出的是第k（k=1，2，3，4）个袋，连续三次取球的方法数为4×3×2=24，
第三次取出的是白球的三次取球颜色有如下四种情形：（白，白，白），
若k=1，则取法数为（4-k）（3-k）（2-k），
若k=2或k=3或k=4，取法数为0，也满足关系（4-k）（3-k）（2-k），
故取（白，白，白）的取法可表示为（4-k）（3-k）（2-k），
同理（白，红，白），取法数为k（4-k）（3-k），
（红，白，白），取法数为k（4-k）（3-k），
（红，红，白），取法数为k（k-1）（4-k），
从而第三次取出的是白球的种数为：（4-k）（3-k）（2-k）+k（4-k）（3-k）+k（4-k）（3-k）+k（k-1）（4-k）=3×2（4-k），
则在第k个袋子中第三次取出的是白球的概率，
则在第3个袋子中第三次取出的是白球的概率，
而选到第k个袋子的概率为，故所求概率为：
，
所以在第三次取出的是白球的条件下，恰好选的是3号袋子的概率为．
（2）设选出的是第k个袋，连续三次取球的方法数为n（n-1）（n-2），
第三次取出的是白球的三次取球颜色有如下四种情形：
（白，白，白），取法数为（n-k）（n-k-1）（n-k-2），
（白，红，白），取法数为k（n-k）（n-k-1），
（红，白，白），取法数为k（n-k）（n-k-1），
（红，红，白），取法数为k（k-1）（n-k），
从而第三次取出的是白球的种数为：
（n-k）（n-k-1）（n-k-2）+k（n-k）（n-k-1）+k（n-k）（n-k-1）+k（k-1）（n-k）
=（n-1）（n-2）（n-k），
则在第k个袋子中第三次取出的是白球的概率，
而选到第k个袋子的概率为，
所以．
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