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2025-2026学年广东省东莞市第一中学高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.下列求导运算正确的是（　　）
A. B. （cos1）′=sin1
C. （xsinx）′=cosx D. （4x）′=x4x-1
2.已知函数y=f（x）=2x2-1的图象上的一点（1，1）及邻近一点（1+Δx,f（1+Δx）），则等于（　　）
A. 4 B. 4+2Δx C. 4+2（Δx）2 D. 4x
3.设点P为函数f（x）=2ex-f′（0）x图象上的任意一点，点P处的切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（　　）
A. B. C. D.
4.在2025年10月19日举行的黄河口马拉松比赛活动中，甲、乙、丙、丁四位志愿者被派往A、B、C三个服务站，若每个服务站至少派一位志愿者，且每位志愿者只能被派往一个服务站，则在甲被派去B服务站的条件下，甲、乙被派去同一个服务站的概率为（　　）
A. B. C. D.
5.如图，设有圆和定点O，当l从l0开始在平面内绕O匀速逆时针旋转时（角速度不变且旋转角度不超过90°），直线l扫过的圆内的面积S是时间t的函数，这个函数的图象只可能是（　　）
A. B. C. D.
6.某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，且若甲乙同时参加，则他们发言时不能相邻．那么不同的发言顺序种数为（　　）
A. 360 B. 520 C. 600 D. 720
7.已知函数f（x）的定义域为（-π，0），其导函数f′（x）满足f′（x）sinx-f（x）cosx＞0，则关于x的不等式的解集为（　　）
A. B. C. D.
8.若函数f（x）=-ax+1的图象经过四个象限，则实数a的取值范围是（　　）
A. B.
C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.下列说法正确的是（　　）
A.
B. 5553被8除的余数为1
C. 甲、乙、丙、丁等6人排成一排，甲、乙、丙按从左到右的固定顺序，共有120种排法
D. 现有6本不同的书，分成三份，每份2本，共有90种分法
10.已知函数，则下列结论正确的是（　　）
A. e是函数f（x）定义域内的极小值点．
B. f（x）的单调减区间是（0，e）．
C. f（x）在定义域内无最小值，无最大值．
D. f（3）＜f（2）＜f（5）．
11.对于随机事件A，B，若，，，则（　　）
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.（x+y）（x-2y）5的展开式中x3y3的系数为______（用数字作答）．
13.某知识过关题库中有A，B，C三种难度的题目，数量分别为300，200，100.已知小明做对A，B，C型题目的概率分别为，，，若小明从该题库中任选一道题作答，则他做对该题的概率为
14.如图所示，甲工厂位于一直线河岸的岸边A处，乙工厂与甲工厂在河的同侧，且位于离河岸40km的B处，河岸边D处与A处相距50km（其中BD⊥AD），两家工厂要在此岸边建一个供水站C，从供水站到甲工厂和乙工厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，供水站C建在岸边距离A处 km才能使水管费用最省.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数f（x）=（x-1）ex.
（1）求f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（2）已知过点A（a,0），a∈R，可以作函数f（x）的两条切线，求实数a的取值范围.
16.(本小题15分)
已知二项式的展开式中各二项式系数之和比各项系数之和小240.
（1）求n的值及展开式中二项式系数最大的项；
（2）求展开式中的有理项.
17.(本小题15分)
已知函数f（x）=mx-lnx+1.
（1）g（x）=f（x）-x2在（0，+∞）单调递减，求m的取值范围；
（2）若f（x）有两个不同的零点，求m的取值范围.
18.(本小题17分)
甲、乙两袋装有形状、大小都相同的红球和白球，甲袋装有2个红球，3个白球；乙袋装有1个红球，2个白球.
（1）若从甲袋中连续抽取2次，每次取1个球，抽取后不放回，
①求取出的2个球中至少有一个红球的概率；
②求在第1次取到白球的条件下，第2次取到红球的概率；
（2）若从甲袋中随机取1个球，放入乙袋中，再从乙袋中随机取2个球，求取到的2个球中恰有1个红球的概率.
19.(本小题17分)
已知函数f（x）=xeax（a∈R），g（x）=lnx-x+b（b∈R）.
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）若f（x）有极大值点1，且x＞0时f（x）≥g（x）恒成立，求b的取值范围.
1.【答案】A
2.【答案】B
3.【答案】B
4.【答案】A
5.【答案】D
6.【答案】C
7.【答案】C
8.【答案】C
9.【答案】AC
10.【答案】ACD
11.【答案】BCD
12.【答案】-40
13.【答案】
14.【答案】20
15.【答案】2e2x-y-3e2=0 （-∞，-3）∪（1，+∞）
16.【答案】n=4，150x；
有理项有3项，分别为625x4，150x，x-2．
17.【答案】
18.【答案】①，②
19.【答案】（Ⅰ）当a=0时，f（x）在R上单调递增；
当a＜0时，f（x）在单调递增，在单调递减；
当a＞0时，f（x）在单调递减，在单调递增．
（Ⅱ）（-∞，e-1+1]．
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