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人教版（2024）八年级下册 23.3 一次函数与方程（组）、不等式
暑期巩固
一次函数与一元一次方程
1、一元一次方程ax﹣b＝0的解是x＝3，函数y＝ax﹣b的图象与x轴的交点坐标为（　　）
A.（3，0） B.（﹣3，0） C.（a，0） D.（﹣b，0）
2、关于x的一元一次方程kx+b＝0的解是x＝1，则直线y＝kx+b的图象与x轴的交点坐标是（　　）
A.（1，0） B.（0，1） C.（0，0） D.（﹣1，0）
3、如图，函数y＝kx﹣1的图象过点(1，2)，则关于x的方程kx﹣1＝2的解是　 　．
4、如图，已知一次函数y＝﹣2x+4的图象与x轴、y轴分别相交于点A和点B，直线l的解析式为y＝mx﹣3m+3．
(1)求点A和点B的坐标；
(2)当直线l经过原点时，求直线l与直线AB的交点坐标，并直接写出方程mx﹣3m+3＝﹣2x+4的解.
5、下面是小宙同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务：
任务：
（1）上面小论文中的“方法二”体现的数学思想是 　 　
A．整体思想B．公理化思想C．数形结合思想D．分类讨论思想
（2）参照“方法二”的思路，求解一元一次方程2x-2=的解．请在图的平面直角坐标系中画出相应的函数图象并依据图象直接写出方程的解．
一次函数与一元一次不等式
1、一次函数y1＝kx+b和y2＝2x的图象如图所示，则kx+b≥2x的解集是（　　）
A.x≥1 B.x≤2 C.x＜1 D.x≤1
2、观察图中的函数图象，则关于x的不等式(a-b)x>c的解集为
A.x<2 B.x<1 C.x>2 D.x>1
3、如图，已知直线y1＝x+m与y2＝kx﹣1相交于点P（﹣1，2），则关于x的不等式x+m＜kx﹣1的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A. B. C. D.
4、一次函数y＝kx和y＝﹣x+3的图象如图所示，则关于x的不等式kx≥﹣x+3的解集是　 　．
5、在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx和y＝mx+n的图象如图所示，则关于x的一元一次不等式（k﹣m）x＜n的解集是 　 　．
6、自主研发和创新让我国的科技快速发展，“中国智造”正引领世界潮流.某科技公司计划投入一笔资金用来购买A，B两种型号的芯片.已知购买1颗A型芯片和2颗B型芯片共需要750元，购买2颗A型芯片和3颗B型芯片共需要1 300元.
(1)求购买1颗A型芯片和1颗B型芯片各需要多少元？
(2)若该公司计划购买A，B两种型号的芯片共8 000颗，其中购买A型芯片的数量不少于B型芯片数量的3倍.当购买A型芯片多少颗时，所需资金最少，最少资金是多少元？
(3)该公司用甲、乙两辆芯片运输车，先后从M地出发，沿着同一条公路匀速行驶，前往目的地N，两车到达N地后均停止行驶.如图，y甲(km)，y乙(km)分别是甲、乙两车离M地的距离与甲车行驶的时间x(h)之间的函数关系.请根据图象信息解答下列问题：
①甲车的速度是　　　　　km/h；
②当甲、乙两车相距30 km时，直接写出x的值.
一次函数与二元一次方程组
1、如图，一次函数y＝x+的图象与y＝kx+b的图象相交于点P(﹣2，n)，则关于x，y的方程组的解是(　　)
A. B. C. D.
2、若二元一次方程组无解，则一次函数y＝3x﹣5与y＝3x+1的位置关系为(　　)
A.平行 B.垂直 C.相交 D.重合
3、已知直线y＝3x+2与直线y＝kx+b(k，b为常数，且k≠0)的交点纵坐标为5，则关于x，y的二元一次方程组的解为(　　)
A. B. C. D.
4、如图，已知函数y＝ax+b和y＝kx+c的图象交于点P，则根据图象可得，关于x，y的二元一次方程组的解是　 　．
5、[材料阅读]二元一次方程x﹣y＝1有无数组解，如如果我们将方程的解看成一组有序数对，那么这些有序数对可以用平面直角坐标系中的点表示．探究发现：以方程x﹣y＝1的解为坐标的点落在同一条直线上，如图1所示，同时在这条直线上的点的坐标全都是该方程的解，我们把这条直线称为该方程的图象．
[问题探究]
(1)观察图2中二元一次方程组中的两个二元一次方程的图象，直接写出该方程组的解为 　 　；
[拓展应用]
(2)图3中画出了三个二元一次方程的图象，其中有两个是关于x，y的二元一次方程组的图象，请求出该方程组的解．
一次函数与方程（组）、不等式的综合
1、如图，已知函数y＝ax＋b和y＝kx的图象交于点P，则根据图象可得不等式ax＋bA.x>－4 B.x<－4 C.－4≤x<0 D.x<－2
2、如图，直线y＝x＋b和y＝kx＋2与x轴分别交于点A(－2，0)，点B(3，0)，则的解集为(　　)
A.x<－2 B.x>3 C.x<－2或x>3 D.－23、在直角坐标平面内，一次函数y＝ax+b的图象如图所示，那么下列说法正确的是（　　）
A.当x＜0时，﹣2＜y＜0 B.方程ax+b＝0的解是x＝﹣2 C.当y＞﹣2时，x＞0 D.不等式ax+b＜0的解集是x＜0
4、如图，一次函数y＝ax＋b与y＝cx＋d的图象交于点P，则方程组的解是　　　　.
5、画出函数y＝2x+6的图象，利用图象：
（1）函数y＝2x+6的图象与y轴的交点为A，与x轴的交点为B，求线段AB的长；
（2）当y＝2x+6中函数值y＝0时，求方程2x+6＝0的解；
（3）求不等式2x+6＞0的解；若﹣1≤y≤3，求x的取值范围．
求直线与坐标轴围成的图形面积
1、一次函数y＝－2x＋m的图象经过点P(－2，3)，且与x轴、y轴分别交于点A，B，则△AOB的面积是(　　)
A. B. C.4 D.8
2、一次函数y＝kx＋b在平面直角坐标系中与y轴交于点A(0，3)，与x轴交于点B，且△ABO的面积为6，则k的取值为(　　)
A. B.－ C.± D.±
3、如图，在菱形ABOC中，对角线OA在y轴的正半轴上，且BC＝2，直线y＝x＋过点C，则菱形ABOC的面积是　　　　.
4、一次函数y＝x＋2与x轴交于点A，与y轴交于点B，则△AOB的面积是　　　　.
5、如图，直线AB：y＝2x﹣m过点P（m，2），并且分别与x轴，y轴相交于点A和点B．
（1）求直线AB的表达式；
（2）直接写出方程2x﹣m＝0的解为 　 　；
（3）将直线AB向上平移5个单位长度，交坐标轴于C，D两点，求△COD的面积．
6、如图，已知直线y＝kx+b的图象经过点A（0，﹣4），B（3，2），且与x轴交于点C．
（1）求一次函数的解析式；
（2）观察图象，直接写出方程kx+b＝0的解为 　 　；
（3）求△AOB的面积．
人教版（2024）八年级下册 23.3 一次函数与方程（组）、不等式 暑期巩固（参考答案）
一次函数与一元一次方程
1、一元一次方程ax﹣b＝0的解是x＝3，函数y＝ax﹣b的图象与x轴的交点坐标为（　　）
A.（3，0） B.（﹣3，0） C.（a，0） D.（﹣b，0）
【答案】A
【解析】
解：∵一元一次方程ax﹣b＝0的解是x＝3，
∴函数y＝ax﹣b的图象与x轴的交点坐标为（3，0），
故选：A．
2、关于x的一元一次方程kx+b＝0的解是x＝1，则直线y＝kx+b的图象与x轴的交点坐标是（　　）
A.（1，0） B.（0，1） C.（0，0） D.（﹣1，0）
【答案】A
【解析】
解：∵关于x的一元一次方程kx+b＝0的解是x＝1，
∴当x＝1时y＝kx+b＝0，
∴直线y＝kx+b的图象与x轴的交点坐标为（1，0），
故选：A．
3、如图，函数y＝kx﹣1的图象过点(1，2)，则关于x的方程kx﹣1＝2的解是　 　．
【答案】
x＝1
【解析】
解：由图象可得，关于x的方程kx﹣1＝2的解是x＝1．
故答案为：x＝1．
4、如图，已知一次函数y＝﹣2x+4的图象与x轴、y轴分别相交于点A和点B，直线l的解析式为y＝mx﹣3m+3．
(1)求点A和点B的坐标；
(2)当直线l经过原点时，求直线l与直线AB的交点坐标，并直接写出方程mx﹣3m+3＝﹣2x+4的解.
【答案】
解：(1)y＝﹣2x+4，
当x＝0时，y＝4，当y＝0时，x＝2，
∴A(2，0)，B(0，4)．
(2)当直线l经过原点时，
将点(0，0)代入得0＝0﹣3m+3，
解得m＝1，
直线l的解析式为y＝x，
联立两个一次函数得解得
∴交点坐标为，
∴方程mx﹣3m+3＝﹣2x+4的解为．
5、下面是小宙同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务：
任务：
（1）上面小论文中的“方法二”体现的数学思想是 　 　
A．整体思想B．公理化思想C．数形结合思想D．分类讨论思想
（2）参照“方法二”的思路，求解一元一次方程2x-2=的解．请在图的平面直角坐标系中画出相应的函数图象并依据图象直接写出方程的解．
【答案】
解：（1）方法二体现的数形结合思想，
故选：C；
（2）如图所示：
方程2x-2＝的解可以看成两个一次函数y＝x+1和y＝2x﹣2的交点的横坐标，由图可知该方程的解为x＝2．
一次函数与一元一次不等式
1、一次函数y1＝kx+b和y2＝2x的图象如图所示，则kx+b≥2x的解集是（　　）
A.x≥1 B.x≤2 C.x＜1 D.x≤1
【答案】D
【解析】
解：当x≤1时，kx+b≥2x，
所以不等式kx+b≥2x的解集为x≤1．
故选：D．
2、观察图中的函数图象，则关于x的不等式(a-b)x>c的解集为
A.x<2 B.x<1 C.x>2 D.x>1
【答案】D
【解析】由图象可知，两图象的交点坐标是(1，2)，
当x>1时，ax>bx+c，
∴关于x的不等式(a-b)x>c的解集为x>1.
3、如图，已知直线y1＝x+m与y2＝kx﹣1相交于点P（﹣1，2），则关于x的不等式x+m＜kx﹣1的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
解：根据图象得，当x＜﹣1时，x+m＜kx﹣1．
故选：D．
4、一次函数y＝kx和y＝﹣x+3的图象如图所示，则关于x的不等式kx≥﹣x+3的解集是　 　．
【答案】
x≥1
【解析】
解：由图象得：关于x的不等式kx≥﹣x+3的解集是：x≥1，
故答案为：x≥1．
5、在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx和y＝mx+n的图象如图所示，则关于x的一元一次不等式（k﹣m）x＜n的解集是 　 　．
【答案】
x＜1
【解析】
解：由（k﹣m）x＜n得到：kx＜mx+n．
根据图象可知：两函数的交点为（1，2），
所以关于x的一元一次不等式kx＜mx+n的解集是x＜1，即关于x的一元一次不等式（k﹣m）x＜n的解集是x＜1，
故答案为：x＜1．
6、自主研发和创新让我国的科技快速发展，“中国智造”正引领世界潮流.某科技公司计划投入一笔资金用来购买A，B两种型号的芯片.已知购买1颗A型芯片和2颗B型芯片共需要750元，购买2颗A型芯片和3颗B型芯片共需要1 300元.
(1)求购买1颗A型芯片和1颗B型芯片各需要多少元？
(2)若该公司计划购买A，B两种型号的芯片共8 000颗，其中购买A型芯片的数量不少于B型芯片数量的3倍.当购买A型芯片多少颗时，所需资金最少，最少资金是多少元？
(3)该公司用甲、乙两辆芯片运输车，先后从M地出发，沿着同一条公路匀速行驶，前往目的地N，两车到达N地后均停止行驶.如图，y甲(km)，y乙(km)分别是甲、乙两车离M地的距离与甲车行驶的时间x(h)之间的函数关系.请根据图象信息解答下列问题：
①甲车的速度是　　　　　km/h；
②当甲、乙两车相距30 km时，直接写出x的值.
【答案】解　(1)设购买1颗A型芯片需要m元，购买1颗B型芯片需要n元，根据题意，得
解得
故购买1颗A型芯片需要350元，购买1颗B型芯片需要200元.
(2)设购买A型芯片a颗，则购买B型芯片(8 000-a)颗.
根据题意，得a≥3(8 000-a)，
解得a≥6 000.
设所需资金为W元，则W=350a+200(8 000-a)=150a+1 600 000.
∵150>0，∴W随a的增大而增大.
∵a≥6 000，
∴当a=6 000时，W的值最小，W最小=150×6 000+1 600 000=2 500 000(元).
故当购买A型芯片6 000颗时，所需资金最少，最少资金是2 500 000元.
(3)①乙车的速度为(480-60)÷7=60(km/h)，
当x=3时，y乙=60+60×3=240，
则甲车的速度为240÷3=80(km/h).
②y甲与x之间的函数关系式为y甲=80x(0≤x≤6).
y乙与x之间的函数关系式为y乙=60x+60(0≤x≤7).
当0≤x≤6，甲、乙两车相距30 km时，得|y乙-y甲|=30，即|60x+60-80x|=30，
解得x=1.5或4.5.
当6解得x=6.5.
∴当甲、乙两车相距30 km时，x的值为1.5或4.5或6.5.
一次函数与二元一次方程组
1、如图，一次函数y＝x+的图象与y＝kx+b的图象相交于点P(﹣2，n)，则关于x，y的方程组的解是(　　)
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
解：关于x，y的方程组可化为
故一次函数y＝x+的图象与y＝kx+b的图象的交点坐标即为方程组的解，
将P(﹣2，n)代入y＝x+得
n＝×(-2)+=3，
∴P(﹣2，3)，
故关于x，y的方程组的解是
故选：B．
2、若二元一次方程组无解，则一次函数y＝3x﹣5与y＝3x+1的位置关系为(　　)
A.平行 B.垂直 C.相交 D.重合
【答案】A
【解析】
解：因为二元一次方程组无解，
则一次函数y＝3x﹣5与y＝3x+1的位置关系是平行．
故选：A．
3、已知直线y＝3x+2与直线y＝kx+b(k，b为常数，且k≠0)的交点纵坐标为5，则关于x，y的二元一次方程组的解为(　　)
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
解：把y＝5代y＝3x+2，得3x+2＝5，
∴x＝1，
∴直线y＝3x+2与直线y＝kx+b(k，b为常数，且k≠0)的交点纵坐标为(1，5)，
∴二元一次方程组的解为
故选：A．
4、如图，已知函数y＝ax+b和y＝kx+c的图象交于点P，则根据图象可得，关于x，y的二元一次方程组的解是　 　．
【答案】
【解析】
解：∵函数y＝ax+b和y＝kx+c的图象交于点P(1，1)，
∴关于x，y的二元一次方程组的解为
故答案为：
5、[材料阅读]二元一次方程x﹣y＝1有无数组解，如如果我们将方程的解看成一组有序数对，那么这些有序数对可以用平面直角坐标系中的点表示．探究发现：以方程x﹣y＝1的解为坐标的点落在同一条直线上，如图1所示，同时在这条直线上的点的坐标全都是该方程的解，我们把这条直线称为该方程的图象．
[问题探究]
(1)观察图2中二元一次方程组中的两个二元一次方程的图象，直接写出该方程组的解为 　 　；
[拓展应用]
(2)图3中画出了三个二元一次方程的图象，其中有两个是关于x，y的二元一次方程组的图象，请求出该方程组的解．
【答案】
解：(1)如图2直线2x+y＝4与直线x﹣y＝﹣1相交于点(1，2)，则该方程组的解为
故答案为：
(2)根据一次函数的性质得l1的解析式为y＝﹣2x+4，
l2的解析式为y＝﹣m(x﹣2)﹣3，过点(2，﹣3)，
∴关于x，y的二元一次方程组的解为
一次函数与方程（组）、不等式的综合
1、如图，已知函数y＝ax＋b和y＝kx的图象交于点P，则根据图象可得不等式ax＋bA.x>－4 B.x<－4 C.－4≤x<0 D.x<－2
【答案】A
【解析】由函数图象可知，当x>－4时，一次函数y＝ax＋b的图象在一次函数y＝kx的图象的下方，
∴关于x的不等式ax＋b－4.
2、如图，直线y＝x＋b和y＝kx＋2与x轴分别交于点A(－2，0)，点B(3，0)，则的解集为(　　)
A.x<－2 B.x>3 C.x<－2或x>3 D.－2【答案】D
【解析】∵直线y＝x＋b与x轴交于点A(－2，0)，
∴x＋b>0的解集为x>－2，
∵直线y＝kx＋2与x轴交于点B(3，0)，
∴kx＋2>0的解集为x<3，
∴不等式组的解集为－23、在直角坐标平面内，一次函数y＝ax+b的图象如图所示，那么下列说法正确的是（　　）
A.当x＜0时，﹣2＜y＜0 B.方程ax+b＝0的解是x＝﹣2 C.当y＞﹣2时，x＞0 D.不等式ax+b＜0的解集是x＜0
【答案】C
【解析】
解：由函数y＝ax+b的图象可知，
当x＜0时，y＜﹣2，A选项错误，不符合题意；
方程 ax+b＝0的解是x＝1，B选项错误，不符合题意；
当y＞﹣2时，x＞0，故C正确，符合题意；
不等式 ax+b＜0的解集是x＜1，故D错误，不符合题意．
故选：C．
4、如图，一次函数y＝ax＋b与y＝cx＋d的图象交于点P，则方程组的解是　　　　.
【答案】
5、画出函数y＝2x+6的图象，利用图象：
（1）函数y＝2x+6的图象与y轴的交点为A，与x轴的交点为B，求线段AB的长；
（2）当y＝2x+6中函数值y＝0时，求方程2x+6＝0的解；
（3）求不等式2x+6＞0的解；若﹣1≤y≤3，求x的取值范围．
【答案】
解：如图所示，
（1）线段AB的长为：＝3；
（2）由图象知，方程2x+6＝0的解是x＝﹣3；
（3）由图象知，不等式2x+6＞0的解集是x＞﹣3；当﹣1≤y≤3时，x的取值范围是﹣3.5≤x≤﹣1.5．
求直线与坐标轴围成的图形面积
1、一次函数y＝－2x＋m的图象经过点P(－2，3)，且与x轴、y轴分别交于点A，B，则△AOB的面积是(　　)
A. B. C.4 D.8
【答案】B
【解析】一次函数y＝－2x＋m的图象经过点P(－2，3)，
∴解得m＝－1，
∴一次函数解析式为y＝－2x－1.
则一次函数y＝－2x－1的图象与x轴、y轴交于点A，B(0，－1)，
∴OA＝，OB＝1，
∴S△AOB＝××1＝.
2、一次函数y＝kx＋b在平面直角坐标系中与y轴交于点A(0，3)，与x轴交于点B，且△ABO的面积为6，则k的取值为(　　)
A. B.－ C.± D.±
【答案】C
【解析】设B，则OB＝，
∵A(0，3)，
∴OA＝3，
∴S△ABO＝OA·OB＝＝6，
∴＝4，
∴x＝－4或x＝4，
∴B或B，
当A(0，3)，B时，代入y＝kx＋b，
得
解得k＝；
当A(0，3)，B时，代入y＝kx＋b，
得
解得k＝－.
∴k＝±.
3、如图，在菱形ABOC中，对角线OA在y轴的正半轴上，且BC＝2，直线y＝x＋过点C，则菱形ABOC的面积是　　　　.
【答案】4
【解析】设OA与BC相交于点D，
∵四边形ABOC是菱形，
∴CD＝BC＝×2＝1，OA⊥BC，
则点C的横坐标为1，
∵直线y＝x＋过点C，
∴y＝＝2.
∴点C的坐标为(1，2)，
∴OA＝4，
∴S菱形ABOC＝OA·BC＝×4×2＝4.
4、一次函数y＝x＋2与x轴交于点A，与y轴交于点B，则△AOB的面积是　　　　.
【答案】2
【解析】如图，
当x＝0，则y＝0＋2＝2，此时B(0，2)，
当y＝0，则x＝－2，此时A(－2，0)，
∴OA＝2，OB＝2，
∴S△AOB＝OA·OB＝×2×2＝2.
5、如图，直线AB：y＝2x﹣m过点P（m，2），并且分别与x轴，y轴相交于点A和点B．
（1）求直线AB的表达式；
（2）直接写出方程2x﹣m＝0的解为 　 　；
（3）将直线AB向上平移5个单位长度，交坐标轴于C，D两点，求△COD的面积．
【答案】
解：（1）∵直线AB：y＝2x﹣m过点P（m，2），
∴2＝2m﹣m，解得：m＝2，
∴直线AB的表达式为y＝2x﹣2；
（2）方程2x﹣2＝0的解为x＝1，
故答案为：x＝1；
（3）将直线AB：y＝2x﹣2向上平移5个单位得直线l：y＝2x+3，
当x＝0，y＝3，当y＝0，x＝﹣，
∴C（0，3），D（﹣，0），
∴OD＝，OC＝3，
∴△COD的面积＝＝．
6、如图，已知直线y＝kx+b的图象经过点A（0，﹣4），B（3，2），且与x轴交于点C．
（1）求一次函数的解析式；
（2）观察图象，直接写出方程kx+b＝0的解为 　 　；
（3）求△AOB的面积．
【答案】
解：（1）把点A（0，﹣4），B（3，2）代入直线y＝kx+b得：
，
解得：，
∴一次函数的解析式为：y＝2x﹣4；
（2）∵点C在x轴上，
∴点C的纵坐标y＝0，
把y＝0代入y＝2x﹣4得：
2x﹣4＝0，
2x＝4，
x＝2，
∴点C坐标为：（2，0），
∴方程kx+b＝0的解为：x＝2，
故答案为：x＝2；
（3）∵O（0，0），A（0，﹣4），
∴OA＝|﹣4﹣0|＝4，
∵B（3，2），
∴S△AOB＝
＝
＝6．

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