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人教版（2024）七年级下册 7.2 平行线 暑期巩固
平行线的概念
1、同一平面内的两条线段，下列说法正确的是(　　)
A.一定平行
B.一定相交
C.可以既不平行又不相交
D.不平行就相交
2、已知直线m，n，下列图形中属于两直线平行的是(　　)
A. B. C. D.
3、下列生活实例中：①交通道路上的斑马线；②天上的彩虹；③百米跑道线；④一段平直的火车铁轨线.其中属于平行线的有(　　)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4、观察如图所示的长方体，回答问题.
(1)用符号表示下列两条棱的位置关系：
A1B1　　　　　AB，A1A　　　　　　AB，A1D1　　　　　　C1D1，AD　　　　　　BC；
(2)A1B1与BC所在的直线是两条不相交的直线，它们　　　　　　(填“是”或“不是”)平行线，由此可知，在　　　　　　内，两条不相交的直线才能叫作平行线.
5、一副透明的直角三角尺，按如图所示的位置摆放.如果把三角尺的每条边看成线段，请根据图形解答下列问题：
(1)找出图中一对互相平行的线段，并用符号表示出来；
(2)找出图中一对互相垂直的线段，并用符号表示出来；
(3)找出图中的一个钝角、一个直角和一个锐角，用符号把它们表示出来，并求出它们的度数.(不包括直角尺自身所成的角)
平行线的画法
1、下列语句正确的有(　　)
①任意两条直线的位置关系不是相交就是平行；
②过一点有且只有一条直线和已知直线平行；
③过两条直线a，b外一点P，画直线c，使c∥a，且c∥b；
④若直线a∥b，b∥c，则c∥a.
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
2、已知直线BC，嘉嘉和琪琪想画出BC的平行线，他们的方法如下：
下列说法正确的是(　　)
A.嘉嘉和琪琪的方法都正确 B.嘉嘉的方法不正确，琪琪的方法正确 C.嘉嘉的方法正确，琪琪的方法不正确 D.嘉嘉和琪琪的方法都不正确
3、如图，过C点作线段AB的平行线，说法正确的是
A.不能作 B.只能作一条 C.能作两条 D.能作无数条
4、如图，根据要求填空．
(1)过A作AE∥BC，交______于点E；
(2)过B作BF∥AD，交______于点F；
(3)过C作CG∥AD，交__________于点G；
(4)过D作DH∥BC，交BA的__________于点H.
5、在同一平面内的两条直线a，b，分别根据下列的条件，写出a，b的位置关系.
(1)如果它们没有公共点，则　　　　；
(2)如果它们都平行于第三条直线，则　　　　；
(3)如果它们有且只有一个公共点，则　　　　；
(4)过平面内的同一点画它们的平行线，能画出两条，则　　　　.
6、如图，AD∥BC，P是AB的中点.
(1)画出线段PQ，使PQ∥AD，PQ与DC交于Q点；
(2)线段PQ与BC平行吗？为什么？
(3)测量线段DQ，CQ，判断DQ和CQ是否相等？测量AD，BC，PQ，判断AD＋BC＝2PQ是否成立？
立体图形中平行的棱或面
1、如图所示，在长方体中，与棱既不相交也不平行的棱有（ ）
A.2条 B.3条 C.4条 D.5条
2、在长方体ABCD﹣ABCD中，下列棱中，既与棱CC1异面又与棱BC平行的是（　　）
A.棱AD B.棱AB C.棱AA1 D.棱A1B1
3、在长方体ABCD－EFGH中，与面ABCD平行的棱共有(　　)
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
4、如图所示，在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，与棱AD平行的棱有　 　条．
5、如图，在长方体中，与平行的棱是 ．
6、如图，在长方体ABCD﹣EFGH中，
（1）在平面DBFH中，互相平行的线段是 ，互相垂直的线段是　 ；
（2）在平面DCGH中，互相平行的线段是 ，互相垂直的线段是　 ；
（3）在长方体中，与棱HG平行的棱有 ．
平行公理
1、在同一个平面内，直线a，b相交于点P，a∥c，b与c的位置关系是(　　)
A.平行 B.相交 C.重合 D.平行或相交
2、如图是一个可折叠衣架，AB是地平线，当PM∥AB，PN∥AB时，就可以确定点N，P，M在同一直线上，这样判定的依据是
A.两点确定一条直线
B.同角的补角相等
C.平行于同一直线的两直线平行
D.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
3、已知直线EF及其外一点B，过B点作AB∥EF，过B点作BC∥EF，点A，C分别为直线AB，BC上任意一点，那么A，B，C三点一定在同一条直线上，依据是 　 　．
4、根据下列语句画出图形：过三角形ABC内一点P，分别画AB，BC，AC的平行线.
平行公理的推论
1、下面推理正确的是（ ）
A.，， B.，， C.，， D.，，
2、下列说法中，正确的个数为（　　）
（1）过一点有无数条直线与已知直线平行；
（2）如果a∥b,a∥c,那么b∥c；
（3）如果两线段不相交，那么它们就平行；
（4）如果两直线不相交，那么它们就平行.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3、在同一平面内，若，则b与c的关系为（ ）
A.平行或重合 B.平行或垂直 C.垂直 D.相交
4、如图.
（1）如果AD∥EG，AD∥FG，则点E，G，F在同一条直线上，理由是　 　；（2）如果AD∥EF，BC∥EF，则AD与BC的位置关系是　 　，理由是　 ．
5、如图所示，AB∥DC，在AD上取一点E，过E作EF∥AB交BC于F，试说明EF与DC的位置关系，并解释原因．
6、在如下图所示的正方形网格中，点A，B，C，D在正方形网格的格点（网格线交点）上，请按要求画图并回答问题．
(1)过点B画直线，过点C画直线；
(2)过点D画直线；
(3)试判断直线BE与直线CF的位置关系，并说明理由．
同位角相等两直线平行
1、如图，把AB，CD，EF三根木条钉在一起，使之可以在连接点M，N处自由旋转，若∠1＝60°，∠2＝80°，则如何旋转木条AB才能使它与木条CD平行.以下说法正确的是(　　)
小明说：把木条AB绕点M逆时针旋转20°；
小刚说：把木条AB绕点M顺时针旋转150°.
A.小明的操作正确，小刚的操作错误 B.小明的操作错误，小刚的操作正确 C.小明和小刚的操作都正确 D.小明和小刚的操作都错误
2、如图，下列条件中能判定AC∥DE的是（　　）
A.∠1＝∠3 B.∠C＝∠BDE C.∠3＝∠A D.以上都不对
3、如图，，可以判断（ ）
A. B. C. D.与相交
4、如图，已知直线c与a，b分别交于点A，B，且∠1＝125°，则当∠2＝　　　　时，a∥b.
5、如图，由∠1=∠B，可判定互相平行的一组直线是 ；，可判定互相平行的一组直线是 .
6、如图，已知点B在AC上，BD⊥BE，∠1+∠C＝90°，问射线CF与BD平行吗？说明理由．
7、已知：如图，，垂足为F，且点F在直线上，与直线相交于点H，．求证：．（请完成下面的证明过程）
证明：∵（已知），
∴ °（垂直的定义），
即 ．
又∵（已知），
∴ （ ），
∴（ ）．
内错角相等两直线平行
1、如图，要得到BE∥CF，则需要条件（　　）
A.∠ABE＝∠DCF B.∠ABE＝∠BCF C.∠CBE＝∠BCF D.∠CBE＝∠DCF
2、如图，下列利用“内错角相等，两直线平行”能判定AB∥CD或AD∥BE的条件有（　　）
（1）∠1＝∠2；
（2）∠3＝∠4；
（3）∠B＝∠5；
（4）∠D=∠5．
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3、如图填空：
(1)∵∠1＝∠A(已知)，
∴______________(　　　　　　　　　　)；
(2)∵∠1＝∠D(已知)，
∴______________(　　　　　　　　　　)；
(3)∵______＝∠F(已知)，
∴AC∥DF(　　　　　　　　　　　　　)．
4、已知，如图，∠1＝∠2，∠3＝∠E，∠BAE＝180°﹣∠DFE．求证：AD∥BE．
5、如图所示，已知∠1＝∠2，AC平分∠DAB，试说明DC∥AB.
同旁内角互补两直线平行
1、如图，下列判断中，错误的是（　　）
A.因为∠A+∠2＝180°，所以EF∥BC
B.因为∠B+∠BEF＝180°，所以EF∥BC
C.因为∠B＝∠2，所以EF∥BC
D.因为∠C＝∠1，所以EF∥BC
2、如图，已知相交于点，能判定AB∥EF的是（ ）
A.当时，.
B.当时，.
C.当时，.
D.当时，.
3、如图，下列说法正确的是（ ）

A.若，则
B.若，则
C.若，则
D.若，则
4、如图，填空：
(1)由∠ABD＝∠CDB，得______∥______；
(2)由∠CAD＝∠ACB，得______∥______；
(3)由∠CBA＋∠BAD＝180°，得______∥______.
5、如图，已知∠ACD＝70°，∠ACB＝60°，∠ABC＝50°.求证：AB∥CD.
6、如图，在三角形ABC中，D，E分别为边AB，AC上的点，H，G为边BC上两点，连接DG，EH，DG与EH交于点F，已知∠1+∠2＝180°，试说明：AB∥EH．
同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行
1、直线a，b，c在同一平面内，下列说法：①若，，则；②若，，，则；③若，，则；④若a与b相交，b与c相交，则a与c相交其中正确的有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2、如图，根据图中作图痕迹，下列说法错误的是（ ）
A. B. C. D.
3、已知直线、、在同一平面内，则下列说法错误的是（ ）
A.如果，，那么
B.，，那么
C.如果与相交，与不相交，那么与一定相交
D.如果与相交，与相交，那么与一定相交
4、木工师傅用角尺画出工件边缘的两条垂线，就可以再找出两条平行线，如图所示， ，这是依据 的道理．由此得出推论：在同一平面内， ．如图，几何语言表述为： ∴ ．
5、在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相 ．（“平行”或“不平行”，填入其中一个）
6、在四边形ABCD中，CF⊥BD于点F，过点A作AG⊥BD，分别交BD，BC于点E，G，若∠DAG＝∠BCF，求证：AD∥BC．
7、如图，已知点E在BC上，BD⊥AC，EF⊥AC，垂足分别为D，F，点M，G在AB上，GF交BD于点H，∠BMD+∠ABC＝180°，∠1＝∠2＝∠CBD，求证：MDGF．
下面是小颖同学的思考过程，请补全证明过程并在括号内填上证明依据．
证明：∵BD⊥AC，EF⊥AC，
∴∠BDC＝90°，∠EFC＝90°（①　　）．
∴∠BDC＝∠EFC（等量代换）．
∴BDEF（同位角相等，两直线平行）．
∵∠1＝∠2＝∠CBD（已知）．
∴∠1＝∠CBD（等量代换）．
∴③　　（内错角相等，两直线平行）．
∵∠BMD+∠ABC＝180°（已知），
∴MDBC（④　　）．
∴MDGF（⑤　　）．
平行线判定方法的综合
1、老师在黑板上画出如图所示的图形，要求学生添加条件，使得AB∥CD，随后抽取了四名学生的答案，不能得到AB∥CD的是（　　）
甲：；
乙：∠1＝∠2；
丙：∠B＝∠DCE；
丁：∠3＝∠4．
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
2、如图，下列条件：①∠1＝∠2，②∠3+∠4＝180°，③∠5+∠6＝180°，④∠2＝∠3，⑤∠7＝∠2+∠3，⑥∠7+∠4﹣∠1＝180°中，能判断直线a∥b的有（　　）
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
3、如图所示，下列条件中，能判断AB∥CD的是（　　）
A.∠BAD=∠BCD B.∠1=∠2 C.∠BAC=∠ACD D.∠3=∠4
4、如图，直线a，b被直线l所截，∠1＝60°，∠2＝120°．求证：a∥b．下面是某同学的证明过程，则①为 　 　．
证明：∵∠1＝60°，
∴∠3＝∠1＝60°（对顶角相等）．
∵∠2＝120°，
∴∠2+∠3＝120°+60°＝180°．
∴a∥b（①）．
5、如图，直线AB，CD被直线AE所截．请添加一个条件使直线AB∥CD，则该条件可以是 　 　.（用图中已标注的角或字母表示）
6、如图，已知点E，D，C，F在一条直线上，∠ADE+∠BCF＝180°，BE平分∠ABC，∠ABC＝2∠E．
（1）AD与BC平行吗？请说明理由；
（2）AB与EF的位置关系如何？请说明理由．
解：（1）AD∥BC，理由如下：
∵∠ADE+∠ADF＝180°（ 　 　），
∠ADE+∠BCF＝180°（已知），
∴∠ADF＝∠　 　，
∴AD∥BC（ 　 　）．
（2）AB与EF的位置关系是：（ 　 　）．
请完成说理过程：
平行线判定方法的实际应用
1、《淮南万毕术》是世界上最早记载潜望镜原理的古书，潜望镜内部通常包含两个互相平行的平面镜，基于光的反射，可得到一组平行线．如图，这是潜望镜工作原理的示意图，它所依据的数学定理是（　　）
A.两点之间，线段最短
B.两点确定一条直线
C.内错角相等，两直线平行
D.同旁内角互补，两直线平行
2、工人师傅对如图所示的零件进行加工，把材料弯成了一个40°的锐角，然后准备在A处第二次加工拐弯，要保证弯过来的部分与BC保持平行，弯的角度是(　　)
A.40° B.140° C.40°或140° D.50°
3、在一次数学活动课上，老师让同学们用两个大小、形状都相同的三角板画AB∥CD，并说出自己做法的依据．小乐和小诚两位同学的做法如下：
选择其中一个同学的做法说明其依据：__________________________________．
4、如图，小明利用两块相同的三角板，分别在三角板的边缘画直线AB和CD，并由此判定AB∥CD，这是根据 　 　，两直线平行．
5、如图，某人骑自行车自A处沿正东方向前进，至B处后，行驶方向改为东偏南15°，行驶到C处仍按正东方向行驶，画出继续行驶的路线.
6、如图，一块三角形土地ABC，D是AB上一点，现要求过点D割出一块小的三角形ADE，使DE∥BC，请作出DE.
两直线平行同位角相等
1、如图，AB∥CD，AC⊥AD，若∠1＝153°，则∠2的度数为（　　）
A.67° B.63° C.43° D.27°
2、如图，直线a∥b，直线c与直线a，b分别交于点D，E，射线DF⊥直线c，则图中与∠1互余的角有(　　)
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
3、如图，AB∥CD，EF⊥AB于点E，EF交CD于点F，EM交CD于点M，已知∠1＝57°，则∠2的度数为（　　）
A.33° B.57° C.43° D.123°
4、如图，点P是∠NOM的边OM上一点，PD⊥ON于点D，∠OPD＝30°，PQ∥ON，则∠MPQ的度数是________．
5、如图，已知，如果，是否垂直于，试说明理由．
两直线平行内错角相等
1、图1为我国高铁座位的实物图，图2是将其抽象得到的图形，若OA∥CD，∠AOB＝100°，∠OCD＝120°.则∠BOC的度数为(　　)
A.10° B.15° C.20° D.25°
2、如图，，，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
3、如图，AB∥CD∥EF，∠A＝54°，∠C＝26°，则∠AFC＝　　　　.
4、如图，点B、F、C、E在同一条直线上，点A、D在直线的两侧，若，则∠B= ；若AC∥FD，则∠ACB= .
5、如图，直线AB∥CD，E是直线CD上一点，过点E作EF⊥AE，垂足为E，交AB于点G，若∠A＝36°，求∠DEF的度数．
两直线平行同旁内角互补
1、如图，若AB∥CD，CD∥EF，那么∠BCE等于(　　)
A.∠1＋∠2 B.∠2＝2∠1 C.180°－∠1－∠2 D.180°－∠2＋∠1
2、如图，直线AB，CD被直线EF所截，AB∥CD，∠1＝70°，则∠2的度数为（　　）
A.100° B.110° C.120° D.140°
3、如图，AB∥CD，点E在AB上，点F在CD上，如果∠CFE∶∠EFB＝3∶4，∠ABF＝40°，那么∠BEF的度数为______．
4、如图，已知AB∥CD，∠B＝65°，CM平分∠BCE，∠MCN＝90°，求∠DCN的度数．
平行线性质的综合
1、如图所示，点D，E分别在BA，BC上，∠ADF＝α度，∠CEG＝β度，∠ABC＝γ度，DF∥EG，则(　　)
A.α＋β＋γ＝180 B.α＋β＝γ C.α＋β＋γ＝90 D.2α＋2β－γ＝45
2、如图，直线 分别交 ，于点，，平分，，若 ，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
3、如图，，于E，交于F，已知，则 ．

4、如图，a∥b，直线c，d是截线.∠1=80°，∠5=70°，∠2，∠3，∠4各是多少度？为什么？
5、如图，AB∥CD，AC∥DE.
(1)试说明：∠1＋∠CDE＝180°；
(2)若AD⊥CD，∠1＝40°，求∠ADE的度数.
平行线性质与30°60°45°三角板的综合
1、已知直线a∥b,将一块直角三角板按如图所示的方式摆放．若∠1=40°，则∠2的度数是（　　）
A.40° B.50° C.140° D.150°
2、把一块直尺与三角板如图放置，若∠1＝40°，则∠2的度数为(　　)
A.130° B.140° C.12° D.125°
3、将一直角三角板与两边平行的纸条如图放置．下列结论：
（1）∠1=∠2；（2）∠2+∠4=90°；（3）∠3=∠4；（4）∠4+∠5=180°；（5）∠1+∠3=90°．
其中正确的共有（　　）
A.5个 B.4个 C.3个 D.2个
4、一副三角板按如图所示方式叠放，两三角板的斜边互相平行，则 等于 ．

5、如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当时， ．

6、在数学实践活动课上，小亮同学利用一副三角尺探索与研究共直角顶点的两个直角三角形中的位置关系与数量关系．（其中∠A=30°，∠B=60°，∠C=∠D=45°）
（1）将三角尺如图1所示叠放在一起．
①∠AOD与∠BOC大小关系是 ，依据是 ．
②∠BOD与∠AOC的数量关系是 ．
（2）小亮固定其中一块三角尺△COD不变，绕点O顺时针转动另一块三角尺，从图2的OA与OC重合开始，到图3的OA与OC在一条直线上时结束探索△AOB的一边与△COD的一边平行的情况．
①求当AB∥CD时，如图4所示，∠AOC的大小；
②直接写出∠AOC的其余所有可能值．
7、[问题背景]
在数学综合与实践活动中，数学兴趣小组的活动主题是《关于三角板的数学思考》，
[实践操作]
（1）小明将一副三角板按如图1所示的方式放置，使三角板ADE的直角顶点E落在BC上，已知∠DAE=60°，∠B=∠C=45°，且AD∥BC，则∠CAE的度数为多少？
（2）如图2，小红将一个三角板ABC放在一组直线MN与PQ之间（其中∠B=∠ACB=45°），并使直角顶点A在直线MN上，顶点C在直线PQ上，现测得∠MAB=35°，∠PCB=10°，请判断直线MN与PQ是否平行，并说明理由；
（3）现将三角板ABC按图3方式摆放（其中∠B=∠ACB=45°），使顶点C在直线MN上，直角顶点A在直线PQ上，若MN∥PQ，请写出∠PAB与∠MCA之间的关系式，并说明理由．
平行线性质的实际应用
1、斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路．某数学兴趣小组为了验证斑马线是由若干条平行线组成的，在保证安全的前提下，按照如图方式分别测出∠1=∠2=85°，这种验证方法的数学依据是（　　）
A.两直线平行，同位角相等
B.同位角相等，两直线平行
C.内错角相等，两直线平行
D.同旁内角互补，两直线平行
2、如图是一款手推车的平面示意图，其中AB∥CD，∠1=24°，∠3=148°，则∠2的度数为（　　）度．
A.56 B.66 C.98 D.104
3、如图是一款儿童小推车的示意图，若AB∥CD，∠1＝32°，∠2＝74°，则∠3的度数为
A.42° B.41° C.40° D.38°
4、如图，A、B之间是一座山，一条高速公路要通过A、B两点，在A地测得公路走向是北偏西111°32′.如果A、B两地同时开工，那么在B地按________________方向施工，才能使公路在山腹中准确接通．
5、光线在不同介质中的传播速度不同，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，当，时，则（1） ，（2） ．
6、货轮在南沙群岛发生故障，南沙海上搜救中心接到险情报告后立即派出海洋救助船前往执行任务，海洋救助船从O点出发向北偏西方向行驶到点A时，接到货轮因空载在飘移的消息，于是向左转继续航行．利用直尺画出大致方位图，并求出此时海洋救助船的航行方向是什么？
平行线性质与判定的综合
1、如图，直线a，b被直线c，d所截，∠1＝60°，∠2＝60°，∠3＝100°，则∠4的大小是（　　）
A.120° B.100° C.80° D.60°
2、如图所示，若∠1=∠2，则下列结论中，正确的是（　　）
①AB∥CD；②AD∥BC；③∠3=∠4；④∠B=∠BCD；⑤∠B+∠BCD=180°．
A.①⑤ B.②③⑤ C.①② D.①④
3、如图，直线l1和l2被直线l3和l4所截，∠1＝∠2＝130°，∠3＝75°，则∠4的度数为（　　）
A.75° B.105° C.115° D.130°
4、如图是纸风车的示意图，AC和BD的交点在风车杆上，若∠A＝∠C＝87°，∠B＝56°，则∠D的度数为　　　　　　　.
5、如图1，直线MN与直线AB，CD分别交于点E，F，∠1+∠2＝180°．
（1）求证：AB∥CD；
（2）如图2，在（1）的条件下，∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，延长EP交CD于点G，点H是MN上一点，且GH⊥EG，求证：PF∥GH．
（3）如图3，在（2）的条件下，连接PH，Q是EF上一点，且∠HPQ＝45°，若∠PHG＝15°，请直接写出∠QPE的度数（不需要写过程）．
6、如图所示，已知∠D＝∠A，∠B＝∠FCB，试问ED与CF平行吗？试说明理由.
用平行线性质与判定解决拐角问题
1、如图，AB∥ED，∠B＋∠C＋∠D等于(　　)
A.180° B.360° C.540° D.270°
2、如图，AB∥CD，∠ABE＝125°，∠C＝30°，则∠α等于(　　)
A.70° B.75° C.80° D.85°
3、如图，直线AB∥CD，若∠ABE＝30°，∠BEC＝100°，则∠ECD的度数为　 　．
4、如图①：MA1∥NA2，图②：MA1∥NA3，图③：MA1∥NA4，图④：MA1∥NA5，…，按此规律，则在第100个图中：∠A1＋∠A2＋∠A3＋…＋∠A101＝___________.
5、如图，在图a、图b、图c中都有直线m∥n，
(1)在图a中，∠2和∠1、∠3之间的数量关系是__________________．
(2)猜想：在图b中，∠1、∠2、∠3、∠4之间的数量关系是____________________．
(3)猜想：在图c中，∠2、∠4和∠1、∠3、∠5的数量关系式是____________________．
6、（1）问题发现：如图①，直线，E是与之间的一点，连接，可以发现．
请把下面的证明过程补充完整：
证明：过点E作，
∵（已知），（辅助线的作法），
∴（ ）
∴．（ ）
∵，
∴ （同理），
∴ （等式性质）
即．
（2）拓展探究：如果点E运动到图②所示的位置，其他条件不变，猜想：的关系，并说明理由．
（3）解决问题：如图③，，求
用平行线性质与判定解决折叠问题
1、如图，将一条两边沿互相平行的纸带折叠，若∠2的度数为56°，则∠1的度数为（　　）
A.66° B.68° C.54° D.56°
2、如图所示，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在D′、C′的位置，若∠EFB＝65°，则∠C′FB等于(　　)
A.70° B.65° C.50° D.25°
3、如图，将一条两边沿互相平行的纸带按图折叠，则∠α的度数为　 　．
4、阅读下列材料，完成相应任务．
折纸中的数学
综合实践课上，老师出示如下问题：如图1，在一张正方形纸片的两边上分别有A，B两点，连接，点是正方形纸片上一点，请同学们用折纸的方法过点作的平行线．
兴趣小组作法如下：如图2，过点沿折叠纸片，使于点；在图2的基础上，展平纸片，过点沿折叠纸片，使折痕于点，得到图3；将图3中的纸片展平，得到图4，则．
任务一：下列选项中，能作为判定上述材料中的依据的有 （多选）
A.同位角相等，两直线平行
B.内错角相等，两直线平行
C.同旁内角互补，两直线平行
D.平行于同一条直线的两条直线互相平行
E．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
任务二：如图5，在长方形纸片中，．将长方形纸片沿折叠．使落在处，再将纸片沿折叠，使得落在，且，，，在同一直线上．
求证：折痕．
图5
人教版（2024）七年级下册 7.2 平行线 暑期巩固（参考答案）
平行线的概念
1、同一平面内的两条线段，下列说法正确的是(　　)
A.一定平行
B.一定相交
C.可以既不平行又不相交
D.不平行就相交
【答案】C
【解析】根据线段的定义得出：同一平面内的两条线段，可以既不平行又不相交，
故选C.
2、已知直线m，n，下列图形中属于两直线平行的是(　　)
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】A项，观察图形可知，直线m和n相交，故此选项不符合题意；
B项，观察图形可知，直线m，n互相平行，故此选项符合题意；
C项，观察图形可知，直线m⊥n，故此选项不符合题意；
D项，观察图形可知，直线m和n相交，故此选项不符合题意.
3、下列生活实例中：①交通道路上的斑马线；②天上的彩虹；③百米跑道线；④一段平直的火车铁轨线.其中属于平行线的有(　　)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】C
【解析】属于平行线的有①③④，共3个.
4、观察如图所示的长方体，回答问题.
(1)用符号表示下列两条棱的位置关系：
A1B1　　　　　AB，A1A　　　　　　AB，A1D1　　　　　　C1D1，AD　　　　　　BC；
(2)A1B1与BC所在的直线是两条不相交的直线，它们　　　　　　(填“是”或“不是”)平行线，由此可知，在　　　　　　内，两条不相交的直线才能叫作平行线.
【答案】(1)∥　⊥　⊥　∥　(2)不是　同一平面
5、一副透明的直角三角尺，按如图所示的位置摆放.如果把三角尺的每条边看成线段，请根据图形解答下列问题：
(1)找出图中一对互相平行的线段，并用符号表示出来；
(2)找出图中一对互相垂直的线段，并用符号表示出来；
(3)找出图中的一个钝角、一个直角和一个锐角，用符号把它们表示出来，并求出它们的度数.(不包括直角尺自身所成的角)
【答案】解　此题答案不唯一，只要答案正确即可得分.
(1)如：DE∥CB，DF∥CB，FE∥CB.
(2)如：ED⊥AC，FD⊥AC，FD⊥AD.
(3)如：钝角：∠GFD＝135°，∠CGB＝∠FGE＝105°.
直角：∠ADE＝90°.
锐角：∠GCB＝30°，∠AFD＝45°，∠CGF＝75°.
平行线的画法
1、下列语句正确的有(　　)
①任意两条直线的位置关系不是相交就是平行；
②过一点有且只有一条直线和已知直线平行；
③过两条直线a，b外一点P，画直线c，使c∥a，且c∥b；
④若直线a∥b，b∥c，则c∥a.
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
【答案】D
【解析】①任意两条直线的位置关系不是相交就是平行，说法错误，应为在同一平面内，任意两条不重合的直线的位置关系不是相交就是平行；
②过一点有且只有一条直线和已知直线平行，说法错误，应为过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行；
③过两条直线a，b外一点P，画直线c，使c∥a，且c∥b，只有a∥b时才能画出，故说法错误；
④若直线a∥b，b∥c，则c∥a，说法正确.
2、已知直线BC，嘉嘉和琪琪想画出BC的平行线，他们的方法如下：
下列说法正确的是(　　)
A.嘉嘉和琪琪的方法都正确 B.嘉嘉的方法不正确，琪琪的方法正确 C.嘉嘉的方法正确，琪琪的方法不正确 D.嘉嘉和琪琪的方法都不正确
【答案】A
【解析】嘉嘉的做法是通过同位角相等，两直线平行，得出BC∥DE；
琪琪的做法是通过内错角相等，两直线平行，得出BC∥DE.
3、如图，过C点作线段AB的平行线，说法正确的是
A.不能作 B.只能作一条 C.能作两条 D.能作无数条
【答案】B
4、如图，根据要求填空．
(1)过A作AE∥BC，交______于点E；
(2)过B作BF∥AD，交______于点F；
(3)过C作CG∥AD，交__________于点G；
(4)过D作DH∥BC，交BA的__________于点H.
【答案】(1)DC
(2)DC
(3)AB
(4)延长线
【解析】(1)过A作AE∥BC，交DC于点E；
(2)过B作BF∥AD，交DC于点F；
(3)过C作CG∥AD，交AB的延长线于点G；
(4)过D作DH∥BC，交BA的延长线于点H.
5、在同一平面内的两条直线a，b，分别根据下列的条件，写出a，b的位置关系.
(1)如果它们没有公共点，则　　　　；
(2)如果它们都平行于第三条直线，则　　　　；
(3)如果它们有且只有一个公共点，则　　　　；
(4)过平面内的同一点画它们的平行线，能画出两条，则　　　　.
【答案】(1)a∥b　(2)a∥b　(3)a和b相交　(4)a和b相交
6、如图，AD∥BC，P是AB的中点.
(1)画出线段PQ，使PQ∥AD，PQ与DC交于Q点；
(2)线段PQ与BC平行吗？为什么？
(3)测量线段DQ，CQ，判断DQ和CQ是否相等？测量AD，BC，PQ，判断AD＋BC＝2PQ是否成立？
【答案】解　(1)线段PQ如图所示.
(2)PQ与BC平行，理由如下：因为AD∥BC，PQ∥AD，所以PQ∥BC(如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行).
(3)经测量DQ＝CQ，AD＋BC＝2PQ成立.
立体图形中平行的棱或面
1、如图所示，在长方体中，与棱既不相交也不平行的棱有（ ）
A.2条 B.3条 C.4条 D.5条
【答案】C
【解析】由题意得：
与棱AD既不相交也不平行的棱有：BB1，CC1，A1B1，C1D1
故选C.
2、在长方体ABCD﹣ABCD中，下列棱中，既与棱CC1异面又与棱BC平行的是（　　）
A.棱AD B.棱AB C.棱AA1 D.棱A1B1
【答案】A
【解析】观察图象可知，既与棱CC1异面又与棱BC平行的是A1D1，AD．
3、在长方体ABCD－EFGH中，与面ABCD平行的棱共有(　　)
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
【答案】D
【解析】∵面EFGH与面ABCD平行；∴EF、FG、GH、EH四条棱与面ABCD平行．故选D.
4、如图所示，在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，与棱AD平行的棱有　 　条．
【答案】3
【解析】与棱AD平行的棱有：BC，B′C′，A′D′，共有3条．
5、如图，在长方体中，与平行的棱是 ．
【答案】棱，棱，棱．
【解析】在长方体中，与平行的棱是棱，棱，棱，
故答案为：棱，棱，棱．
6、如图，在长方体ABCD﹣EFGH中，
（1）在平面DBFH中，互相平行的线段是 ，互相垂直的线段是　 ；
（2）在平面DCGH中，互相平行的线段是 ，互相垂直的线段是　 ；
（3）在长方体中，与棱HG平行的棱有 ．
【答案】解：（1）在平面DBFH中，互相平行的线段是：BD∥HF，BF∥DH，互相垂直的线段是：DB⊥BF，DB⊥DH，HF⊥DH，HF⊥BF.
（2）在平面DCGH中，互相平行的线段是：DC∥HG，CG∥DH，互相垂直的线段是：DC⊥CG，DC⊥DH，HG⊥CG，HG⊥DH.
（3）在长方体中，与棱HG平行的棱有EF，AB，CD．
平行公理
1、在同一个平面内，直线a，b相交于点P，a∥c，b与c的位置关系是(　　)
A.平行 B.相交 C.重合 D.平行或相交
【答案】B
2、如图是一个可折叠衣架，AB是地平线，当PM∥AB，PN∥AB时，就可以确定点N，P，M在同一直线上，这样判定的依据是
A.两点确定一条直线
B.同角的补角相等
C.平行于同一直线的两直线平行
D.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
【答案】D
3、已知直线EF及其外一点B，过B点作AB∥EF，过B点作BC∥EF，点A，C分别为直线AB，BC上任意一点，那么A，B，C三点一定在同一条直线上，依据是 　 　．
【答案】过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行
【解析】∵点B为直线EF外的一点，且AB∥EF，BC∥EF，
∴A，B，C三点一定在同一条直线上（过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行）.
4、根据下列语句画出图形：过三角形ABC内一点P，分别画AB，BC，AC的平行线.
【答案】解：如图所示.过点P作直线EF∥AC，直线MN∥BC，直线GH∥AB.
则直线EF，直线MN，直线GH即为所求.
平行公理的推论
1、下面推理正确的是（ ）
A.，， B.，， C.，， D.，，
【答案】C
【解析】解：A、，都和平行，应该推出的是，而非，故错误，不符合题意；
B、，与不同的直线平行，无法推出两者也平行，故错误，不符合题意；
C、，都和平行，根据“如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”可推出是，故正确，符合题意；
D、，与不同的直线平行，无法推出两者也平行，故错误，不符合题意；
故选：C．
2、下列说法中，正确的个数为（　　）
（1）过一点有无数条直线与已知直线平行；
（2）如果a∥b,a∥c,那么b∥c；
（3）如果两线段不相交，那么它们就平行；
（4）如果两直线不相交，那么它们就平行.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】A
【解析】（1）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故错误；
（2）根据平行公理的推论，正确；
（3）线段的长度是有限的，不相交也不一定平行，故错误；
（4）应该是“在同一平面内”，故错误．
正确的只有一个，故选A．
3、在同一平面内，若，则b与c的关系为（ ）
A.平行或重合 B.平行或垂直 C.垂直 D.相交
【答案】A
【解析】解：若，则或b，c重合；
故选：A．
4、如图.
（1）如果AD∥EG，AD∥FG，则点E，G，F在同一条直线上，理由是　 　；（2）如果AD∥EF，BC∥EF，则AD与BC的位置关系是　 　，理由是　 ．
【答案】（1）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
（2）AD∥BC；平行于同一直线的两直线互相平行
5、如图所示，AB∥DC，在AD上取一点E，过E作EF∥AB交BC于F，试说明EF与DC的位置关系，并解释原因．
【答案】解：∵AB∥DC，EF∥AB，
∴EF∥DC（平行公理的推论）．
6、在如下图所示的正方形网格中，点A，B，C，D在正方形网格的格点（网格线交点）上，请按要求画图并回答问题．
(1)过点B画直线，过点C画直线；
(2)过点D画直线；
(3)试判断直线BE与直线CF的位置关系，并说明理由．
【答案】解：（1）如图，BE，CF即为所求．
（2）如图，MN即为所求．
（3）．理由如下：因为，所以．
同位角相等两直线平行
1、如图，把AB，CD，EF三根木条钉在一起，使之可以在连接点M，N处自由旋转，若∠1＝60°，∠2＝80°，则如何旋转木条AB才能使它与木条CD平行.以下说法正确的是(　　)
小明说：把木条AB绕点M逆时针旋转20°；
小刚说：把木条AB绕点M顺时针旋转150°.
A.小明的操作正确，小刚的操作错误 B.小明的操作错误，小刚的操作正确 C.小明和小刚的操作都正确 D.小明和小刚的操作都错误
【答案】A
【解析】小明：把木条AB绕点M逆时针旋转20°，
此时∠1的度数为60°＋20°＝80°，
此时∠1＝∠2，
所以AB∥CD；
小刚：把木条AB绕点M顺时针旋转150°，
此时∠1的度数为150°－60°＝90°，
因为90°≠80°，
所以AB不平行CD.
2、如图，下列条件中能判定AC∥DE的是（　　）
A.∠1＝∠3 B.∠C＝∠BDE C.∠3＝∠A D.以上都不对
【答案】B
【解析】∵∠1＝∠3，
不能判定AC∥DE，故A不符合题意；
∵∠C＝∠BDE，
∴AC∥DE（同位角相等，两直平行），
故B符合题意；
∵∠3＝∠A，
∴AB∥DF（同位角相等，两直平行），但不能判定AC∥DE，故C符合题意；
因为前三个选项中，B选项能判定，故D不符合题意.
3、如图，，可以判断（ ）
A. B. C. D.与相交
【答案】A
【解析】解：如图，
∵，，
∴，
∴．（同位角相等，两直线平行）
故选：A．
4、如图，已知直线c与a，b分别交于点A，B，且∠1＝125°，则当∠2＝　　　　时，a∥b.
【答案】125°
【解析】因为∠3＝∠1＝125°，根据同位角相等，两直线平行可知，当∠2＝∠3＝125°时，a∥b.
5、如图，由∠1=∠B，可判定互相平行的一组直线是 ；，可判定互相平行的一组直线是 .
【答案】AD∥BC；AB∥DC.
【解析】解：∵，
∴AD∥BC（同位角相等，两直线平行）
∵，
∴（同位角相等，两直线平行）
故答案为：AD∥BC；AB∥DC.
6、如图，已知点B在AC上，BD⊥BE，∠1+∠C＝90°，问射线CF与BD平行吗？说明理由．
【答案】解：CF∥BD．理由如下：
∵BD⊥BE，
∴∠1+∠2＝90°.
∵∠1+∠C＝90°，
∴∠2＝∠C，
∴CF∥BD（同位角相等，两直线平行）．
7、已知：如图，，垂足为F，且点F在直线上，与直线相交于点H，．求证：．（请完成下面的证明过程）
证明：∵（已知），
∴ °（垂直的定义），
即 ．
又∵（已知），
∴ （ ），
∴（ ）．
【答案】证明：∵，（已知）
∴（垂直的定义）
即，
又∵，（已知）
∴（同角的余角相等），
∴（同位角相等，两直线平行）．
内错角相等两直线平行
1、如图，要得到BE∥CF，则需要条件（　　）
A.∠ABE＝∠DCF B.∠ABE＝∠BCF C.∠CBE＝∠BCF D.∠CBE＝∠DCF
【答案】C
【解析】∵∠CBE＝∠BCF，
∴BE∥CF（内错角相等，两直线平行）.
2、如图，下列利用“内错角相等，两直线平行”能判定AB∥CD或AD∥BE的条件有（　　）
（1）∠1＝∠2；
（2）∠3＝∠4；
（3）∠B＝∠5；
（4）∠D=∠5．
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】C
【解析】由图可知，由∠1＝∠2，可知AD∥BC（内错角相等，两直线平行），故（1）符合题意；
由∠3＝∠4，可知AB∥CD（内错角相等，两直线平行），故（2）符合题意；
由∠B＝∠5，可知AB∥CD（同位角相等，两直线平行），故（3）不符合题意；
由∠D＝∠5，可知AD∥BE（内错角相等，两直线平行），故（4）符合题意；
∴符合“内错角相等，两直线平行”能判定AB∥CD或AD∥BE的条件有3个.
3、如图填空：
(1)∵∠1＝∠A(已知)，
∴______________(　　　　　　　　　　)；
(2)∵∠1＝∠D(已知)，
∴______________(　　　　　　　　　　)；
(3)∵______＝∠F(已知)，
∴AC∥DF(　　　　　　　　　　　　　)．
【答案】(1)AB∥DE；内错角相等，两直线平行
(2)AC∥DF；内错角相等，两直线平行
(3)∠ACB；同位角相等，两直线平行
【解析】(1)∵∠1＝∠A(已知)，∴AB∥DE(内错角相等，两直线平行)；
(2)∵∠1＝∠D(已知)，∴AC∥DF(内错角相等，两直线平行)；
(3)∵∠ACB＝∠F(已知)；∴AC∥DF(同位角相等，两直线平行)．
4、已知，如图，∠1＝∠2，∠3＝∠E，∠BAE＝180°﹣∠DFE．求证：AD∥BE．
【答案】解：∵∠CFE＝180°﹣∠DFE，
∠BAE＝180°﹣∠DFE，
∴∠CFE＝∠BAE，
∵AB∥CD，
∴∠1＝∠3，
∵∠3＝∠E，∠1＝∠2，
∴∠2＝∠E，
∴AD∥BE（内错角相等，两直线平行）.
5、如图所示，已知∠1＝∠2，AC平分∠DAB，试说明DC∥AB.
【答案】证明：∵AC平分∠DAB，
∴∠1＝∠CAB，
∵∠1＝∠2，
∴∠2＝∠CAB，
∴CD∥AB.
同旁内角互补两直线平行
1、如图，下列判断中，错误的是（　　）
A.因为∠A+∠2＝180°，所以EF∥BC
B.因为∠B+∠BEF＝180°，所以EF∥BC
C.因为∠B＝∠2，所以EF∥BC
D.因为∠C＝∠1，所以EF∥BC
【答案】A
【解析】A项，由∠A+∠2＝180°，判定AD∥EF，故A符合题意；
B项，∠B+∠BEF＝180°，由同旁内角互补，两直线平行判定EF∥BC，故B不符合题意；
C项，∠B＝∠2，由同位角相等，两直线平行判定EF∥BC，故C不符合题意；
D项，∠C＝∠1，由同位角相等，两直线平行判定EF∥BC，故D不符合题意．
2、如图，已知相交于点，能判定AB∥EF的是（ ）
A.当时，.
B.当时，.
C.当时，.
D.当时，.
【答案】A
【解析】解：A、由可得AB∥DC，由，可得DC∥EF，再利用平行公理的推论可得，原说法正确，符合题意；
B、由可得AC∥BF，由，可得BF∥DE，再利用平行公理的推论可得，但不能得到AB∥EF，故原说法错误，不符合题意；
C、当时，能判定AB∥BF，但不能判定.原说法错误，不符合题意；
D、当时，能判定BF∥DE，但不能判定.原说法错误，不符合题意；
故选：A．
3、如图，下列说法正确的是（ ）

A.若，则
B.若，则
C.若，则
D.若，则
【答案】C
【解析】解：A、如图，，能判定AB∥DF，但不能判断，所以选项A错误，不符合题意；
B、若，能判定AB∥DF，但不能判断，所以选项A错误，不符合题意；
C、，能判定，所以选项C正确，符合题意；
D、，不能判定.所以选项D错误，不符合题意．
故选C．
4、如图，填空：
(1)由∠ABD＝∠CDB，得______∥______；
(2)由∠CAD＝∠ACB，得______∥______；
(3)由∠CBA＋∠BAD＝180°，得______∥______.
【答案】(1)AB；CD
(2)AD；BC
(2)AD；BC
【解析】(1)∵∠ABD＝∠CDB，∴AB∥CD；
(2)∵∠CAD＝∠ACB，∴AD∥BC；
(3)∵∠CBA＋∠BAD＝180°，∴AD∥BC.
5、如图，已知∠ACD＝70°，∠ACB＝60°，∠ABC＝50°.求证：AB∥CD.
【答案】证明：∵∠ACD＝70°，∠ACB＝60°，∴∠BCD＝∠ACB＋∠ACD＝130°，∵∠ABC＝50°，∴∠ABC＋∠BCD＝180°，∴AB∥CD.
6、如图，在三角形ABC中，D，E分别为边AB，AC上的点，H，G为边BC上两点，连接DG，EH，DG与EH交于点F，已知∠1+∠2＝180°，试说明：AB∥EH．
【答案】解：∵∠1+∠2＝180°，∠1＝∠3，
∴∠3+∠2＝180°，
∴AB∥EH．
同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行
1、直线a，b，c在同一平面内，下列说法：①若，，则；②若，，，则；③若，，则；④若a与b相交，b与c相交，则a与c相交其中正确的有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】C
【解析】解：①如果，，则，故①说法正确；
②如果，，，则，故②说法正确；
③如果，，则，故③说法正确；
④如果a与b相交，b与c相交，那么a与c不一定相交，故④说法错误，
∴正确的有3个，
故选：C．
2、如图，根据图中作图痕迹，下列说法错误的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】、根据作图可知：，，
∴∠D=∠FCB=90°（垂直定义）
∴(同位角相等，两直线平行)
故此选项正确，不符合题意；
、根据作图可知：，，
∴，，
∴，，
∴，故此选项正确，不符合题意；
、根据作图可知：，
根据垂线段最短可知：，故此选项正确，不符合题意；
、∵，
∴，故此选项错误，符合题意；
故选：．
3、已知直线、、在同一平面内，则下列说法错误的是（ ）
A.如果，，那么
B.，，那么
C.如果与相交，与不相交，那么与一定相交
D.如果与相交，与相交，那么与一定相交
【答案】D
【解析】解：A．如果，，那么，说法正确，故A不符合题意；
B．，，那么，说法正确，故B不符合题意；
C．如果与相交，与不相交，那么与一定相交，说法正确，故C不符合题意；
D．如果a与b相交，b与c相交，那么a与c不一定相交，原说法错误，故D符合题意．
故选：D．
4、木工师傅用角尺画出工件边缘的两条垂线，就可以再找出两条平行线，如图所示， ，这是依据 的道理．由此得出推论：在同一平面内， ．如图，几何语言表述为： ∴ ．
【答案】同位角相等，两直线平行；垂直于同一直线的两条直线互相平行
【解析】解： ，
，（同位角相等，两直线平行）
由此得出推论：
在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行，
几何语言表述为：
，
∴，
故答案为：同位角相等，两直线平行；垂直于同一直线的两条直线互相平行；．
5、在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相 ．（“平行”或“不平行”，填入其中一个）
【答案】平行
【解析】解：如图，，，说明．
理由如下：，（已知），
∴，（垂直的定义），
∴（等量代换），
∴（同位角相等，两直线平行）．
故答案为：平行．
6、在四边形ABCD中，CF⊥BD于点F，过点A作AG⊥BD，分别交BD，BC于点E，G，若∠DAG＝∠BCF，求证：AD∥BC．
【答案】证明：∵CF⊥BD，AG⊥BD，
∠BFC=∠BEG=90°（垂直定义）
∴CF∥AG（同位角相等，两直线平行）
∴∠BGA=∠BCF，
∵∠DAG=∠BCF，
∴∠BGA=∠DAG，
∴AD∥BC．
7、如图，已知点E在BC上，BD⊥AC，EF⊥AC，垂足分别为D，F，点M，G在AB上，GF交BD于点H，∠BMD+∠ABC＝180°，∠1＝∠2＝∠CBD，求证：MDGF．
下面是小颖同学的思考过程，请补全证明过程并在括号内填上证明依据．
证明：∵BD⊥AC，EF⊥AC，
∴∠BDC＝90°，∠EFC＝90°（①　　）．
∴∠BDC＝∠EFC（等量代换）．
∴BDEF（同位角相等，两直线平行）．
∵∠1＝∠2＝∠CBD（已知）．
∴∠1＝∠CBD（等量代换）．
∴③　　（内错角相等，两直线平行）．
∵∠BMD+∠ABC＝180°（已知），
∴MDBC（④　　）．
∴MDGF（⑤　　）．
【答案】证明：∵BD⊥AC，EF⊥AC，
∴∠BDC＝90°，∠EFC＝90°（垂直的定义）．
∴∠BDC＝∠EFC（等量代换）．
∴BD∥EF（同位角相等，两直线平行）．
∵∠1＝∠2＝∠CBD（已知）．
∴∠1＝∠CBD（等量代换）．
∴GF∥BC（内错角相等，两直线平行）．
∵∠BMD+∠ABC＝180°（已知），
∴MD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）．
∴MD∥GF（平行于同一直线的两直线平行）．
故答案为：垂直的定义；GF∥BC；同旁内角互补，两直线平行；平行于同一直线的两直线平行．
平行线判定方法的综合
1、老师在黑板上画出如图所示的图形，要求学生添加条件，使得AB∥CD，随后抽取了四名学生的答案，不能得到AB∥CD的是（　　）
甲：；
乙：∠1＝∠2；
丙：∠B＝∠DCE；
丁：∠3＝∠4．
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
【答案】D
【解析】∵∠B+∠BCD＝180°，
∴AB∥CD，
故甲不符合题意；
∵∠1＝∠2，
∴AB∥CD，
故乙不符合题意；
∴∠B＝∠DCE，
∴AB∥CD，
故丙不符合题意；
∵∠3＝∠4，
∴AD∥BC，
故丁符合题意.
2、如图，下列条件：①∠1＝∠2，②∠3+∠4＝180°，③∠5+∠6＝180°，④∠2＝∠3，⑤∠7＝∠2+∠3，⑥∠7+∠4﹣∠1＝180°中，能判断直线a∥b的有（　　）
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
【答案】C
【解析】①由∠1＝∠2，可得a∥b；
②由∠3+∠4＝180°，可得a∥b；
③由∠5+∠6＝180°，∠3+∠6＝180°，可得∠5＝∠3，即可得到a∥b；
④由∠2＝∠3，不能得到a∥b；
⑤由∠7＝∠2+∠3，∠7＝∠1+∠3可得∠1＝∠2，即可得到a∥b；
⑥由∠7+∠4﹣∠1＝180°，∠7﹣∠1＝∠3，可得∠3+∠4＝180°，即可得到a∥b.
3、如图所示，下列条件中，能判断AB∥CD的是（　　）
A.∠BAD=∠BCD B.∠1=∠2 C.∠BAC=∠ACD D.∠3=∠4
【答案】C
【解析】A．根据∠BAD=∠BCD，不能判断AB∥CD；
B．根据∠1=∠2，只能判断AD∥BC；
C．根据∠BAC=∠ACD，能判断AB∥CD；
D．根据∠3=∠4，不能判断AB∥CD；
故选：C．
4、如图，直线a，b被直线l所截，∠1＝60°，∠2＝120°．求证：a∥b．下面是某同学的证明过程，则①为 　 　．
证明：∵∠1＝60°，
∴∠3＝∠1＝60°（对顶角相等）．
∵∠2＝120°，
∴∠2+∠3＝120°+60°＝180°．
∴a∥b（①）．
【答案】同旁内角互补，两直线平行
【解析】证明：∵∠1＝60°，
∴∠3＝∠1＝60°（对顶角相等），
∵∠2＝120°，
∴∠2+∠3＝120°+60°＝180°，
∴a∥b（同旁内角互补，两直线平行）．
5、如图，直线AB，CD被直线AE所截．请添加一个条件使直线AB∥CD，则该条件可以是 　 　.（用图中已标注的角或字母表示）
【答案】∠1＝∠2（答案不唯一）
【解析】∵∠1＝∠2，
∴AB∥CD．
6、如图，已知点E，D，C，F在一条直线上，∠ADE+∠BCF＝180°，BE平分∠ABC，∠ABC＝2∠E．
（1）AD与BC平行吗？请说明理由；
（2）AB与EF的位置关系如何？请说明理由．
解：（1）AD∥BC，理由如下：
∵∠ADE+∠ADF＝180°（ 　 　），
∠ADE+∠BCF＝180°（已知），
∴∠ADF＝∠　 　，
∴AD∥BC（ 　 　）．
（2）AB与EF的位置关系是：（ 　 　）．
请完成说理过程：
【答案】解：（1）AD∥BC，理由如下：
∵∠ADE+∠ADF＝180°（平角定义），
∠ADE+∠BCF＝180°（已知），
∴∠ADF＝∠BCF，
∴AD∥BC（同位角相等，两直线平行）.
（2）AB与EF的位置关系是：（平行），
请完成说理过程：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠ABE，
∵∠ABC＝2∠E，
∴∠ABE＝∠E，
∴AB∥EF（内错角相等，两直线平行）.
平行线判定方法的实际应用
1、《淮南万毕术》是世界上最早记载潜望镜原理的古书，潜望镜内部通常包含两个互相平行的平面镜，基于光的反射，可得到一组平行线．如图，这是潜望镜工作原理的示意图，它所依据的数学定理是（　　）
A.两点之间，线段最短
B.两点确定一条直线
C.内错角相等，两直线平行
D.同旁内角互补，两直线平行
【答案】C
【解析】由题意知，所依据的数学定理是内错角相等，两直线平行，
2、工人师傅对如图所示的零件进行加工，把材料弯成了一个40°的锐角，然后准备在A处第二次加工拐弯，要保证弯过来的部分与BC保持平行，弯的角度是(　　)
A.40° B.140° C.40°或140° D.50°
【答案】C
【解析】如图1，作AE∥BC，则∠CBA＝∠EAB＝40°；如图2，作AE∥BC，则∠CBA＋∠EAB＝180°，∵∠CBA＝40°，∴∠EAB＝140°，综上所述，弯的角度是40°或140°.故选C.
3、在一次数学活动课上，老师让同学们用两个大小、形状都相同的三角板画AB∥CD，并说出自己做法的依据．小乐和小诚两位同学的做法如下：
选择其中一个同学的做法说明其依据：__________________________________．
【答案】内错角相等，两直线平行（答案不唯一）
【解析】选择小乐的作法：
∵∠BAD=∠CDA=30°，
∴AB∥CD．
∴小乐画AB∥CD，依据是内错角相等，两直线平行．
故答案为：内错角相等，两直线平行（答案不唯一）.
4、如图，小明利用两块相同的三角板，分别在三角板的边缘画直线AB和CD，并由此判定AB∥CD，这是根据 　 　，两直线平行．
【答案】内错角相等
【解析】利用两块相同的三角板，分别在三角板的边缘画直线AB和CD，
直线BC把AB和CD所截，
此时两块相同的三角板的最小两个角的位置关系正好是内错角，
所以这是根据内错角相等，来判定两直线平行的．
5、如图，某人骑自行车自A处沿正东方向前进，至B处后，行驶方向改为东偏南15°，行驶到C处仍按正东方向行驶，画出继续行驶的路线.
【答案】解：如图，继续行驶的路线是按箭头方向行驶．
∵要使行驶方向是正东方向，得保证CD与AB平行，
∴当∠BCD=165°时，根据同旁内角互补，两直线平行，可判定CD方向是正东方向.
6、如图，一块三角形土地ABC，D是AB上一点，现要求过点D割出一块小的三角形ADE，使DE∥BC，请作出DE.
【答案】解：如图．过点D作∠ADE＝∠B即可，通过同位角相等，可得两直线平行．
两直线平行同位角相等
1、如图，AB∥CD，AC⊥AD，若∠1＝153°，则∠2的度数为（　　）
A.67° B.63° C.43° D.27°
【答案】B
【解析】∵AC⊥AD，
∴∠CAD＝90°，
∵AB∥CD，
∴∠1＝∠2+∠CAD，（两直线平行，同位角相等）
∴∠2＝∠1﹣∠CAD＝153°﹣90°＝63°．
2、如图，直线a∥b，直线c与直线a，b分别交于点D，E，射线DF⊥直线c，则图中与∠1互余的角有(　　)
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
【答案】A
【解析】∵射线DF⊥直线c，∴∠1＋∠2＝90°，∠1＋∠3＝90°，即与∠1互余的角有∠2，∠3，又∵a∥b，∴∠3＝∠5，∠2＝∠4，∴与∠1互余的角有∠4，∠5，∴与∠1互余的角有4个，故选A.
3、如图，AB∥CD，EF⊥AB于点E，EF交CD于点F，EM交CD于点M，已知∠1＝57°，则∠2的度数为（　　）
A.33° B.57° C.43° D.123°
【答案】A
【解析】如图所示，
∵AB∥CD，∠1＝57°，
∴∠3＝∠1＝57°（两直线平行，同位角相等），
∵EF⊥AB，
∴∠AEF＝∠3+∠2＝90°，
∴∠2＝90°﹣∠3＝90°﹣57°＝33°．
4、如图，点P是∠NOM的边OM上一点，PD⊥ON于点D，∠OPD＝30°，PQ∥ON，则∠MPQ的度数是________．
【答案】60°
【解析】∵PD⊥ON于点D，∠OPD＝30°，∴Rt△OPD中，∠O＝60°，又∵PQ∥ON，∴∠MPQ＝∠O＝60°，故答案为60°.
5、如图，已知，如果，是否垂直于，试说明理由．
【答案】解：垂直，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴（两直线平行，同位角相等）.
∵，
∴（两直线平行，同位角相等）.
∴（垂直定义）．
两直线平行内错角相等
1、图1为我国高铁座位的实物图，图2是将其抽象得到的图形，若OA∥CD，∠AOB＝100°，∠OCD＝120°.则∠BOC的度数为(　　)
A.10° B.15° C.20° D.25°
【答案】C
【解析】根据题意可得，AO∥CD，∠OCD＝120°，
∴∠AOC＝∠OCD＝120°(两直线平行，内错角相等)，
∴∠BOC＝∠AOC－∠AOB＝120°－100°＝20°.
2、如图，，，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：∵，，
∴（两直线平行，内错角相等）.
故选B．
3、如图，AB∥CD∥EF，∠A＝54°，∠C＝26°，则∠AFC＝　　　　.
【答案】28°
【解析】因为AB∥EF，∠A＝54°，
所以∠AFE＝∠A＝54°，
因为CD∥EF，∠C＝26°，
所以∠CFE＝∠C＝26°，
所以∠AFC＝∠AFE－∠CFE＝54°－26°＝28°.
4、如图，点B、F、C、E在同一条直线上，点A、D在直线的两侧，若，则∠B= ；若AC∥FD，则∠ACB= .
【答案】∠E；∠DFE．
【解析】解：∵，
∴（两直线平行，内错角相等）.
∵AC∥FD
∴∠ACB=∠DFE（两直线平行，内错角相等）.
5、如图，直线AB∥CD，E是直线CD上一点，过点E作EF⊥AE，垂足为E，交AB于点G，若∠A＝36°，求∠DEF的度数．
【答案】解：∵AB∥CD，
∴∠AEC＝∠A＝36°，
又∵EF⊥AE，
∴∠AEF＝90°，
∴∠DEF＝180°－36°－90°＝54°.
两直线平行同旁内角互补
1、如图，若AB∥CD，CD∥EF，那么∠BCE等于(　　)
A.∠1＋∠2 B.∠2＝2∠1 C.180°－∠1－∠2 D.180°－∠2＋∠1
【答案】D
【解析】∵AB∥CD，∴∠BCD＝∠1.∵CD∥EF，∴∠DCE＝180°－∠2，∴∠BCE＝∠BCD＋∠DCE＝180°－∠2＋∠1.故选D.
2、如图，直线AB，CD被直线EF所截，AB∥CD，∠1＝70°，则∠2的度数为（　　）
A.100° B.110° C.120° D.140°
【答案】B
【解析】如图，
∵∠1＝70°，
∴∠3＝∠1＝70°，
∵AB∥CD，
∴∠3+∠2＝180°(两直线平行，同旁内角互补)，
∴∠2＝180°﹣∠3＝180°﹣70°＝110°.
3、如图，AB∥CD，点E在AB上，点F在CD上，如果∠CFE∶∠EFB＝3∶4，∠ABF＝40°，那么∠BEF的度数为______．
【答案】60°
【解析】∵AB∥CD，∠ABF＝40°，∴∠CFB＝180°－∠B＝140°，又∵∠CFE∶∠EFB＝3∶4，∴∠CFE＝37∠CFB＝60°，∵AB∥CD，∴∠BEF＝∠CFE＝60°，故答案为60°.
4、如图，已知AB∥CD，∠B＝65°，CM平分∠BCE，∠MCN＝90°，求∠DCN的度数．
【答案】解 ∵AB∥CD，
∴∠B＋∠BCE＝180°(两直线平行，同旁内角互补)，
∵∠B＝65°，
∴∠BCE＝115°，
∵CM平分∠BCE，
∴∠ECM＝12∠BCE＝57.5°，
∵∠ECM＋∠MCN＋∠NCD＝180°，∠MCN＝90°，
∴∠NCD＝180°－∠ECM－∠MCN＝180°－57.5°－90°＝32.5°.
平行线性质的综合
1、如图所示，点D，E分别在BA，BC上，∠ADF＝α度，∠CEG＝β度，∠ABC＝γ度，DF∥EG，则(　　)
A.α＋β＋γ＝180 B.α＋β＝γ C.α＋β＋γ＝90 D.2α＋2β－γ＝45
【答案】B
【解析】如图所示，过B作BH∥DF，则根据DF∥EG，可得BH∥EG，∵DF∥BH，∴∠α＝∠1，∵BH∥EG，∴∠β＝∠2，∴∠α＋∠β＝∠1＋∠2＝∠ABC＝∠γ，即α＋β＝γ，故选B.
2、如图，直线 分别交 ，于点，，平分，，若 ，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
故选：A．
3、如图，，于E，交于F，已知，则 ．

【答案】/50度
【解析】解：∵，
∴（两直线平行，同位角相等），
∵于E，
∴，
故答案为：．
4、如图，a∥b，直线c，d是截线.∠1=80°，∠5=70°，∠2，∠3，∠4各是多少度？为什么？
【答案】解：∠2=80°，∠3=110°，∠4=110°，理由如下：
∵a∥b，∠1=80°，∠5=70°，
∴∠1=∠2=80°，∠3+∠5=180°，∠3=∠4，
∴∠3=∠4=180°-∠5=110°．
5、如图，AB∥CD，AC∥DE.
(1)试说明：∠1＋∠CDE＝180°；
(2)若AD⊥CD，∠1＝40°，求∠ADE的度数.
【答案】解　(1)∵AB∥CD，
∴∠1＝∠2(两直线平行，内错角相等)，
∵AC∥DE，
∴∠CDE＋∠2＝180°(两直线平行，同旁内角互补)，
∴∠1＋∠CDE＝180°.
(2)∵AD⊥CD，
∴∠ADC＝90°，
∵AB∥CD，
∴∠DAB＝∠ADC＝90°，
∵∠1＝40°，
∴∠CAD＝50°，
∵AC∥DE，
∴∠ADE＝∠CAD＝50°(两直线平行，内错角相等).
平行线性质与30°60°45°三角板的综合
1、已知直线a∥b,将一块直角三角板按如图所示的方式摆放．若∠1=40°，则∠2的度数是（　　）
A.40° B.50° C.140° D.150°
【答案】C
【解析】∵a∥b,∠1=40°，
∴∠3=∠1=40°．
∵∠3+∠2=180°，
∴∠2=180°-40°=140°．
故选C．
2、把一块直尺与三角板如图放置，若∠1＝40°，则∠2的度数为(　　)
A.130° B.140° C.12° D.125°
【答案】A
【解析】如图，∵∠3＝∠1＋90°，而∠1＝40°，∴∠3＝130°，∵a∥b，∴∠2＝∠3＝130°.故选A.
3、将一直角三角板与两边平行的纸条如图放置．下列结论：
（1）∠1=∠2；（2）∠2+∠4=90°；（3）∠3=∠4；（4）∠4+∠5=180°；（5）∠1+∠3=90°．
其中正确的共有（　　）
A.5个 B.4个 C.3个 D.2个
【答案】A
【解析】如图，根据题意得：AB∥CD，∠FEG=90°，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，∠4+∠5=180°，∠2+∠4=90°；
故（1），（2），（3），（4）正确；
∴∠1+∠3=90°．
故（5）正确．
∴其中正确的共有5个．
故选：A．
4、一副三角板按如图所示方式叠放，两三角板的斜边互相平行，则 等于 ．

【答案】/105度
【解析】过点E作，
如图，由题可知，，
又∵两三角板的斜边互相平行，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
5、如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当时， ．

【答案】29
【解析】
∵
直尺的两边平行
故答案为：29．
6、在数学实践活动课上，小亮同学利用一副三角尺探索与研究共直角顶点的两个直角三角形中的位置关系与数量关系．（其中∠A=30°，∠B=60°，∠C=∠D=45°）
（1）将三角尺如图1所示叠放在一起．
①∠AOD与∠BOC大小关系是 ，依据是 ．
②∠BOD与∠AOC的数量关系是 ．
（2）小亮固定其中一块三角尺△COD不变，绕点O顺时针转动另一块三角尺，从图2的OA与OC重合开始，到图3的OA与OC在一条直线上时结束探索△AOB的一边与△COD的一边平行的情况．
①求当AB∥CD时，如图4所示，∠AOC的大小；
②直接写出∠AOC的其余所有可能值．
【答案】解 （1）①∵∠AOB=∠COD=90°，
∴∠AOC+∠AOD=90°，∠AOC+∠BOC=90°，
∴∠AOD=∠BOC，（同角的余角相等），
故答案为：相等，同角的余角相等；
②∠AOC与∠BOD互补．
∵∠AOB=∠COD=90°，
∴∠AOD+∠BOD+∠BOD+∠BOC=180°．
∵∠AOD+∠BOD+∠BOC=∠AOC，
∴∠AOC+∠BOD=180°，
即∠AOC与∠BOD互补，
故答案为：互补；
（2）①如图，过点O作OE∥AB，则OE∥AB∥CD，
∵OE∥AB∥CD，
∴∠A=∠AOE=30°，∠C=∠COE=45°，
∴∠AOC=∠AOE+∠COE=30°+45°=75°；
②当AB∥OC时，如图，
此时∠AOC=∠A=30°；
当OA∥CD时，如图，
此时，∠AOC=∠C=45°；
当AB∥CD时，
由①得，∠AOC=75°；
当AB∥OD时，如图，
此时，∠BOD=∠B=60°，
∴∠AOC=360°-90°-90°-60°=120°；
当OB∥CD时，如图，
此时，∠BOD=∠D=45°，
∴∠AOC=360°-90°-90°-45°=135°.
7、[问题背景]
在数学综合与实践活动中，数学兴趣小组的活动主题是《关于三角板的数学思考》，
[实践操作]
（1）小明将一副三角板按如图1所示的方式放置，使三角板ADE的直角顶点E落在BC上，已知∠DAE=60°，∠B=∠C=45°，且AD∥BC，则∠CAE的度数为多少？
（2）如图2，小红将一个三角板ABC放在一组直线MN与PQ之间（其中∠B=∠ACB=45°），并使直角顶点A在直线MN上，顶点C在直线PQ上，现测得∠MAB=35°，∠PCB=10°，请判断直线MN与PQ是否平行，并说明理由；
（3）现将三角板ABC按图3方式摆放（其中∠B=∠ACB=45°），使顶点C在直线MN上，直角顶点A在直线PQ上，若MN∥PQ，请写出∠PAB与∠MCA之间的关系式，并说明理由．
【答案】解：（1）∵AD∥BC，
∴∠DAB=∠ABC=45°，
∴∠BAE=∠DAE-∠DAB=60°-45°=15°，
∴∠CAE=∠BAC-∠BAE=90°-15°=75°.
（2）MN∥PQ.
理由如下：
∵∠MAB=35°，∠BAC=90°，
∴∠MAC=35°+90°=125°，
∵∠PCB=10°，∠ACB=45°，
∴∠ACP=10°+45°=55°，
∴∠MAC+∠ACP=125°+55°=180°，
∴MN∥PQ.
（3）∠PAB-∠MCA=90°．
理由如下：
∵MN∥PQ，
∴∠MCA=∠CAQ，
∵∠BAC=90°，
∴∠CAQ+∠BAQ=90°，
∴∠MCA+∠BAQ=90°，
∴∠BAQ=90°-∠MCA，
又∵∠PAB+∠BAQ=180°，
∴∠PAB-∠MCA=90°．
平行线性质的实际应用
1、斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路．某数学兴趣小组为了验证斑马线是由若干条平行线组成的，在保证安全的前提下，按照如图方式分别测出∠1=∠2=85°，这种验证方法的数学依据是（　　）
A.两直线平行，同位角相等
B.同位角相等，两直线平行
C.内错角相等，两直线平行
D.同旁内角互补，两直线平行
【答案】B
【解析】∵∠1=∠2=85°，
∴斑马线互相平行．
故选：B．
2、如图是一款手推车的平面示意图，其中AB∥CD，∠1=24°，∠3=148°，则∠2的度数为（　　）度．
A.56 B.66 C.98 D.104
【答案】A
【解析】如图，在∠2处作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴EF∥AB∥CD，
∵EF∥AB，
∴∠BHE+∠HEF=180°，
∵EF∥CD，
∴∠FED=∠1，
∵∠BHE=∠3，
∴∠2=∠HEF+∠FED=180°-∠BHE+∠1=180°-∠3+∠1=56°，
故选：A．
3、如图是一款儿童小推车的示意图，若AB∥CD，∠1＝32°，∠2＝74°，则∠3的度数为
A.42° B.41° C.40° D.38°
【答案】A
【解析】∵AB∥CD，∠1＝32°，
∴∠A＝∠1＝32°，
∵∠2＝74°，
∴∠AEF＝180°－∠2＝106°，
∴∠3＝180°－∠A－∠AEF＝42°.
4、如图，A、B之间是一座山，一条高速公路要通过A、B两点，在A地测得公路走向是北偏西111°32′.如果A、B两地同时开工，那么在B地按________________方向施工，才能使公路在山腹中准确接通．
【答案】北偏东68°28′
【解析】在B地按北偏东68°28′施工，就能使公路在山腹中准确接通．∵指北方向相互平行，A、B两地公路走向形成一条直线，∴这样就构成了一对同旁内角，∴∠A＋∠B＝180°，(两直线平行，同旁内角互补)，∴可得在B地按北偏东180°－111°32′＝68°28′施工．故答案为北偏东68°28′.
5、光线在不同介质中的传播速度不同，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，当，时，则（1） ，（2） ．
【答案】58；135
【解析】解：（1）如图所示，，光线在空气中也平行，

∴
∵
∴；
（2）∵，
∴
∵
∴．
故答案为：58，135．
6、货轮在南沙群岛发生故障，南沙海上搜救中心接到险情报告后立即派出海洋救助船前往执行任务，海洋救助船从O点出发向北偏西方向行驶到点A时，接到货轮因空载在飘移的消息，于是向左转继续航行．利用直尺画出大致方位图，并求出此时海洋救助船的航行方向是什么？
【答案】解：过点作东西方向的直线，如图，
根据题意可知：，
∴南偏西.
平行线性质与判定的综合
1、如图，直线a，b被直线c，d所截，∠1＝60°，∠2＝60°，∠3＝100°，则∠4的大小是（　　）
A.120° B.100° C.80° D.60°
【答案】B
【解析】∵∠1＝60°，∠2＝60°，
∴∠1＝∠2，
∴a∥b，
∴∠3＝∠4，
∵∠3＝100°，
∴∠4＝100°．
2、如图所示，若∠1=∠2，则下列结论中，正确的是（　　）
①AB∥CD；②AD∥BC；③∠3=∠4；④∠B=∠BCD；⑤∠B+∠BCD=180°．
A.①⑤ B.②③⑤ C.①② D.①④
【答案】A
【解析】∵∠1=∠2，
∴AB∥DE，
∴∠B+∠BCD=180°．
∴正确的结论有①⑤．
故选：A．
3、如图，直线l1和l2被直线l3和l4所截，∠1＝∠2＝130°，∠3＝75°，则∠4的度数为（　　）
A.75° B.105° C.115° D.130°
【答案】B
【解析】如图，
∵∠1＝∠2＝130°，
∴l1∥l2，
∴∠5＝∠3＝75°，
∵∠5+∠4＝180°，
∴∠4＝180°﹣∠5
＝180°﹣75°
＝105°.
4、如图是纸风车的示意图，AC和BD的交点在风车杆上，若∠A＝∠C＝87°，∠B＝56°，则∠D的度数为　　　　　　　.
【答案】56°
【解析】因为∠A＝∠C＝87°，
所以AB∥CD，
所以∠D＝∠B，
因为∠B＝56°，
所以∠D＝56°.
5、如图1，直线MN与直线AB，CD分别交于点E，F，∠1+∠2＝180°．
（1）求证：AB∥CD；
（2）如图2，在（1）的条件下，∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，延长EP交CD于点G，点H是MN上一点，且GH⊥EG，求证：PF∥GH．
（3）如图3，在（2）的条件下，连接PH，Q是EF上一点，且∠HPQ＝45°，若∠PHG＝15°，请直接写出∠QPE的度数（不需要写过程）．
【答案】（1）证明：∵∠1+∠2＝180°，∠2＝∠CFE，∠1＝∠AEF，
∴∠AEF+∠CFE＝180°，
∴AB∥CD.
（2）证明：由（1）知AB∥CD，
∴∠BEF+∠EFD＝180°，
又∵∠BEF 与∠EFD的角平分线交于点P，
∴，
∴∠EPF＝90°，即EG⊥PF，
∵GH⊥EG，
∴PF∥GH.
（3）解：∵GH⊥EG，
∴∠PGH＝90°，
∵∠PHG＝15°，
∴∠HPG＝75°，
∵∠HPQ＝45°，∠QPE+∠HPQ+∠HPG＝180°，
∴∠QPE＝60°．
6、如图所示，已知∠D＝∠A，∠B＝∠FCB，试问ED与CF平行吗？试说明理由.
【答案】解　ED∥CF.
理由：因为∠D＝∠A，所以AB∥DE(内错角相等，两直线平行).
因为∠B＝∠FCB，所以AB∥CF(内错角相等，两直线平行).
所以ED∥CF.
用平行线性质与判定解决拐角问题
1、如图，AB∥ED，∠B＋∠C＋∠D等于(　　)
A.180° B.360° C.540° D.270°
【答案】B
【解析】如图，过C点作直线CF∥AB，
因为AB∥ED，
所以CF∥ED，
所以∠B＋∠BCF＝180°，∠FCD＋∠D＝180°，
所以∠B＋∠BCF＋∠FCD＋∠D＝360°，
即∠B＋∠BCD＋∠D＝360°.
2、如图，AB∥CD，∠ABE＝125°，∠C＝30°，则∠α等于(　　)
A.70° B.75° C.80° D.85°
【答案】D
【解析】如图，作EF∥AB，
∵AB∥EF，AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠B＋∠BEF＝180°，∠C＝∠CEF，
∵∠ABE＝125°，∠C＝30°，
∴∠BEF＝55°，∠CEF＝30°，
∴∠BEC＝55°＋30°＝85°.
3、如图，直线AB∥CD，若∠ABE＝30°，∠BEC＝100°，则∠ECD的度数为　 　．
【答案】110
【解析】如图，过点E作EF∥AB，
∵∠ABE＝30°，
∴∠BEF＝∠ABE＝30°，
∵∠BEC＝100°，
∴∠CEF＝∠BEC﹣∠BEF＝100°﹣30°＝70°，
∵AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠ECD＝180°﹣70°＝110°．
4、如图①：MA1∥NA2，图②：MA1∥NA3，图③：MA1∥NA4，图④：MA1∥NA5，…，按此规律，则在第100个图中：∠A1＋∠A2＋∠A3＋…＋∠A101＝___________.
【答案】18 000°
【解析】如图①中，∠A1＋∠A2＝180°＝1×180°，如图②中，∠A1＋∠A2＋∠A3＝360°＝2×180°，如图③中，∠A1＋∠A2＋∠A3＋∠A4＝540°＝3×180°，…，第n个图中，∠A1＋∠A2＋∠A3＋…＋∠An＋1＝n·180°，∴第100个图中，∠A1＋∠A2＋∠A3＋…＋∠A101＝100×180°＝18 000°.故答案为18 000°.
5、如图，在图a、图b、图c中都有直线m∥n，
(1)在图a中，∠2和∠1、∠3之间的数量关系是__________________．
(2)猜想：在图b中，∠1、∠2、∠3、∠4之间的数量关系是____________________．
(3)猜想：在图c中，∠2、∠4和∠1、∠3、∠5的数量关系式是____________________．
【答案】解：(1)如图，过∠2的顶点作m∥a，∵m∥n，∴a∥m∥n，∴∠4＝∠1，∠5＝∠3，∵∠2＝∠4＋∠5，∴∠2＝∠1＋∠3；
(2)猜想：∠2＋∠4＝∠1＋∠3；
(3)∠2＋∠4＝∠1＋∠3＋180°－∠5.
6、（1）问题发现：如图①，直线，E是与之间的一点，连接，可以发现．
请把下面的证明过程补充完整：
证明：过点E作，
∵（已知），（辅助线的作法），
∴（ ）
∴．（ ）
∵，
∴ （同理），
∴ （等式性质）
即．
（2）拓展探究：如果点E运动到图②所示的位置，其他条件不变，猜想：的关系，并说明理由．
（3）解决问题：如图③，，求
【答案】（1）证明：过点E作，
∵（已知），（辅助线的作法），
∴（平行于同一条直线的两直线平行）
∴．（两直线平行，内错角相等）
∵，
∴（同理），
∴（等式性质）
即．
（2）猜想
理由为：如图②，过点E作，
∵（已知），（辅助线的作法），
∴（平行于同一直线的两直线平行），
∴，
∴
∴，
（3）解：如图③，过点E作，
∵（已知），（辅助线的作法），
∴（平行于同一直线的两直线平行），
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
用平行线性质与判定解决折叠问题
1、如图，将一条两边沿互相平行的纸带折叠，若∠2的度数为56°，则∠1的度数为（　　）
A.66° B.68° C.54° D.56°
【答案】B
【解析】如图，根据折叠的性质可知，∠3＝∠4，
∵两边沿互相平行，
∴∠2＝∠3，
∴∠2＝∠3＝∠4＝56°，
∴∠5＝180°﹣56°﹣56°＝68°，
根据对顶角相等，∠1＝∠5＝68°．
2、如图所示，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在D′、C′的位置，若∠EFB＝65°，则∠C′FB等于(　　)
A.70° B.65° C.50° D.25°
【答案】C
【解析】∵∠EFB＝65°，∴∠EFC＝115°，∵把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在D′、C′的位置，∴∠EFC′＝∠EFC＝115°，∴∠C′FB＝115°－65°＝50°，故选C.
3、如图，将一条两边沿互相平行的纸带按图折叠，则∠α的度数为　 　．
【答案】75°
【解析】如图，∵AD∥BC，
∴∠2＝∠1＝30°，
∴2α+30°＝180°，
∴α＝75°.
4、阅读下列材料，完成相应任务．
折纸中的数学
综合实践课上，老师出示如下问题：如图1，在一张正方形纸片的两边上分别有A，B两点，连接，点是正方形纸片上一点，请同学们用折纸的方法过点作的平行线．
兴趣小组作法如下：如图2，过点沿折叠纸片，使于点；在图2的基础上，展平纸片，过点沿折叠纸片，使折痕于点，得到图3；将图3中的纸片展平，得到图4，则．
任务一：下列选项中，能作为判定上述材料中的依据的有 （多选）
A.同位角相等，两直线平行
B.内错角相等，两直线平行
C.同旁内角互补，两直线平行
D.平行于同一条直线的两条直线互相平行
E．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
任务二：如图5，在长方形纸片中，．将长方形纸片沿折叠．使落在处，再将纸片沿折叠，使得落在，且，，，在同一直线上．
求证：折痕．
图5
【答案】解：任务一：如图，
∵
∴
又
∴
∵,
∴，
故选项A正确；
∵
∴，
故选项B正确；
∵
∴，
故选项C正确；
D.平行于同一条直线的两条直线互相平行，说法错误；
E．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行说法错误；
所以，能作为判定上述材料中的依据的有A，B，C；
故答案为：A，B，C；
任务二：∵
∴
由折叠得，
∴
又
∴
由折叠得，
∴，
∴，
∴．

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