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河南省九师联盟2025-2026学年高一下学期6月考数学试题（人教A版）
一、单选题
1．若一个几何体由6个面围成，则该几何体可能是（ ）
A．六棱锥 B．五棱柱 C．四棱台 D．圆台
2．复数的虚部为（ ）
A．4 B． C．3 D．
3．在中，点满足，点满足，则（ ）
A． B．
C． D．
4．已知正方形的边长为，则其水平放置的直观图的面积为（ ）
A． B． C． D．
5．已知一个三角形的三条高的长度分别为，，，则该三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
6．已知，是复数，，若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．在正三棱锥中，侧面的面积为底面的面积的，则二面角的正切值为（ ）
A． B． C． D．
8．在中，，若对任意，恒成立，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若，，，则，是异面直线
B．若，，，则
C．若，，则与可能相交
D．若，，则
10．已知的内角所对的边分别为，，，则（ ）
A．
B．的外接圆面积为
C．若，则满足条件的三角形仅有个
D．周长的最大值为
11．如图，在正四棱台中，，侧面积为，则下列说法正确的是（ ）

A．该棱台的体积为
B．点到平面的距离为
C．直线与所成角的余弦值为
D．该棱台的外接球的表面积为
三、填空题
12．已知单位向量满足，则的夹角为______．
13．如图，海平面上位于信息中心的正东方向且与相距25海里的处有一艘渔船遇险，在原地等待救援，甲船位于信息中心的南偏西方向且与相距15海里的处，现甲船以30海里/小时的速度沿直线去营救渔船，则甲船到达处需要________小时．
14．已知正方体的棱长为3，点是侧面上的一个动点（含边界），点是棱上靠近的三等分点，若，则点的轨迹长度为________．
四、解答题
15．已知复数．
(1)若复数为纯虚数，求的值；
(2)若复数在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围．
16．已知平面向量，，且．
(1)求在上的投影向量的坐标；
(2)若向量与的夹角是钝角，求实数的取值范围．
17．如图，圆锥的表面积为，是底面圆的一条直径，是的中点，，是底面圆上的两点，，劣弧的长为，．
(1)若一只蚂蚁从点出发，沿圆锥侧面爬行一圈回到点，求该蚂蚁爬行的最短路程；
(2)求证：平面．
18．如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面平面，是的中点，，，设平面交于．
(1)求证：为的中点；
(2)求证：平面平面；
(3)若二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正切值．
19．如图，的内角，，的对边分别为，，，点满足，点满足，与交于．
(1)求的值；
(2)若是锐角三角形，，，求的取值范围；
(3)若，的面积为11，求的最小值．
《河南省九师联盟2025-2026学年高一下学期6月考数学试题（人教A版）》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B A D A C B D BC AC
题号 11
答案 ABD
1．C
解析：对于A：六棱锥有1个底面+6个侧面，共个面，A错误；
对于B：棱柱总面数 = 侧面数 + 2个底面，五棱柱有5个侧面+2个底面，共个面，B错误；
对于C：棱台总面数 = 侧面数 + 2个底面，四棱台有4个侧面+2个底面，共个面，C正确；
对于D：圆台有上底面、下底面、侧面共3个面，D错误.
2．B
解析：，虚部为．
3．A
解析：
已知且，所以，
则，故A正确.
4．D
解析：由斜二测画法规则可知，其水平放置的直观图是底为4，高为的平行四边形，
所以直观图的面积为.
5．A
解析：设三角形面积为，三边长对应高分别为，
由三角形面积公式可得三边长为： ，
因为，因此是最大边，对应最大角为，
由余弦定理： ，由 得，
即最大角为锐角，因此该三角形是锐角三角形.
6．C
解析：
∵，
，
即.
7．B
解析：如图，取的中点，连接，
因为，所以，
所以即为二面角的平面角，
设，则，
由，得，所以，
则，
在中，由余弦定理得，
所以，所以，
即二面角的正切值为.
8．D
解析：以为原点，以所在的直线为轴，建立如下图所示的平面直角坐标系，
设，，，，
则，，，，
则，对任意恒成立，
又对任意恒成立，则，
则，
所以的最小值为．
9．BC
解析：对于A，由，，，可得，异面或平行，错误；
对于B，因为，，
所以，又，所以，正确；
对于C，由，，可得与相交或平行，正确；
对于D，由，，可得或相交或，错误.
10．AC
解析：对于A，由于，结合正弦定理得，
在中，有，所以，
则有，即，
又因为，，所以
又因为，所以，故A正确；
对于B，已知，，由正弦定理得，其中为外接圆的半径，
则，解得，外接圆面积，故B错误；
对于C，已知，，，
由余弦定理，代入数据得，
化简得，解得，舍去负值，则，所以只有一个正解，
因此满足条件的三角形仅有个，故C正确；
对于D，已知，，
由余弦定理，代入数据得，
化简得，
由基本不等式得，当且仅当时取等号，
则，解得，
因此周长的最大值为，故D错误.
11．ABD
解析：对于A，由已知，，
如图，于，平面于，由在上，连接，
所以正四棱台的侧面积为，
所以，
又，所以，
所以正四棱台的体积为，A正确；
对于B，把正四棱台的侧棱延长交于点得正四棱锥，分别是正四棱台上、下底中心（对角线交点），则是棱锥的高（在上），
，，
因为，所以平面是正四棱锥的中截面，所以，,
是等边三角形，，
设到平面即平面的距离为，所以，
又，,
因为，所以，解得，B正确；

对于C，取中点，连接，则与平行且相等，所以是平行四边形，所以，所以是直线与所成角或其补角，
，
，又，
在中，C错；
对于D，由正棱台性质知其外接球球心在直线上，是等腰直角三角形，，而（是的一条中位线），即，过的中点，作交直线于点，则，即为外接球球心，
，，
又，所以，
所以，所以，所以，
所以外接球表面积为，D正确．
12．/
解析：由，得，
所以，
因为，所以，
解得，
因为，所以．
13．/
解析：在中，由题意得：海里，海里，
因在南偏西，在正东，因此。
由余弦定理， ，
即，
故 得海里，
因甲船速度为30海里/小时，因此甲船到达处所需时间小时。
14．
解析：
由题意
在上，取，则
由正方体的性质可知平面，又平面，
则，
则，
即点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆在正方形内的圆弧，
如图设圆弧与交于，，
所以，则，
则弧长为
故点的轨迹长度为.
15．(1)
(2)
解析：（1）由题意可知，
因为为纯虚数，则，解得，
所以，；
（2）
，
因为在复平面内对应的点位于第四象限，所以，
解得或，
即的取值范围是．
16．(1)
(2)
解析：（1）因为，所以，解得，
所以，，，，
所以在上的投影向量为
所以在上的投影向量的坐标为．
（2），，
因为向量与的夹角是钝角，则，且与不平行，
所以，解得，
又与不平行，则，所以，
所以实数的取值范围为．
17．(1)
(2)证明：连接，，，
因为，分别为，的中点，所以，
又因为平面，平面，所以平面．
因为劣弧的长为，则，
因为，则，所以为等边三角形，
所以，所以四边形为平行四边形，所以，
又因为平面，平面，所以平面，
又因为，，平面，所以平面平面，
因为平面，所以平面．
解析：（1）由题意可知该圆锥的表面积，
又，
,
解得，，
该圆锥的侧面展开图是一个圆心角为,则
，
则该圆锥的侧面展开图是一个圆心角为，半径为的扇形，
所以该扇形的弦长为，即该蚂蚁爬行的最短路程为．
（2）略
18．(1)证明：连接，，因为四边形是矩形，所以，
又平面，平面，所以平面，
又平面，平面平面，所以，所以，
因为是的中点，所以为的中点．
(2)证明：因为，是的中点，所以，
因为平面平面，平面平面，平面，且，
所以平面，
又平面，所以，
因为，且，平面，所以平面．
因为平面，所以平面平面．
(3)
解析：（1）略
（2）略
（3）过点作，垂足为，设中点为，连接，，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，所以为直线与平面所成角，
由（1）易得，，所以四边形是平行四边形，所以，
所以为直线与平面所成角．
由（2）知平面，又平面，所以，
又，所以为二面角的平面角，即，
设，在中，由余弦定理得，解得，
所以，，，
又，所以，
所以，即直线与平面所成角的正切值为．
19．(1)
(2)
(3)6．
解析：（1）设，
由题意，，
所以，
因为，，三点共线，所以，解得，
所以．
（2）由（1）知，因为，，
所以，
由正弦定理得，所以，
因为是锐角三角形，解得，
所以，所以，
所以，
所以，即的取值范围为．
（3）由（1）可知，则，又，所以，
设，则，
在中，由余弦定理得，
因为的面积为11，则，
又，则，
因为，所以，整理得，
将其看作关于的一元二次方程，则，
解得，故的最小值为6．

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