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【50道解答题·强化训练】浙教版数学七年级下册期末总复习
1．一项工程，甲队单独完成所需天数是乙队单独完成所需天数的，且这项工程若先由乙队做45 天，剩下的再由甲、乙两队一起做，则还要54天可以完成.
（1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？
（2）已知甲队每天的施工费用为 0.82万元，乙队每天的施工费用为0.68万元，工程预算的施工费用为 100万元.拟安排甲、乙两队同时合作完成这项工程，则工程预算的施工费用是否够用？ 若够用，请说明理由；若不够用，需追加预算多少万元？
2．甲、乙两人同时解方程组甲解题看错了①中的，解得，乙解题时看错②中的，解得，试求原方程组的解．
3．如图，小红和小明两人共同解方程组
根据以上他们的对话内容，请你求出的正确值，并计算的值．
4．老师所留的作业中有这样一个分式的计算题：，甲、乙两位同学完成的过程分别如下：
老师发现这两位同学的解答都有错误：
甲同学的解答从第 　 　步开始出现错误；乙同学的解答从第 　 　步开始出现错误；
请重新写出完成此题的正确解答过程．
5．请把下列说理过程补充完整，并在括号内填上相应的根据．
如图，已知，，
请对说明理由．
理由：∵（已知）
（　　）
∴（　　）
∴ ▲ ▲ （　　）．
∴（　　）．
∵（已知）
∴（　　）
∴（　　）
∴（等量代换）
6．某一工程，在工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书．施工一天，需付甲工程队工程款2.4万元，乙工程队工程款1万元．工程领导小组根据甲，乙两队的投标书测算，有如下方案：
①甲队单独完成这项工程刚好如期完成；
②乙队单独完成这项工程要比规定日期多用12天；
③若甲，乙两队合做6天，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成．
试问：在不耽误工期的前提下，你觉得哪一种施工方案最节省工程款？请说明理由．
7．王老师在某商店购买两种商品共三次，其中有一次两种商品同时打相同折扣，其余两次按原价购买，三次购买商品的数量和总费用如下表：
　 购买商品的数量/个 购买商品的数量/个 购买总费用/元
第一次购物 3 2 560
第二次购物 5 1 840
第三次购物 6 2 832
（1）观察表格中的数据，可知王老师以折扣价购买商品是第______次；
（2）求出商品的原价；
（3）若王老师第四次去购买这两种商品，都按之前的折扣共花费了1440元，其中购买商品的数量是购买商品的数量的正整数倍，试推算王老师购买方案有几种．
8．为解决“最后一公里”的交通接驳问题，某市投放了大量公租自行车供市民使用．到2014年底，全市已有公租自行车25 000辆，租赁点600个．预计到2016年底，全市将有公租自行车50 000辆，并且平均每个租赁点的公租自行车数量是2014年底平均每个租赁点的公租自行车数量的1.2倍．预计到2016年底，全市将有租赁点多少个
9．某公司后勤部准备去超市采购牛奶和咖啡若干箱，现有两种不同的购买方案，如下表：
牛奶（箱 咖啡（箱 金额（元
方案一 20 10 1100
方案二 30 15 ____
（1）采购人员不慎将污渍弄到表格上，根据表中的数据，判断污渍盖住地方对应金额是　 　元；
（2）若后勤部购买牛奶25箱，咖啡20箱，则需支付金额1750元；
①求牛奶与咖啡每箱分别为多少元？
②超市中该款咖啡和牛奶有部分因保质期临近，进行打六折的促销活动，后勤部根据需要选择原价或打折的咖啡和牛奶，此次采购共花费了1200元，其中购买打折的牛奶箱数是所有牛奶、咖啡的总箱数的，则此次按原价采购的咖啡有箱．
10．新春佳节来临之际，某商铺用1600元购进一款畅销礼盒，由于面市后供不应求，决定再用6000元购进同款礼盒，已知第二次购进的数量是第一次的3倍，但是第二次的单价比第一次贵2元.求第一次与第二次各购进礼盒多少个？
11．如图，直线AB⊥CD，垂足为O，直线EF经过点O，∠1=30°，求∠AOF、∠AOE和∠DOE的度数．
12．甲、乙两个种子店都销售“黄金1号”玉米种子，在甲店，如果一次购买2千克以上的种子，超过2千克部分的种子价格打8折．在乙店，不论一次购买该种子的数量是多少，都不打折．
（1）如果不使用优惠方案，某人在甲店购买3千克该玉米种子和在乙店购买4千克该玉米种子共花了33元，在甲店购买9千克该玉米种子和在乙店购买10千克该玉米种子的钱一样多．如果使用优惠方案只到某一家店购买5千克该玉米种子，应到哪家店更省钱？
（2）若甲店该玉米种子的价格为5元/千克，乙店该玉米种子的价格为m元/千克（），如果某农户要购买4千克该玉米种子，那么该农户应选择哪个店更合算．
13．如图，长青化工厂与A，B两地有公路、铁路相连．这家工厂从A地购买一批每吨1 000元的原料运回工厂，制成每吨8 000元的产品运到B地．公路运价为1. 5元/（t·km），铁路运价为1.2元/（t·km），这两次运输共支出公路运费15000元，铁路运费97 200元．这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？
14． 已知方程 ．
（1） 用含 的代数式表示 ．
（2） 若 ， 则 　 　；若 ， 则 　 　
（3） 请你再写出方程 的三个整数解．
15． 欧拉是历史上享誉全球的最伟大的数学家之一，他不仅在高等数学各个领域作出杰出贡献，也在初等数学中留下了不凡的足迹．设a，b，c为两两不同的数，称为欧拉分式．
（1）写出对应的表达式；
（2）化简对应的表达式．
16．如图，分别与、相交于点、点，，，则与平行吗？请说明理由．
17．已知关于 ， 的方程组 和 的解相同，求 的值.
18．如图，已知AB∥DE∥CF，若∠ABC=80°，∠BCD=20°，求∠CDE．
19．某校倡导学生读书， 学生阅读课外书籍情况的统计表如下， 该校初中三个年级学生人数分布的扇形统计图如下， 其中八年级的学生人数为 204 ．
图书种类 频数/本 频率
科普常识 840
名人传记 816 0.34
中外名著 0.25
其他 144 0.06
（1）求该校八年级学生的人数占全校学生总人数的百分比．
（2） 求表中 的值．
（3） 该校学生平均每人读多少本课外书？
20．如图，点E在直线上，点B在直线上，如果，，那么．
填空并填写理由：
解：因为（已知）．
且（　　）．
所以（等量代换）．
所以 ▲ （　　）．
故（　　）．
又因为（已知），
所以 ▲ （等量代换）．
所以（　　）．
所以（　　）．
21．某校利用消毒液对校园进行全面消杀，初三年级先开学，这段时间用掉了120瓶消毒液，在初一、初二年级陆续开学后，平均每天比原来多用4瓶消毒液，这样120瓶消毒只能用原来天数的一半，求原来平均每天用掉多少瓶消毒液？
22．某年级组织学生参加夏令营活动， 本次夏令营分为甲、乙、丙三组进行活动．下面两幅统计图反映了学生报名参加夏令营的情况， 请你根据图中的信息回答下列问题：
（1）该年级报名参加本次活动的总人数为　 　 名；
（2）图 2 中， 报名参加甲组的人数的百分比是　 　；
（3）请你补全图 1 中的条形统计图．
23．如图，已知，．
（1）判断与的位置关系，并说明理由；
（2）判断与的位置关系，并说明理由；
（3）若平分，于点，，求的度数．
24．如图
（1）如图1，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB．过D作EFBC交AB于E，交AC于F，请说明EF＝BE＋CF的理由．
（2）如图2，BD平分∠ABC，CD是△ABC中∠ACB的外角平分线，若仍然过点D作EFBC交AB于E，交AC于F，第（1）题的结论还成立吗？如果成立，请说明理由；如果不成立，你能否找到EF与BE、CF之间类似的数量关系？
25．某校准备组织七年级400名学生参加夏令营，已知满员时，用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生105人；用一辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人．
（1）1辆小客车和1辆大客车都坐满后一次可送多少名学生？
（2）若学校计划租用小客车a辆，大客车b辆，一次送完，且恰好每辆车都坐满．
①请你设计出所有的租车方案；②若小客车每辆需租金200元，大客车每辆需租金380元，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租金．
26．甲种电影票每张20元，乙种电影票每张15元，若购买甲乙两种电影票共40张，恰好用去720元，求甲、乙两种电影票各买了多少张？
27．疫情期间为保护学生和教师的健康，某学校储备“抗疫物资”，用19000元购进甲、乙两种医用口罩共计900盒，甲、乙两种口罩的售价分别是20元/盒，25元/盒．
（1）求甲、乙两种口罩各购进了多少盒？
（2）现已知甲、乙两种口罩的数量分别是20个/盒，25个/盒，按照市教育局要求，学校必须储备足够使用10天的口罩，该校师生共计900人，每人每天2个口罩，问购买的口罩数量是否能满足市教育局的要求？
28．李老师有一辆电动汽车，为了充电方便，他安装了家庭充电桩.该充电桩峰时充电的电价为0.5元/度，谷时充电的电价为0.3元/度，某月李老师的电动汽车在家庭充电桩的充电量合计为180度，共花电费64元.求这个月李老师的电动汽车峰时和谷时的充电量.
29．某列车平均提速60km每小时，用相同的时间，该列车提速前行驶100km，提速后比提速前多行驶50km，求该列车提速前的平均速度。
30．国发（2022）2号文发布后，贵州迎来了高质量快速发展，货运量持续增加.某物流公司有两种货车，已知每辆大货车的货运量比每辆小货车的货运量多4吨，且用大货车运送80吨货物所需车辆数与小货车运送60吨货物所需车辆数相同.每辆大、小货车货运量分别是多少吨？
31．一个房间里有4条腿的椅子和3条腿的凳子共16个，如果椅子腿数和凳子腿数加起来共60条，那么有多少椅子和凳子？
32．年安庆市为成功创建国家卫生城市，青年志愿者决定义务清除重达吨的垃圾开工后，附近居民主动参与到该项义务劳动中来，使清除垃圾的速度提高了倍，提前小时完成了任务，求青年志愿者原计划每小时清除多少吨垃圾？
33．如图1是长为4a，宽为6的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）。
（1）观察图2，请你写出（a+b）2，（a-b）2，ab之间的等量关系：　 　
（2）根据 （1）中的结论，若x+y=5，xy=，求（x-y）2的值：
（3）如图3，正方形ABCD边长为x，正方形CEFG边长为y，点D，G，C在同一直线上，连接 BD，DF，若x-y=2，xy=3，根据（1） 中的结论，求图3中阴影部分的面积。
34．解方程组：
35．“绿水青山就是金山银山”，年月日是我国第个植树节，某班组织学生在某园林基地进行植树活动，活动开始前对若干棵树苗进行分配，若人合作种植一棵树苗，则还剩棵，若人合作种植一棵树苗，则还有人未分到树苗，问共有多少棵树苗，多少学生？
36．已知关于x，y的方程组与有相同的解．
（1）求这个相同的解；
（2）求m，n的值；
（3）若（1）中的解也是关于x，y的方程的解，求a的值．
37．现有8个大小相同的长方形，可拼成如图1、2所示的图形，在拼图2时，中间留下了一个边长为2的小正方形，求每个小长方形的面积．
小明设小长方形的长为x，宽为y，观察图形得出关于x、y的二元一次方程组，解出x、y的值，再根据长方形的面积公式得出每个小长方形的面积．
（1）请按照小明的思路完成上述问题：求每个小长方形的面积；
（2）某周末上午，小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图3所示．若小明把13个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是　 　cm；
（3）拓展学习：如图4，是由7块颜色不同的正方形组成的长方形，已知中间小正方形A的边长为1，求这个长方形的面积．
38． 工厂接到订单生产巧克力包装盒子， 如图，每个盒子由 3 个长方形侧面和 2 个正三角形底面组成， 仓库有甲、乙两种规格的纸板共 2600 张， 其中甲种规格的纸板刚好可以裁出 4 个侧面 (如图 1)， 乙种规格的纸板可以裁出 3 个底面和 2 个侧面 (如图 2)， 裁剪后边角料不再利用．
（1）若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，问两种规格的纸板各有多少张？
（2）一共能生产多少个巧克力包装盒？
39．小颖和小超同做一道题：已知求 a， b的值.
小颖的思路是：将左边(x-3)(x-4)化简，根据左右两边多项式中的同类项系数相同，从而求得a， b的值.
小超的思路是：因为左右两边是同一个代数式，只是表达形式不一样，因此当左右两边的x取同一个值时，等式成立.他将x=3，x=4分别代入，可以得到关于a，b的一个二元一次方程组，从而求得a，b的值.
（1）请用小颖或小超的思路(选一种方法)分别求出a，b的值.
（2）将代数式 表示成 的形式，请选择其中一种方法求出m，n的值.
40．如图，EF∥AD，∠1=∠2，∠BAC=70°，求∠AGD的大小.
解：∵EF∥AD，
∴∠2= ▲ （两直线平行，同位角相等），
又∵∠1=∠2（已知），
∴∠1=∠3（等量代换），
∴AB∥ ▲ （　　）
∴∠BAC＋ ▲ =180°（　　）
∵∠BAC=70°，
∴∠AGD=110°.
41．如图，AB∥CD，∠ABD的平分线与∠CDB的平分线相交于点E，求∠1+∠2 的度数.
42．一艘轮船在静水中的最大航速为 30km/h，它以最大航速沿江顺流航行120km 所用时间与以最大航速逆流航行60km所用的时间相同，求江水的流速.
43．如图，已知，，，试说明的理由．
解：因为（已知），所以（　　）．
因为（已知），所以 ▲ （　　）．
因为（已知），所以（　　）
即．
所以 ▲ ．所以（　　）．
44．通过小学的学习，我们知道：周长一定的长方形中，正方形的面积最大．此结论可以利用图形的割补加以说明．
（1）【方法理解】
已知长方形的周长是12，设长方形的一边长是，则相邻一边长是．
①当时，如图1，将此长方形进行如下割补．如图2，长方形的一边长是，相邻一边长是______．如图3，将长方形割补到长方形的右侧，阴影部分是一个边长为______的正方形（以上两空，均用含的代数式表示）．通过上述割补，图1中长方形的面积可以看成图3中两个正方形的面积之差，所以代数式、、满足的等量关系是______；
②当时，类似上述过程进行割补；
③当时，该长方形即为正方形；
综上分析，周长是12的长方形的最大面积是______；
（2）【方法迁移】
当时，仿照上述割补过程，求代数式的最大值．
45．已知∶直线分别与直线，相交于点，，并且
（1）如图1，求证∶；
（2）如图 2，点在直线，之间，连接，，求证∶；
46．如图，，在的右侧，平分，平分，所在直线交于点，．
（1）若，求的度数；
（2）将线段沿方向平移，使得点在点的右侧，其他条件不变，若，求的度数．
47．若 ，试求x与y的值．
48．某市的生产总值从3月到6月持续增长，3月的生产总值为 a，假设每个月的增长率都为 x.
（1）分别求该市4月、5月、6月的生产总值.
（2）求该市 3月、4月、5月这三个月的生产总值之和与 6月的生产总值的比.
（3）若x=10%，则(2)中的比值是多少
49．对于任意一个四位数m，若千位上的数字与个位上的数字之和是百位上的数字与十位上的数字之和的2倍，则称这个四位数m为“共生数”.例如：m=3507，因为3+7=2×(5+0)，所以3507是“共生数”；m=4135，因为4+5≠2×(1+3)，所以4135不是“共生数”.
（1）判断5313，6437是否为“共生数” 请说明理由.
（2）对于“共生数”n，当十位上的数字是千位上的数字的2倍，百位上的数字与个位上的数字之和能被9整除时，记求满足 F(n)各数位上的数字之和是偶数的所有n.
50．如图1的两个长方形可以按不同的形式拼成图2和图3两个图形．
（1）在图2中的阴影部分的面积可表示为 ；（写成多项式乘法的形式）；在图3中的阴影部分的面积可表示为 ；（写成两数平方差的形式）；
（2）比较图2与图3的阴影部分面积，可以得到的等式是；
A．
B．
C．
（3）请利用所得等式解决下面的问题：
①已知，，则　　；
②计算的值，并直接写出该值的个位数字是多少．．
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【50道解答题·强化训练】浙教版数学七年级下册期末总复习
1．一项工程，甲队单独完成所需天数是乙队单独完成所需天数的，且这项工程若先由乙队做45 天，剩下的再由甲、乙两队一起做，则还要54天可以完成.
（1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？
（2）已知甲队每天的施工费用为 0.82万元，乙队每天的施工费用为0.68万元，工程预算的施工费用为 100万元.拟安排甲、乙两队同时合作完成这项工程，则工程预算的施工费用是否够用？ 若够用，请说明理由；若不够用，需追加预算多少万元？
【答案】（1）解：设乙队单独完成所需天数为x天，则甲队单独完成所需天数为天，根据题意得，
，
解得，x=180，
经检验，x=180是分式方程的解，
=120，
答：甲、乙两队单独完成这项工程分别需120 天和180天；
（2）解：不够用，理由如下：
设甲乙合作m天，则，
解得，m=72，
施工费用=（0.82+0.68）×72=108（万元）
108-100=8（万元）.
答：不够用，需追加预算8万元.
【解析】【分析】（1）设乙队单独完成所需天数为x天，则甲队单独完成所学天数为天，根据工作量=工作效率×工作时间，总工作量看做1，列出分式方程，解方程后，检验即可求得；
（2）设甲乙合作m天，甲的工作效率为，乙的工作效率为，根据总工作量为1列出方程，即可求得m的值，再根据每天的施工费用×天数=总施工费用，可求得施工费用，再与预算的施工费用100万作差即可.
2．甲、乙两人同时解方程组甲解题看错了①中的，解得，乙解题时看错②中的，解得，试求原方程组的解．
【答案】解：∵甲解题看错了①中的，解得，
∴把代入②得：，
解得：，
∵乙解题时看错②中的，解得，
∴把代入①得：，
解得：，
∴原方程组为，
由①×3+②得：，
把代入①得：，
∴原方程组的解为．
【解析】【分析】将代入②可得，求出n的值，将代入①可得，求出m的值，所以原方程组为，再利用加减消元法求出x、y的值即可。
3．如图，小红和小明两人共同解方程组
根据以上他们的对话内容，请你求出的正确值，并计算的值．
【答案】解：∵小明看错了方程①中的，所以满足方程②，
即，解得，
∵小红看错了方程②中的，所以满足方程①，
即，解得，
∴
【解析】【分析】 由方程组解的概念可把解代入到方程②中求出b，同理把解代入到方程①中求得a的值，再把a、b的值代入到算式中进行有理数的混合运算即可．
4．老师所留的作业中有这样一个分式的计算题：，甲、乙两位同学完成的过程分别如下：
老师发现这两位同学的解答都有错误：
甲同学的解答从第 　 　步开始出现错误；乙同学的解答从第 　 　步开始出现错误；
请重新写出完成此题的正确解答过程．
【答案】一；二解：原式
【解析】【解答】解：甲同学的解答从第一步开始出现错误；
乙同学的解答从第二步开始出现错误，
故答案为：一，二；
【分析】通过观察解答过程，找出错步骤，并写出原因即可；写出正确的解答过程即可．
5．请把下列说理过程补充完整，并在括号内填上相应的根据．
如图，已知，，
请对说明理由．
理由：∵（已知）
（　　）
∴（　　）
∴ ▲ ▲ （　　）．
∴（　　）．
∵（已知）
∴（　　）
∴（　　）
∴（等量代换）
【答案】解：理由：∵∠1+∠EFG = 180° (已知)，
∠2 +∠EFG = 180° (邻补角的定义)，
∴∠1 =∠2(同角的补角相等)，
∴AB// EF(内错角相等，两直线平行)，
∴∠DEF=∠ADE(两直线平行，内错角相等)
∵∠DEC+∠C= 180°(已知)，
∴DE// BC(同旁内角互补，两直线平行)，
∴∠ADE=∠B(两直线平行，同位角相等)
∴∠DEF=∠B(等量代换)，
【解析】【分析】利用平行线的性质和判定方法求解即可。
6．某一工程，在工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书．施工一天，需付甲工程队工程款2.4万元，乙工程队工程款1万元．工程领导小组根据甲，乙两队的投标书测算，有如下方案：
①甲队单独完成这项工程刚好如期完成；
②乙队单独完成这项工程要比规定日期多用12天；
③若甲，乙两队合做6天，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成．
试问：在不耽误工期的前提下，你觉得哪一种施工方案最节省工程款？请说明理由．
【答案】解：设规定日期为x天．由题意得
，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
经检验：x=12是原方程的根．
方案（1）：2.4×12=28.8（万元）；
方案（2）比规定日期多用12天，显然不符合要求；
方案（3）：2.4×6+1×12=26.4（万元）．
∵28.8＞26.4，
∴在不耽误工期的前提下，选第三种施工方案最节省工程款．
【解析】【分析】关键描述语为：“甲，乙两队合做3天，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成”；说明甲队实际工作了3天，乙队工作了x天完成任务，工作量=工作时间×工作效率等量关系为：甲3天的工作量+乙规定日期的工作量=1列方程．再看费用情况：方案①、③不耽误工期，符合要求，可以求费用，方案②显然不符合要求．
7．王老师在某商店购买两种商品共三次，其中有一次两种商品同时打相同折扣，其余两次按原价购买，三次购买商品的数量和总费用如下表：
　 购买商品的数量/个 购买商品的数量/个 购买总费用/元
第一次购物 3 2 560
第二次购物 5 1 840
第三次购物 6 2 832
（1）观察表格中的数据，可知王老师以折扣价购买商品是第______次；
（2）求出商品的原价；
（3）若王老师第四次去购买这两种商品，都按之前的折扣共花费了1440元，其中购买商品的数量是购买商品的数量的正整数倍，试推算王老师购买方案有几种．
【答案】（1）三
（2）解：设商品A的原价为x元，商品B的原价为y元，
依题意可得：
，
解得：，
商品A的原价为160元，商品B的原价为40元；
（3）解：可知第三次购买原价为：（元），
，
第三次购买打8折，
设购买A商品m件，则购买B商品n件，
可得，
化简得：，
，
∵m、n均为正整数，且m是n的正整数倍，
或或，
可知王老师有三种购买方案，
①购买A商品9件，则购买B商品9件，
②购买A商品10件，则购买B商品5件，
③购买A商品11件，则购买B商品1件．
【解析】【解答】（1）解：第三次购物购买的A、B两种商品的数量比第二次购物购买的都多，而第三次购物购买总费用比第二次购物购买总费用低，
王老师以折扣价购买商品A、B是第三次，
故答案为：三；
【分析】（1）比较第二、三次购物，由第三次购买数量多总费用反而少，可得出王老师折扣价购买商品A、B是第三次；
（2）设商品A的原价为x元，商品A的原价为x元，利用总价单价数量，结合“购买3个A商品的费用+购买2个B商品的费用=560，购买5个A商品的费用+购买1个B商品的费用=840”可得出关于x、y的二元一次方程，解之即可得出结论；
（3）首先根据单价乘以数量等于总价算出第三次购买的原价，然后根据售价比上原价等于折扣率算出第三次购买商品的折扣率；设购买A商品m件，则购买A商品n件，利用总价单价数量折扣率，可得出关于m、n的二元一次方程，结合m、n均为正整数，且m是n的正整数倍，即可得出各购买方案．
（1）解：第三次购物购买的两种商品比第二次购物购买的都多，而第三次购物购买总费用比第二次购物购买总费用低，
王老师以折扣价购买商品是第三次，
故答案为：三；
（2）解：设商品的原价为元，商品的原价为元，
依题意可得：
，
解得：，
商品的原价为160元，商品的原价为40元；
（3）解：可知第三次购买原价为：（元），
，
第三次购买打8折，
设购买商品件，则购买商品件，
可得，
化简得：，
，
均为正整数，且是的正整数倍，
或或，
可知王老师有三种购买方案，
①购买商品9件，则购买商品9件，
②购买商品10件，则购买商品5件，
③购买商品11件，则购买商品1件．
8．为解决“最后一公里”的交通接驳问题，某市投放了大量公租自行车供市民使用．到2014年底，全市已有公租自行车25 000辆，租赁点600个．预计到2016年底，全市将有公租自行车50 000辆，并且平均每个租赁点的公租自行车数量是2014年底平均每个租赁点的公租自行车数量的1.2倍．预计到2016年底，全市将有租赁点多少个
【答案】解：设到2016年底，全市将有租赁点x个，根据题意
可得： ，解得：x=1 000，经检验
得：x=1 000是原方程的根，
答：到2016年底，全市将有租赁点l1000个．
【解析】【分析】抓住题中关键的已知条件： 平均每个租赁点的公租自行车数量是2014年底平均每个租赁点的公租自行车数量的1.2倍，设未知数，列方程，再解方程检验，就可求解。
9．某公司后勤部准备去超市采购牛奶和咖啡若干箱，现有两种不同的购买方案，如下表：
牛奶（箱 咖啡（箱 金额（元
方案一 20 10 1100
方案二 30 15 ____
（1）采购人员不慎将污渍弄到表格上，根据表中的数据，判断污渍盖住地方对应金额是　 　元；
（2）若后勤部购买牛奶25箱，咖啡20箱，则需支付金额1750元；
①求牛奶与咖啡每箱分别为多少元？
②超市中该款咖啡和牛奶有部分因保质期临近，进行打六折的促销活动，后勤部根据需要选择原价或打折的咖啡和牛奶，此次采购共花费了1200元，其中购买打折的牛奶箱数是所有牛奶、咖啡的总箱数的，则此次按原价采购的咖啡有箱．
【答案】（1）1650
（2）解：①设牛奶一箱元，咖啡一箱元，
由题意得：，解得：，
答：牛奶与咖啡每箱分别为30元、50元；
②设牛奶与咖啡总箱数为，则打折的牛奶箱数为箱，
打折牛奶价格为：（元，打折咖啡价格为：（元），
即打折咖啡价格与牛奶原价相同，
设原价咖啡为箱，则打折咖啡与原价牛奶共有箱，
由题意得：，
整理得：，∴
、均为正整数，∴是正整数，∴a必须是20的倍数，
，或，，，，即此次按原价采购的咖啡有6箱
【解析】【解答】解：（1）设牛奶一箱元，咖啡一箱元，
由题意得：，
（元），
故答案为：1650；
【分析】（1）设牛奶一箱元，咖啡一箱元，由题意得：，再由，即可求解；
（2）①设牛奶一箱元，咖啡一箱元，由题意列出方程组，求解即可；
②设牛奶与咖啡总箱数为箱，则打折的牛奶箱数为箱，设原价咖啡为箱，则打折咖啡与原价牛奶共有箱，由题意列出二元一次方程，求出正整数解即可．
10．新春佳节来临之际，某商铺用1600元购进一款畅销礼盒，由于面市后供不应求，决定再用6000元购进同款礼盒，已知第二次购进的数量是第一次的3倍，但是第二次的单价比第一次贵2元.求第一次与第二次各购进礼盒多少个？
【答案】解：设第一次进购礼盒x个，则第二次进购3x
解得
经检验， 是方程的解；
故
答：第一次购进200个礼盒，第二次购进600个礼盒.
【解析】【分析】首先设第一次进购礼盒x个，则第二次进购3x，然后根据题意列出方程即可.
11．如图，直线AB⊥CD，垂足为O，直线EF经过点O，∠1=30°，求∠AOF、∠AOE和∠DOE的度数．
【答案】解：∵AB⊥CD，
∴∠AOC=∠AOD=∠BOC=∠BOD=90°，
∵∠1=30°，
∴∠DOE=30°，
∴∠AOF=90°-30°=60°，
∠AOE=90°+30°=120°．
【解析】【分析】利用邻补角的特性，可知∠AOF的度数，用对顶角可知∠DOE的度数，∠AOE=∠DOE+.
12．甲、乙两个种子店都销售“黄金1号”玉米种子，在甲店，如果一次购买2千克以上的种子，超过2千克部分的种子价格打8折．在乙店，不论一次购买该种子的数量是多少，都不打折．
（1）如果不使用优惠方案，某人在甲店购买3千克该玉米种子和在乙店购买4千克该玉米种子共花了33元，在甲店购买9千克该玉米种子和在乙店购买10千克该玉米种子的钱一样多．如果使用优惠方案只到某一家店购买5千克该玉米种子，应到哪家店更省钱？
（2）若甲店该玉米种子的价格为5元/千克，乙店该玉米种子的价格为m元/千克（），如果某农户要购买4千克该玉米种子，那么该农户应选择哪个店更合算．
【答案】（1）解：设不使用优惠方案甲乙两个店的玉米种子价格分别为元，
由题意可得，
解得，
如果使用优惠方案只到某一家店购买5千克该玉米种子，甲店购买费用元；乙店购买费用元；
∴应到甲店更省钱；
（2）解：甲店购买费用元；
乙店购买费用元；
当时，，此时甲乙一样；
当时，，此时乙店更省钱；
当时，，甲店更省钱．
【解析】【分析】（1）基本关系：金额=价格×数量，总金额= 在甲店购买 的金额+ 在乙店购买 的金额，据此列二元一次方程组求解即可；
（2）先求出 甲店购买费用 ，列代数式表示 乙店购买费用，分三种情况： 甲乙一样 ， 乙店更省钱 ， 甲店更省钱 ，分别建立方程或不等式求解即可。
13．如图，长青化工厂与A，B两地有公路、铁路相连．这家工厂从A地购买一批每吨1 000元的原料运回工厂，制成每吨8 000元的产品运到B地．公路运价为1. 5元/（t·km），铁路运价为1.2元/（t·km），这两次运输共支出公路运费15000元，铁路运费97 200元．这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？
【答案】解：设该工厂从A地购买了x吨原料，运往B地的产品为y吨．
根据题意，得
解得：
∴产品销售额为：300×8000=2400000（元），
原料费为：400×1000=400000（元），
又∵运费为：15000+97200=112200（元），
∴这批产品的销售额比原料费和运费的和多：2400000-（400000+112200）=1887800（元）．
答：这批产品的销售款比原料费和运输费的和多1887800元．
【解析】【分析】设该工厂从A地购买了x吨原料，运往B地的产品为y吨，根据题意列出方程求解即可。
14． 已知方程 ．
（1） 用含 的代数式表示 ．
（2） 若 ， 则 　 　；若 ， 则 　 　
（3） 请你再写出方程 的三个整数解．
【答案】（1）解：
（2）1；8
（3）解：方程4a+3b=16的三个整数解：
；；.
【解析】【解答】（1）解：∵4a+3b=16，
∴4a=16-3b，
∴a=4-.
（2）把b=4代入4a+3b=16，可得a=1.把a=-2代入4a+3b=16得：b=8.
（3）方程4a+3b=16的整数解有：
，.
【分析】（1）根据题意先把含字母a的式子放到等号的左边，把不含字母a的式子移到等号的右边。再把字母a的系数化为1，即可得到用含b的代数式表示a.
（2）根据题意，把a的值代入等式即可得到b的值；同样，把b的值代入等式也可以得到a的值.
（3）根据题意，在整数范围内，找出适当的a、b的值代入4a+3b=16只要等式成立，那么这一组数就是方程4a+3b=16的一个解，进而再找两个整数解即可.
15． 欧拉是历史上享誉全球的最伟大的数学家之一，他不仅在高等数学各个领域作出杰出贡献，也在初等数学中留下了不凡的足迹．设a，b，c为两两不同的数，称为欧拉分式．
（1）写出对应的表达式；
（2）化简对应的表达式．
【答案】（1）解：
（2）解：由题可得
=0
【解析】【解答】解：（1）由题意得
【分析】（1）根据题意写出P0对应的表达式即可；
（2）先根据题意写出P1对应的表达式 ，然后根据异分母的加减运算法则将P1化简即可.
16．如图，分别与、相交于点、点，，，则与平行吗？请说明理由．
【答案】结论：，
证明：∵，，
∴，
∴；
∴．
∵，
∴，
∴．
【解析】【分析】由已知条件可知∠1+∠2=180°，根据对顶角的性质可得∠1=∠DGH，则∠DGH+∠2=180°，推出BD∥CE，根据平行线的性质可得∠D=∠CEF，结合∠C=∠D可得∠C=∠CEF，然后根据平行线的判定定理进行解答.
17．已知关于 ， 的方程组 和 的解相同，求 的值.
【答案】解：联立 ，
解得 ，
将 代入 ，
得 ，
解得 ，
∴ .
【解析】【分析】根据两个二元一次方程组同解的特点，得出一个不含字母系数的方程组： 求解，再把x、y的值代入含字母系数的方程，得出一个关于a、b的方程组求解，最后代值计算即可.
18．如图，已知AB∥DE∥CF，若∠ABC=80°，∠BCD=20°，求∠CDE．
【答案】解：∵AB∥CF，∠ABC=80°
∴
∵∠BCD=20°
∴
∵
∴
故答案为：120°．
【解析】【分析】根据平行线的性质得 ，再根据角的和差关系得 ，再根据平行线的性质求出∠CDE的度数即可．
19．某校倡导学生读书， 学生阅读课外书籍情况的统计表如下， 该校初中三个年级学生人数分布的扇形统计图如下， 其中八年级的学生人数为 204 ．
图书种类 频数/本 频率
科普常识 840
名人传记 816 0.34
中外名著 0.25
其他 144 0.06
（1）求该校八年级学生的人数占全校学生总人数的百分比．
（2） 求表中 的值．
（3） 该校学生平均每人读多少本课外书？
【答案】（1）解：．
该校八年级学生的人数占全校学生总人数的 ．
（2）解： ．
（3）解： 八年级学生人数为 204 ， 占全校学生总人数的 ，
全校学生的总人数为 4 (本)，
该校学生平均每人读 4 本课外书．
【解析】【分析】（1）根据扇形统计图中各部分百分比之和等于1即可求解；
（2）利用其它的频数除以其频数求出学生阅读课外书籍的总本数，再根据频数=频率×总本数分别求出a、b的值即可；
（3）先求出全校总人数，再利用课外书籍的总本数除以总人数即得结论.
20．如图，点E在直线上，点B在直线上，如果，，那么．
填空并填写理由：
解：因为（已知）．
且（　　）．
所以（等量代换）．
所以 ▲ （　　）．
故（　　）．
又因为（已知），
所以 ▲ （等量代换）．
所以（　　）．
所以（　　）．
【答案】解：因为（已知）
且（对顶角相等）
所以（等量代换）
所以（同位角相等，两直线平行）
故（两直线平行，同旁内角互补）
又因为（已知）
所以（等量代换）
所以（同旁内角互补，两直线平行）
所以（两直线平行，内错角相等）
【解析】【分析】利用平行线的判定方法和性质及推理过程求解即可.
21．某校利用消毒液对校园进行全面消杀，初三年级先开学，这段时间用掉了120瓶消毒液，在初一、初二年级陆续开学后，平均每天比原来多用4瓶消毒液，这样120瓶消毒只能用原来天数的一半，求原来平均每天用掉多少瓶消毒液？
【答案】解：设原来平均每天用掉x瓶消毒液，
可列方程是，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：原来平均每天用掉4瓶消毒液．
【解析】【分析】设原来平均每天用掉x瓶消毒液，根据“平均每天比原来多用4瓶消毒液，这样120瓶消毒只能用原来天数的一半”列出方程，再求解即可.
22．某年级组织学生参加夏令营活动， 本次夏令营分为甲、乙、丙三组进行活动．下面两幅统计图反映了学生报名参加夏令营的情况， 请你根据图中的信息回答下列问题：
（1）该年级报名参加本次活动的总人数为　 　 名；
（2）图 2 中， 报名参加甲组的人数的百分比是　 　；
（3）请你补全图 1 中的条形统计图．
【答案】（1）50
（2）30
（3）解：乙组人数为：50-15-25=10（名），并补全统计图，如图所示。
【解析】【解答】解：（1） 该年级报名参加本次活动的总人数为 ：25÷50%=50；
故答案为：50；
（2） 图 2 中， 报名参加甲组的人数的百分比是 ：；
故答案为：30；
【分析】（1）用丙组的频数÷丙组的百分比 ，即可得出该年级报名参加本次活动的总人数；
（2）用甲组人数÷总人数，即可得出报名参加甲组的人数的百分比；
（3）从总人数中减去甲、丙两组的人数，即可得出乙组人数，并补全统计图即可。
23．如图，已知，．
（1）判断与的位置关系，并说明理由；
（2）判断与的位置关系，并说明理由；
（3）若平分，于点，，求的度数．
【答案】（1）解：，理由如下：∵，
∴，
（2）解：，理由如下：∵，
∴
∵，
∴
∴
（3）解：∵，，∴
∵平分，
∴
∵，
∴
∵，
∴
∵，
∴
∴．
【解析】【分析】（1）根据平行的判定，结合同位角相等，两直线平行，即可得证；
（2）由平行线的性质，得出，得出，结合同旁内角互补，两直线平行，即可得证；
（3）由平分，得出，再由，得出，由垂线的定义，结合平行线的性质，得出，即可得出答案．
24．如图
（1）如图1，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB．过D作EFBC交AB于E，交AC于F，请说明EF＝BE＋CF的理由．
（2）如图2，BD平分∠ABC，CD是△ABC中∠ACB的外角平分线，若仍然过点D作EFBC交AB于E，交AC于F，第（1）题的结论还成立吗？如果成立，请说明理由；如果不成立，你能否找到EF与BE、CF之间类似的数量关系？
【答案】（1）解：∵在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，
∴∠EBD＝∠DBC，∠DCB＝∠FCD．
又∵EFBC交AB于E，交AC于F，
∴∠EDB＝∠DBC，∠FDC＝∠DCB
∴∠EBD＝∠EDB，∠FDC＝∠FCD，
∴BE＝ED，CF＝FD，
∴EF＝ED+DF＝BE+CF．
即：EF＝BE+CF．
（2）解：不成立．EF＝BE﹣CF．理由如下：
∵BD平分∠ABC，CD是△ABC中∠ACB的外角平分线，
∠EBD＝∠DBC，∠FCD＝∠DCG，
∵EFBC交AB于E，交AC于F，
∴∠EDB＝∠DBC，∠FDC＝∠DCG，
∴∠EBD＝∠EDB，∠FDC＝∠FCD，
∴BE＝DE，DF＝CF，
∴EF＝ED﹣DF＝BE﹣CF．
【解析】【分析】（1）根据角平分线定义可得∠EBD＝∠DBC，∠DCB＝∠FCD，再根据直线平行性质可得∠EDB＝∠DBC，∠FDC＝∠DCB，则∠EBD＝∠EDB，∠FDC＝∠FCD，由等角对等边可得BE＝ED，CF＝FD，再根据边之间的关系即可求出答案.
（2）根据角平分线定义可得∠EBD＝∠DBC，∠FCD＝∠DCG，再根据直线平行性质可得∠EDB＝∠DBC，∠FDC＝∠DCG，则∠EBD＝∠EDB，∠FDC＝∠FCD，由等角对等边可得BE＝DE，DF＝CF，再根据边之间的关系即可求出答案.
25．某校准备组织七年级400名学生参加夏令营，已知满员时，用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生105人；用一辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人．
（1）1辆小客车和1辆大客车都坐满后一次可送多少名学生？
（2）若学校计划租用小客车a辆，大客车b辆，一次送完，且恰好每辆车都坐满．
①请你设计出所有的租车方案；②若小客车每辆需租金200元，大客车每辆需租金380元，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租金．
【答案】（1）解：设每辆小客车能坐名学生，每辆大客车能坐名学生，
根据题意，得，解得，
答：1辆小客车和1辆大客车都坐满后一次可送65名学生．
（2）①由题意得：，
为非负整数，或或，
租车方案有三种：方案一：小客车20车、大客车0辆，
方案二：小客车11辆，大客车4辆，方案三：小客车2辆，大客车8辆；
②方案一租金：（元），方案二租金：（元），
方案三租金：（元），
方案三租金最少，最少租金为3440元．
【解析】【分析】（1）构建二元一次方程组求解。每辆小客车能坐a名学生，每辆大客车能坐b名学生，根据用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生105人；用1辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人；列出方程组，再解即可；
（2）构建二元一次方程求解。①根据题意可得小客车m辆运的人数+大客车n辆运的人数=400，然后求出整数解即可；
②根据①所得方案和小客车每辆租金200元，大客车每辆租金380元分别计算出租金即可．
26．甲种电影票每张20元，乙种电影票每张15元，若购买甲乙两种电影票共40张，恰好用去720元，求甲、乙两种电影票各买了多少张？
【答案】解：设购买甲电影票x张，乙电影票y张，
由题意知：
解得
答：购买甲电影票24张，乙电影票16张
【解析】【分析】根据甲、乙两种电影票的总张数和总价格，可列出方程组，解出即可。
27．疫情期间为保护学生和教师的健康，某学校储备“抗疫物资”，用19000元购进甲、乙两种医用口罩共计900盒，甲、乙两种口罩的售价分别是20元/盒，25元/盒．
（1）求甲、乙两种口罩各购进了多少盒？
（2）现已知甲、乙两种口罩的数量分别是20个/盒，25个/盒，按照市教育局要求，学校必须储备足够使用10天的口罩，该校师生共计900人，每人每天2个口罩，问购买的口罩数量是否能满足市教育局的要求？
【答案】（1）解：设甲种口罩购进了x盒，乙种口罩购进了y盒，
依题意得：，
解得：．
答：甲种口罩购进了700盒，乙种口罩购进了200盒；
（2）解：20×700+25×200=14000+5000=19000（个），2×900×10=18000（个）．
∵19000＞18000，
∴购买的口罩数量能满足市教育局的要求．
【解析】【分析】（1）设甲种口罩购进了x盒，乙种口罩购进了y盒，根据总价=单价×数量，结合用19000元购进甲、乙两种医用口罩共计900盒，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出甲、乙两种口罩购进数量，解答即可；
（2）利用购进口罩的总数量=每盒的个数×购进数量，可求出购进口罩的总数量，利用市教育局的要求数=2×该校师生人数×10，可求出学校需要口罩的总数量，比较后即可得出购买的口罩数量能满足市教育局的要求，即可解答．
（1）解：设甲种口罩购进了x盒，乙种口罩购进了y盒，
依题意得：，
解得：．
答：甲种口罩购进了700盒，乙种口罩购进了200盒；
（2）解：20×700+25×200=14000+5000=19000（个），
2×900×10=18000（个）．
∵19000＞18000，
∴购买的口罩数量能满足市教育局的要求．
28．李老师有一辆电动汽车，为了充电方便，他安装了家庭充电桩.该充电桩峰时充电的电价为0.5元/度，谷时充电的电价为0.3元/度，某月李老师的电动汽车在家庭充电桩的充电量合计为180度，共花电费64元.求这个月李老师的电动汽车峰时和谷时的充电量.
【答案】解：设这个月李老师的电动汽车峰时为x度，谷时的充电量为y度.
由题意，得
解得
答：这个月李老师的电动汽车峰时为50度，谷时的充电量为130度.
【解析】【分析】设这个月李老师的电动汽车峰时为x度，谷时的充电量为y度，进而根据题意列出二元一次方程组，从而即可求解。
29．某列车平均提速60km每小时，用相同的时间，该列车提速前行驶100km，提速后比提速前多行驶50km，求该列车提速前的平均速度。
【答案】解：设提速前速度为xkm每小时，依题可得： = 解得：x=120.经检验，x=120是此方程的根，∴此方程的解为x=120.答：提速前平均速度为120km每小时.
【解析】【分析】设提速前速度为xkm每小时，依题可得分式方程，解之可得出答案，代入检验即可.
30．国发（2022）2号文发布后，贵州迎来了高质量快速发展，货运量持续增加.某物流公司有两种货车，已知每辆大货车的货运量比每辆小货车的货运量多4吨，且用大货车运送80吨货物所需车辆数与小货车运送60吨货物所需车辆数相同.每辆大、小货车货运量分别是多少吨？
【答案】解：设小货车货运量吨，则大货车货运量，根据题意，得，
，
解得，
经检验，是原方程的解，
吨，
答：每辆大货车货运量是16吨，每辆小货车货运量是12吨.
【解析】【分析】设小货车货运量x吨，则大货车货运量(x+4)吨，用大货车运送80吨货物所需车辆数为辆，用小货车运送60吨货物所需车辆数为辆，然后根据车辆数相同列出方程，求解即可.
31．一个房间里有4条腿的椅子和3条腿的凳子共16个，如果椅子腿数和凳子腿数加起来共60条，那么有多少椅子和凳子？
【答案】解：设有x个椅子，y个凳子，
依题意有： ，
解得： ，
答：有12个椅子，4个凳子.
【解析】【分析】 可设有x个椅子，y个凳子，根据等量关系"有4条腿的椅子和3条腿的凳子共16个；椅子腿数和凳子腿数加起来共60条"列出方程组即可求解．
32．年安庆市为成功创建国家卫生城市，青年志愿者决定义务清除重达吨的垃圾开工后，附近居民主动参与到该项义务劳动中来，使清除垃圾的速度提高了倍，提前小时完成了任务，求青年志愿者原计划每小时清除多少吨垃圾？
【答案】解：设青年志愿者原计划每小时清除吨垃圾，
根据题意得，
解得．
经检验是原分式方程的根．
答：青年志愿者原计划每小时清除吨垃圾．
【解析】【分析】设青年志愿者原计划每小时清除吨垃圾，根据“提前小时完成了任务”列出方程，再求解即可.
33．如图1是长为4a，宽为6的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）。
（1）观察图2，请你写出（a+b）2，（a-b）2，ab之间的等量关系：　 　
（2）根据 （1）中的结论，若x+y=5，xy=，求（x-y）2的值：
（3）如图3，正方形ABCD边长为x，正方形CEFG边长为y，点D，G，C在同一直线上，连接 BD，DF，若x-y=2，xy=3，根据（1） 中的结论，求图3中阴影部分的面积。
【答案】（1）(a+b)2=(a-b)2+4ab
（2）解：∵ x+y=5，xy=，
∴(x-y)2=(x+y)2-4xy
=52-4×
=25-9
=16
（3）解：∵(x+y)2=(x-y)2+4xy
∴(x+ y)2=22+4×3
=16
∵x+y>0
∴x+y=4
∴(x+y)(x-y)=2×4
∴x2-y2=8
=
【解析】【解答】解：（1）利用整体法可得图2的面积为：(a+b)2，利用割补法可得图2的面积为(a-b)2+4ab，
∴(a+b)2=(a-b)2+4ab；
故答案为：(a+b)2=(a-b)2+4ab；
【分析】（1）从整体看图2是一个边长为(a+b)的正方形，根据正方形面积公式表示出该图形的面积；从组合看，图2是由一个边长为(a-b)的正方形和4个长为a，宽为b的矩形拼成的，根据长方形与正方形面积计算公式表示出图2的面积，根据用两个不同的式子表示同一个图形的面积，则这两个式子相等，可得结论；
（2）由（1）的结论可得(x-y)2=(x+y)2-4xy，从而整体代入计算可得答案；
（3）由（1）的结论可得(x-y)2=(x+y)2-4xy，从而整体代入计算可得x+y=4，进而利用平方差公式可得x2-y2=8，最后根据S阴影=S△BCD-S正方形CEFG-S△DGF，结合正方形及三角形面积计算公式列出式子，再整体代入计算可得答案.
34．解方程组：
【答案】解：，
①-②得2x+2y=2，即x+y=1③，
③×2005得2005x+2005y=2005④，
由②-④求得x=-1，
将x=-1代入③得y=2，
∴方程组的解是.
【解析】【分析】根据加减消元法解二元一次方程组记性计算即可.
35．“绿水青山就是金山银山”，年月日是我国第个植树节，某班组织学生在某园林基地进行植树活动，活动开始前对若干棵树苗进行分配，若人合作种植一棵树苗，则还剩棵，若人合作种植一棵树苗，则还有人未分到树苗，问共有多少棵树苗，多少学生？
【答案】解：设共有棵树苗，名学生，
由题意等：，解得：，
答：共有棵树苗，名学生．
【解析】【分析】设共有棵树苗，名学生，根据树苗总数是不变的可得等式：+3=x，y-23=x， 进而组成方程组，解方程组即可.
36．已知关于x，y的方程组与有相同的解．
（1）求这个相同的解；
（2）求m，n的值；
（3）若（1）中的解也是关于x，y的方程的解，求a的值．
【答案】（1）解：由题意可得，解得；
（2）将代入含有m，n的方程得，解得；
（3）将代入，得，解得．
【解析】【分析】（1）用代入消元法或加减消元法计算即可.
（2） 与有相同的解．将（1）中 代入求解即可.
（3）也是方程 的解，代入解一元一次方程即可求出a的值.
37．现有8个大小相同的长方形，可拼成如图1、2所示的图形，在拼图2时，中间留下了一个边长为2的小正方形，求每个小长方形的面积．
小明设小长方形的长为x，宽为y，观察图形得出关于x、y的二元一次方程组，解出x、y的值，再根据长方形的面积公式得出每个小长方形的面积．
（1）请按照小明的思路完成上述问题：求每个小长方形的面积；
（2）某周末上午，小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图3所示．若小明把13个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是　 　cm；
（3）拓展学习：如图4，是由7块颜色不同的正方形组成的长方形，已知中间小正方形A的边长为1，求这个长方形的面积．
【答案】（1）解：设小长方形的长为x，宽为y，
根据题意得：，解得：，
∴．
∴每个小长方形的面积为60
（2）20
（3）解：设1、2、3号正方形的边长为x，则4号正方形的边长为，5号正方形的边长为，6号正方形的边长为，
∴该长方形的长为或，宽为
∴，解得：，
∴该长方形的长为9，宽为7，
∴这个长方形的面积为．
【解析】【解答】（2）解：设每两个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高，单独一个纸杯的高度为，
则，解得，
∴．
∴小明把13个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是．
故答案为：20．
【分析】（1）设小长方形的长为x，宽为y，观察图形即可得出关于x、y的二元一次方程组并求解，再根据长方形的面积公式求解即可；
（2）观察图3，可设每两个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高，单独一个纸杯的高度为，观察图形即可得出关于x、y的二元一次方程组并求解，再根据题意求出13个纸杯叠放在一起的高度；
（3）如图，由于1、2、3号正方形的大小相同，可设1号正方形的边长为x，则4号正方形的边长为，5号正方形的边长为，6号正方形的边长为；再由长或宽相等可得关于x的一元一次方程并求解，进而可得长方形的长和宽，最后再面积公式计算即可．
38． 工厂接到订单生产巧克力包装盒子， 如图，每个盒子由 3 个长方形侧面和 2 个正三角形底面组成， 仓库有甲、乙两种规格的纸板共 2600 张， 其中甲种规格的纸板刚好可以裁出 4 个侧面 (如图 1)， 乙种规格的纸板可以裁出 3 个底面和 2 个侧面 (如图 2)， 裁剪后边角料不再利用．
（1）若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，问两种规格的纸板各有多少张？
（2）一共能生产多少个巧克力包装盒？
【答案】（1）解：设甲种规格的纸板有 张， 乙种规格的纸板有 张，
依题意， 得 解得
答：甲种规格的纸板有 1000 张， 乙种规格的纸板有 1600 张．
（2）解： (个)．
答：一共能生产 2400 个巧克力包装盒．
【解析】【分析】（1）设甲种规格的纸板有 张， 乙种规格的纸板有 张，根据题意列出方程组并求解即可；（2）因为甲、乙纸板能配套用完，则可以以乙纸板为计算基准，每个乙纸板可裁出3个底面，而每个巧克力包装盒需耗用2个底面，用乙纸板数乘以3除以2得出答案.
39．小颖和小超同做一道题：已知求 a， b的值.
小颖的思路是：将左边(x-3)(x-4)化简，根据左右两边多项式中的同类项系数相同，从而求得a， b的值.
小超的思路是：因为左右两边是同一个代数式，只是表达形式不一样，因此当左右两边的x取同一个值时，等式成立.他将x=3，x=4分别代入，可以得到关于a，b的一个二元一次方程组，从而求得a，b的值.
（1）请用小颖或小超的思路(选一种方法)分别求出a，b的值.
（2）将代数式 表示成 的形式，请选择其中一种方法求出m，n的值.
【答案】（1）解：小颖的思路：，
∴，；
小超的思路：
把代入可得：，
∴，
把代入可得：，
∴
联立得，
解得；
（2）解：选用小颖的思路：
∵
∴
∴
解得；
选用小超的思路：
把代入可得：，
∴；
把代入可得：，
∴，
∴．
【解析】【分析】
（1）分别根据小颖和小超的思路进行运算求解即可；
（2）分别根据小颖和小超的思路进行运算求解即可．
40．如图，EF∥AD，∠1=∠2，∠BAC=70°，求∠AGD的大小.
解：∵EF∥AD，
∴∠2= ▲ （两直线平行，同位角相等），
又∵∠1=∠2（已知），
∴∠1=∠3（等量代换），
∴AB∥ ▲ （　　）
∴∠BAC＋ ▲ =180°（　　）
∵∠BAC=70°，
∴∠AGD=110°.
【答案】解：∵EF∥AD，
∴∠2=∠3（两直线平行，同位角相等），
又∵∠1=∠2（已知），
∴∠1=∠3（等量代换），
∴AB∥DG（内错角相等，两直线平行），
∴∠BAC+∠AGD=180°（两直线平行，同旁内角互补），
∵∠BAC=70°，
∴∠AGD=110°.
故答案为：∠3；DG；内错角相等，两直线平行；∠AGD；两直线平行，同旁内角互补.
【解析】【分析】根据平行线性质推出∠1=∠3，根据平行线判定推出AB∥DG，根据平行线性质推出∠BAC+∠AGD=180°，把∠BAC=70°代入计算求出即可.
41．如图，AB∥CD，∠ABD的平分线与∠CDB的平分线相交于点E，求∠1+∠2 的度数.
【答案】解：∵AB//CD，
∴∠ABD+∠BDC=180°.
∵BE平分∠ABD，
∴.
∵DE平分∠BDC，
∴.
∴.
【解析】【分析】利用平行线性质得到∠ABD+∠BDC=180°，利用角平分线定义得到，，于是可得∠1和∠2的和.
42．一艘轮船在静水中的最大航速为 30km/h，它以最大航速沿江顺流航行120km 所用时间与以最大航速逆流航行60km所用的时间相同，求江水的流速.
【答案】解：设江水的流速为 xkm/h，根据题意，得
解得x=10.
经检验，x=10是原方程的解.
答： 江水的流速为10km/h
【解析】【分析】设江水的流速为 xkm/h，根据“ 顺流航行120km 所用时间与以最大航速逆流航行60km所用的时间相同 ”列方程求出x的值并检验解答即可.
43．如图，已知，，，试说明的理由．
解：因为（已知），所以（　　）．
因为（已知），所以 ▲ （　　）．
因为（已知），所以（　　）
即．
所以 ▲ ．所以（　　）．
【答案】解：因为（已知），所以（两直线平行，同位角相等）．
因为（已知），所以（等量代换）．
因为（已知），所以（等式性质）．
即．所以．
所以（内错角相等，两直线平行）．
【解析】【分析】由两直线平行，同位角相等，可得，结合已知利用等量代换可得，由∠3=∠4，利用等式的性质可得，即得， 根据内错角相等，两直线平行即证结论.
44．通过小学的学习，我们知道：周长一定的长方形中，正方形的面积最大．此结论可以利用图形的割补加以说明．
（1）【方法理解】
已知长方形的周长是12，设长方形的一边长是，则相邻一边长是．
①当时，如图1，将此长方形进行如下割补．如图2，长方形的一边长是，相邻一边长是______．如图3，将长方形割补到长方形的右侧，阴影部分是一个边长为______的正方形（以上两空，均用含的代数式表示）．通过上述割补，图1中长方形的面积可以看成图3中两个正方形的面积之差，所以代数式、、满足的等量关系是______；
②当时，类似上述过程进行割补；
③当时，该长方形即为正方形；
综上分析，周长是12的长方形的最大面积是______；
（2）【方法迁移】
当时，仿照上述割补过程，求代数式的最大值．
【答案】（1）；；；9；
（2）解：依题意有，
当时，如图，阴影部分是边长为的正方形，
，
当时，如图，阴影部分是边长为的正方形，
，
当时，该长方形为边长是4的正方形，
边长是和的长方形的最大面积是16，
的最大值为．
【解析】【解答】（1）解：如图2，长方形的一边长是，相邻一边长为，
如图3，阴影部分是一个边长为的正方形，长方形、和阴影部分组成一个边长为3的正方形，
-，
当时，用类似上述过程进行割补，可以得到-，
综上分析，周长是12的长方形的最大面积是9．
故答案为：；；；9；
【分析】（1）根据图形面积的求法整理算式即可得到答案；
（2）先将代数式化为，根据题中图形面积的求法画出相应的图形，求出的最大值，进而求出的最大值．
45．已知∶直线分别与直线，相交于点，，并且
（1）如图1，求证∶；
（2）如图 2，点在直线，之间，连接，，求证∶；
【答案】（1）证明：，．
，
；
（2）证明：如图，过点作，
又，
．
，．
．
【解析】【分析】（1）根据已知及对顶角相等可得∠BGF+∠DHE=180°，从而根据同旁内角互补，两直线平行，得AB∥CD；
（2）过点M作MR∥AB，根据平行于同一直线的两条直线互相平行，可得AB∥CD∥MR，根据二直线平行，内错角相等，可得∠GMR=∠AGM，∠HMR=∠CHM，最后根据角的构成及等量代换可得结论.
46．如图，，在的右侧，平分，平分，所在直线交于点，．
（1）若，求的度数；
（2）将线段沿方向平移，使得点在点的右侧，其他条件不变，若，求的度数．
【答案】解：（1）作，如图1，
平分，平分，
，，
，
，
，，
；
（2）作，如图2，
平分，平分，
，，
，
，
，，
．
如图3，
平分，平分，
，，
，
，
，
．
如图4，
平分，平分，
，，
，
，
，
而，
．
综上所述，的度数为或．
【解析】【分析】（1）作EF//AB，先利用角平分线的定义可得，，再利用平行线的性质可得，，最后利用角的运算求出∠BED的度数即可；
（2）分类讨论：先分别画出图形，再利用角平分线的定义求出，，最后利用角的运算求解即可.
47．若 ，试求x与y的值．
【答案】解：依题可得：
，
（1）×3-（2）×2得：
13x=22，
∴x=，
将x=代入（1）得：
y=-.
∴方程组的解为：.
【解析】【分析】根据绝对值的非负性可得一个关于x和y的二元一次方程组，解之即可得x和y的值.
48．某市的生产总值从3月到6月持续增长，3月的生产总值为 a，假设每个月的增长率都为 x.
（1）分别求该市4月、5月、6月的生产总值.
（2）求该市 3月、4月、5月这三个月的生产总值之和与 6月的生产总值的比.
（3）若x=10%，则(2)中的比值是多少
【答案】（1）解：该市4月份的生产总值为：a(1+x)；
该市5月份的生产总值为：a(1+x)(1+x)=a(1+x)2；
该市6月份的生产总值为：a(1+x)2(1+x）=a(1+x)3；
（2）解： 该市3月、4月、5月这三个月的生产总值之和为：
a+a(1+x)+a(1+x)2=a+a+ax+a+2ax+ax2=3a+3ax+ax2
∴ 该市 3月、4月、5月这三个月的生产总值之和与 6月的生产总值的比 ；
（3）解：当x=10％时，原式=.
【解析】【分析】（1）用a×(1+增长率)可表示出4月份的生产总值，用a×(1+增长率)(1+增长率)可表示出5月份的生产总值，用a×(1+增长率)(1+增长率)(1+增长率)可表示出6月份的生产总值；
（2）根据整式混合运算的运算顺序可求出该市3月、4月、5月这三个月的生产总值之和，进而根据分式的约分计算可计算出该市3月、4月、5月这三个月的生产总值之和与 6月的生产总值的比；
（3）将x的值代入（2）化简的结果计算可得答案.
49．对于任意一个四位数m，若千位上的数字与个位上的数字之和是百位上的数字与十位上的数字之和的2倍，则称这个四位数m为“共生数”.例如：m=3507，因为3+7=2×(5+0)，所以3507是“共生数”；m=4135，因为4+5≠2×(1+3)，所以4135不是“共生数”.
（1）判断5313，6437是否为“共生数” 请说明理由.
（2）对于“共生数”n，当十位上的数字是千位上的数字的2倍，百位上的数字与个位上的数字之和能被9整除时，记求满足 F(n)各数位上的数字之和是偶数的所有n.
【答案】（1）解∵5+3=2×(3+1)，
∴5 313是“共生数”.
∵6+7≠2×(3+4)，
∴6 437不是“共生数”.
（2）解：∵n是“共生数”，根据题意，个位上的数字要大于百位上的数字，
设n的千位上的数字为a，则十位上的数字为2a(1≤a≤4)，设n的百位上的数字为b，
∵个位和百位都是0~9的数字，
∴个位上的数字为9-b，且9-b>b，∴0≤b≤4.
∴n=1000a+100b+20a+9-b.
由于n是“共生数”，
∴a+9-b=2×(2a+b)，即a+b=3，
可能的情况有
∴n的值为1227或2148或3069，各数位和为偶数的有2148和3069，
∴n的值是2148或3069.
【解析】【分析】 （1）根据共生数的定义，通过计算即可判断两个四位数是否为共生数；
（2）需结合共生数的条件、十位与千位的关系、百位与个位之和的条件，以及F(n)的数位和为偶数的限制，逐步求解可能的n值即可。
50．如图1的两个长方形可以按不同的形式拼成图2和图3两个图形．
（1）在图2中的阴影部分的面积可表示为 ；（写成多项式乘法的形式）；在图3中的阴影部分的面积可表示为 ；（写成两数平方差的形式）；
（2）比较图2与图3的阴影部分面积，可以得到的等式是；
A．
B．
C．
（3）请利用所得等式解决下面的问题：
①已知，，则　　；
②计算的值，并直接写出该值的个位数字是多少．．
【答案】（1），
（2）B
（3）解：①3，
②原式
，
而，，，，，，，，
所以的个位数字为6．
【解析】【解答】（1）解：图2的阴影部分是长为，宽为的长方形，因此面积为，
图3中阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即，
故答案为：，；
（2）由图2、图3面积相等得，，
故选：B；
（3）①，即，而，
，
故答案为：3.
【分析】（1）利用长方形的面积公式列出算式即可得到答案；
（2）利用不同的表达式表示同一个图形的面积即可得到答案；
（3）①利用平方差公式的定义及计算方法分析求解即可；
②先将原式变为，再利用平方差公式计算即可.
（1）解：图2的阴影部分是长为，宽为的长方形，因此面积为，
图3中阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即，
故答案为：，；
（2）由图2、图3面积相等得，，
故选：B；
（3）①，即，而，
，
故答案为：3；
②原式
，
而，，，，，，，，
所以的个位数字为6．
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