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浙教版2025—2026学年七年级下册期末名校热题精选卷
数 学
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1． 某品牌手机自主研发了最新型号芯片，其晶体管极的宽度为0.000000007毫米，将数据0.000000007用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
2．若完全平方式（3x+a）=9x2+12x+b，则a+b=（　　）
A．4 B．6 C．8 D．12
3．如图，将木条a，b与c钉在一起，∠1＝85°，∠2＝50°，要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是（　　）
A．50° B．35° C．25° D．15°
4．下列由左到右的变形，属于因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
5．在物理学中，物质的密度等于由物质组成的物体的质量与它的体积之比，即．已知两个物体的密度之比为，当物体的质量是，物体的质量是时，物体的体积比物体的体积大．如果设物体的体积是，那么根据题意列方程为（　　）
A． B．
C． D．
6．下列方程中，能与方程组成二元一次方程组，且解为的方程为（　　）
A． B． C． D．
7．如图，添加下列一个条件后，不能判定的是（　　）
A． B．
C． D．
8．如图，10块相同的长方形墙砖拼成一个长方形，设长方形墙砖的长和宽分别为x厘米和y厘米，则依题意列方程组正确的是（　　）
A． B． C． D．
9．阅读理解：如果，我们可以先将等式两边同时平方得到，再根据完全平方公式计算得：，即，所以． 请运用上面的方法解决下面问题：如果，则的值为（　　）
A．8 B．6 C．4 D．2
10．如图5，点在延长线上，交于，且，，比的余角小，为线段上一动点，为上一点，且满足，为的平分线．则下列结论：①；②平分；③；④的角度为定值．
其中正确结论的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．　 　．
12．如图，在中，，将沿方向平移的长度得到，已知．则图中阴影部分的面积 　 　．
13．小明去超市购买了若干个叠放在一起的纸杯．根据图中的信息估计纸杯有　 　个．
14．关于x，y的二元一次方程组的解满足，则　 　．
15．已知，，则　 　．
16．如图，的角平分线、相交于F，，，且于G．下列结论：①；②平分；③；④．其中正确的结论是　 　．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．解方程组：
（1）；
（2）．
18．因式分解：
（1）；
（2）．
19．为有效落实“双减”政策，丰富校园文化生活，发展学生的兴趣与特长，促进学生的全面发展．白银市某中学对学生最喜欢的课外活动进行了随机抽样调查，要求每人只能选择其中的一项．根据得到的数据，绘制的折线统计图如图所示，根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）这次共调查了多少名学生？
（2）若将折线统计图绘制成如图所示的扇形统计图（不完整），求在扇形统计图中，科技部分所对应的扇形圆心角的度数．
20． 已知：如图， ， .
（1）判断GD与CA的位置关系，并说明理由；
（2）若DG平分 ， ，求 的度数.
21．王老师积极响应“低碳环保，绿色出行”的号召，将上下班的交通方式由驾车改为骑自行车，王老师家距离学校6千米，在相同的路线上，驾车的平均速度是骑自行车的平均速度的3倍，所以王老师每天上班要比开车早出发15分钟，才能按原驾车的时间到达学校．
（1）求王老师驾车的平均速度；
（2）据测算，王老师的汽车在上下班行驶过程中平均每小时碳排放量约为2.4千克，按这样计算，王老师一天（按一个往返计算）可以减少多少碳排放量？
22．对于关于 x，y 的二元一次方程组（其中是常数），给出如下定义：若该方程组的解满足，则称这个方程组为“开心”方程组.
（1）下列方程组是“开心”方程组的是　 　（只填写序号)
①②③
（2）若关于x，y的方程组是“开心”方程组，求k的值；
（3）若对于任意的有理数m，关 于x，y的方程组都是“开心”方程组，求ab的值.
23．“数无形不立，形无数不彰”，我们常借助几何图形解释或分析代数问题如图，是一个面积为的图形，同时此图形中有个边长为的正方形，个边长为的正方形，个两边长分别为和的长方形，从而可以得到乘法公式．
（1）如图，若，，则图中阴影部分的面积为 ．
（2）若，求代数式的值．
（3）观察图，
①从图中得到 ．
②根据得到的结论，解决问题：已知，，，求代数式的值．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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浙教版2025—2026学年七年级下册期末名校热题精选卷
数 学
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1． 某品牌手机自主研发了最新型号芯片，其晶体管极的宽度为0.000000007毫米，将数据0.000000007用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵ 0.000000007 =7×
∴ 将数据0.000000007用科学记数法表示为 ：7×；
故答案为：C .
【分析】根据科学记数法， 数学术语，是指把一个大于10(或者小于1)的整数记为a×10n的形式(其中| 1| ≤| a| ＜| 10| )的记数法，可以计算出此题的正确答案.
2．若完全平方式（3x+a）=9x2+12x+b，则a+b=（　　）
A．4 B．6 C．8 D．12
【答案】B
【解析】【解答】解：∵ （3x+a）2=9x2+12x+b，
∴（3x+a）2=9x2+6xa+a2，
∴9x2+6xa+a2=9x2+12x+b
∴6a=12，a2=b，
∴a=2，b=4
∴a+b=6；
故答案为：B.
【分析】根据完全平方式的特点，把代数式的左边按照完全平方式展开，再与右边的式子对比，计算出a，b的值.
3．如图，将木条a，b与c钉在一起，∠1＝85°，∠2＝50°，要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是（　　）
A．50° B．35° C．25° D．15°
【答案】B
【解析】【解答】解：如图．
时，，
要使木条与平行，木条旋转的度数至少是．
故答案为：B.
【分析】由同位角相等两直线平行求出旋转后∠2的同位角的度数，用角的和差可求出旋转的度数．
4．下列由左到右的变形，属于因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：选项A、C、D没有写成积的形式，故A、C、D选项不符合题意；
B选项，根据平方差公式写成积的形式，故选项B正确.
故答案为：B.
【分析】根据因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式乘积的形式，即可得解.
5．在物理学中，物质的密度等于由物质组成的物体的质量与它的体积之比，即．已知两个物体的密度之比为，当物体的质量是，物体的质量是时，物体的体积比物体的体积大．如果设物体的体积是，那么根据题意列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解： 设物体A的体积是 ，则物体B的体积为，
∵两个物体的密度之比为，
∴可列方程为，
故答案为：D．
【分析】设物体A的体积是 ，则物体B的体积为，根据物质的密度等于由物质组成的物体的质量m与它的体积v之比 分别表示出A、B两个物体的密度分别为与，进而结合A、B两个物体的密度之比等于3∶1，列出方程，进而根据比例性质变形得.
6．下列方程中，能与方程组成二元一次方程组，且解为的方程为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：A、x=1时，y=-1，故是方程y=-x的解，可组成满足题意的二元一次方程组.
B、组成的不是二元一次方程，故不符合题意；
C、x=1时，y=-2，故不是方程3x+2y=-1的解，故不能组成满足题意的二元一次方程组.
D、x=1时，y=，故不是方程的解，故不能组成满足题意的二元一次方程组.
故答案为：A.
【分析】先判断是否是选项所给方程的解，是，则能组成满足条件的二元一次方程组；不是，则不能组成.
7．如图，添加下列一个条件后，不能判定的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：∵，即，
∴，
故A不符合题意；
∵，
∴，
不能判定，
故B符合题意；
∵，
∴，
故C不符合题意；
∵，即，
∴，
故D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据平行线的判定定理，求解即可．
8．如图，10块相同的长方形墙砖拼成一个长方形，设长方形墙砖的长和宽分别为x厘米和y厘米，则依题意列方程组正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：根据图示可得：长方形的宽可表示为，
又长方形的宽是75厘米，故，
长方形的长可以表示为，又表示为，故，
整理可得，
联立两个方程可得．
故答案为：C．
【分析】根据图形可得长方形的宽为，长方形的长可以为，再联立方程组可得，从而得解.
9．阅读理解：如果，我们可以先将等式两边同时平方得到，再根据完全平方公式计算得：，即，所以． 请运用上面的方法解决下面问题：如果，则的值为（　　）
A．8 B．6 C．4 D．2
【答案】B
【解析】【解答】解：，两边同时除以x，得，移项，得， 等式两边同时平方得到，所以，即=6.
故答案为：B.
【分析】先两边同时除以x，将问题转化为阅读理解中的问题，再用其中的方法解决问题.
10．如图5，点在延长线上，交于，且，，比的余角小，为线段上一动点，为上一点，且满足，为的平分线．则下列结论：①；②平分；③；④的角度为定值．
其中正确结论的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【解析】【解答】解：∵，
∴AE∥BD，
∴，
∵，
∴，
∴，结论①正确；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴平分，结论②正确；
∵，
∴，
∵比的余角小，
∴，
∵，，
∴，结论③正确；
∵为的平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，结论④正确；
故正确的结论是①②③④；
故答案为：D．
【分析】根据平行线的判定与性质、余角和补角的性质，角平分线的性质等准确分析计算，逐一判断即可.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：原式
，
故答案为：，
【分析】本题考查了利用平方差公式计算，原式中利用平方差公式变成后，逐步利用平方差公式进行计算即可．
12．如图，在中，，将沿方向平移的长度得到，已知．则图中阴影部分的面积 　 　．
【答案】19.5
【解析】【解答】解：由平移的性质得，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：19.5．
【分析】先根据平移的性质得到BC=EF=8，S△DEF=S△ABC，从而利用割补法可推出S梯形ACGD=S梯形BEFG，最后根据梯形的面积公式计算即可．
13．小明去超市购买了若干个叠放在一起的纸杯．根据图中的信息估计纸杯有　 　个．
【答案】50
【解析】【解答】解：设每两个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高，单独一个纸杯的高度为，由题意得，
解得，
∴设个纸杯叠放在一起的高度为，
则，解得：，
故答案为：
【分析】设每两个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高，单独一个纸杯的高度为，进而根据题意即可列出二元一次方程组，从而即可得到x和y的值，再结合题意即可得到，从而得到n.
14．关于x，y的二元一次方程组的解满足，则　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：
①+②得：
∴
∵，
∴
∴，
故答案为：.
【分析】根据题意①+②得：即结合题意得到关于k的方程：进而即可求出k的值.
15．已知，，则　 　．
【答案】
【解析】【解答】①，
②，
①-②得：2y+10z=0，即y=-5z
①+②得：2x+4z=0，即x=-2z
【分析】在，中，未知数系数相同，xy的系数互为相反数，通过两个式子相减或相加，即可用z的代数式表示出x，y，进而得出答案。
16．如图，的角平分线、相交于F，，，且于G．下列结论：①；②平分；③；④．其中正确的结论是　 　．
【答案】①③④
【解析】【解答】 解：①∵ ，
，
又 是 的角平分线，
，故①正确；
②无法证明 平分 ，故②错误；
③ ，
，
平分 ，
，
．
∵ ，且 ，
，即 ，
，故③正确；
④ ， ，
，
，
，故④正确．
故答案为：①③④．
【分析】利用角平分线的定义，平行线的性质及角的运算和等量代换逐项判断即可.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．解方程组：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：整理得：
得：，
解得：，
把代入得：
解得：，
∴；
（2）解：整理得：，
得：，
解得：，
把代入②得：
解得：，
∴；
【解析】【分析】（1）利用加减消元法进行求解即可；
（2）利用加减消元法进行求解即可；
18．因式分解：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：原式=-3（）
=.
（2）解：原式=
.
【解析】【分析】(1)先提取公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可；
(2)现将等式变形再提取公因式，最后利用平方差公式进行因式分解即可．
（1）解：
；
（2）解：
．
19．为有效落实“双减”政策，丰富校园文化生活，发展学生的兴趣与特长，促进学生的全面发展．白银市某中学对学生最喜欢的课外活动进行了随机抽样调查，要求每人只能选择其中的一项．根据得到的数据，绘制的折线统计图如图所示，根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）这次共调查了多少名学生？
（2）若将折线统计图绘制成如图所示的扇形统计图（不完整），求在扇形统计图中，科技部分所对应的扇形圆心角的度数．
【答案】（1）解：由图可知，（名）．
答：这次共调查了名学生
（2）解：．
答：在扇形统计图中，科技部分所对应的扇形圆心角的度数为
【解析】【分析】（1）利用折线统计图的数据求和即可得到答案.
（2）利用科技部分所占的百分比乘以即可得到科技部分所对应的扇形圆心角的度数．
（1）解：由图可知，（名）．
答：这次共调查了名学生．
（2）．
答：在扇形统计图中，科技部分所对应的扇形圆心角的度数为．
20． 已知：如图， ， .
（1）判断GD与CA的位置关系，并说明理由；
（2）若DG平分 ， ，求 的度数.
【答案】（1）解：，理由如下：
∵，
∴.
又∵，
∴.
∴
（2）解：∵平分，
∴.
∵，
∴.
∴.
∵，
∴.
∴
【解析】【分析】（1）由线平行得到角互补，即，然后结合条件可知，根据内错角相等，两直线平行可知GD与CA是平行关系；
（2）根据平行线的性质，得到. 根据角平分线的定义，可得到 即再根据平行线的性质即可得出 的度数， 然后根据两直线平行，同位角相等解答即可
21．王老师积极响应“低碳环保，绿色出行”的号召，将上下班的交通方式由驾车改为骑自行车，王老师家距离学校6千米，在相同的路线上，驾车的平均速度是骑自行车的平均速度的3倍，所以王老师每天上班要比开车早出发15分钟，才能按原驾车的时间到达学校．
（1）求王老师驾车的平均速度；
（2）据测算，王老师的汽车在上下班行驶过程中平均每小时碳排放量约为2.4千克，按这样计算，王老师一天（按一个往返计算）可以减少多少碳排放量？
【答案】（1）解：设王老师骑自行车的平均速度为千米/小时，则王老师驾车的平均速度为千米/小时，
由题意得：，
解得，
经检验，是所列分式方程的解，
则，
答：王老师驾车的平均速度为48千米/小时．
（2）解：王老师驾车往返学校所需的时间为（小时），
则（千克），
答：王老师一天（按一个往返计算）可以减少千克碳排放量．
【解析】【分析】（1）设王老师骑自行车的平均速度为千米/小时，则王老师驾车的平均速度为千米/小时，根据王老师每天上班要比开车早出发15分钟，才能按原驾车的时间到达学校建立方程，解方程即可求出答案.
（2）根据时间=路程÷速度可得求出王老师驾车往返学校所需的时间，再乘以王老师的汽车在上下班行驶过程中平均每小时碳排放量即可求出答案.
（1）解：设王老师骑自行车的平均速度为千米/小时，则王老师驾车的平均速度为千米/小时，
由题意得：，
解得，
经检验，是所列分式方程的解，
则，
答：王老师驾车的平均速度为48千米/小时．
（2）解：王老师驾车往返学校所需的时间为（小时），
则（千克），
答：王老师一天（按一个往返计算）可以减少千克碳排放量．
22．对于关于 x，y 的二元一次方程组（其中是常数），给出如下定义：若该方程组的解满足，则称这个方程组为“开心”方程组.
（1）下列方程组是“开心”方程组的是　 　（只填写序号)
①②③
（2）若关于x，y的方程组是“开心”方程组，求k的值；
（3）若对于任意的有理数m，关 于x，y的方程组都是“开心”方程组，求ab的值.
【答案】（1）②
（2）解：
①+②得：7x+7y=3k+8，
解得
是“开心”方程组，
∴|x+y|=1，
∴
解得：k=-或 k=-5.
（3）解：∵对于任意的有理数m，关于x，y的方程组都是“开心”方程组，
，
联立得：
或
解得：或
①把代入得：，
整理得，
∵m为任意有理数，
∴，，解得：，，
∴；
②把代入得：，
整理得.
∵m为任意有理数，
∴，，解得：，，
∴；
综上所述，ab的值为或.
【解析】【解答】解：（1）①由于存在方程，即，不属于“开心”方程组；②存在方程，属于“开心”方程组；③将上下方程相加，得4x+4y=6，整理可得，即，不属于“开心”方程组.
故答案为：②.
【分析】（1）根据“开心”方程组的定义，只要在方程组中能直接找到或整理后找到即为“开心”方程组；
（2）将原方程组的上下方程相加，可得，由于原方程组是“开心”方程组，则必有，根据绝对值定义求出两个不同的k值；
（3）由于方程组属于“开心”方程组，则可联立求出可能得x、y值，再将不同的x、y值分别代入，由于m为任意有理数下均成立，即对整理后，m的系数必然为0，故可以得到关于a、b的方程，解之即可.
23．“数无形不立，形无数不彰”，我们常借助几何图形解释或分析代数问题如图，是一个面积为的图形，同时此图形中有个边长为的正方形，个边长为的正方形，个两边长分别为和的长方形，从而可以得到乘法公式．
（1）如图，若，，则图中阴影部分的面积为 ．
（2）若，求代数式的值．
（3）观察图，
①从图中得到 ．
②根据得到的结论，解决问题：已知，，，求代数式的值．
【答案】（1）
（2）解：因为，
设，，
所以，，
所以，
．
（3）解：①；
因为，，，
所以
，
因为，，
，
所以
．
【解析】【解答】解：（1）因为，，
，
图中阴影部分的面积为：；
故答案为：．
（3），
故答案为：.
【分析】（1）利用可得，再将，求出ab=3，最后求出阴影部分的面积即可；
（2）设，，先求出，，，再求出即可；
（3）①利用图形3中图形的面积列出算式求解即可；
②先求出，再结合，，求出，最后求出即可．
（1）因为，，
，
图中阴影部分的面积为：；
故答案为：．
（2）因为，
设，，
所以，，
所以，
．
（3），
故答案为：；
因为，，，
所以
，
因为，，
，
所以
．
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