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【50道解答题·强化训练】浙教版数学八年级下册期末总复习
1．已知小聪家与学校相距3000米，他从家里出发骑自行车去学校，设速度为（米/分），到达学校所用的时间为（分）．
（1）求关于的函数表达式．这个函数是反比例函数吗？如果是，说出比例系数．
（2）求当时自变量的值，并说明这个值的实际意义．
（3）利用关于的函数表达式说明：若小聪到达学校所用的时间减少到原来的，则他骑车的速度应怎样变化？
2．快递业的发展，为全国各地的商品及时走进千家万户提供了极大便利，不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势．茶叶经销商小杜经过初步了解，打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作，为此收集了10家茶叶经销商对两家公司的相关评价，并整理，描述，分析如下：
（一）配送速度得分（满分10分）：
甲：
乙：
（二）服务质量得分统计图（满分10分）：
（三）配送速度和服务质量得分统计表：
配送速度得分 服务质量得分
平均数 中位数 平均数 方差
甲 7.8 7
乙 8 8 7
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表格中的　 　，　 　（填“＞”，“＝”或“＜”）．
（2）综合上表中的统计量，你认为小杜应选择哪家公司？请说明理由．
3．已知一个多边形的内角和与外角和的差为1080°．
（1）求这个多边形的边数．
（2）求此多边形的对角线条数．
4．写出下列问题中所满足的关系式，并指出各个关系式中，哪些是变量 哪些是常量
（1）用总长为60 m的篱笆围成长方形场地，长方形的面积S(m2)与一边长x(m)之间的关系；
（2）购买单价是0.4元的铅笔，总金额y(元)与购买的铅笔的数量x(支)之间的关系；
（3）运动员在400 m一圈的跑道上训练，他跑一圈所用的时间t(s)与跑步的速度v(m/s)的关系.
5．如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，的顶点、点D和线段EF的端点均在小正方形的顶点上．
（1）在方格纸中画出关于点D成中心对称的（点A的对称点是点M，点B的对称点是点N，点C的对称点是点P），点M、N、P在小正方形的顶点上；
（2）在方格纸中画出以EF为斜边的，且，点G在小正方形的顶点上．连接NG，请直接写出线段NG的长．
6．如图，在ABCD中，点P是对角线AC上一动点，过点P作PM∥DC，且PM=DC，连结BM，CM，BP，PD．
（1）求证：△ADP≌△BCM；
（2）若PA=PC，设△ABP的面积为S，四边形BPCM的面积为T，求的值.
7．如图，一次函数y=ax+b与反比例函数交于点A（1，4）和点B（–2，–2），与y轴交于点C．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）若点P在y轴上，且△PAB的面积等于，求P点的坐标．
8． 在一个边长为的正方形的内部挖去一个长为，宽为的长方形，求剩余部分的面积.
9．有长为30米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10米），围成中间隔有一道篱笆（平行于）的矩形花圃，设花圃的一边为米．
（1）如果要围成面积为平方米的花圃，那么的长是多少米？
（2）能围成面积为平方米的花圃吗？若能，求出的长，若不能，请说明理由．
10．八年级（3）班同学要在广场上布置一个矩形的花坛，计划用红花摆成两条对角线，
（1）如果一条对角线用了18盆红花，还需要从花房运来________盆红花．
（2）如果矩形较短的边为，两条对角线所夹的锐角为；求该矩形花坛的面积．
11．如图，在正方形ABCD中，，延长AB至点E，使，F是DE的中点，求线段BF的长度．
12．交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商销售A品牌头盔，此种头盔的进价为30元/个，经测算，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个．
（1）为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？
（2）能否通过涨价使经销商平均每月销售这种头盔的利润达到15000元？如果能，请求出售价应为多少元？如果不能，请说明理由．
13．一个正多边形的每一个内角比每一个外角的5倍还小60°，求这个正多边形的边数及内角和.
14．在中，，点M为边的中点，点D在边上．
（1）若（如图①），求的长；
（2）过点M作与边所在的直线交于点E（如图②），试探究：线段、、三者之间的数量关系，并证明你的结论．
15．如图，双曲线的图象与一次函数的图象交于，两点．
（1）求，的值，并求反比例函数的解析式；
（2）设直线与轴交于点，若为轴上一点，当的面积为时，求点的坐标．
16．定义：若两个二次根式a，b满足a·b=c，且c是有理数，则称a与b是关于c的有理二次根式.
（1）若 与 是关于c的有理二次根式，则c=　 　；
（2）若a与 是关于4的有理二次根式，求a的值；
（3）若 与 是关于12的有理二次根式，求m的值.
17． 某中学举办传统文化知识竞赛，七、八两个年级的学生参加，平均成绩分别为82分，77分.若七、八年级参加这次知识竞赛的学生人数之比为3：2，求所有参赛学生的平均成绩.
18．如图，已知一次函数与反比例函数的图象交于，两点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式．
（2），是反比例函数图象上的两点，请你比较，的大小．
（3）在第一象限内，当为何值时，？请直接写出的取值范围．
19． 如图，在四边形 ABCD 中，E 是AD的中点，CE，BD 交于点 F，DF=FB，连结AF，若 ▲ ，则四边形 AFCB 是平行四边形.
请从(1)AF∥CB；(2)CF=2EF；(3)AF=BC 这三个选项中选择一个作为条件，使结论成立.将选择的序号先填写在横线上，再说明理由.
20．如图，在中，平分，于，为的中点，若，，求的值．
21．已知：a、b、c是△ABC的三边长，化简 － ＋ .
22．某火车站9月30日的客流量为3万人次，下面是该火车站十一期间的客流量统计表，正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数.
日期 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 10月7日
客流量/万人次 +10 -3 -4 -5 +2 0 +3
（1）10月7日的客流量与10月4日相比是增加了还是减少了 增加或减少了多少人
（2）在十一期间该火车站的日平均客流量是多少
23．已知反比例函数与一次函数的图象如图所示．
（1）求点的坐标；
（2）请直接写出时，的取值范围．
24．如图，一次函数的图象与y轴交于点C，与反比例函数的图象交于，两点．
（1）求A、B两点的坐标和反比例函数的表达式；
（2）连接、，求的面积；
（3）在x轴上找一点P，使的值最小，求满足条件的点P的坐标．
25．填空：
解方程： .
移项， 得 ，
配方， 得 x2+6x+　 　=-5+　 　，
即 ，
方程两边同时开方， 得 x+3=　 　，
∴x1=　 　，x2=　 　.
26．城市露营成为一种新的周末生活方式.某公司向厂家购买了精英型帐篷和豪华型帐篷两种产品.已知购买3顶精英型帐篷和2顶豪华型帐篷成本为1650元，1顶精英型帐篷比1顶豪华型帐篷少450元.
（1）求购进的精英型帐篷和豪华型帐篷的单价各是多少？
（2）该公司准备将购进的精英型帐篷进行零售，经过市场调研发现，每顶精英型帐篷售价为200元时，每天销量为60顶，售价每降低1元每天可多售出5顶.该公司现决定对精英型帐篷进行降价销售，若降价m元，若该公司每天销售精英型帐篷的利润为4400元，求精英型帐篷的售价.
27．已知关于的一元二次方程.
（1）求证：无论实数取何值，方程总有两个实数根；
（2）若方程两个根均为正整数，求负整数的值.
28．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴、y轴分别交于点A、B，与反比例函数 的图象在第四象限交于点C，CD⊥x轴于点D，tan∠OAB＝2，OA＝2，OD＝1．
（1）求该反比例函数的表达式；
（2）点M是这个反比例函数图象上的点，过点M作MN⊥y轴，垂足为点N，连接OM、AN，如果S△ABN＝2S△OMN，直接写出点M的坐标.
29．如图，用两个边长为的小方形纸片拼成一个大的正方形纸片，沿着大正方形纸片的边的方向截出一个长方形纸片，能否使截得的长方形纸片的长是宽的2倍，且面积为？请说明理由.
30．如图，在矩形中，点是对角线的中点，过点作交于点，交于，连接，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求的长．
31．某特产店销售核桃，进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售100千克，后经市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天销售可增加20千克，若该专卖店销售该核桃要想平均每天获利2240元，且在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，求每千克核桃应降价多少元？
32．受益于新能源产业的高速发展，我市某汽车零部件生产企业的利润逐年提高，据统计，年利润为亿元，年利润为亿元，求该企业从年到年利润的年平均增长率
33．完成下列各题：
（1）计算：
（2）计算：
（3）若 求 的值.
（4）已知a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简： |b+c|.
34．将进货单价为40元的商品按50元售出，能售出500件，如果该商品涨价1元，其销售量就要减少10件，为了赚取8000元的利润，售价应定为多少元？这时应进货多少件？
35． 如图，平行四边形中，，过点作交的延长线于点，点为的中点，连接．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，且，求四边形的面积．
36．某专卖店出售一款名牌衬衣，衬衣进价为每件100元，在销售过程中发现，该衬衣的日销售量y（件）是销售价x（元）的反比例函数，已知销售定价为150元时，每日可销售20件．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若该专卖店店主期望此种衬衣的日销售利润为1500元．则销售单价应定为多少元？
37．如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，且EC平分．
（1）判断的形状，并说明理由；
（2）若，，求DE的长．
38．定义：已知关于的一元二次方程有两个实数根，，若满足，则称此类方程为“差积方程”．
例如：，
即，
解得，，
∵，
是差积方程．
（1）方程__________（填是或不是）“差积方程”；
（2）若关于的方程是“差积方程”，求出的值．
（3）若关于的方程是“差积方程”，且它的一个实数根为，则__________．
39．在直角坐标系中，反比例函数 ( 为常数，) 的图象与一次函数 (， 为常数，) 的图象交于点 ，.
（1） 求 m 的值和一次函数的表达式.
（2） 当 时，直接写出 x 的取值范围.
（3） 若点 和点 在函数 的图象上，且 ，设 ，当 时，求 P 的取值范围.
40．已知，求的值．
41．如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=24cm，BC=30cm，点P从A向点D以1cm/s的速度运动，到点D即停止．点Q从点C向点B以2cm/s的速度运动，到点B即停止．直线PQ将四边形ABCD截得两个四边形，分别为四边形ABQP和四边形PQCD，则当P，Q两点同时出发，几秒后所截得两个四边形中，其中一个四边形为平行四边形？
42．我国嫦娥六号探测器与地球之间的通信是通过无线电波实现的，电磁波的波长入（单位：m）会随着电磁波的频率f（单位：MHz）的变化而变化，已知某段电磁波在宇宙中，波长入与频率f的部分对应值如下表：
频率f（MHz） 5 10 15 20 25 30
波长（m） 60 30 20 15 12 10
（1）选择合适的函数模型，求出波长（m）关于频率f（MHz）的函数表达式：
（2）嫦娥六号探测器与地球之间的通信要求电磁波的频率f大于300MHz，求它的波长的取值范围。
43．已知关于x的方程x2-6x+m2-4m-4=0有一个根是-1，求m的值。
44．如图，在平行四边形ABCD中，点 P 是射线AB上的一个动点（点P 不与点A，B重合)，连接DP，交对角线AC于点E，连接EB。
（1）当点 P 在线段AB上时，若AB=BC，求证：∠APD=∠EBC；
（2）若AB=BC=4，∠DAB=60°，点 P 在射线AB上运动，当△ADP 为直角三角形时，求线段AP的长；
（3）若AB=BC=4，∠DAB=60°，点 P 在射线AB上运动，当PE+BE 取得最小值时，求 的值。
45．已知：如图，在矩形中，点在边上，以为边作矩形，其中经过点，连接、．
　　
（1）若点是的中点，求证：是的平分线；
（2）若，，，求的长；
（3）若四边形是边长为的正方形，，求出的长．
46．按要求解答问题：
（1）【初步探究】
如图1，已知是等腰直角三角形，将的角的顶点与重合，将三角板绕点转动，交于M，交于．若，则与的数量关系是__________；
（2）【大胆尝试】
如图2，在三角板转动过程中，请探究线段、与之间有怎样的数量关系？并说明理由；
（3）【拓展应用】
如图3，在（2）的条件下，转动三角板，当与边的延长线相交于点时，当时，求的面积．
47．如图，□ABCD放置在平面直角坐标系中，已知点A(-2，0)，B(-6，0)，D(0，3)，点C在反比例函数 ）的图象上.
（1）直接写出点C的坐标，并求反比例函数的表达式.
（2）将 ABCD向上平移得到 EFGH，使点 F 在反比例函数 的图象上，GH 与反比例函数的图象相交于点M，连结AE，求AE的长及点M的坐标.
48．如图，在长方形ABCD中，AB=6cm，AD=2cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以2cm/s的速度向终点B移动，点Q以1cm/s的速度向点D移动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动。设运动的时间为t（s)，问：
（1）当t=1s时，四边形BCQP的面积是多少
（2）当t为何值时，点P和点Q的距离是3cm
（3）当t=　 　s时，以P，Q，D为顶点的三角形是等腰三角形。（直接写出答案)
49．为全面贯彻落实“双减”政策，减轻学生负担，提高学生思维能力，数学学科命名一种“双减点”，定义如下：已知y是x的函数，若函数图象上存在一点，则称点P为函数图象上的“双减点”．
（1）判断直线上是否有“双减点”？若有，直接写出其坐标；若没有，请说明理由．
（2）若反比例函数的图象上存在两个“双减点”C、D，且，请求出k的值．
（3）已知抛物线上存在唯一的“双减点”，且当时，n的最小值为t，求t值．
50．如图，反比例函数图象过点，直线与该反比例函数图象和轴分别交于点和点，连结．
（1）求的面积．
（2）若点在反比例函数图象上，当，求点的坐标．
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【50道解答题·强化训练】浙教版数学八年级下册期末总复习
1．已知小聪家与学校相距3000米，他从家里出发骑自行车去学校，设速度为（米/分），到达学校所用的时间为（分）．
（1）求关于的函数表达式．这个函数是反比例函数吗？如果是，说出比例系数．
（2）求当时自变量的值，并说明这个值的实际意义．
（3）利用关于的函数表达式说明：若小聪到达学校所用的时间减少到原来的，则他骑车的速度应怎样变化？
【答案】（1）解：由题意得：，是反比例函数，比例系数为3000；
（2）解：把代入，得，
解得：t=15
实际意义：当速度为 200米/分时，到达学校所用的时间为15分钟
（3）解： ∵小聪到达学校所用的时间减少到原来的，
∴，
即他骑车的速度应变为原来的倍.
【解析】【分析】（1）直接利用速度等于路程除以时间得反比例函数的解析式，得出答案；
（2）把代入，得，计算求解即可；
（3）直接把函数解析式中的时间换为原来的，从而即可得出速度的变化.
2．快递业的发展，为全国各地的商品及时走进千家万户提供了极大便利，不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势．茶叶经销商小杜经过初步了解，打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作，为此收集了10家茶叶经销商对两家公司的相关评价，并整理，描述，分析如下：
（一）配送速度得分（满分10分）：
甲：
乙：
（二）服务质量得分统计图（满分10分）：
（三）配送速度和服务质量得分统计表：
配送速度得分 服务质量得分
平均数 中位数 平均数 方差
甲 7.8 7
乙 8 8 7
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表格中的　 　，　 　（填“＞”，“＝”或“＜”）．
（2）综合上表中的统计量，你认为小杜应选择哪家公司？请说明理由．
【答案】（1）7.5；＜
（2）从配送速度得分的平均数和中位数分析，乙比甲得分高
选乙公司
或从服务质量得分分析，平均数相同，稳定性甲比乙好
选甲公司
【解析】【解答】解：（1）共10家数据，则中位数为从小到大排列的第5第6位数据的平均数；从得分统计图看，乙数据的波动程度比甲大，故甲的方差小于乙的方差.
【分析】(1)根据中位数和方差的定义即可求解；
(2)需要根据统计量综合判断选择哪家公司，可从配送速度得分判断，也可从服务质量得分判断.
3．已知一个多边形的内角和与外角和的差为1080°．
（1）求这个多边形的边数．
（2）求此多边形的对角线条数．
【答案】解：（1）设这个多边形的边数为，
由题意得，
解得．
答：这个多边形的边数为10．
（2）此多边形的对角线条数．
【解析】【分析】（1）设这个多边形的边数为，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（2）根据多边形的对角线即可求出答案.
4．写出下列问题中所满足的关系式，并指出各个关系式中，哪些是变量 哪些是常量
（1）用总长为60 m的篱笆围成长方形场地，长方形的面积S(m2)与一边长x(m)之间的关系；
（2）购买单价是0.4元的铅笔，总金额y(元)与购买的铅笔的数量x(支)之间的关系；
（3）运动员在400 m一圈的跑道上训练，他跑一圈所用的时间t(s)与跑步的速度v(m/s)的关系.
【答案】（1）S=x(30-x)；变量为S，x，常量为30.
（2）y=0.4x；变量为x，y，常量为0.4.
（3）t=；变量为t，v，常量为400.
【解析】【分析】(1)根据面积问题分析并列出等量关系，根据变量与常量定义即可得出结果；
（2）根据销售问题分析并列出等量关系，根据变量与常量定义即可得出结果；
（3）根据行程问题分析并列出等量关系，根据变量与常量定义即可得出结果。
5．如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，的顶点、点D和线段EF的端点均在小正方形的顶点上．
（1）在方格纸中画出关于点D成中心对称的（点A的对称点是点M，点B的对称点是点N，点C的对称点是点P），点M、N、P在小正方形的顶点上；
（2）在方格纸中画出以EF为斜边的，且，点G在小正方形的顶点上．连接NG，请直接写出线段NG的长．
【答案】（1）解：如图，为所求作图形；
（2）解：如图，为所求作图形；
【解析】【解答】解：(1)，
在图上找到对应的点连线
【分析】（1）根据中心对称图形定义作出即可；
（2）先求出，再利用勾股定理求出NG的长即可。
6．如图，在ABCD中，点P是对角线AC上一动点，过点P作PM∥DC，且PM=DC，连结BM，CM，BP，PD．
（1）求证：△ADP≌△BCM；
（2）若PA=PC，设△ABP的面积为S，四边形BPCM的面积为T，求的值.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD= BC，∠ADC+ ∠BCD =180°．∵PM∥ DC，且PM=DC，∴四边形PMCD是平行四边形，
∴PD=CM，∠PDC+∠DCM= 180°，∴∠ADP= ∠ BCM．在△ADP和△BCM中，，∴△ADP≌△BCM( SAS)． ．
（2）解：如图，作BH⊥AC于点H，DG⊥AC于点G，∵四边形ABCD是平行四边形，△ABC≌△CDA，∴BH= DG，
∴，即S△BCP = 2S△ABP，，即S△ADP=S△ABP．
∵△ADP≌△BCM，∴S△ADP=S△BCM，∴
【解析】【分析】（1）根据已知条件可知四边形PMCD是平行四边形，则根据平行四边形的性质可证△ADP≌△BCM；
（2）根据四边形ABCD是平行四边形，可知△ABC≌△CDA，从而得到同底边上的高BH= DG，得到S△BCP= 2S△ABP，而△ABP和△ADP是同底等高，所以面积相等，四边形BPCM的面积=△BCP的面积+△ACM的面积，而根据（1）可知△ACM的面积=△ADP的面积，从而可得出答案.
7．如图，一次函数y=ax+b与反比例函数交于点A（1，4）和点B（–2，–2），与y轴交于点C．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）若点P在y轴上，且△PAB的面积等于，求P点的坐标．
【答案】解：（1）把A（1，4）代入可得k=4，
∴反比例函数的解析式为，
把A（1，4）和B（-2，-2）代入y=ax+b，
可得 ，解得，
∴一次函数的解析式为y=2x+2.
（2）令y=2x+2中x=0，则y=2∴C（0，2），设M点的坐标为（0，m），
∵△MAB的面积等于，
∴ |m-2| 2+ |m-2| 1=，
∴|m-2|=3∴m-2=±3，
解得m=5或-1，
∴点M的坐标为（0，5）或（0，-1）．
【解析】【分析】（1）根据待定系数法将点A坐标代入反比例函数解析式可得反比例函数的解析式为，再根据待定系数法将点A，B坐标代入一次函数解析式即可求出答案.
（2）根据y轴上点的坐标特征可得C（0，2），设M点的坐标为（0，m），再根据三角形面积建立方程，解方程即可求出答案.
8． 在一个边长为的正方形的内部挖去一个长为，宽为的长方形，求剩余部分的面积.
【答案】解：
.
答：剩余部分的面积为.
【解析】【分析】分别求出正方形与长方形的面积，再用正方形面积减去长方形面积即可．
9．有长为30米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10米），围成中间隔有一道篱笆（平行于）的矩形花圃，设花圃的一边为米．
（1）如果要围成面积为平方米的花圃，那么的长是多少米？
（2）能围成面积为平方米的花圃吗？若能，求出的长，若不能，请说明理由．
【答案】（1）解：米
米，
，
根据题意得：，
解得，(不符合题意，舍去)，
答：如果要围成面积为平方米的花圃，那么的长是7米；
（2）解：不能围成面积为平方米的花圃；
理由如下：
根据题意得：，
整理得：，
，
该方程没有实数根，
故不能围成面积为平方米的花圃．
【解析】【分析】本题考查一元二次方程的应用、一元二次方程根的判别式.(1)已知米，据此可得米，再根据各边长度间的关系为非负数，据此可列出不等式组，解不等式可求出x的取值范围，再利用矩形的面积计算公式及围成花圃的面积为平方米，可列出关于x的一元二次方程，解方程可求出x的值，据此可求出AB的值；
(2)先根据围成花圃的面积为平方米，可列出关于x的一元二次方程，再进行化简，求出一元二次方程根的判别式，进而可判断方程实数根的情况，进而可判定能否围成面积为平方米的花圃.
（1）解：米
米，
，
根据题意得：，
解得，(不符合题意，舍去)，
答：如果要围成面积为平方米的花圃，那么的长是7米；
（2）解：不能围成面积为平方米的花圃；
理由如下：
根据题意得：，
整理得：，
，
该方程没有实数根，
故不能围成面积为平方米的花圃．
10．八年级（3）班同学要在广场上布置一个矩形的花坛，计划用红花摆成两条对角线，
（1）如果一条对角线用了18盆红花，还需要从花房运来________盆红花．
（2）如果矩形较短的边为，两条对角线所夹的锐角为；求该矩形花坛的面积．
【答案】（1）18
（2）解：∵四边形是矩形，∴，，，，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，则，
在中，，
∴．
【解析】【解答】（1）解：∵矩形的对角线互相平分且相等，
∴一条对角线用了18盆红花，
∴还需要从花房运来红花18盆；
故答案为：18；
【分析】本题考查矩形的性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理的应用。
(1)根据矩形的对角线互相平分且相等的性质，两条对角线的长度相等，因此所需红花数量相同，据此得出答案；
(2)由矩形对角线的性质得出，结合对角线夹角判定为等边三角形，求出对角线的长度，再在中利用勾股定理求出的长度，最后根据矩形面积公式计算面积。
（1）解：∵矩形的对角线互相平分且相等，
∴一条对角线用了18盆红花，
∴还需要从花房运来红花18盆；
故答案为：18；
（2）解：∵四边形是矩形，
∴，，，，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，则，
在中，，
∴．
11．如图，在正方形ABCD中，，延长AB至点E，使，F是DE的中点，求线段BF的长度．
【答案】解：如图，连接CF并延长交BE于点G，
在正方形ABCD中，，
∴．
∵F是DE的中点，
∴．
∴F是CG的中点，
∵，
∴．
∴，．
∴，F是CG的中点，
在正方形ABCD中，，
∴．
∴．
∴．
【解析】【分析】 连接CF并延长交BE于点G，证明，可得，，即得 ，再利用勾股定理求出CG的长，然后根据直角三角形斜边中线的性质即得BF=CG，继而得解．
12．交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商销售A品牌头盔，此种头盔的进价为30元/个，经测算，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个．
（1）为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？
（2）能否通过涨价使经销商平均每月销售这种头盔的利润达到15000元？如果能，请求出售价应为多少元？如果不能，请说明理由．
【答案】（1）解：设该品牌头盔的实际售价为y元，
依题意，得：，
∴，
解得：，，
∵尽可能让顾客得到实惠，
∴，
答：该品牌头盔的实际售价应定为50元
（2）解：设该品牌头盔的实际售价为x元，
整理得，
∵，
∴方程无解，
∴不能达到15000元
【解析】【分析】本题以头盔销售利润为背景，考查了一元二次方程在商品定价问题中的应用以及判别式判断方程解的存在性。
(1) 设实际售价为x元，根据“单件利润×销量＝总利润”列出方程，求解后根据“尽可能让顾客得到实惠”选取较小的售价。
(2) 同理列出利润为15000元的方程，计算判别式Δ＜0，判断方程无实数解，说明不能达到该利润。
（1）解：设该品牌头盔的实际售价为y元，
依题意，得：，
∴，
解得：，，
∵尽可能让顾客得到实惠，
∴，
答：该品牌头盔的实际售价应定为50元；
（2）解：设该品牌头盔的实际售价为x元，
整理得，
∵，
∴方程无解，
∴不能达到15000元．
13．一个正多边形的每一个内角比每一个外角的5倍还小60°，求这个正多边形的边数及内角和.
【答案】解：设这个正多边的外角为x，则内角为5x﹣60°，
由题意得：x+5x﹣60＝180，
解得：x＝40，
360°÷40°＝9.（9﹣2）×180°＝1260°
答：这个正多边形的边数是9，内角和是1260°.
【解析】【分析】 设这个正多边的外角为x，则内角为5x﹣60°， 根据内角与相邻外角互补可得 x+5x﹣60＝180， 求出x的值，再利用外角和360°÷一个外角的度数即得边数，然后利用内角和公式进行计算即可.
14．在中，，点M为边的中点，点D在边上．
（1）若（如图①），求的长；
（2）过点M作与边所在的直线交于点E（如图②），试探究：线段、、三者之间的数量关系，并证明你的结论．
【答案】（1）解：连接，
在中，
∵，，
∴，
∵点为边的中点，，
∴是线段的垂直平分线，
∴，
设，则，
在中，
∵，即，
解得，即，
∵，
∴；
（2）解：．理由如下，
作交的延长线于点，连接，
∵
∴，，
∵点为边的中点，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴∠EMN=∠EMD，
又∵EM =EM ，
∴△EMN≌△EMD（SAS），
∴，
∵，，
∴，
∴△EAN为直角三角形，
∴，即．
【解析】【分析】（1）先利用勾股定理求出，再证明是线段的垂直平分线，再利用垂直平分线的性质和勾股定理，求出AD=BD=5，再利用等面积法即可求出MD的长；
（2）作交的延长线于点，证明，推出，，再证明△EMN≌△EMD（SAS），得到，再根据勾股定理即可得到结论．
（1）解：连接，
∵点为边的中点，，
∴是线段的垂直平分线，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理，即，
解得，即，
在中，，，
∴，
∵，
∴；
（2）解：．理由如下，
作交的延长线于点，连接，
∴，，
∵点为边的中点，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴是线段的垂直平分线，
∴，
∵，，
∴，
∴，即．
15．如图，双曲线的图象与一次函数的图象交于，两点．
（1）求，的值，并求反比例函数的解析式；
（2）设直线与轴交于点，若为轴上一点，当的面积为时，求点的坐标．
【答案】（1）解：一次函数的图象经过，两点，
，
解得：，
，
，，
将代入反比例函数中得：，
解得：，
反比例函数的解析式为。
（2）解：如图，
当时，，
解得：，
，
设，则，
的面积为，，
，
，
即，
解得：或，
当的面积为时，点的坐标为或
【解析】【分析】（1）将，两点分别代入，即可求出，的值，进而求出、两点的坐标，再将A、B两点的坐标代入，据此即可求出其解析式；
（2）令y=0，先求出，C的坐标，设，则，根据，代入数据求出的值，即，求出，即可求解。
（1）解：一次函数的图象经过，两点，
，
解得：，
，
，，
将代入反比例函数中得：，
解得：，
反比例函数的解析式为；
（2）如图，
当时，，
解得：，
，
设，则，
的面积为，，
，
，
即，
解得：或，
当的面积为时，点的坐标为或．
16．定义：若两个二次根式a，b满足a·b=c，且c是有理数，则称a与b是关于c的有理二次根式.
（1）若 与 是关于c的有理二次根式，则c=　 　；
（2）若a与 是关于4的有理二次根式，求a的值；
（3）若 与 是关于12的有理二次根式，求m的值.
【答案】（1）6
（2）解：，
；
（3）解：与是关于12的共轭二次根式，
，
．
【解析】【解答】（1）解： ，
∴；
故答案为：6；
【分析】（1）根据二次根式的乘法运算即可；
（2）由新定义可得，然后根据分母有理化计算即可；
（3）由新定义可得，根据分母有理化解答即可.
17． 某中学举办传统文化知识竞赛，七、八两个年级的学生参加，平均成绩分别为82分，77分.若七、八年级参加这次知识竞赛的学生人数之比为3：2，求所有参赛学生的平均成绩.
【答案】解：因为七、八年级参赛学生人数之比为3：2，所以可设七年级参赛学生人数为3x，八年级参赛学生人数为2x(x为正整数)，所以所有参赛学生的平均成绩为 x= (分).
答：所有参赛学生的平均成绩为80分.
【解析】【分析】根据加权平均数计算即可.
18．如图，已知一次函数与反比例函数的图象交于，两点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式．
（2），是反比例函数图象上的两点，请你比较，的大小．
（3）在第一象限内，当为何值时，？请直接写出的取值范围．
【答案】（1）解：把点代入，得，解得，
反比例函数的解析式为；
把点代入，得，
解得．
，
把点代入，
得解得
一次函数的解析式为．
（2）解：反比例函数的解析式为，
在每个象限内，y随x的增大而减小，
，
．

（3）
【解析】【解答】（3）解：由图象可知，在第一象限内，当时，．
【分析】（1）根据待定系数法将点B坐标代入反比例函数解析式可得反比例函数的解析式为，再将点A坐标代入反比例函数可得点A坐标，再根据待定系数法将点A，B坐标代入一次函数解析式即可求出答案.
（2）根据反比例函数的性质即可求出答案.
（3）函数图象位于上方则函数值大，直接观察函数图象解答即可．
（1）解：把点代入，得，解得，
反比例函数的解析式为；
把点代入，得，
解得．
，
把点代入，
得解得
一次函数的解析式为．
（2）解：反比例函数的解析式为，
在每个象限内，y随x的增大而减小，
，
．
（3）解：由图象可知，在第一象限内，当时，．
19． 如图，在四边形 ABCD 中，E 是AD的中点，CE，BD 交于点 F，DF=FB，连结AF，若 ▲ ，则四边形 AFCB 是平行四边形.
请从(1)AF∥CB；(2)CF=2EF；(3)AF=BC 这三个选项中选择一个作为条件，使结论成立.将选择的序号先填写在横线上，再说明理由.
【答案】解：答案不唯一，选择(1)或(2).
选择(1). 理由：∵ E 是 AD 的中点，DF=FB，
∴EF 是△ABD 的中位线，∴EF∥AB.
又∵AF∥CB，
∴四边形 AFCB 是平行四边形(两组对边分别平行的四边形是平行四边形).
选择(2). 理由： ∵ E 是 AD 的中点，DF=FB，
∴EF 是△ABD 的中位线，
∵CF=2EF，∴AB=CF，
∴四边形 AFCB 是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形).
【解析】【分析】根据平行四边形的判定定理求解即可.
20．如图，在中，平分，于，为的中点，若，，求的值．
【答案】解：延长交于点，
平分，，
，．
又，
≌．
，
，即是中点．
为的中点，
为的中位线，
．
【解析】【分析】 延长交于点，根据角平分线性质可得，，再根据全等三角形判断定理可得≌，再根据全等三角形性质，三角形中位线性质即可求出答案。
21．已知：a、b、c是△ABC的三边长，化简 － ＋ .
【答案】解：∵a，b，c是△ABC的三边长，
∴a+b＞c，b+c＞a，b+a＞c，
∴原式=|a+b+c|﹣|b+c﹣a|+|c﹣b﹣a|，
=a+b+c﹣（b+c﹣a）+（b+a﹣c），
=a+b+c﹣b﹣c+a+b+a﹣c，
=3a+b﹣c.
【解析】【分析】根据二次根式的性质可得： ，根据三角形三边关系可得：a+b-c＞0，b+c-a＞0，c-b-a<0，然后化简绝对值.
22．某火车站9月30日的客流量为3万人次，下面是该火车站十一期间的客流量统计表，正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数.
日期 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 10月7日
客流量/万人次 +10 -3 -4 -5 +2 0 +3
（1）10月7日的客流量与10月4日相比是增加了还是减少了 增加或减少了多少人
（2）在十一期间该火车站的日平均客流量是多少
【答案】（1）解：10月4日的客流量为3+10-3-4-5=1万人次，
10月7日的客流量为3+10-3-4-5+2+3=6万人次，6-1=5(万人次)，
答：10月7日的客流量与10月4日相比是增加了，增加了5万人次；
（2）解：根据表格可得从10月1日到10月7日客流量分别为13，10，6，1，3，3，6，(13+10+6+1+3+3+6)÷7=6(万人次)，
答：在十一期间该火车站的日平均客流量是6万人次.
【解析】【分析】（1）根据表格信息结合题意运用有理数的加减运算得到10月4日和10月7日，再相减即可求解；
（2）根据表格结合题意得到从10月1日到10月7日客流量分别为13，10，6，1，3，3，6，进而根据平均数的计算公式即可求解。
23．已知反比例函数与一次函数的图象如图所示．
（1）求点的坐标；
（2）请直接写出时，的取值范围．
【答案】（1）解：反比例函数与一次函的图象交于两点
两点关于原点对称，
又∵，
点B的坐标为；
（2）或
【解析】【解答】解：（2）由图象可知，时，即反比例函数在一次函数上方的部分，
这部分是在B点左侧或者是O和A点之间，
此时x的取值范围或；
【分析】（1）根据反比例函数与正比例函数的性质即可判断两点关于原点对称，由A的坐标，即可得到点B的坐标；
（2）根据图象确定出反比例函数在一次函数上方的部分，即可求解．
（1）解：反比例函数与一次函的图象交于两点
两点关于原点对称，
点B的坐标为
（2）解：由图象可知，时，x的取值范围或
24．如图，一次函数的图象与y轴交于点C，与反比例函数的图象交于，两点．
（1）求A、B两点的坐标和反比例函数的表达式；
（2）连接、，求的面积；
（3）在x轴上找一点P，使的值最小，求满足条件的点P的坐标．
【答案】（1）解：把，两点的坐标代入，得，
，解得，
则、，
把代入，得，
∴反比例函数的表达式为；
（2）解：∵一次函数的图象与y轴交于点C，∴，
∴，
∵、，
∴；
（3）解：作B点关于x轴的对称点，连接交x轴于P点，则，
∵，
∴此时的值最小，
设直线的解析式为，
把点，的坐标代入，得，
解得，
∴直线的解析式为，
当时，，解得：，
∴点P的坐标为．
【解析】【分析】（1）先求出B、C两点坐标，然后运用待定系数法求出解析式即可；
（2）求出点C的坐标，然后利用解题；
（3）作B点关于x轴的对称点，连接交x轴于P点，则，利用两点之间线段最短得到的值最小，再根据待定系数法求出直线的解析式，即可求出点P的坐标．
25．填空：
解方程： .
移项， 得 ，
配方， 得 x2+6x+　 　=-5+　 　，
即 ，
方程两边同时开方， 得 x+3=　 　，
∴x1=　 　，x2=　 　.
【答案】9；9；±2；-1；-5
【解析】【解答】解： .
移项， 得 ，
配方， 得 x2+6x+9=-5+9，即（x+3）2=4，
方程两边同时开方，得x+3=±2，
∴ x1=-1，x2=-5.
故答案为：9；9；±2；-1；-5.
【分析】根据配方法解一元二次方程的步骤，先将常数项移到等号的右边，再在方程的两边加上一次项系数一半的平方“9”，方程的左边利用完全平方公式分解因式后，进行开方将方程降次为两个一元一次方程，解两个一元一次方程即可求得.
26．城市露营成为一种新的周末生活方式.某公司向厂家购买了精英型帐篷和豪华型帐篷两种产品.已知购买3顶精英型帐篷和2顶豪华型帐篷成本为1650元，1顶精英型帐篷比1顶豪华型帐篷少450元.
（1）求购进的精英型帐篷和豪华型帐篷的单价各是多少？
（2）该公司准备将购进的精英型帐篷进行零售，经过市场调研发现，每顶精英型帐篷售价为200元时，每天销量为60顶，售价每降低1元每天可多售出5顶.该公司现决定对精英型帐篷进行降价销售，若降价m元，若该公司每天销售精英型帐篷的利润为4400元，求精英型帐篷的售价.
【答案】（1）解：设购进的精英型帐篷的单价是x元，豪华型帐篷的单价是y元，
根据题意得：
解得：
答：购进的精英型帐篷的单价是150元，豪华型帐篷的单价是600元；
（2）解：根据题意可知，该公司精英型帐篷每天的销量为(60+5m)顶，
根据题意得：(200-m-150)(60+5m)=4400
整理得：
解得：
当m=10时，200-m=200-10=190(元)；
当m=28时，200-m=200-28=172(元)；
答：精英型帐篷的售价为190或172元.
【解析】【分析】(1)设购进的精英型帐篷的单价是x元，豪华型帐篷的单价是y元，根据购买3顶精英型帐篷和2顶豪华型帐篷成本为1650元，1顶精英型帐篷比1顶豪华型帐篷少450元，列出二元一次方程组，解方程组即可；
(2)利用该公司每天销售精英型帐篷的利润=每顶的销售利润×日销售量，列出关于m的一元二次方程，解之即可得出结论.
27．已知关于的一元二次方程.
（1）求证：无论实数取何值，方程总有两个实数根；
（2）若方程两个根均为正整数，求负整数的值.
【答案】（1）证明：，
无论为何值，方程总有两个实数根.
（2）解：，则，，又方程两根均为正整数，则，
，所以负整数.
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程的根的判别式证明。先计算判别式的值，再利用完全平方式的非负性进行证明；
（2）根据因式分解法解方程，可得x1=m，x2=m+1，根据两个根都为正整数求出m的取值范围，再写出符合条件的负整数即可．
28．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴、y轴分别交于点A、B，与反比例函数 的图象在第四象限交于点C，CD⊥x轴于点D，tan∠OAB＝2，OA＝2，OD＝1．
（1）求该反比例函数的表达式；
（2）点M是这个反比例函数图象上的点，过点M作MN⊥y轴，垂足为点N，连接OM、AN，如果S△ABN＝2S△OMN，直接写出点M的坐标.
【答案】（1）解：∵AO＝2，OD＝1，
∴AD＝AO+
OD＝3.
∵CD⊥x轴于点D，
∴∠ADC＝90°.
在Rt△ADC中， ..
∴C（1，－6）.
∴该反比例函数的表达式是 .
（2）点M的坐标为（－3，2）或（ ，－10）
【解析】【分析】（1）根据直角三角形中的三角函数，可得出C点坐标。
（2）根据面积的关系，可得出点M的坐标。
29．如图，用两个边长为的小方形纸片拼成一个大的正方形纸片，沿着大正方形纸片的边的方向截出一个长方形纸片，能否使截得的长方形纸片的长是宽的2倍，且面积为？请说明理由.
【答案】解：不能，
∵大正方形纸片的面积为（）2+（）2=36（cm2），
∴大正方形的边长为6cm，
设截出的长方形的长为2bcm，宽为bcm，
∴2b2=30，
∴b=（取正值），
∵2b=，
∴不能截得长宽之比为2：1，且面积为30cm2的长方形纸片.
【解析】【分析】根据拼图求出大正方形的边长，再根据长方形的长、宽之比为2：1及面积为30cm2，求出长、宽，然后进行验证即可.
30．如图，在矩形中，点是对角线的中点，过点作交于点，交于，连接，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：点是的中点，，∴是的垂直平分线，
，，．
四边形是矩形，
，
．
在和中，
，
，
，
，
四边形为菱形．
（2）解：设，，
∴
四边形是矩形，
．
在中，由勾股定理得，，
∴．
在中，由勾股定理得，，
即，解得，，即．
，
在中，由勾股定理得，，
．
【解析】【分析】（1）根据线段垂直平分线推出和，再利用矩形的性质证明从而推出，即可证明四边形是菱形．
（2）根据勾股定理和已知条件求出的长度，利用设参数和勾股定理求出的长度，最后利用勾股定理和菱形的性质即可求出的长．
31．某特产店销售核桃，进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售100千克，后经市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天销售可增加20千克，若该专卖店销售该核桃要想平均每天获利2240元，且在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，求每千克核桃应降价多少元？
【答案】解：设每千克核桃应降价x元
（60－40－x）（100＋10x）＝2240
得
∵为尽可能让利于顾客，
∴x＝6
答：每千克核桃应降价6元.
【解析】【分析】设每千克核桃降价x元，利用销售量×每件利润=2240元列出方程求解即可；
32．受益于新能源产业的高速发展，我市某汽车零部件生产企业的利润逐年提高，据统计，年利润为亿元，年利润为亿元，求该企业从年到年利润的年平均增长率
【答案】解：设这两年该企业年利润平均增长率为．根据题意得，
解得，（不合题意，舍去）．
答：这两年该企业年利润平均增长率为20%．
【解析】【分析】设这两年该企业年利润平均增长率为．根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
33．完成下列各题：
（1）计算：
（2）计算：
（3）若 求 的值.
（4）已知a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简： |b+c|.
【答案】（1）解：原式：
（2）解：原式
（3）解：
（4）解：由题图可知a<0，a+b<0，c-a>0，b+c<0，
c-a-b-c=-a
【解析】【分析】(1)先把二次根式化为最简二次根式，然后把括号内合并后进行二次根式的乘法运算；
(2)根据分母有理化、零指数幂和负整数指数幂的意义计算；
(3)先计算出a+b和 ab的值，再把原式因式分解，然后利用整体代入的方法计算；
(4)根据二次根式的性质化简即可.
34．将进货单价为40元的商品按50元售出，能售出500件，如果该商品涨价1元，其销售量就要减少10件，为了赚取8000元的利润，售价应定为多少元？这时应进货多少件？
【答案】解：设每件商品涨价x元，则销售单价为 元，销售量为 件．
根据题意，得 ．
解得 ， ．
经检验， ， 都符合题意．
当 时， ， ；
当 时， ， ．
所以，要赚取8000元的利润，售价应定为60元或80元．售价定为60元时，应进货400件；售价定为80元时，应进货200件．
【解析】【分析】设每件商品涨价x元，能赚得8000元的利润；销售单价为 元，销售量为 件；每件的利润为根据为（50+x-40）元，根据总利润=销售量×每个利润，可列方程求解
35． 如图，平行四边形中，，过点作交的延长线于点，点为的中点，连接．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，且，求四边形的面积．
【答案】（1）证明：平行四边形中，，
，
，
，
，
，
四边形是矩形；
（2）解：，点为的中点，，
，
在中，，
平行四边形中，，
在矩形中，，
四边形的面积
．
【解析】【分析】（1）先根据平行四边形的性质和平行线的性质结合题意得到，进而根据平行线的性质得到，再根据矩形的判定即可求解；
（2）先根据直角三角形斜边上的中线的性质得到AB，进而根据勾股定理求出BC，从而根据平行四边形的性质结合矩形的性质得到，，再结合题意即可求解。
36．某专卖店出售一款名牌衬衣，衬衣进价为每件100元，在销售过程中发现，该衬衣的日销售量y（件）是销售价x（元）的反比例函数，已知销售定价为150元时，每日可销售20件．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若该专卖店店主期望此种衬衣的日销售利润为1500元．则销售单价应定为多少元？
【答案】（1）解：设y与x之间的函数关系式为，
由题意得：，
∴，
∴y与x之间为的函数关系式为．
（2）解：由题意得，
解得，
经检验是原方程的解，
∴销售单价应定为200元，
答：销售单价应定为200元．
【解析】【分析】（1）设y与x之间的函数关系式为，根据待定系数法将x=150，y=20代入解析式即可求出答案.
（2）根据总利润=单件利润×总销售量建立方程，解方程即可求出答案.
（1）解：设y与x之间的函数关系式为，
由题意得：，
∴，
∴y与x之间为的函数关系式为．
（2）解：由题意得，
解得，
经检验是原方程的解，
∴销售单价应定为200元，
答：销售单价应定为200元．
37．如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，且EC平分．
（1）判断的形状，并说明理由；
（2）若，，求DE的长．
【答案】（1）是等腰三角形，理由如下：
∵在矩形ABCD中，
∴，
∴，
∵EC平分，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
（2）∵矩形ABCD，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
由（1）知，
∴，
∴．
【解析】【分析】（1）利用平行线的性质及角平分线的定义及等量代换可得，利用等角对等边的性质可得，即可证出是等腰三角形；
（2）先利用矩形的性质及勾股定理求出BE的长，再利用线段的和差求出即可.
38．定义：已知关于的一元二次方程有两个实数根，，若满足，则称此类方程为“差积方程”．
例如：，
即，
解得，，
∵，
是差积方程．
（1）方程__________（填是或不是）“差积方程”；
（2）若关于的方程是“差积方程”，求出的值．
（3）若关于的方程是“差积方程”，且它的一个实数根为，则__________．
【答案】（1）不是
（2）解：，
即，
解得：，，
∵是差积方程，
，
即或．
解得：或；
（3）2
【解析】【解答】（1）解：，
即，
解得：，
，
∴不是差积方程；
（3）解：，
解得：，
，，
∵是差积方程，
，
即，
即，
∵它的一个实数根为，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴．
【分析】（1）根据因式分解法解方程，再根据“差积方程”定义进行判断即可求出答案.
（2）根据因式分解法解方程，再根据“差积方程”定义建立方程，解方程即可求出答案.
（3）根据公式法解方程，再根据“差积方程”定义建立方程，可得，将x=-1代入方程可得，即，再整体代入，即可求出答案.
（1）解：，
即，
解得：，
，
∴不是差积方程；
（2）解：，
即，
解得：，，
∵是差积方程，
，
即或．
解得：或；
（3）解：，
解得：，
，，
∵是差积方程，
，
即，
即，
∵它的一个实数根为，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴．
39．在直角坐标系中，反比例函数 ( 为常数，) 的图象与一次函数 (， 为常数，) 的图象交于点 ，.
（1） 求 m 的值和一次函数的表达式.
（2） 当 时，直接写出 x 的取值范围.
（3） 若点 和点 在函数 的图象上，且 ，设 ，当 时，求 P 的取值范围.
【答案】（1）解：将点A坐标代入反比例函数表达式得：，
所以反比例函数的表达式为.
将点B坐标代入反比例函数表达式得：，
所以点B的坐标为（-3，-2）.
将A，B两点坐标代入一次函数表达式得：
，解得，
所以一次函数的表达式为.
（2）解：由函数图象可知，当时，x的取值范围是：或.
（3）解：∵点M(a，b)和点N(c，d)在函数y1的图象上，
∴，，
由a+c=6得：c=6-a，
∴，
∴1∴1∴1∴，
∴P的取值范围为.
【解析】【分析】(1)先将点A坐标代入反比例函数解析式，求出反比例函数解析式后，再将点B坐标代入反比例函数解析式，最后把A，B两点坐标代入一次函数解析式即可解决问题；
(2)利用数形结合的数学思想即可解决问题；
(3)根据题意先推出推出140．已知，求的值．
【答案】解：∵，
∴，
∴，
∴
【解析】【分析】根据算术平方根的非负性及绝对值的非负性，由两个非负数的和为0，则每一个数都等于0，可求出a、b的值，进而代入待求式子按含括号的乘方运算的运算顺序计算可得答案.
41．如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=24cm，BC=30cm，点P从A向点D以1cm/s的速度运动，到点D即停止．点Q从点C向点B以2cm/s的速度运动，到点B即停止．直线PQ将四边形ABCD截得两个四边形，分别为四边形ABQP和四边形PQCD，则当P，Q两点同时出发，几秒后所截得两个四边形中，其中一个四边形为平行四边形？
【答案】设当P，Q两点同时出发，t秒后，四边形ABQP或四边形PQCD是平行四边形，
根据题意可得：
AP=tcm，PD=（24-t）cm，CQ=2tcm，BQ=（30-2t）cm，
①若四边形ABQP是平行四边形， 则AP=BQ，
∴t=30-2t， 解得：t=10，
∴10s后四边形ABQP是平行四边形；
②若四边形PQCD是平行四边形， 则PD=CQ，
∴24-t=2t， 解得：t=8，
∴8s后四边形PQCD是平行四边形；
【解析】【分析】①若四边形ABQP是平行四边形，则AP＝BQ，进而求出t的值；②若四边形PQCD是平行四边形，则PD＝CQ，进而求出t的值．
42．我国嫦娥六号探测器与地球之间的通信是通过无线电波实现的，电磁波的波长入（单位：m）会随着电磁波的频率f（单位：MHz）的变化而变化，已知某段电磁波在宇宙中，波长入与频率f的部分对应值如下表：
频率f（MHz） 5 10 15 20 25 30
波长（m） 60 30 20 15 12 10
（1）选择合适的函数模型，求出波长（m）关于频率f（MHz）的函数表达式：
（2）嫦娥六号探测器与地球之间的通信要求电磁波的频率f大于300MHz，求它的波长的取值范围。
【答案】（1）解：由表格可知，，；
（2）解：，.
答：波长取值范围为.
【解析】【分析】（1）根据反比例函数的定义可得函数表达式；
（2）根据反比例函数图象性质求得波长的取值范围.
43．已知关于x的方程x2-6x+m2-4m-4=0有一个根是-1，求m的值。
【答案】解：∵方程x2-6x+m2-4m-4=0的一个根是-1，
∴1+6+m2-4m-4=0．
整理，得m2-4m+3=0-
解得m1=1，m2=3
【解析】【分析】把x=-1代入方程得出关于m的方程，解方程求出m的值，即可求解.
44．如图，在平行四边形ABCD中，点 P 是射线AB上的一个动点（点P 不与点A，B重合)，连接DP，交对角线AC于点E，连接EB。
（1）当点 P 在线段AB上时，若AB=BC，求证：∠APD=∠EBC；
（2）若AB=BC=4，∠DAB=60°，点 P 在射线AB上运动，当△ADP 为直角三角形时，求线段AP的长；
（3）若AB=BC=4，∠DAB=60°，点 P 在射线AB上运动，当PE+BE 取得最小值时，求 的值。
【答案】（1）证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，∴∠APD=∠CDP。
∵AB=BC，∴平行四边形ABCD 是菱形，
∴∠ECD=∠ECB，CD=CB.
∵CE=CE，∴△ECD≌△ECB(SAS)，
∴∠EBC=∠CDP，∴∠APD=∠EBC。
（2）解：如图1，当∠APD=90°时，
∵AB=BC=4，∴平行四边形ABCD是菱形，∴AD=AB=4。
∵∠DAB=60°，∴∠ADP=30°，∴AP= AD=2；
如图2，当∠ADP=90°时，
∵∠DAB=60°，∴∠APD=30°，∴AP=2AD=8。
综上所述，线段AP 的长为2或8。
（3）解：∵AB=BC=4，
∴平行四边形ABCD 是菱形，∴AD=AB=4。
易得△ECD≌△ECB，∴BE=DE，∴PE+BE=PE+DE。
如图3，当PD⊥AB时，PE+DE=PD，此时PE+BE最小，
图3
∵∠DAB=60°，∴∠ADP=30°，
∴BP=AB-AP=4-2=2。
在 Rt△ADP中，
∵四边形ABCD 是菱形，∴AC 平分∠DAB，
在 Rt△AEP中，
即 解得
【解析】【分析】本题以菱形中的动点问题为背景，考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的分类讨论及利用对称求线段和的最小值。
（1）由AB=BC得菱形，证△ECD≌△ECB得∠EBC=∠CDP，结合平行线性质得∠APD=∠EBC。
（2）分∠APD=90°和∠ADP=90°两种情况，利用含30°角的直角三角形性质求AP长。
（3）利用全等将BE转化为DE，当PD⊥AB时PE+BE最小，通过勾股定理和30°角性质求相关线段，再计算面积比。
45．已知：如图，在矩形中，点在边上，以为边作矩形，其中经过点，连接、．
　　
（1）若点是的中点，求证：是的平分线；
（2）若，，，求的长；
（3）若四边形是边长为的正方形，，求出的长．
【答案】（1）证明：∵点是的中点，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是的平分线．
（2）解：如图1中，延长交的延长线于．
∵四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
设，
在中，
则有
解得：，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴．
（3）解：如图2，延长交的延长线于．
∵，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
【解析】【分析】（1）证明，可得，可得，利用平行线的性质可得=∠ADE， 继而得解；
（2）延长交的延长线于，证明，可得，，易证EG垂直平分AT，可得EA=ET，设，在中，据此构建关于x方程并解之，从而得出， 再证四边形是平行四边形， 利用平行四边形的性质即可求解；
（3）延长交的延长线于．先求=5，由勾股定理求出AE的长，再利用面积发求出GE的长， 最后利用勾股定理求出AG即可.
46．按要求解答问题：
（1）【初步探究】
如图1，已知是等腰直角三角形，将的角的顶点与重合，将三角板绕点转动，交于M，交于．若，则与的数量关系是__________；
（2）【大胆尝试】
如图2，在三角板转动过程中，请探究线段、与之间有怎样的数量关系？并说明理由；
（3）【拓展应用】
如图3，在（2）的条件下，转动三角板，当与边的延长线相交于点时，当时，求的面积．
【答案】（1）
（2）解：，理由如下：
如图，作，截取，连接、，
为等腰直角三角形，
，，
，，
，
，
，
，，
，
，，，
，
，
，
；
（3）解：设．
，
．
由题意知点在的延长线上，
．
设，则
．
由第（2）问结论可得：
把，，代入得：
，：
即．
与有相同的高（点到斜边的距离），
∴
∵，
∴
解得：．
【解析】【解答】（1）解：，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
；
故答案为：BC=BN；
【分析】（1）由等边对等角及三角形内角和定理得出∠A=∠B=45°，∠ACM=∠AMC，由三角形外角性质及角的构成可推出∠ACN=∠BCM，再根据角的构成及三角形外角性质推出∠BCN=BNC，由等角对等边得出BC=BN；
（2）AN2+BM2=MN2，理由如下：过点C作CK⊥CM，截取CK=CM，连接AK、NK，由等腰直角三角形性质得∠CAB=∠B=45°，AC=BC，由角的构成及同角的余角相等推出∠KCA=∠MCB，从而利用“SAS”证△KCA≌△MCB，得KA=MB，∠KAC=∠B=45°，由角的构成推出∠KAN=90°；再利用“SAS”证△KCN≌△MCN，由全等三角形的对应边相等得MN=KN，在Rt△AKN中利用勾股定理可得AN2+AK2=KN2，利用等量代换可得结论；
（3）设BM=x，则AB=3x，AB=4x；设AN=y，用线段和差表示出MN=4x-y；利用第（2）问结论列方程，化简求出AN与x的关系；由线段和差计算BN的长度，求出BN与AB的比值；利用同高三角形面积比等于底边比，结合S△BCN=8，求出△ABC的面积．
（1）解：，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
；
（2）如图，作，截取，连接、，
为等腰直角三角形，
，，
，，
，
，
，
，，
，
，，，
，
，
，
；
（3）解：设．
，
．
由题意知点在的延长线上，
．
设，则
．
由第（2）问结论可得：
把，，代入得：
，：
即．
与有相同的高（点到斜边的距离），
∴
∵，
∴
解得：．
47．如图，□ABCD放置在平面直角坐标系中，已知点A(-2，0)，B(-6，0)，D(0，3)，点C在反比例函数 ）的图象上.
（1）直接写出点C的坐标，并求反比例函数的表达式.
（2）将 ABCD向上平移得到 EFGH，使点 F 在反比例函数 的图象上，GH 与反比例函数的图象相交于点M，连结AE，求AE的长及点M的坐标.
【答案】（1）解：∵ A(-2，0)，B(-6，0)，D(0，3)，
∴AB=4，OD=3，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB=4，
∴点C（-4，3），
∵ 点C在反比例函数 ）的图象上，
∴k=-4×3=-12，
∴y=；
（2）解：将 ABCD向上平移得到 EFGH，
∴点F与点B的横坐标相等，即点F的横坐标为-6，
把x=-6代入y=中，得y=2，
∴F（-6，2），
∴BF=2，
∴AE=2，DH=2，
∴点M的纵坐标HO=5，
把y=5代入y=中得x=，
∴M（，5）.
【解析】【分析】（1）由A(-2，0)，B(-6，0)，D(0，3)，可得AB=4，OD=3，由平行四边形的性质可得CD=AB=4，即得点C坐标，再把点C坐标代入 中求出k值即可；
（2）由将 ABCD向上平移得到 EFGH，可得点F的横坐标为-6，由点F在反比例函数 的图象上 ，可得F（-6，2），从而求出HO的长，可得点M的纵坐标，继而求出点M的坐标.
48．如图，在长方形ABCD中，AB=6cm，AD=2cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以2cm/s的速度向终点B移动，点Q以1cm/s的速度向点D移动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动。设运动的时间为t（s)，问：
（1）当t=1s时，四边形BCQP的面积是多少
（2）当t为何值时，点P和点Q的距离是3cm
（3）当t=　 　s时，以P，Q，D为顶点的三角形是等腰三角形。（直接写出答案)
【答案】（1）解：∵四边形ABCD是长方形，
∴AB=CD=6cm，AD=BC=2cm，∠A=∠B=∠C=∠D=90°
∵CQ=1cm，AP=2cm，
∴PB=6-2=4(cm)
（2）解：①如图1，作QE⊥AB于点E，
则∠PEQ=90°，QE=BC=2cm，BE=CQ=t(cm)
∵AP=2t(cm)，
∴PE=6-2t-t=6-3t(cm)。
在Rt△PQE中，由勾股定理得
解得
②如图2，作PE⊥CD于点E，
则∠PEQ=90°，PE=BC=2cm，BP=CE=6-2t(cm)
∵CQ=t(cm)，
∴QE=t-(6-2t)=3t-6(cm)
在Rt△PEQ中，由勾股定理得 解得
综上所述，t的值为 或
（3）或
【解析】【解答】解：(1)如图3，当PQ=DQ时，作QE⊥AB于E，
∴∠PEQ=90°
∵∠B=∠C=90°
∴四边形BCQE是矩形
∴QE=BC=2cm，BE=CQ=t (cm)
∵AP=2t
∴PE=6-2t-t=6-3t，DQ=6-t.
∴PQ=DQ
∴PQ=6-t.
在Rt△PQE中，由勾股定理，得(6-3t)2+4=(6-t)2
解得：
如图4，当PD=PQ时，作PE⊥DQ于E，
∴，∠PED=90°
∵∠A=∠D=90°
∴四边形APED是矩形
∴PE=AD=2cm，DE=AP=2t，
∵DQ=6-t，
∴
∴
解得：
如图5，当PD=QD时，
∵AP=2t，CQ=t，
∴DQ=6-t，
∴PD=6-t.
在Rt△APD中，由勾股定理，得4+4t2=(6-t)2
解得，(舍去)
故答案为：或 .
【分析】(1)当t=1时，可以得出CQ=1cm，AP=2cm，就有PB=6-2=4(cm)，由梯形的面积就可以得出四边形BCQP的面积；
(2)如图1，作QE⊥AB于E，在Rt△PEQ中，由勾股定理建立方程求出其解即可，如图2，作PE⊥CD于E，在Rt△PEQ中，由勾股定理建立方程求出其解即可；
(3)分情况讨论，如图3，当PQ=DQ时，如图4，当PD=PQ时，如图5，当PD=QD时，由等腰三角形的性质及勾股定理建立方程就可以得出结论.
49．为全面贯彻落实“双减”政策，减轻学生负担，提高学生思维能力，数学学科命名一种“双减点”，定义如下：已知y是x的函数，若函数图象上存在一点，则称点P为函数图象上的“双减点”．
（1）判断直线上是否有“双减点”？若有，直接写出其坐标；若没有，请说明理由．
（2）若反比例函数的图象上存在两个“双减点”C、D，且，请求出k的值．
（3）已知抛物线上存在唯一的“双减点”，且当时，n的最小值为t，求t值．
【答案】（1）解：令，
解得，
，
存在“双减点”.
（2）解：∵“双减点”P在直线上，
∴设点C、D坐标分别为，，
∵，
∴，
∴，，
，且直线与轴的夹角为，
，
，
，
解得：，此时，，
.
（3）解：∵，由于“双减点”唯一，
此方程，，
∴，n为m的二次函数
当时，n的最小值为t，
∴当时，，此时t无解；
当时，，解得：，
当时，，解得：，（舍去），
综上所述，或.
【解析】【分析】（1）利用“双减点”的概念求解；
（2）设点C、D坐标分别为，，列出方程，用根与系数的关系求解；
（3）列出方程，根据根的判别式，可得之间的关系，即可解答．
（1）解：令，
解得，
，
存在“双减点”；
（2）解：“双减点”P在直线上，
设点C、D坐标分别为，，
令化简得，
，且直线与轴的夹角为，
，
由根与系数的关系可得，，
，
，
解得：，此时的，
；
（3）解：令，由于“双减点”唯一，
此方程，，
即，n为m的二次函数
当时，n的最小值为t，
若，则，此时t无解；
若，则，解得：，
若，则，解得：，（不合题意舍去），
综上，或.
50．如图，反比例函数图象过点，直线与该反比例函数图象和轴分别交于点和点，连结．
（1）求的面积．
（2）若点在反比例函数图象上，当，求点的坐标．
【答案】（1）解：∵ 反比例函数图象过点，
∴，
∴A（-2，-2），
∵直线x=4与该反比例函数图象和x轴分别交于点B和点D，
B（4，1），D（4，0），
∴S△ABD= 12×1×（4+2）=3 .
（2）解：由（1）可知，A（-2，-2），D（4，0），
设直线AD的解析式为y=kx+b，
则，
解得，
∴直线的解析式为，
设直线PD的解析式为y=px+q，
∵ ，
∴kp=-1，
∴p=-3，
∴直线PD的解析式为y=-3x+q，
把D（4，0）代入y=-3x+q，解得q=12，
∴直线PD的解析式为y=-3x+12，
∵点P（m，n）在直线PDy=-3x+12和反比例函数上，
∴-3x+12=
解得：，，
经检验：，都是原方程的解，
当时，y=，
当时，y=，
∴或．
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出a的值，再利用解析式求出点B、D坐标，代入三角形的面积公式即可；
（2）设直线AD的解析式为y=kx+b和直线PD的解析式为y=px+q，先求出直线AD的解析式，得出k的值，再根据两直线垂直，求出p的值，利用待定系数法求出直线PD的解析式，在与反比例函数解析式联立方程组，即可求出点P的坐标.
（1）解：∵反比例函数图象过点，
∴，
∴，
∴，
把代入，
得，
∴，
∴，
连接，
∴；
（2）解：∵直线与该反比例函数图象和轴分别交于点和点，连结．
∴，
设直线的解析式为，
∵，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
故令时，则，
∴，
如图，，过点作的延长线，
设，
则：
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
解得，．
经检验：，都是原方程的解，
则或．
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