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浙教版2025—2026学年八年级下册期末模拟押题抢分卷
数 学
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知m，n是方程的两个根，且，则一次函数的图像不经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．古有一驿卒骑马送信，若按平常速度前行，行至目的地会比规定时间迟4个时辰；若速度每时辰增加5里，则可提前1个时辰到达，已知规定时间是12个时辰．设驿卒平常速度为x里/时辰，根据路程相等，可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
3．如图，四边形是正方形，将绕点顺时针旋转得，连接，则的角度为（　　）
A． B． C． D．
4．某校举行“珍爱生命”演讲比赛，已知某位选手的“演讲内容”、“语言表达”和“形象风度”这三项得分分别为90分，85分，80分，若按的比例计算平均得分，则该选手的平均得分是（　　）
A．85分 B．86分 C．87分 D．88分
5．已知 ， =11.108，则=（　　）
A．35.12 B．351.2 C．111.08 D．1110.8
6．下表记录了甲、乙、丙、丁四名同学最近几次数学考试成绩的平均数与方差：
　 甲 乙 丙 丁
平均数（分） 95 95 93 94
方差 3.6 1.7 3.7 5.1
根据这个记录的成绩选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加数学比赛，应该选择（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
7．某市举行中学生党史知识竞赛，如图用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四所学校竞赛成绩的优秀率（该校优秀人数与该校参加竞赛人数的比值）与该校参加竞赛人数的情况，其中描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四所学校在这次党史知识竞赛中成绩优秀人数最多的是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
8．如图，四边形的对角线，相交于点O，，且，则添加下列一个条件能判定四边形是菱形的是（　　）
A． B． C． D．
9．如图，菱形ABCD的边长为1，BD=1，E，F分别是边AD，CD 上的两个动点，且满足AE+CF=1，设△BEF的面积为s，则s的取值范围是(　　).
A． B． C． D．
10．如图，正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于点G，下列结论：①BE=DF，②∠DAF=15°，③AC垂直平分EF，④BE+DF=EF，其中正确结论的个数为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11． 已知关于x的方程（k为常数）有两个实数根，则k取值范围为　 　．
12．某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，2月份进馆 1000人次，4月份进馆1440人次，则进馆人次的月平均增长率是　 　．
13．如图，矩形内三个相邻的正方形的面积分别为4，3，2，则图中阴影部分的面积为　 　．
14．一个多边形外角和是内角和的，则这个多边形的边数为　 　.
15．已知一组数据的方差s2= [（x1﹣6）2+（x2﹣6）2+（x3﹣6）2+（x4﹣6）2]，那么这组数据的总和为　 　．
16．如图，在等边中有一点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接．给出下面四个结论：；是等边三角形；；若，则．上述结论中，所有正确结论的序号是　 　．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．计算：
（1）．
（2）．
18．解方程：
（1）；
（2）
19．2025年8月7日至8月17日，第十二届世界运动会将在成都举行．为增加学生对世界运动会相关知识的了解，某学校举办了“运动无限，气象万千”世界运动会知识竞赛活动．学校随机抽取了部分学生的竞赛成绩（满分10分，其中抽取到的最低分为7分）进行调查分析，将结果分为四个组别：A组、B组、C组、D组，并绘制了如下两幅不完整的统计图．
根据图中信息，解答下列问题：
（1）请补全条形统计图，并直接写出本次抽取的学生的竞赛成绩的众数和中位数；
（2）本次调查中被抽取到的学生甲说：“我的竞赛成绩是8分，根据所求众数，我达到了本次抽取的学生的竞赛成绩的平均分．”你认为甲的说法对吗？请说明理由．
20．如图，在 ABCD中，过点B作BM⊥AC于点E，交CD于点M，过点D作DN⊥AC于点F，交AB于点N。
（1）求证：四边形BMDN是平行四边形。
（2）已知AF=12，EM=5，求AN的长。
21．小明同学在解决问题“已知，求的值”时，他是这样解答的：
，，，．
．
请你认真理解小明的解答过程，解决如下问题：
（1）化简：；
（2）已知，求的值．
22． 定义：如果，是一元二次方程的两个根，且，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如：一元二次方程的两个根是，，此时，则方程是“邻根方程”．
（1）下列方程中，属于“邻根方程”的是　 　（填序号）．
①；②；③．
（2）已知方程是“邻根方程”，求m的值．
（3）若方程是“邻根方程”，求证：．
23．如图，矩形中，点是边上的动点，连接、，以、为边向上作平行四边形，
（1）填空： ______（填“，，”）；
（2）当点运动到什么位置时，平行四边形是菱形，为什么？
（3）若要使得平行四边形为正方形，则与之间应该满足什么样的数量关系？请直接写出与之间的数量关系．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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浙教版2025—2026学年八年级下册期末模拟押题抢分卷
数 学
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知m，n是方程的两个根，且，则一次函数的图像不经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【解析】【解答】解：由一元二次方程可得：，
或，
解得：，，
，n是方程的两个根，且，
，，
一次函数为，
，，
一次函数交轴交于正半轴，随的增大而增大，
一次函数的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限．
故答案为：D．
【分析】由题意，解一元二次方程可求得，的值，再根据一次函数图象与系数的关系“当k=m＞0时，直线经过一、三象限，b＞0时，直线交于y轴的正半轴”可得函数的图象经过第一、二、三象限，即可求解．
2．古有一驿卒骑马送信，若按平常速度前行，行至目的地会比规定时间迟4个时辰；若速度每时辰增加5里，则可提前1个时辰到达，已知规定时间是12个时辰．设驿卒平常速度为x里/时辰，根据路程相等，可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：设驿卒平常速度为x里/时辰，根据路程相等，可得
，
故选：D
【分析】设驿卒平常速度为x里/时辰，则路程表示为，或，再建立方程即可求出答案.
3．如图，四边形是正方形，将绕点顺时针旋转得，连接，则的角度为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：∵四边形是正方形，
∴，
由旋转知，，，
∴，
∴．
故答案为：D．
【分析】首先根据正方形的性质得出，再由旋转知，，即可得出，进一步根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理，即可得出．
4．某校举行“珍爱生命”演讲比赛，已知某位选手的“演讲内容”、“语言表达”和“形象风度”这三项得分分别为90分，85分，80分，若按的比例计算平均得分，则该选手的平均得分是（　　）
A．85分 B．86分 C．87分 D．88分
【答案】B
【解析】【解答】解：∵（分），
∴该选手的平均得分是86分．
故选：B．
【分析】根据加权平均数公式计算解答即可．
5．已知 ， =11.108，则=（　　）
A．35.12 B．351.2 C．111.08 D．1110.8
【答案】B
【解析】【解答】解：，
故答案为：B.
【分析】根据算术平方根的计算得出结论即可．
6．下表记录了甲、乙、丙、丁四名同学最近几次数学考试成绩的平均数与方差：
　 甲 乙 丙 丁
平均数（分） 95 95 93 94
方差 3.6 1.7 3.7 5.1
根据这个记录的成绩选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加数学比赛，应该选择（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】B
【解析】【解答】解：∵1.7<3.6<3.7<5.1，
∴乙最近几次数学考试成绩的方差最小，发挥稳定，
∵95>94>93，
∴乙同学最近几次数学考试成绩的平均数比较高，
∴乙同学是成绩好并发挥稳定
故答案为：B.
【分析】理解平均数和方差的含义，平均数代表了成绩的集中趋势，而方差则反映了成绩的波动程度，平均数越高成绩越好，方差波动越小，成绩越稳定.
7．某市举行中学生党史知识竞赛，如图用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四所学校竞赛成绩的优秀率（该校优秀人数与该校参加竞赛人数的比值）与该校参加竞赛人数的情况，其中描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四所学校在这次党史知识竞赛中成绩优秀人数最多的是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】C
【解析】【解答】解：描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，设反比例函数表达式为，则令甲、乙、丙、丁，
过甲点作轴平行线交反比例函数于，过丙点作轴平行线交反比例函数于，如图所示：
由图可知，
、乙、、丁在反比例函数图像上，
根据题意可知优秀人数，则
①，即乙、丁两所学校优秀人数相同；
②，即甲学校优秀人数比乙、丁两所学校优秀人数少；
③，即丙学校优秀人数比乙、丁两所学校优秀人数多；
综上所述：甲学校优秀人数乙学校优秀人数丁学校优秀人数丙学校优秀人数，
在这次党史知识竞赛中成绩优秀人数最多的是丙学校，
故选：C．
【分析】本题考查反比例函数图象与性质的实际应用题.设反比例函数表达式为，则令甲、乙、丙、丁，过甲点作轴平行线交反比例函数于，过丙点作轴平行线交反比例函数于，根据图像可得：，据此可得、乙、、丁在反比例函数图像上，根据优秀人数，据此可得，据此可推出乙、丁两所学校优秀人数相同；；根据，即甲学校优秀人数比乙、丁两所学校优秀人数少；根据，可得丙学校优秀人数比乙、丁两所学校优秀人数多；据此可推出这次党史知识竞赛中成绩优秀人数最多的是丙学校，据此可选出答案.
8．如图，四边形的对角线，相交于点O，，且，则添加下列一个条件能判定四边形是菱形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
当时，四边形是矩形；故选项A不符合题意；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为菱形，故选项B符合题意；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是矩形；故选项C不符合题意；
当时，不能判定四边形为菱形；故选项D不符合题意．
故选：B．
【分析】
首先，因为AB∥CD，根据平行四边形的性质，可以推断出∠BAO=∠DCO。加上OA=OC，我们有△AOB △COD（ASA或AAS准则），从而可以推断出AB=CD，这意味着四边形ABCD至少是一个平行四边形。然后，根据菱形的判定方法分别对各个选项进行判定，即可得出结论．
9．如图，菱形ABCD的边长为1，BD=1，E，F分别是边AD，CD 上的两个动点，且满足AE+CF=1，设△BEF的面积为s，则s的取值范围是(　　).
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：∵四边形 ABCD是菱形，
∴AD=BC=CD=AB=1.
∵BD=1， ∴AB=AD=BD.
∴△ABD是等边三角形.
∴∠A=∠ADB=∠C=∠DBC=60°.
∵AE+CF=1，AE+DE=1， ∴DE=CF.
在△BED 和△BFC中，
∴△BED≌△BFC.
∴BE=BF，∠EBD=∠FBC.
∴∠EBF=∠EBD+∠DBF=∠FBC+∠DBF=∠DBC=60°.
∴△BEF 是等边三角形.
根据等边三角形的面积公式得
当点 E与点A 或点D 重合时，BE 最大，此时BE=1，此时s最大，且最大值为
当BE⊥AD时，BE最小，则
由勾股定理得
此时s最小，且最小值为
所以s的取值范围为
故答案为：D.
【分析】利用菱形的性质和正三角形的特点可证得继而可得 为正三角形，然后根据点 E与点A 或点D 重合时，BE 最大；BE⊥AD时，BE最小，根据勾股定理解答即可.
10．如图，正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于点G，下列结论：①BE=DF，②∠DAF=15°，③AC垂直平分EF，④BE+DF=EF，其中正确结论的个数为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形
∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠BCD=∠D=∠BAD=90°
∵△AEF等边三角形，
∴AE=EF=AF，∠EAF=60°
∴∠BAE+∠DAF=30°
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF(HL)，
∴BE=DF，①正确；
∵∠BAE=∠DAF
∴∠DAF+∠DAF=30°
即∠DAF=15°，②正确；
∵BC=CD
∴BC-BE=CD-DF，CE=CF，
∵AE=AF
∴AC垂直平分EF，③正确；
设EC=x，由勾股定理，得，，，
∴
∴
∴
∴，④错误
∵
∴，⑤正确；
综上所述，正确的有4个，故选C.
故答案为：C.
【分析】通过条件可以得出△ABE≌△ADF而得出∠BAE=∠DAF，BE=DF，由正方形的性质就可以得出EC=FC，就可以得出AC垂直平分EF，设EC=x，BE=y，由勾股定理就可以得出x与y的关系，表示出BE与EF，利用三角形的面积公式分别表示出S△CEF和2S△ABE再通过比较大小就可以得出结论.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11． 已知关于x的方程（k为常数）有两个实数根，则k取值范围为　 　．
【答案】且
【解析】【解答】解：关于x的方程(k-2)x2-x+1=0(k为常数)有两个实数根，
∴Δ=(-1)2-4(k-2)x1≥0且k-2≠0，
解得且k≠2，
故答案为：且k≠2.
【分析】利用一元二次方程根的判别式，即可求解.
12．某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，2月份进馆 1000人次，4月份进馆1440人次，则进馆人次的月平均增长率是　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：设进馆人次的月平均增长率是x，
根据题意得：，
解得（不符合题意，舍去），
∴，
答：进馆人次的月平均增长率是，
故填：．
【分析】设进馆人次的月平均增长率是x，根据2月份进馆 1000人次，4月份进馆1440人次，根据题意列方程得出，解方程求出x的值，再进行判断，即可得出答案.
13．如图，矩形内三个相邻的正方形的面积分别为4，3，2，则图中阴影部分的面积为　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：由题意得三个正方形的边长分别为，，2，
图中阴影部分的面积：．
故答案为：．
【分析】利用已知条件可求出三个正方形的边长，然后用一个长为，宽为2的矩形的面积减去两个正方形的面积，可得到图中阴影部分的面积．
14．一个多边形外角和是内角和的，则这个多边形的边数为　 　.
【答案】11
【解析】【解答】解：根据题意可得：，
解得： .
故答案为：11.
【分析】n边形内角和为(n-2)×180°，外角和为360°，结合题意可得关于n的方程，求解即可.
15．已知一组数据的方差s2= [（x1﹣6）2+（x2﹣6）2+（x3﹣6）2+（x4﹣6）2]，那么这组数据的总和为　 　．
【答案】24
【解析】【解答】∵s2= [（x1﹣6）2+（x2﹣6）2+（x3﹣6）2+（x4﹣6）2]，∴这组数据的平均数是6，数据个数是4，∴这组数据的总和为4×6=24．
故答案为24．
【分析】根据方差的计算方法可得：这组数据的平均数是6，数据个数是4，再根据平均数的计算方法可求出这组数据的和。
16．如图，在等边中有一点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接．给出下面四个结论：；是等边三角形；；若，则．上述结论中，所有正确结论的序号是　 　．
【答案】①②④
【解析】【解答】解：是等边三角形，
，，
，
由旋转得：，，
是等边三角形，，
，
，故①②正确；
是等边三角形，
，
由已知条件无法得出，
即无法得出，故不正确；
，
，∠BDA=∠BPC=150°
∴，
为直角三角形，
在中，由勾股定理得：，故④正确.
故答案为：①②④．
【分析】由等边三角形的性质得AB=CB，∠ABC=60°，由旋转的性质得BD=BP，∠DBP=60°，从而根据有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形得出△BDP是等边三角形，由角的构成及等式性质推出∠CBP=∠ABD，用“SAS”证△BPC≌△BDA，由此可判断①②；由由等边三角形性质得出BP=PD，∠BDP=60°，已知条件无法得出PA=BP，即无法得出PA=PD，由此可判断③；由全等三角形的性质得AD=PC，∠BDA=∠BPC=150°，由角的构成推出∠ADP=90°，再由勾股定理得，由此可判断④．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．计算：
（1）．
（2）．
【答案】（1）解：
＝23
＝5
（2）解：
【解析】【分析】(1)先利用二次根式的乘法法则运算，然后再把二次根式化简为最简二次根式后合并即可；
(2)先分子分母同时除以，然后分母有理化即可.
18．解方程：
（1）；
（2）
【答案】（1）解：∵，∴，
∴，
∴或，
解得
（2）解：∵，∴，
∴，
解得
【解析】【分析】本题主要考查了解一元二次方程的解法；
（1）先移项，然后提取公因式，利用因式分解法解方程即可；
（2）根据公式法，先计算判别式，然后带入求根公式计算解一元二次方程．
（1）解：∵，
∴，
∴，
∴或，
解得；
（2）解：∵，
∴，
∴，
解得．
19．2025年8月7日至8月17日，第十二届世界运动会将在成都举行．为增加学生对世界运动会相关知识的了解，某学校举办了“运动无限，气象万千”世界运动会知识竞赛活动．学校随机抽取了部分学生的竞赛成绩（满分10分，其中抽取到的最低分为7分）进行调查分析，将结果分为四个组别：A组、B组、C组、D组，并绘制了如下两幅不完整的统计图．
根据图中信息，解答下列问题：
（1）请补全条形统计图，并直接写出本次抽取的学生的竞赛成绩的众数和中位数；
（2）本次调查中被抽取到的学生甲说：“我的竞赛成绩是8分，根据所求众数，我达到了本次抽取的学生的竞赛成绩的平均分．”你认为甲的说法对吗？请说明理由．
【答案】（1）解：本次抽取的学生人数为∶ (人)，
B组(8分)的人数 (人)，
补全的条形统计图如图所示，
本次抽取的学生的竞赛成绩的众数是8分；中位数是8分；
（2）解：甲的说法不对，理由如下：
本次抽取的学生的竞赛成绩的平均分为(分)，
众数是8分，
甲说：“我的竞赛成绩是8分，根据所求众数，我达到了本次抽取的学生的竞赛成绩的平均分”，说法不对．
【解析】【解答】（1）解：根据条形图可知得8分的人数最多，
故本次抽取的学生的竞赛成绩的众数是8分；第50，51个数为8分、8分，
本次抽取的学生的竞赛成绩的中位数是(分)；
【分析】（1）根据统计图表提供的信息，用D组的人数除以其所占的百分比，可以求得本次调查的人数，继而根据四个组的人数之和等于本次调查的总人数可求得B组的人数，从而可以将条形统计图补充完整；众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)；中位数：将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此求解即可；
（2） 平均数是指一组数据之和，除以这组数的个数，据此算出本次抽取的学生的竞赛成绩的平均分，即可判断得出答案.
（1）解：本次抽取的学生人数为∶ (人)，
B组(8分)的人数 (人)，
根据条形图可知得8分的人数最多，
故本次抽取的学生的竞赛成绩的众数是8分；第50，51个数为8分、8分，
本次抽取的学生的竞赛成绩的中位数是(分)；
补全的条形统计图如图所示，
（2）解：甲的说法不对，理由如下：
本次抽取的学生的竞赛成绩的平均分为(分)，
众数是8分，
甲说：“我的竞赛成绩是8分，根据所求众数，我达到了本次抽取的学生的竞赛成绩的平均分”，说法不对．
20．如图，在 ABCD中，过点B作BM⊥AC于点E，交CD于点M，过点D作DN⊥AC于点F，交AB于点N。
（1）求证：四边形BMDN是平行四边形。
（2）已知AF=12，EM=5，求AN的长。
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB。
∵BM⊥AC，DN⊥AC，
∴DN∥BM。
∴四边形BMDN是平行四边形。
（2）解：∵四边形BMDN是平行四边形，
∴DM=BN。
∵CD=AB， CD∥AB，∴CM=AN， ∠MCE=∠NAF。
∵∠CEM=∠AFN=90°，
∴△CEM≌△AFN。
∴FN=EM=5。
在 Rt△AFN中， =13。
【解析】【分析】（1）根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明即可；
（2）根据平行四边形的性质，根据AAS得到△CEM≌△AFN，然后得到FN=EM=5，再根据勾股定理求出AN长解答即可.
21．小明同学在解决问题“已知，求的值”时，他是这样解答的：
，，，．
．
请你认真理解小明的解答过程，解决如下问题：
（1）化简：；
（2）已知，求的值．
【答案】（1）解：原式
；
（2）解：，
，
，
即，
，
，
原式．
【解析】【分析】
（1）先分母有理化，然后合并同类二次根式即可求解；
（2）先分母有理化得，再变形为，将等式两边分别平方可得，用表示可得，用降次的方法将原式转化为：原式，然后把的值代入计算即可求解．
（1）解：原式
；
（2）解：，
，
，
即，
，
，
原式．
22． 定义：如果，是一元二次方程的两个根，且，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如：一元二次方程的两个根是，，此时，则方程是“邻根方程”．
（1）下列方程中，属于“邻根方程”的是　 　（填序号）．
①；②；③．
（2）已知方程是“邻根方程”，求m的值．
（3）若方程是“邻根方程”，求证：．
【答案】（1）③
（2）解：解方程得，
∵方程是“邻根方程”，
∴，
解得m=或，
故答案为：或；
（3）解：设，是一元二次方程的两个根 ，
∴，，，
∵，
∴4c=b2-1，
∴.
【解析】【解答】
解：(1)解①得，x1=1，x2=-1，，故不符合条件；
解②得：，，故不符合条件；
解③得：，，故符合条件；
故答案为：③
【分析】(1)根据“邻根方程”的定义分别计算下列方程的根，然后判断即可；
(2)根据“邻根方程”的定义，可以得到两个根之间的关系，可以得到关于m的绝对值方程，解之即可；
(3)根据“邻根方程”的定义，设两个根，然后得到关于b，c的等式，变形即可证明.
23．如图，矩形中，点是边上的动点，连接、，以、为边向上作平行四边形，
（1）填空： ______（填“，，”）；
（2）当点运动到什么位置时，平行四边形是菱形，为什么？
（3）若要使得平行四边形为正方形，则与之间应该满足什么样的数量关系？请直接写出与之间的数量关系．
【答案】（1）=
（2）解：当点运动到中点时，平行四边形是菱形，理由如下：
如图，为的中点，
∵四边形是矩形，
∴，，
∵是的中点，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴四边形是菱形，
据此，当点运动到中点时，平行四边形是菱形；
（3）解：
【解析】【(解答】（1）解：∵，，
∴，
∵，
，
故答案为：=；
（3）解：若要使得平行四边形为正方形，由当点运动到中点时，平行四边形是菱形知必须有，
∴，
由（）得，，
∴，
∵，
∴，
∴即，
∴，
∴．
【分析】（）由矩形和三角形面积公式得S矩形ABCD=2S△ADE，由平行四边形和三角形面积公式得S平行四边形AEDF=2S△ADE，据此可得结论；
（）当E为BC的中点时，平行四边形AEDF是菱形，由矩形的性质得∠B=∠C=90°，AB=CD，从而由SAS判断出△ABE≌△DCE，由全等三角形的对应边相等得AE=DE，从而根据“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”可得四边形AEDF是菱形；
（）由平行四边形AEDF为正方形，得∠AED=90°，从而利用勾股定理得，由（）得，，于是有，再利用勾股定理即可得解．
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