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第四章
4.1　任意角和弧度制及任意角的三角函数
三角函数、解三角形
复习目标　1．了解任意角的概念．2．了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化，掌握弧长公式、扇形面积公式及其应用．3．理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．
内容索引
核心体系
活动方案
核 心 体 系
活 动 方 案
活动一　基础引入
C
A．1　 B．2
C．3　 D．4
C
二或第四
活动二　典例悟法
题组一　角及其表示
1
______________________；
3
(3) 已知角α的终边在如图所示阴影表示的范围内
(不包括边界)，则角α用集合可表示为____________ __________________．
1 如何判断象限角并画出角所在区域？
1．象限角的两种判断方法：
(1) 图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角，由终边的位置确定象限．
(2) 转化法：先将已知角写成k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式，再由角α的终边所在的象限判断已知角是第几象限角．
2．根据角所在的区域表示区间时，要注意实线边界与虚线边界的差异．
题组二　扇形的弧长、面积公式的应用
2
图1 　　　图2
22.5π
(2) 已知扇形的圆心角为α，半径为r，弧长为l．
①若α＝100°，r＝2，求扇形的面积；
②若扇形的周长为20，求扇形面积的最大值，并求此时扇形圆心角的弧度数．
　　　　　　已知在半径为10的圆O中，弦AB的长为10．
(1) 求弦AB所对圆心角α的大小；
(2) 求α所在的扇形弧长l及弧所在弓形的面积S．
2 如何利用弧长公式、扇形面积公式求公式中的未知量？
1．利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．
2．在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．
题组三　三角函数的概念
3
－4
{－1，3}
【解析】若x为第一象限角，则f(x)＝3；若x为第二、三、四象限角，则f(x)＝－1，则函数f(x)的值域为{－1，3}．
3 如何利用三角函数的定义求三角函数值或坐标？如何判定三角函数值的符号？
1．利用三角函数的定义，已知角α的终边上一点P的坐标可求角α的三角函数值；已知角α的三角函数值和OP的长度，也可以求出点P的坐标．
2．判定三角函数值符号的两个步骤：
(1) 定象限：确定角所在的象限．
(2) 定符号：利用三角函数值的符号规律“一全正、二正弦、三正切、四余弦”来判断符号．
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Thank you for watching4．1　任意角和弧度制及任意角的三角函数
复习目标　1. 了解任意角的概念. 2. 了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化，掌握弧长公式、扇形面积公式及其应用.3. 理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．
任意角
活动一 基础引入
1 [2025长沙一模]已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点，则cos α的值为(　　)
A. － B. C. － D.
2 给出下列四个命题：①若sin αcos α<0，则α为第二象限角；②是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角．其中正确命题的个数为(　　)
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
3 [苏教版必修一P170例2改编]已知α与240°角的终边相同，则是第________象限角．
4 [苏教版必修一P181练习T2改编]已知角α的终边经过点P(－x，－6)，且cos α＝－，则x的值为________．
5 《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章涉及了弧田面积的计算问题．如图，弧田是由弧AB 和弦AB所围成的图中阴影部分．若弧田所在圆的半径为2，圆心角为，则此弧田的面积为________．
活动二 典例悟法
题组一　角及其表示
1 (1) 终边在直线y＝x上的角的取值集合为____________________；
(2) 若角θ的终边与角的终边相同，则在区间[0，2π)内，终边与角的终边相同的角的个数为________；
(3) 已知角α的终边在如图所示阴影表示的范围内(不包括边界)，则角α用集合可表示为_______________．
1. 象限角的两种判断方法：
(1) 图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角，由终边的位置确定象限．
(2) 转化法：先将已知角写成k·360°＋α(0°≤α<360°，k∈Z)的形式，再由角α的终边所在的象限判断已知角是第几象限角．
2. 根据角所在的区域表示区间时，要注意实线边界与虚线边界的差异．
题组二　扇形的弧长、面积公式的应用
2 (1) [2026涟源部分高中开学考试]某款“不倒翁”(图1)的主视图是图2，PA，PB分别与所在圆相切于点A，B.若该圆的半径是18cm，∠APB＝45°，则的长是________cm；
图1 　　图2
(2) 已知扇形的圆心角为α，半径为r，弧长为l.
①若α＝100°，r＝2，求扇形的面积；
②若扇形的周长为20，求扇形面积的最大值，并求此时扇形圆心角的弧度数．
已知在半径为10的圆O中，弦AB的长为10.
(1) 求弦AB所对圆心角α的大小；
(2) 求α所在的扇形弧长l及弧所在弓形的面积S.
1. 利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．
2. 在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．
题组三　三角函数的概念
3 [2025遵义月考]已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若P(x，8)是角θ终边上的一点，且cos θ＝－，则x＝________．
1 若点P从点(1，0)出发，沿单位圆按逆时针方向运动弧长到达点Q，则点Q的坐标为__________．
2 已知x为终边不在坐标轴上的角，则函数f(x)＝＋＋的值域为__________．
3 已知角α的终边经过点P(－8m，－6cos 60°)，且cos α＝－，则m＝________．
1. 利用三角函数的定义，已知角α的终边上一点P的坐标可求角α的三角函数值；已知角α的三角函数值和OP的长度，也可以求出点P的坐标．
2. 判定三角函数值符号的两个步骤：
(1) 定象限：确定角所在的象限．
(2) 定符号：利用三角函数值的符号规律“一全正、二正弦、三正切、四余弦”来判断符号．
4．1　任意角和弧度制及任意角的三角函数
1. C　解析：因为角α的终边经过点，所以r＝＝. 又cos α＝，所以cos α＝－.
2. C　解析：对于①，α为第二象限角或第四象限角，故①错误；对于②，因为＝π＋，所以是第三象限角，故②正确；对于③，因为－400°＝－360°－40°，所以－400°是第四象限角，故③正确；对于④，因为－315°＝－360°＋45°，所以－315°是第一象限角，故④正确．综上，正确命题的个数为3.
3. 二或第四　解析：由α＝k·360°＋240°(k∈Z)，得＝k·180°＋120°(k∈Z).若k为偶数，设k＝2n，n∈Z，则＝n·360°＋120°(n∈Z)，则与120°角的终边相同，是第二象限角；若k为奇数，设k＝2n＋1，n∈Z，则＝n·360°＋300°(n∈Z)，则与300°角的终边相同，是第四象限角．故是第二或第四象限角．
4. 　解析：因为cos α＝＝＝－，所以 解得x＝.
5. －　解析：由题意，得等腰三角形AOB的底边AB＝2OA cos ＝2，点O到AB的距离h＝OA sin ＝1，则△AOB的面积为AB·h＝×2×1＝.又扇形的面积为××22＝，所以阴影部分的面积为－，所以此弧田的面积为－.
例1　(1) 　解析：因为在区间(0，2π)内，终边在直线y＝x上的角是，，且与，终边相同的角分别为2k1π＋(k1∈Z)，2k2π＋＝(2k2＋1)π＋(k2∈Z)，所以终边在直线y＝x上的角的集合为{α|α＝＋kπ，k∈Z}．
(2) 3　解析：因为θ＝＋2kπ(k∈Z)，所以＝＋(k∈Z).由题意，得0≤＋<2π，k∈Z，所以－≤k<，k∈Z，所以k＝0，1，2，即在区间[0，2π)内，终边与角的终边相同的角为，，，共3个．
(3) 　解析：因为在区间[0，2π)内，终边落在阴影部分角的集合为，所以角α用集合表示为{α|2kπ＋<α<2kπ＋，k∈Z}．
例2　 (1) 22.5π　解析：如图，设圆心为O，连接OA，OB.因为PA，PB分别与所在圆相切于点A，B，所以∠PAO＝∠PBO＝90°. 因为∠APB＝45°，所以∠AOB＝360°－45°－90°－90°＝135°，所以对应的圆心角为360°－135°＝225°，所以的长是×2π×18＝22.5π(cm).
(2) ①S＝|α|r2＝××2π×22＝××4＝.
②由题意知，l＋2r＝20，则l＝20－2r，
S＝lr＝(20－2r)r＝－(r－5)2＋25，
当r＝5时，S的最大值为25，
当r＝5时，l＝20－2×5＝10，α＝＝2，
故扇形面积的最大值为25，此时扇形圆心角的弧度数为2.
变式训练　(1) 如图，过点O作OC⊥AB，垂足为C，
则AC＝5.
在Rt△ACO中，sin ∠AOC＝＝＝，
所以∠AOC＝，所以α＝2∠AOC＝.
(2) 由(1)及题意，得l＝，
S扇形＝lr＝××10＝.
因为S△AOB＝×10×10×sin ＝25，
所以弓形的面积S＝S扇形－S△AOB＝－25＝50(－).
例3　－4　解析：由题意，得r＝，则cos θ＝＝－，所以x<0，且＝，所以x＝－4.
变式训练1　　解析：由三角函数的定义可知点Q的坐标(x，y)满足x＝cos ＝－，y＝sin ＝，所以点Q的坐标为.
变式训练2　{－1，3}　解析：若x为第一象限角，则f(x)＝3；若x为第二、三、四象限角，则f(x)＝－1，则函数f(x)的值域为{－1，3}．
变式训练3　　解析：由题意，得P(－8m，－3).由 cos α＝－，得＝－，且m>0，解得m＝或m＝－(舍去).　4．1　任意角和弧度制及任意角的三角函数
一、 单选题
1 若角α的终边过点P(2sin 30°，－2cos 30°)，则 sin α 的值为(　　)
A. B. － C. － D. －
2 函数y＝＋＋的值域的真子集个数为(　　)
A. 3 B. 4 C. 6 D. 7
3 [2026浙江名校协作体开学考试]在平面直角坐标系xOy中，角α的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点P，其中x<0，则的值为(　　)
A. 11 B. －11 C. D. －
4 在平面直角坐标系中，角α的终边过点(－1，0)，将角α的终边绕坐标原点按逆时针方向旋转与角β的终边重合，则cos β的值为(　　)
A. B. － C. D. －
二、 多选题
5 在平面直角坐标系中，若角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P，且sin α＝x，则x的值可以是(　　)
A. ± B. ±1 C. 0 D. ±2
6 [2026南昌莲塘一中月考]下列说法中，正确的是(　　)
A. 若α是第一象限角，则α是锐角
B. 3°＝ rad
C. 若sin θ<0，则θ为第三象限角
D. 若θ为第二象限角，则为第一象限角或第三象限角
7 已知角θ的终边与单位圆(圆心为坐标原点O)的交点为P，角α，β，γ，φ的终边与角θ的终边分别关于坐标原点，x轴，y轴，直线y＝x对称，则下列结论中正确的是(　　)
A. cos α＝－ B. cos β＝－
C. sin γ＝ D. sin φ＝
三、 填空题
8 若将时钟拨快30 min，则分针转过的角度为________；若时钟从3时走到8时，则时针转过的角度为________．
9 在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A(，1)，将点A绕点O逆时针旋转90°到点B，则点B的坐标为________．
10 已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，点A(x1，2)，B(x2，4)在角α的终边上，且x1－x2＝1，则tan α＝________．
四、 解答题
11 若角θ的终边过点P(－4a，3a)(a≠0).
(1) 求sin θ＋cos θ的值；
(2) 试判断cos (sin θ)sin (cos θ)的符号．
12 如图，动点P，Q从点A(4，0)同时出发，沿圆周运动，点P按逆时针方向每秒转 rad，点Q按顺时针方向每秒转 rad，求点P与点Q第一次相遇时所用的时间、相遇点的坐标及点P，Q各自走过的弧长．
4．1　任意角和弧度制及任意角的三角函数
1. C　解析：由题意，得点P(1，－)，则点P与坐标原点的距离为r＝＝2，故sin α＝＝＝－.
2. D　解析：当θ的终边在第一象限时，y＝＋＋＝＋＋＝1＋2＋1＝4；当θ的终边在第二象限时，y＝＋＋＝＋＋＝1－2－1＝－2；当θ的终边在第三象限时，y＝＋＋＝＋＋＝－1－2＋1＝－2；当θ的终边在第四象限时，y＝＋＋＝＋＋＝－1＋2－1＝0；当θ的终边在坐标轴上时，函数无意义．综上，函数的值域为{－2，0，4}，故有23－1＝7(个)真子集．
3. D　解析：由题意，得x2＋＝1，且x<0，解得x＝－，所以tan α＝＝－，所以＝＝＝－.
4. A　解析：由题意知α＝π＋2k1π，k1∈Z，则β＝＋2k2π，k2∈Z，故cos β＝cos ＝.
5. BC　解析：由题意，得sin α＝＝x，故＝，整理，得x2＝x4，解得x＝0或x＝±1.故选BC.
6. BD　解析：对于A，取α＝390°，满足α是第一象限角，但不是锐角，故A错误；对于B，3°＝ rad，故B正确；对于C，若sin θ<0，则θ为第三象限角或第四象限角或终边在y轴的负半轴上的角，故C错误；对于D，若θ为第二象限角，则＋2kπ<θ<π＋2kπ，k∈Z，所以＋kπ<<＋kπ，k∈Z.若k＝2m，m∈Z，则＋2mπ<<＋2mπ，m∈Z，此时为第一象限角；若k＝2m＋1，m∈Z，则＋(2m＋1)π<<＋(2m＋1)π，m∈Z，此时为第三象限角．综上，为第一象限角或第三象限角，故D正确．故选BD.
7. BC　解析：对于A，因为点P关于原点对称的点的坐标为，所以角α的终边与单位圆的交点坐标为，所以cos α＝，故A错误；对于B，点P(－，)关于x轴对称的点的坐标为，所以角β的终边与单位圆的交点坐标为，所以cos β＝－，故B正确；对于C，点P关于y轴对称的点的坐标为，所以角γ的终边与单位圆的交点坐标为，所以sin γ＝，故C正确；对于D，点P(－，)关于直线y＝x对称的点的坐标为，所以角φ的终边与单位圆的交点坐标为，所以sin φ＝－，故D错误．故选BC.
8. －180°　－150°　解析：若将时钟拨快30 min，则分针转过的角度为－×360°＝－180°.若时钟从3时走到8时，则时针转过的角度为－×360°＝－150°.
9. (－1，)　解析：由题意，得OA＝OB＝2，∠AOx＝30°，则∠BOx＝120°.设点B的坐标为(x，y)，则x＝2cos 120°＝－1，y＝2sin 120°＝， 即点B的坐标为(－1，).
10. －2　解析：因为点A(x1，2)，B(x2，4)在角α的终边上，所以直线AB的斜率为k＝＝－2，所以角α在第二象限，tan α＝－2.
11. (1) 因为角θ的终边过点P(－4a，3a)(a≠0)，
所以x＝－4a，y＝3a，r＝5|a|.
当a＞0时，r＝5a，
则sin θ＋cos θ＝－＝－；
当a＜0时，r＝－5a，
则sin θ＋cos θ＝－＋＝.
故sin θ＋cos θ的值为或－.
(2) 当a＞0时，sin θ＝∈，cos θ＝－∈，
则cos (sin θ)·sin (cos θ)＝cos ·sin <0;
当a＜0时，sin θ＝－∈，cos θ＝∈，
则cos (sin θ)·sin (cos θ)＝cos ·sin >0.
综上，当a＞0时，cos (sin θ)·sin (cos θ)的符号为负；当a＜0时，cos (sin θ)·sin (cos θ)的符号为正．
12. 设点P与点Q第一次相遇时所用的时间是t s，
则t·＋t·|－|＝2π，解得t＝4，
故第一次相遇所用的时间为4 s.
设第一次相遇点为C(x，y)，
第一次相遇时点P按逆时针转动×4＝(rad),
则x＝4×cos ＝－2，y＝4×sin ＝－2，
则点C的坐标为(－2，－2).
故点P走过的弧长为×4＝，
点Q走过的弧长为×4＝.

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