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4.2　同角三角函数的基本关系式与诱导公式
复习目标　1. 能利用单位圆中的三角函数线推导出±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式．2. 理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，＝tan α.3. 能利用同角三角函数的基本关系式及三角函数的诱导公式进行求值、化简、证明．
三角函数
活动一 基础引入
1 设sin 23°＝m，则tan 67°等于(　　)
A. － B.
C. D.
2 [2026沈阳月考]已知角α(0°<α<360°)终边上的点A的坐标为(sin 320°，cos 320°)，则α的大小为(　　)
A. 230° B. 220°
C. 140° D. 130°
3 化简的结果是(　　)
A. sin 40°＋cos 40° B. sin 40°－cos 40°
C. cos 40°－sin 40° D. －cos 40°－sin 40°
4 [2025北京海淀月考]已知角α的终边与单位圆x2＋y2＝1交于点P，则sin ＝________．
5 [苏教版必修一P191例12改编]已知cos (75°＋α)＝，且－180°<α<－90°，则cos (15°－α)的值为________．
活动二 典例悟法
题组一　利用同角三角函数的基本关系式化简、求值
1 已知x∈(－π，0)，sin x＋cos x＝.求：
(1) sin x－cos x的值；
(2) 的值．
化简：
(1) cos α＋sin α(α是第二象限角)；
(2) sin4α＋sin2αcos2α＋cos2α.
1．利用sin2α＋cos2α＝1可实现正弦、余弦的互化，开方时要根据角α所在的象限确定符号；利用＝tan α可以实现角α的弦切互化．
2. 应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二．
3. 注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.
4．同角三角函数的基本关系本身是恒等式，也可以看作是方程，对于一些题，可利用已知条件，结合同角三角函数的基本关系列方程组，通过解方程组达到解决问题的目的．
题组二　利用诱导公式化简、求值
2 在①2tan (π－α)＝－1；②cos (π－α)＋cos (α－)＝sin (－α)；③点P(2a，a)(a≠0)在角α的终边上，这三个条件中，选择其中一个，解决下列问题．
(1) 求tan α的值；
(2) 若角α的终边在第三象限，求2sin (2π－α)－cos (π＋α)的值．
1 (1) 已知A＝＋(k∈Z)，则A的值构成的集合是(　　)
A. {1，－1，2，－2} B. {－1，1}
C. {2，－2} D. {1，－1，0，2，－2}
(2) 求值：sin (－1 200°)cos 1 290°＋cos (－1 020°)·sin (－1 050°)＝________；
(3) 已知tan ＝，则tan ＝________．
2 已知sin ＝，则sin (x－)＋sin2(－x)的值为________．
诱导公式的两个应用
1．求值：负化正，大化小，化到锐角．
2. 化简：统一角，统一名，同角名少．
题组三　三角函数式的等价转化
3 已知关于x的方程2x2－(＋1)x＋m＝0的两根分别是sin θ和cos θ，θ∈(0，2π).求：
(1) ＋的值；
(2) 实数m的值；
(3) 方程的两根及此时θ的值．
已知2cos2α＋3cosαsin α－3sin2α＝1，α∈.求：
(1)tan α的值；
(2) 的值．
三角函数化简求值的注意点
1. 切化弦或弦化切统一名．
2. 用诱导公式，统一角．
3. 用因式分解将式子变形，化为最简，也就是“化同”．
4．2　同角三角函数的基本关系式与诱导公式
1. D　解析：因为sin 23°＝m，所以cos 67°＝m，所以sin 67°＝，所以tan 67°＝.因为sin 23°＝m>0，所以tan 67°＝＝.
2. D　解析：因为sin 320°＝sin (360°－40°)＝－sin 40°<0，cos 320°＝cos (360°－40°)＝cos 40°>0，所以角α的终边在第二象限. 又tan α＝＝＝tan 130°，且0°<α<360°，所以α＝130°.
3. C　解析：＝＝＝|sin 40°－cos 40°|.因为sin 40°4. 　解析：由三角函数的定义可得cos α＝，所以sin ＝cos α＝.
5. －　解析：由－180°<α<－90°，得－105°<75°＋α<－15°，则sin (75°＋α)<0，所以sin (75°＋α)＝－＝－，所以cos(15°－α)＝cos [90°－(75°＋α)]＝sin (75°＋α)＝－.
例1　(1) 由sin x＋cos x＝两边平方，得sin2x＋2sinx cos x＋cos2x＝，
整理，得2sinx cos x＝－，
所以(sin x－cos x)2＝1－2sin x cos x＝.
由x∈(－π，0)，得sin x＜0.
又sin x＋cos x＞0，
所以cos x＞0，所以sin x－cos x＜0，
所以sin x－cos x＝－.
(2) 由(1)可得＝
＝＝＝－.
变式训练　(1) cos α＋sin α
＝cos α·＋sinα·
＝cosα·＋sin α·
＝cos α·＋sin α·
＝－1＋sin α＋1－cos α
＝sin α－cos α.
(2) sin4α＋sin2αcos2α＋cos2α＝sin2α(sin2α＋cos2α)＋cos2α＝sin2α＋cos2α＝1.
例2　(1) 若选①2tan (π－α)＝－1，
则2tan (π－α)＝2tan (－α)＝－2tan α＝－1，
解得tan α＝.
若选②cos (π－α)＋cos ＝sin (－α)，
则cos (π－α)＋cos ＝－cos α＋sin α＝sin (－α)＝－sin α，
即cos α＝2sin α，则tan α＝.
若选③点P(2a，a)(a≠0)在角α的终边上，则tan α＝＝.
(2) 若角α的终边在第三象限，则sin α<0，cos α<0.
由(1)，得tan α＝＝.
又sin2α＋cos2α＝1，所以sinα＝－，cos α＝－，
所以2sin (2π－α)－cos (π＋α)＝－2sin α＋cos α＝－＝0.
变式训练1　(1) C　解析：当k为偶数时，A＝＋＝2；当k为奇数时，A＝＋＝－2，故A的值构成的集合是{2，－2}．
(2) 1　解析：原式＝－sin 1 200°cos 1 290°－cos 1 020°sin 1 050°＝－sin (3×360°＋120°)cos (3×360°＋210°)－cos (2×360°＋300°)·sin (2×360°＋330°)＝－sin 120°cos 210°－cos 300°sin 330°＝－sin (180°－60°)cos (180°＋30°)－cos (360°－60°)sin (360°－30°)＝sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30°＝×＋×＝1.
(3) －　解析：tan ＝tan [π－(－α)]＝－tan ＝－.
变式训练2　　解析：sin ＋sin2＝sin[(x＋)－π]＋sin2[－(x＋)]＝－sin(x＋)＋cos2(x＋)＝－sin＋1－sin2＝.
例3　(1)原式＝＋
＝＋
＝＝sin θ＋cos θ.
由题意，得sin θ＋cos θ＝，
所以＋＝.
(2) 由题意，得sin θ＋cos θ＝，sin θcos θ＝.
因为1＋2sin θcos θ＝(sin θ＋cos θ)2，即1＋m＝，
所以m＝.
(3) 由
解得或
因为θ∈(0，2π)，所以θ＝或θ＝，
所以当sin θ＝，cos θ＝时，θ＝；
当sin θ＝，cos θ＝时，θ＝.
变式训练　(1) 因为2cos2α＋3cosαsin α－3sin2α＝1，
且cos2α＋sin2α＝1，
所以＝1，
所以＝1，
解得tanα＝－或tan α＝1.
又α∈，所以tan α＝－.
(2) ＝＝＝－.4.2　同角三角函数的基本关系式与诱导公式
一、 单选题
1 已知sin ＝， 则cos 的值为(　　)
A. － B. －
C. D.
2 已知＝，则的值为(　　)
A. B. －
C. D. －
3 如果角α的终边在直线y＝2x上，那么5sin2α＋3sinαcos α－2的值为(　　)
A. － B.
C. － D. 或－
4 人们把最能引起美感的比例称为黄金分割. 黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值称为黄金分割比．人们称底与腰之比为黄金分割比的等腰三角形为最美三角形，它是一个顶角为36°的等腰三角形，由此我们可得sin 162° 的值为(　　)
A. B.
C. D.
二、 多选题
5 若sin α＝，则下列计算结果中正确的是(　　)
A. cos ＝
B. sin ＝
C. sin (π＋α)＝
D. sin (π－α)＝
6 下列计算或化简结果中，正确的是(　　)
A. ＝2
B. 若sin θcos θ＝，则tan θ＋＝2
C. 若tan x＝，则＝1
D. 若sin α＝，则tan α＝2
7 已知α∈(0，π)，且sin α＋cos α＝，则下列结论中正确的是(　　)
A. <α<π B. sin αcos α＝－
C. cos α＝ D. cos α－sin α＝－
三、 填空题
8 化简sin (α－π)cos (2π－α)的结果为________．
9 若＝，则sin2α－sinαcos α－3cos2α＝________．
10[2025武汉五校联合体期末]记数列{an}的前n项和为Sn，且an＝cos ，则S2 025＝________．
四、 解答题
11 若sin (180°＋α)＝－(0°<α<90°)，求的值．
12 已知sin θ，cos θ是关于x的方程x2－ax＋a＝0的两个根(a∈R).
(1) 求sin3θ＋cos3θ的值；
(2)求tan θ＋ 的值．
4．2　同角三角函数的基本关系式与诱导公式
1. B　解析：cos ＝cos ＝－sin (θ－)＝－.
2. A　解析：由sin2x＋cos2x＝1，得cos2x＝1－sin2x＝(1＋sinx)·(1－sin x)，故＝＝.
3. B　解析：方法一：因为角α的终边在直线y＝2x上，所以设直线y＝2x上一点为(m，2m)(m≠0)，所以tan α＝＝2，所以5sin2α＋3sinαcos α－2＝5sin2α＋3sinαcos α－2(sin2α＋cos2α)＝3sinαcos α＋3sin2α－2cos2α＝＝＝＝.
方法二：易知直线y＝2x过第一象限和第三象限．若α的终边在第一象限，可取终边上一点(1，2)，则sinα＝＝，cos α＝＝，所以5sin2α＋3sinαcos α－2＝5×＋3××－2＝；若α的终边在第三象限，可取终边上一点(－1，－2)，则sin α＝＝－，cos α＝＝－，所以5sin2α＋3sinαcos α－2＝5×＋3××－2＝.综上，5sin2α＋3sinαcos α－2＝.
4. A　解析：如图，在△ABC中，∠BAC＝36°，AB＝AC，D为BC的中点．因为△ABC为最美三角形，所以∠BAD＝18°，＝，所以sin ∠BAD＝＝＝·＝＝sin 18°，所以sin 162°＝sin (180°－18°)＝sin 18°＝.
5. AD　解析：cos ＝sin α＝，故A正确；由sin α＝，得sin ＝cos α＝±，故B错误；sin (π＋α)＝－sin α＝－，故C错误；sin (π－α)＝sin α＝，故D正确．故选AD.
6. AB　解析：对于A，＝·＝2，故A正确；对于B，若sin θcos θ＝，则tan θ＋＝＋＝＝2，故B正确；对于C，若tan x＝，则＝＝＝2，故C错误；对于D，因为α的范围不确定，所以tan α的符号不确定，故D错误．故选AB.
7. ABD　解析：因为α∈(0，π)，sin α＋cos α＝，等式两边平方，得(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝，所以sin αcos α＝－，故B正确；因为α∈(0，π)，sin αcos α＝－<0，所以<α<π，cos α<0，故A正确，C错误；由<α<π可知cos α－sin α<0，且(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×＝，所以cos α－sin α＝－，故D正确．故选ABD.
8. －sin2α　解析：原式＝·(－sin α)·cos α＝·(－sin α)·cos α＝－sin2α.
9.　解析：由＝可知cos α≠0，所以＝＝，所以tan α＝－3，所以sin2α－sinαcos α－3cos2α＝＝＝＝.
10.　解析：当n＝1时，a1＝cos ＝；当n＝2时，a2＝cos ＝0；当n＝3时，a3＝cos ＝－；当n＝4时，a4＝cos π＝－1；当n＝5时，a5＝cos ＝－；当n＝6时，a6＝cos ＝0；当n＝7时，a7＝cos ＝；当n＝8时，a8＝cos 2π＝1；当n＝9时，a9＝cos ＝；当n＝10时，a10＝cos ＝0，所以数列{an}是周期为8的周期数列，且a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＋a8＝0.因为2 025＝8×253＋1，所以S2 025＝a2 025＝cos ＝.
11. 由sin (180°＋α)＝－(0°<α<90°)，
得sin α＝，cos α＝，
所以原式＝
＝＝＝2.
12. 由题意，得sin θ＋cos θ＝a，sin θ·cos θ＝a.
因为(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，
所以a2＝1＋2a，解得a＝1－或a＝1＋.
因为|sin θ|≤1，|cos θ|≤1，所以|sin θcos θ|≤1，
即|a|≤1，所以a＝1－.
(1) sin3θ＋cos3θ＝(sinθ＋cos θ)(sin2θ－sinθcos θ＋cos2θ)
＝(sinθ＋cos θ)(1－sin θcos θ)＝a(1－a)
＝(1－)×(1－1＋)＝－2.
(2) tan θ＋＝＋＝＝＝＝＝－1－.(共36张PPT)
第四章
4.2　同角三角函数的基本关系式与诱导公式
三角函数、解三角形
内容索引
核心体系
活动方案
核 心 体 系
活 动 方 案
活动一　基础引入
1 设sin 23°＝m，则tan 67°等于 (　　)
D
2 [2026沈阳月考]已知角α(0°＜α＜360°)终边上的点A的坐标为(sin 320°，cos 320°)，则α的大小为 (　　)
A．230°　 B．220°
C．140°　 D．130°
D
A．sin 40°＋cos 40° B．sin 40°－cos 40°
C．cos 40°－sin 40° D．－cos 40°－sin 40°
C
活动二　典例悟法
题组一　利用同角三角函数的基本关系式化简、求值
1
　　　　　　化简：
(2) sin4α＋sin2αcos2α＋cos2α．
＝－1＋sin α＋1－cos α
＝sin α－cos α．
(2) sin4α＋sin2αcos2α＋cos2α＝sin2α(sin2α＋cos2α)＋cos2α＝sin2α＋cos2α＝1．
1如何利用同角关系求值？公式有哪些常见的变形？
2．应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二．
3．注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α．
4．同角三角函数的基本关系本身是恒等式，也可以看作是方程，对于一些题，可利用已知条件，结合同角三角函数的基本关系列方程组，通过解方程组达到解决问题的目的．
题组二　利用诱导公式化简、求值
(1) 求tan α的值；
(2) 若角α的终边在第三象限，求2sin (2π－α)－cos (π＋α)的值．
2
A．{1，－1，2，－2}　 B．{－1，1}
C．{2，－2}　 D．{1，－1，0，2，－2}
C
(2) 求值：sin (－1 200°)cos 1 290°＋cos (－1 020°)·sin(－ 　　1 050°)＝_____；
1
2诱导公式如何使用？
诱导公式的两个应用
1．求值：负化正，大化小，化到锐角．
2．化简：统一角，统一名，同角名少．
题组三　三角函数式的等价转化
(2) 实数m的值；
(3) 方程的两根及此时θ的值．
3
三角函数化简求值的注意点
1．切化弦或弦化切统一名．
2．用诱导公式，统一角．
3．用因式分解将式子变形，化为最简，也就是“化同”．
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