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(共54张PPT)
第四章
4.5　三角恒等变换
三角函数、解三角形
复习目标　1．熟记三角恒等变换公式、能运用它们进行简单的化简、求值及恒等式证明．2．掌握三角恒等变换公式、角的变换，并能灵活运用其解决一些三角综合问题．
内容索引
核心体系
活动方案
核 心 体 系
活 动 方 案
活动一　基础引入
C
D
D
活动二　典例悟法
题组一　三角恒等公式的正用与逆用
1
　　　　　　1 [2025南昌二模]已知角α，β的始边重合，终边不重合，且sin α－3cos β＝sin β－3cos α，则tan (α＋β)的值为 (　　)
D
BCD
1如何处理复杂三角函数关系式的化简和求值？
1．注意观察式子的结构，根据角与角之间的关系(诱导公式、倍数关系)进行变换．
2．注意“1”的代换及公式的逆用．
3．熟练掌握积化和差与和差化积公式．
2
D
B
　　　　　　1[2025苏北七市二模]已知sin 2α＝2sin 2β，cos 2α＝4sin2β，则cos(2α＋β)＝_____．
0
2 三角函数中求值的问题要注意什么？
1．“给值求值”关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异．
①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用．
②变换待求式，便于将已求得的函数值代入，从而达到解题的目的．
2．“凑配角”：用已知角和特殊角将所求角表示出来，例如：
题组三　三角恒等变换求角问题
3
B
C
3 三角函数中求角的问题要注意什么？
“给值求角”实质就是转化为“给值求值”．解决此类题的关键是
1．求值：求出所求角的某种三角函数值．
2．界定范围：根据题设(隐含条件)确定所求角的取值范围．
3．求角：由所得函数值结合函数的单调性及角的取值范围确定角的大小．
题组四　三角恒等变换的综合应用
4
三角恒等变换的应用广泛，在三角函数的最值、周期等问题的化简中都有应用．
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复习目标　1. 熟记三角恒等变换公式、能运用它们进行简单的化简、求值及恒等式证明.2. 掌握三角恒等变换公式、角的变换，并能灵活运用其解决一些三角综合问题．
cos (α＋β)cos 2α
sin (α＋β)sin 2α　　　＝tan 2α
活动一 基础引入
1 [2025深圳一模]已知＝3，则的值为(　　)
A. B.
C. 2 D. 3
2 已知tan2θ＋tanθ－1＝0，则tan 2θ的值为(　　)
A. 2 B.
C. D.
3 已知α∈，且tan ＝3cos 2α，则sin 2α的值为(　　)
A. － B.
C. D.
4 已知sin α＋cos α＝，则sin ＝________．
5 已知tan α＝，tan β＝－，且α，β∈(0，π)，则2α－β＝________．
活动二 典例悟法
题组一　三角恒等公式的正用与逆用
1 (1) [2025鞍山二模]若α＋β＝且tan α＋tan β＝，则cos αcos β＝________；
(2) 已知α∈，且2sin2α－sinαcos α－3cos2α＝0，求的值．
1 [2025南昌二模]已知角α，β的始边重合，终边不重合，且sin α－3cos β＝sin β－3cos α，则tan (α＋β)的值为(　　)
A. B.
C. D.
2 (多选)[2025苏北四市一模]已知α，β为锐角，cos (α＋β)＝，tan α＋tan β＝1，则下列结论中正确的是(　　)
A. sin αcos β＝ B. cos (α－β)＝1
C. tan αtan β＝ D. tan [2(α＋β)]＝－
1. 注意观察式子的结构，根据角与角之间的关系(诱导公式、倍数关系)进行变换．
2. 注意“1”的代换及公式的逆用．
3. 熟练掌握积化和差与和差化积公式．
题组二　三角恒等变换给值求值问题
2 (1) [2025郑州二模]若tan (α－β)＝3，＝18，则tan2α的值为(　　)
A. － B. －2
C. － D. －
(2) [2025郴州、娄底模拟]已知cos α＋sin ＝，则cos 的值为(　　)
A. B.
C. － D. －
1 [2025苏北七市二模]已知sin 2α＝2sin 2β，cos 2α＝4sin2β，则cos(2α＋β)＝__________．
2 [2025河北模拟]已知α，β均为锐角，且sin α＝λsin β，tan ＝(λ＋2)tan ，则 λ＝________．
1. “给值求值”关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异．
①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用．
②变换待求式，便于将已求得的函数值代入，从而达到解题的目的．
2. “凑配角”：用已知角和特殊角将所求角表示出来，例如：
α＝(α＋β)－β；α＝β－(β－α)；＋α＝－；α＝2·；α＝[(α＋β)＋(α－β)]；β＝[(α＋β)－(α－β)]等．
题组三　三角恒等变换求角问题
3 (1) 已知方程x2＋3ax＋3a＋1＝0(a＞1)的两根分别为tan α，tan β，且α，β∈，则α＋β的值为(　　)
A. B. －
C. 或－ D. 或－
(2) [2026徐州三中月考]在平面直角坐标系xOy中，以x轴正半轴为始边的锐角α和钝角β的终边分别交单位圆于A，B两点．已知点A的横坐标为，点B的纵坐标为.求：
①sin (α＋β)的值；
②2α－β的值．
已知sin α＝，sin (α－β)＝－，且α，β均为锐角，则角β的大小为(　　)
A. B. C. D.
“给值求角”实质就是转化为“给值求值”．解决此类题的关键是
1. 求值：求出所求角的某种三角函数值．
2. 界定范围：根据题设(隐含条件)确定所求角的取值范围．
3. 求角：由所得函数值结合函数的单调性及角的取值范围确定角的大小．
题组四　三角恒等变换的综合应用
4 [2025泰兴多校期中联考]设函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω>0).从下列三个条件中选择两个作为已知，使函数f(x)存在，并解答下列问题．
①函数f(x)的图象经过点；②f(x)在区间上单调递增；③点是f(x)图象的一个对称中心．
(1) 求f(x)的最小正周期及单调减区间；
(2) 若f(α)＝，α∈，求sin 2α的值．
[2026镇江丹阳期初]已知函数f(x)＝sin x cos x＋cos2x－，x∈R.
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调增区间；
(2) 已知α∈(0，π)，f＝，求f(α－)的值．
三角恒等变换的应用广泛，在三角函数的最值、周期等问题的化简中都有应用．
4．5　三角恒等变换
1. C　 解析：由＝3，得sin αcos β＋cos αsin β＝3sin αcos β－3cos αsin β，即4cos αsin β＝2sin αcos β，故＝2.
2. D　解析：由题意，得tan θ＝1－tan2θ，则＝，所以tan 2θ＝＝.
3．D　解析：设α＋＝β，β∈，则α＝β－.由tan ＝3cos 2α，得tan β＝3cos ＝3sin 2β，即＝6sin βcos β.又因为sin β≠0，所以cos2β＝，所以sin2α＝sin ＝－cos 2β＝1－2cos2β＝.
4．－　解析：因为sin α＋cos α＝，所以sin (α＋)＝，所以sin ＝sin ＝sin [2(α＋)－]＝－cos ＝2sin2－1＝2×－1＝－.
5．－　解析：因为tan α＝，tan β＝－，所以tan 2α＝＝＝，tan(2α－β)＝＝＝1.因为α，β∈(0，π)，tan α>0，tan β<0，所以0<α<，<β<π.又tan 2α>0，所以0<2α<，所以－π<2α－β<0，所以2α－β＝－.
例1　(1) 　解析：由两角和的正切公式，得tan (α＋β)＝＝＝1，所以1－tan αtan β＝.由两角和的余弦公式，得cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝cos αcos β(1－tan α·tan β)＝cos αcos β＝，解得cos αcos β＝.
(2) 因为α∈，且2sin2α－sinαcos α－3cos2α＝0，
所以(2sinα－3cos α)(sin α＋cos α)＝0，
所以2sin α＝3cos α.
又sin2α＋cos2α＝1，
所以cosα＝，sin α＝，
所以＝＝＝.
变式训练1　D　 解析：方法一(利用和差化积公式)：由题意，得sin α－sin β＝3(cos β－cos α)，由和差化积公式，得sin α－sin β＝2cos sin ，cos β－cos α＝2sin sin ，则2cos sin ＝6sin sin .因为角α，β的始边重合，终边不重合，所以≠kπ(k∈Z)，即sin ≠0，所以3sin ＝cos ，所以tan ＝，所以tan (α＋β)＝＝＝.
方法二(利用辅助角公式)：由题意，得sinα＋3cos α＝sin β＋3cos β. 由辅助角公式，得sin (α＋φ)＝sin (β＋φ)，其中sin φ＝，cos φ＝，即tan φ＝3.因为角α，β的始边重合，终边不重合，所以α＋φ与 β＋φ的终边关于y轴对称，即(α＋φ)＋(β＋φ)＝π＋2kπ，k∈Z，则α＋β＝π－2φ＋2kπ，k∈Z，所以tan (α＋β)＝tan (－2φ)＝－＝.
方法三(转化为向量的数量积)：如图，设点A(cosα，sin α)，B(cos β，sin β)，C(3，1)，不妨令α，β∈[0，2π)，则点A，B在单位圆上．由题意，得sin α＋3cos α＝sin β＋3cos β，则·＝·，即·(－)＝·＝0.因为角α，β的始边重合，终边不重合，所以⊥，所以点A，B关于直线OC对称. 记直线OC的倾斜角为φ，因为点C(3，1)，所以tan φ＝，所以＝φ＋π，所以tan ＝，所以tan (α＋β)＝＝＝.
变式训练2　BCD　 解析：因为α，β为锐角，所以sin (α＋β)>0，则sin (α＋β)＝＝.又因为tan α＋tan β＝＋＝＝＝1，所以cos αcos β＝，所以cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝－sin αsin β＝，则sin αsin β＝，所以cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝1，故B正确；由cos (α－β)＝1，得 α＝β，则sin 2α＝，所以sin αcos β＝sin αcos α＝sin 2α＝，故A错误；由α＝β，tan α＋tan β＝1，得tan α＝tan β＝，所以tan αtan β＝，故C正确；因为tan 2α＝＝，所以tan[2(α＋β)]＝tan 4α＝＝－，故D正确．故选BCD.
例2　(1)D　 解析：因为＝·＝tan (α＋β)tan (α－β)＝3tan (α＋β)＝18，所以tan (α＋β)＝6，所以tan 2α＝tan [(α＋β)＋(α－β)]＝＝＝－.
(2) B　解析：因为cos α＋sin ＝cos α＋sin α－cos α＝sin α＋cos α＝sin ＝，所以cos (2α＋)＝1－2sin2＝.
变式训练1　0　解析：方法一(转化为2α与β的正、余弦关系)：若sin β＝0，则cos 2α＝0，sin 2α＝2sin 2β＝4sin βcos β＝0，与sin22α＋cos22α＝1矛盾，则sinβ≠0，cos 2α≠0.因为＝＝，所以cos 2αcos β－sin 2αsin β＝0，即cos (2α＋β)＝0.
方法二(利用同角关系转化为关于sin β的方程、消元)：因为sin 2α＝2sin 2β＝4sin βcos β，cos 2α＝4sin2β，所以sin22α＋cos22α＝16sin2β·cos2β＋16sin4β＝16sin2β＝1，所以sin2β＝，cos2α＝，所以cos (2α＋β)＝cos 2αcos β－sin 2αsin β＝cos β－4sin2βcosβ＝cos β－cos β＝0.
变式训练2　 　 解析：因为sin α＝λsin β，所以sin (＋)＝λsin ，即(λ－1)sin cos ＝(λ＋1)sin ·cos .由题意可知λ≠1，且α≠β，所以tan ＝tan ，所以＝λ＋2，解得λ＝或λ＝－(舍去)，所以λ＝.
例3　(1) B　解析： 由题意，得则 tan (α＋β)＝＝＝1.因为所以tan α<0，tan β<0，所以－<α<0，－<β<0，所以－π<α＋β<0.又tan (α＋β)＝1，所以α＋β＝－.
(2) 由题意，得α∈，β∈，cos α＝，sin β＝，
所以sin α＝＝，cosβ＝－＝－.
①sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝－.
②sin (α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝－，
cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－，
所以sin (2α－β)＝sin ＝sin αcos (α－β)＋cos αsin (α－β)＝×＋×＝－.
由cos α＝<，得<α<，
又<β<π，所以－<2α－β<，
所以2α－β＝－.
变式训练　C　解析： 因为α，β均为锐角，所以－<α－β<.因为sin (α－β)＝－，所以cos (α－β)＝.又sin α＝，所以cos α＝，所以sin β＝sin [α－(α－β)]＝sin αcos (α－β)－cos αsin (α－β)＝×－×＝，所以β＝.
例4　(1) 由题意，得f(x)＝sin ωx＋cos ωx＝2sin .
若选①函数f(x)的图象经过点，
则2sin ＝2，
所以－＋＝＋2kπ，k∈Z.
又ω>0，所以ω＝－＋3k，k∈N*.
若选③点是f(x)图象的一个对称中心，
则2sin ＝0，
所以＋＝k1π，k1∈Z.
又ω>0，所以ω＝－1＋3k1，k1∈N*.
显然条件①和③不会同时成立．
若选①②，设f(x)的最小正周期为T.
因为f(x)在区间上单调递增，
所以T≥－＝，解得T≥π.
又ω>0，T＝，所以0<ω≤2.
因为ω＝－＋3k≥，k∈N*，所以不成立．
若选②③，因为ω＝－1＋3k1，k1∈N*且0<ω≤2，
所以当k1＝1时，满足要求，
此时ω＝2，
f(x)的最小正周期为T＝＝π.
令＋2k2π≤2x＋≤＋2k2π，k2∈Z，
解得＋k2π≤x≤＋k2π，k2∈Z，
故单调减区间为，k2∈Z.
(2) 由(1)，得f(x)＝2sin .
由f(α)＝，得sin ＝.
因为α∈，
所以2α＋∈，
所以cos <0，
所以cos ＝－＝－，
所以sin2α＝sin ＝sin cos －cos (2α＋)sin ＝×－×＝.
变式训练　(1) 由题意，得f(x)＝sin x cos x＋cos2x－＝·sin2x＋cos 2x＝sin ，
所以f(x)的最小正周期为T＝＝π.
令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
解得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，
故f(x)的单调增区间为，k∈Z.
(2) 由f＝，得sin ＝，
则cos α＝.
因为α∈(0，π)，所以sin α＝，
所以f＝sin ＝sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝.4.5　三角恒等变换
一、 单选题
1 若sin (α＋β)＋cos (α＋β)＝2cos sin β，则下列结论中正确的是(　　)
A. tan (α－β)＝1
B. tan (α＋β)＝1
C. tan (α－β)＝－1
D. tan (α＋β)＝－1
2 [2026南京中华中学月考]若sin ＝，则cos 的值为(　　)
A. B. －
C. D. －
3 [2026镇江丹阳期初]已知α，β∈，sin (2α＋β)＝2sin β，则tan β的最大值为(　　)
A. B.
C. 1 D.
4 古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础．现根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑物的高度，如图，已知点A是球体建筑物与水平地面的接触点(切点)，地面上B，C两点与点A在同一条直线上，且在点A的同侧．若在B，C处分别测得球体建筑物的最大仰角为60°和20°，且BC＝100 m，则该球体建筑物的高度约为(cos 10°≈0.985)(　　)
A. 49.25 m B. 50.76 m
C. 56.74 m D. 58.60 m
二、 多选题
5 [2025扬州大学附属中学期初]下列等式中，成立的是(　　)
A. sin 63°cos 18°－cos 63°sin 18°＝
B. sin 15°cos 15°＝
C. sin2－cos2＝
D．＝
6 已知4cos ＝cos 2α，则下列结论中正确的是(　　)
A. sin α＋cos α＝
B. α＝kπ＋(k∈Z)
C. tan 4α＝0
D. tan α＝1
7 [2025扬州期中]已知角α，β满足sin α＝－，cos (α＋β)sin β＝，则下列结论中正确的有(　　)
A. cos 2α＝
B. sin (α＋β)cos β＝
C. tan (α＋β)＝4tan β
D. sin (α＋2β)＝
三、 填空题
8 [2026镇江丹阳期初]已知0<α<π，0<β<π，tan α＝－，tan (α＋β)＝－3，则sin 2β＝________．
9 已知sin ＝，且α∈，则sin 2α＝________，cos －sin 4α＝________．
10 [2025淮安一调]已知sin α＋cos α＝，则＝________．
四、 解答题
11 已知α，β为锐角，tan ＝，cos (α＋β)＝－.求：
(1) cos 2α的值；
(2) tan (α－β)的值．
12 已知tan α＝，cos β＝，且0<α<，<β<2π.求：
(1) tan 2α的值；
(2) α＋β的值．
4．5　三角恒等变换
1. C　解析：方法一(直接法)：由题意，得sin αcos β＋cos αsin β＋cos αcos β－sin αsin β＝2(cos α－sin α)sin β，即sin αcos β－cos αsin β＋cos αcos β＋sin αsin β＝0，所以sin (α－β)＋cos (α－β)＝0，故tan (α－β)＝－1.
方法二(特殊值排除法)：设β＝0，则sin α＋cos α＝0，取α＝－，排除A，B；设α＝0，则sin β＋cos β＝2sin β，取β＝，排除D.故选C.
方法三(三角恒等变换)：由题意，得sin (α＋β)＋cos (α＋β)＝sin (α＋β＋)＝·sin ＝sin (α＋)cos β＋·cos (α＋)sin β＝2cos (α＋)sin β，所以sin (α＋)cos β＝cos sin β，所以sin (α＋)cos β－cos sin β＝0，即sin ＝0，所以sin (α－β＋)＝sin (α－β)cos ＋cos (α－β)sin ＝sin (α－β)＋cos (α－β)＝0，即sin (α－β)＝－cos (α－β)，所以 tan (α－β)＝－1.
2. B　解析：由题意，得cos ＝cos [π－2]＝－cos [2(－α)]＝－[1－2sin2]＝－[1－2×]＝－.
3．A　解析：因为sin (2α＋β)＝sin 2αcos β＋cos 2αsin β＝2sin β，所以sin 2αcos β＝2sin β－cos 2αsin β＝sin β(1＋2sin2α).因为α，β∈，所以tanβ＝＝＝＝，且tan α∈(0，＋∞)，所以tan β＝≤＝，当且仅当tan α＝时，等号成立．故tan β的最大值为.
4. B　解析：如图，设球的半径为R，AB＝＝R，AC＝.因为BC＝－R＝100，所以R＝＝＝＝＝＝≈，所以2R≈≈50.76，即该球体建筑物的高度约为50.76 m.
5. AD　解析：对于A，sin 63°cos 18°－cos 63°sin 18°＝sin (63°－18°)＝sin 45°＝，故A正确；对于B，sin 15°cos 15°＝sin 30°＝，故B错误；对于C，sin2－cos2＝－＝－cos＝－，故C错误；对于D，＝＝tan (45°＋15°)＝tan 60°＝，故D正确．故选AD.
6. BCD　解析：由4cos ＝cos 2α，得4(cos αcos －sin αsin )＝cos2α－sin2α，即2(cosα－sin α)＝cos2α－sin2α，整理，得(cosα＋sin α－2)(cos α－sin α)＝0，所以cos α＋sin α－2＝0或cos α－sin α＝0，即sin ＝2或sin α＝cos α，则sin (α＋)＝2(舍去)或tan α＝1，解得α＝kπ＋(k∈Z)，所以4α＝4kπ＋π(k∈Z)，tan 4α＝tan (4kπ＋π)＝tan π＝0，故A错误，B，C，D正确．故选BCD.
7. ABD　解析：因为sin α＝－，所以cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×＝，故A正确；因为sinα＝sin [(α＋β)－β]＝sin (α＋β)cos β－cos (α＋β)sin β＝－，所以sin (α＋β)cos β＝－＝，故B正确；由sin (α＋β)cos β＝，cos (α＋β)sin β＝，得tan (α＋β)＝tan β，故C错误；sin (α＋2β)＝sin (α＋β＋β)＝sin (α＋β)cos β＋cos (α＋β)sin β＝＋＝，故D正确．故选ABD.
8. －1　解析：由题意，得tan (α＋β)＝＝＝－3，则＝－3，解得tan β＝－1，所以sin 2β＝＝＝－1.
9.　－　解析：因为α∈，所以<2α＋<.由sin ＝，得cos ＝－，则 sin 2α＝sin [(2α＋)－]＝sin cos －cos sin ＝×＋×＝，则cos －sin 4α＝cos 4αcos ＋sin 4αsin －sin 4α＝cos 4α＝(1－2sin22α)＝－×＝－.
10. －4　解析：由sin α＋cos α＝，得(sin α＋cos α)2＝1＋sin 2α＝，则sin 2α＝－，故＝＝＝＝＝＝＝5sin 2α＝5×＝－4.
11. (1) 因为tan ＝，
所以tan α＝＝＝.
又α为锐角，且sin2α＋cos2α＝1，
所以sinα＝，cos α＝，
所以cos 2α＝cos2α－sin2α＝－.
(2)由(1)，得sin 2α＝2sin αcos α＝，
则tan 2α＝＝－.
因为α，β∈，所以α＋β∈(0，π).
又cos (α＋β)＝－，
所以sin (α＋β)＝＝，
所以tan(α＋β)＝＝－2，
所以tan (α－β)＝tan [2α－(α＋β)]＝＝－.
12. (1) 因为tan α＝，
所以tan 2α＝＝＝.
(2) 因为cos β＝，且<β<2π，
所以sin β＝－＝－＝－，
所以tanβ＝＝＝－2，
所以tan (α＋β)＝＝＝－1.
因为0<α<，<β<2π，
所以<α＋β<，
所以α＋β＝.

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