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4.7　正弦定理、余弦定理及其应用
4．7.1　正弦定理、余弦定理
复习目标　1. 掌握正弦定理、余弦定理及三角形面积公式.2. 会利用正、余弦定理解三角形、判断三角形的形状.3. 会综合应用正、余弦定理解决相关问题．
解三角形
活动一 基础引入
1 [苏教版必修二P114本章测试T10]在△ABC中，若sin A∶sin B∶sin C＝3∶5∶7，则角C的大小为(　　)
A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°
2 (多选)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法中正确的是(　　)
A. 若A＝30°，a＝3，b＝4，则△ABC有一解
B. 若A＝60°，a＝9，b＝8，则△ABC有一解
C. 若A＝60°，a＝15，b＝16，则△ABC有两解
D. 若A＝45°，a＝，b＝，则△ABC有两解
3 [苏教版必修二P114本章测试T5]在△ABC中，若a cos B＋b cos A＝a，则△ABC的形状是________．
4 [2025苏州期初]已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B＝30°，b＝，c＝2，则a＝________．
5 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝2，sin A sin B＋sin A sin C＝sin B sin C，则b＋c的最小值为________．
活动二 典例悟法
题组一　利用正、余弦定理解三角形
1 [2025安庆二模]在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b sin B－a sin A＝a sin C.
(1) 求证：B＝2A；
(2) 若角C为锐角，且a＝1，△ABC的面积为，求边长b的值．
1 [2025全国二卷·5]在△ABC中，BC＝2，AC＝1＋，AB＝，则角A的大小为(　　)
A. 45° B. 60° C. 120° D. 135°
2 [2025全国一卷·11]已知△ABC的面积为，若cos 2A＋cos 2B＋2sin C＝2，cos A cos B sin C＝，则下列结论中正确的是(　　)
A. sin C＝sin2A＋sin2B B．AB＝
C. sin A＋sin B＝ D. AC2＋BC2＝3
1. 利用余弦定理解三角形的类型：
(1) 已知三边，求三个角；
(2) 已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角．
2. 利用正弦定理解三角形的类型：
(1) 已知两角和任意一边，求另一角和其他两边；
(2) 已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角．
3. 利用正、余弦定理解三角形时，要注意三角形内角和定理对角的范围的限制．
题组二　利用正、余弦定理判断三角形的形状
2 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若＝，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，则△ABC的形状为(　　)
A. 直角三角形 B. 等腰非等边三角形
C. 等边三角形 D. 钝角三角形
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c－a cos B＝(2a－b)·cos A，则△ABC的形状为(　　)
A. 等腰三角形
B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形
D. 等腰三角形或直角三角形
判断三角形形状的方法
1. 化边为角，通过三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断．
△ABC中常见的内角关系：sin A＝sin B A＝B；sin (A－B)＝0 A＝B；sin 2A＝sin 2B A＝B或A＋B＝；cos A＝cos B A＝B；cos 2A＝cos 2B A＝B；sin AB等．
2. 化角为边，通过代数恒等变换，求出三条边之间的关系进行判断．
常用结论：a＝b 等腰三角形；a＝b＝c 等边三角形；a2＋b2＝c2 直角三角形；a2＋b2题组三　与三角形面积、周长有关的问题
3 [2025蚌埠二模]记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2a cos A＋b cos C＝c cos (A＋C).
(1) 求角A的大小；
(2) 若a＝，边BC上的高为，求△ABC的周长.
已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sin A＋cos A＝0，a＝2，b＝2.
(1) 求c的值；
(2) 设D为边BC上的一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．
[2024新课标Ⅰ卷·15]记△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sin C＝cos B，a2＋b2－c2＝ab.
(1) 求角B的大小；
(2) 若△ABC的面积为3＋，求c的值．
1. 对于面积公式S＝ab sin C＝ac sin B＝bc sin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．
2. 与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．
4.7.2　解三角形的应用
复习目标　1. 会利用正、余弦定理求解有关三角形的面积问题.2. 会综合应用正、余弦定理解决相关问题．
解三角形的应用
活动一 基础引入
1 记△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为S1，S2，S3，已知S1－S2＋S3＝，sin B＝，则△ABC的面积为(　　)
A. 2 B. C. D. 2
2 [苏教版必修二P115本章测试T14改编]如图，在△ABC中，AB＝，CD＝5，∠ABC＝45°，∠ACB＝60°，则AD的长为________．
3 [苏教版必修二P115本章测试T13改编]在△ABC中，已知tan A＝，tan B＝.若△ABC最长边的长为，则最短边的长为________．
4 已知在△ABC中，AC＝4，BC＝2，∠BAC＝60°，AD⊥BC于点D，则的值为________．
5 在△ABC中，B＝30°，AC＝2 ，D是边AB上的一点，CD＝2，若∠ACD为锐角，△ACD的面积为4，则BC＝________．
活动二 典例悟法
题组一　与三角形的中线、角平分线、高有关的问题
1 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 b＝5，c＝6，边BC上的中线AD＝3，求 · 的值．
[2025安阳二模]在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若角A的平分线AE交BC于点E，且AE＝，c＝1，b＝2，则a＝________．
2 [2025苏锡常镇一模]在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2b cos C＝2a＋c.
(1) 求角B的大小；
(2) 若b＝，c＝2，D为AC的中点，求BD的长．
1 [2023新课标Ⅱ卷·17]记△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为，D为边BC的中点，且AD＝1.
(1) 若∠ADC＝，求tan B的值；
(2) 若b2＋c2＝8，求b，c的值．
2 [2023新课标Ⅰ卷·17]已知在△ABC中，A＋B＝3C，2sin (A－C)＝sin B.
(1) 求sin A的值；
(2) 设AB＝5，求边AB上的高．
中线、角平分线、高线处理策略
1. 中线：(1) 中线的向量表达形式；(2) 邻补角的余弦值互为相反数；(3) 倍长中线法等．
2. 角平分线：(1) 角平分线定理；(2) 角度的倍数关系；(3) 等面积法(即两个小三角形的面积和等于大三角形的面积)等．
3. 高线：(1) 产生直角三角形；(2) 与三角形面积相关等．
题组二　三角形中的最值、范围问题
3 设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝b tan A，且B为钝角．
(1) 求证：B－A＝；
(2) 求sin A＋sin C的取值范围．
4 在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，设S为△ABC的面积，且满足 S＝(a2＋b2－c2).
(1) 求角C的大小；
(2) 若c＝，求a＋b的最大值．
在例4条件不变的情况下，若c＝，求△ABC面积的最大值．
[2022新课标Ⅰ卷·18]记△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知＝.
(1) 若C＝，求角B的大小；
(2) 求的最小值．
1. 三角形中最值或范围问题解题策略
(1) 利用正弦定理转化成角的函数，结合角的范围，确定所求范围或最值．
(2) 利用余弦定理转化成边的函数，由函数的单调性求最值．
(3) 利用基本不等式求最值．
2. 注意题目中的隐含条件，如A＋B＋C＝π，0题组三　正、余弦定理在平面几何中的应用
5 (多选)[2025南通、泰州等八市三模]定义：一个平面封闭区域内任意两点之间的距离的最大值称为该区域的“直径”．在△ABC中，BC＝1，边BC上的高等于tan A，以△ABC的各边为直径向△ABC外分别作三个半圆，记三个半圆围成的平面区域为W，其“直径”为d，则下列结论中正确的是(　　)
A. AB2＋AC2＝3
B. △ABC面积的最大值为
C. 当∠ABC＝时，d＝
D. d的最大值为
求解几何计算问题要注意
1. 根据已知的边角画出图形并在图中标示．
2. 尽量选择边和角的条件都比较多的三角形，然后用正、余弦定理解决．
4．7　正弦定理、余弦定理及其应用
4．7.1　正弦定理、余弦定理
1. C　解析：由正弦定理可得sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c＝3∶5∶7，设a＝3k，b＝5k，c＝7k(k>0).由余弦定理，得cos C＝＝＝－.因为C∈(0°，180°)，所以C＝120°.
2. BCD　解析：对于A，由A＝30°，a＝3，b＝4及正弦定理＝，解得sin B＝>1，所以B无解，故△ABC无解，故A错误；对于B，由A＝60°，a＝9，b＝8及正弦定理＝，解得sin B＝<.又a>b，所以B有唯一解，故△ABC有一解，故B正确；对于C，由A＝60°，a＝15，b＝16及正弦定理＝，解得sin B＝>.又0°a，所以B>A，所以B＝60°或B＝120°，所以B有两解，所以△ABC有两解，故D正确．故选BCD.
3. 等腰三角形　解析：由a cos B＋b cos A＝a及正弦定理，得sin A·cos B＋sin B cos A＝sin A，即sin (A＋B)＝sin A.又A＋B＋C＝π，则sin (π－C)＝sin A，即sin C＝sin A，所以A＝C或A＋C＝π(舍去)，所以△ABC是等腰三角形．
4. 3　解析：方法一(利用余弦定理)：在△ABC中，由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac cos B，得13＝a2＋4－4a cos 30°，即a2－2a－9＝0，解得a＝3或a＝－(舍去).
方法二(利用正弦定理)：由题意及正弦定理＝，得＝，解得sin C＝.由b>c，得0＜C＜，则cos C＝＝，则sinA＝sin (B＋C)＝sin B cos C＋cos B sin C＝.由正弦定理＝，得a＝＝3.
5. 8　解析：由sin A sin B＋sin A sin C＝sin B sin C及正弦定理，得ab＋ac＝bc.因为a＝2，所以2b＋2c＝bc，即＋＝1，则b＋c＝(b＋c)＝4＋＋≥4＋2＝8，当且仅当c＝b＝4时，等号成立，所以b＋c的最小值为8.
例1　 (1) 方法一：由正弦定理，得sin2B－sin2A＝sinA sin C.
因为sin (B＋A)·sin (B－A)＝(sin B cos A＋cos B sin A)·(sin B cos A－cos B sin A)＝(sin B cos A)2－(cos B sin A)2＝sin2B(1－sin2A)－(1－sin2B)sin2A＝sin2B－sin2A，
所以sin(B＋A)·sin (B－A)＝sin A·sin C，
即sin C·sin (B－A)＝sin A·sin C.
因为A，C∈(0，π)，所以sin C≠0，sin A>0，
所以sin (B－A)＝sin A>0.
因为A，B∈(0，π)，所以0所以B－A＝A或B－A＝π－A，
所以B＝2A或B＝π(舍去)，所以B＝2A.
方法二：由正弦定理，得b2－a2＝ac，
由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2ac cos B＝a2＋ac，
所以c2－2ac cos B＝ac，即2a cos B＝c－a，
所以2sin A cos B＝sin C－sin A＝sin (A＋B)－sin A＝sin A cos B＋cos A sin B－sin A，
所以sin (B－A)＝sin A.
因为A∈(0，π)，所以sin A>0，即sin (B－A)>0，
因为A，B∈(0，π)，所以0所以B－A＝A或B－A＝π－A，
所以B＝2A或B＝π(舍去)，
所以B＝2A.
(2) 由S＝，得ab sin C＝，即a sin C＝，
则sin A sin C＝sin B＝sin A cos A.
因为A∈(0，π)，所以sin A≠0，
所以sin C＝cos A.
因为C∈，所以sin C>0，即cos A>0，
所以A∈，所以C＝－A，即C＋A＝，
所以B＝，A＝＝，
所以△ABC为等腰直角三角形，
因为a＝1，所以b＝a＝.
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1. A　解析：由题意，得cos A＝＝＝.又0°2. ABC　解析：cos 2A＋cos 2B＋2sin C＝2，由二倍角公式，得1－2sin2A＋1－2sin2B＋2sinC＝2，整理，得sin C＝sin2A＋sin2B，故A正确；由诱导公式，得sin(A＋B)＝sin (π－C)＝sin C，展开可得sin A·cos B＋sin B cos A＝sin2A＋sin2B，即sinA(sin A－cos B)＋sin B(sin B－cos A)＝0，下证C＝.
方法一(分类讨论)：若A＋B＝，则sin A＝cos B，sin B＝cos A，易知等式成立；若A＋B<，则A<－B，由诱导公式和正弦函数的单调性可知sin A0，sin B>0，所以sin A(sin A－cos B)＋sin B(sin B－cos A)<0，与条件不符，所以A＋B<不成立；若A＋B>，则A>－B，类似可推导出sin A(sin A－cos B)＋sin B(sin B－cos A)>0，所以A＋B>不成立．综上，A＋B＝，即C＝.
方法二(边角转化) ：由C∈(0，π)，得sin C∈(0，1]. 因为sin C＝sin2A＋sin2B，所以1×sinC＝sin2A＋sin2B≥sin2C，由正弦定理，得a2＋b2≥c2，由余弦定理可知cosC≥0，所以C∈. 若C∈，则A＋B>，注意到cos A cos B sin C＝，则cos A cos B>0，则cos A>0，cos B>0，所以A，B∈. 又A＋B>，即A>－B，所以A，－B都是锐角，所以sin A>sin ＝cos B>0，所以sin C＝sin2A＋sin2B>cos2B＋sin2B＝1，这和sinC≤1相矛盾，故C∈不成立，所以C＝.
方法三(结合射影定理)：由sin C＝sin2A＋sin2B，结合正弦定理可得c＝a sinA＋b sin B，由射影定理可得c＝a cos B＋b cos A，所以a sin A＋b sin B＝a cos B＋b cos A，则a(sin A－cos B)＋b(sin B－cos A)＝0，可同方法一中讨论的角度，推出A＋B＝.
方法四(和差化积)：同方法三，得a(sin A－cos B)＋b(sin B－cos A)＝0，则sin A－cos B，sin B－cos A同时为0或者异号，即(sin A－cos B)·(sin B－cos A)≤0，展开可得sin A sin B－sin A cos A－cos B sin B＋cos A cos B≤0，即cos (A－B)－(sin 2A＋sin 2B)≤0，由和差化积，得cos (A－B)[1－sin (A＋B)]≤0，由上述分析可知A，B∈，所以A－B∈，则cos (A－B)≥0，所以1－sin (A＋B)≤0，即sin C≥1.又sin C≤1，所以sin C＝1，所以C＝.
由cos A cos B sin C＝＝cos A cos B，且A＋B＝，得cos B＝sin A，即sin A cos A＝，则sin 2A＝，同理sin 2B＝，由上述推导可知A，B∈，则2A，2B∈(0，π)，不妨设A0，AC＝(2＋)t，则AB＝(＋)t. 由S△ABC＝(2＋)t2＝，得t2＝＝，则t＝，所以AB＝(＋)t＝，故B正确；由勾股定理可知AC2＋BC2＝AB2＝2，故D错误．故选ABC.
例2　C　解析：因为＝，所以＝，所以b＝c.又(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，所以 b2＋c2－a2＝bc，所以cos A＝＝＝.因为A∈(0，π)，所以A＝，所以△ABC是等边三角形．
变式训练　D　解析：因为c－a cos B＝(2a－b)cos A，所以由正弦定理，得sin C－sin A cos B＝2sin A cos A－sin B cos A.又C＝π－(A＋B)，所以sin A cos B＋cos A sin B－sin A cos B＝2sin A cos A－sin B·cos A，所以cos A(sin B－sin A)＝0，所以cos A＝0或sin B＝sin A，所以 A＝或B＝A，所以△ABC为等腰三角形或直角三角形．
例3 (1) 因为2a cos A＋b cos C＝c cos (A＋C)，
所以2a cos A＋b cos C＝－c cos B，
由正弦定理，得2sin A cos A＋sin B cos C＝－sin C cos B，
所以2sin A cos A＝－sin C cos B－sin B cos C＝－sin (B＋C)＝－sin A，
又sin A≠0，所以cos A＝－.
又A∈(0，π)，所以A＝.
(2) 因为a＝，边BC上的高为AD＝，
所以△ABC的面积S＝××＝，
又由△ABC的面积S＝bc sin A＝bc sin ＝，解得bc＝4.
在△ABC中，由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝b2＋c2＋bc＝(b＋c)2－bc，即()2＝(b＋c)2－4，得b＋c＝5.
所以△ABC的周长为a＋b＋c＝5＋.
变式训练　(1) 由sin A＋cos A＝0，得tan A＝－，则A＝.
在△ABC中，由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bc cos A，
即28＝4＋c2－4c cos ，即c2＋2c－24＝0，
解得c＝4(负值舍去).
(2) 由题意，得∠CAD＝，
所以∠BAD＝∠BAC－∠CAD＝，
所以＝＝1.
又S△ABC＝×4×2×sin ＝2，
所以△ABD的面积为.
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(1) 由题意及余弦定理，得cos C＝＝＝.
因为C∈(0，π)，所以C＝，则sin C＝.
又sin C＝cos B，所以cos B＝.
因为B∈(0，π)，所以B＝.
(2) 由(1)知，sin A＝sin ＝×＋×＝.
方法一：由正弦定理，得＝，则b＝c，
所以S△ABC＝bc sin A＝×c×c×＝c2＝3＋，
所以c＝2.
方法二：由正弦定理，得＝，得a＝c，
所以S△ABC＝ac sin B＝×c×c×sin ＝c2＝3＋，
所以c＝2.
方法三：由正弦定理，得＝，得a＝b，
所以S△ABC＝ab sin C＝×b×b×sin ＝b2＝3＋，所以b＝2，
则a＝＋，
所以c2＝a2＋b2－ab＝8，即c＝2.
4．7.2　解三角形的应用
1. B　解析：由题意，得(a2－b2＋c2)＝，即a2－b2＋c2＝2.又因为a2－b2＋c2＝2ac cos B，所以ac cos B＝1.因为sin B＝，所以cos B＝或cos B＝－(舍去)，所以ac＝＝，所以S△ABC＝ac sin B＝××＝.
2. 7　解析：在△ABC中，＝，所以AC＝＝＝3.在△ACD中，因为∠ACD＝120°，所以AD2＝AC2＋CD2－2AC·CD·cos 120°＝32＋52－2×3×5×＝49，所以AD＝7.
3. 　解析：因为C＝π－(A＋B)，所以tan C＝－tan (A＋B)＝－＝－＝－1.又04. 6　解析：在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB·cos ∠BAC，即28＝16＋AB2－4AB，解得AB＝6(负值舍去)，则cos ∠ABC＝＝，BD＝AB·cos ∠ABC＝6×＝，CD＝BC－BD＝2－＝，所以＝6.
5. 4　解析：由题意，得S△ACD＝CD·AC·sin ∠ACD＝2·sin ∠ACD＝4，解得sin ∠ACD＝.又∠ACD是锐角，所以cos ∠ACD＝.在△ACD中，AD2＝CD2＋AC2－2CD·AC·cos ∠ACD＝16，则AD＝4.在△ACD中，由正弦定理，得＝，则sin A＝＝.在△ABC中，＝，则BC＝＝4.
例1　由余弦定理，得cos ∠ADB＝＝，
cos ∠ADC＝＝.
又cos ∠ADB＝－cos ∠ADC，BD＝CD，
所以＝－，
所以BD＝CD＝，所以BC＝，
所以cos ∠BAC＝＝－，
所以·＝||·||cos ∠BAC＝6×5×＝－.
变式训练　　 解析：由题意，得bc sin ∠BAC＝b·AE·sin ＋c·AE sin ，即×2×1×sin ∠BAC＝×2×sin ＋×1×sin ，可得cos ＝. 又0<∠BAC<π，所以∠BAC＝.在△ABC中，由余弦定理，得a＝＝.
例2　(1) 方法一(利用余弦定理)：由2b cos C＝2a＋c及余弦定理，得2b·＝2a＋c，
即a2＋c2－b2＝－ac，则cos B＝＝－.
因为B∈(0，π)，所以B＝.
方法二(利用正弦定理)：由2b cos C＝2a＋c及正弦定理，得2sin B·cos C＝2sin A＋sin C，
则2sin B cos C＝2sin [π－(B＋C)]＋sin C，
即2sin B cos C＝2sin B cos C＋2cos B sin C＋sin C，
所以2cos B sin C＝－sin C.
因为sin C>0，所以cos B＝－，
因为B∈(0，π)，所以B＝.
(2) 在△ABC中，由余弦定理，可得()2＝a2＋(2)2－2a×2×，
即a2＋4a－5＝0，解得a＝1(负值舍去).
方法一：因为cos C＝＝＝，
所以在△BCD中，由余弦定理，得BD2＝1＋－2×1××＝，
故BD的长为.
方法二：因为∠BDC＋∠BDA＝π，
所以cos ∠BDC＋cos ∠BDA＝0，
所以＋＝0，
所以＋＝0，
所以BD＝.
方法三：因为＝(＋)，
所以||2＝(||2＋||2＋2·)，
即||2＝×＝，
故BD的长为.
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1. (1) 在△ABC中，因为D为边BC的中点，∠ADC＝，AD＝1，所以S△ADC＝AD·DC sin ∠ADC＝×1×a×＝a＝S△ABC＝，解得a＝4.
方法一：在△ABD中，∠ADB＝，由余弦定理，得c2＝BD2＋AD2－2BD·AD cos ∠ADB＝4＋1－2×2×1×＝7，解得c＝，
则cos B＝＝，sin B＝＝，
所以tanB＝＝.
方法二：在△ACD中，由余弦定理，得b2＝CD2＋AD2－2CD·AD·cos ∠ADC＝4＋1－2×2×1×＝3，解得b＝.
因为AC2＋AD2＝4＝CD2，所以∠CAD＝，C＝.
过点A作AE⊥BC于点E，则CE＝AC cos C＝，AE＝AC sin C＝，BE＝，则tan B＝＝.
(2) 方法一：在△ABD与△ACD中，由余弦定理，得
整理，得a2＋2＝b2＋c2，
因为b2＋c2＝8，所以a＝2.
又S△ADC＝××1×sin ∠ADC＝，解得sin ∠ADC＝1，
因为0<∠ADC<π，所以∠ADC＝，
所以b＝c＝＝2.
方法二：在△ABC中，因为D为边BC的中点，
所以2＝＋，
又＝－，
所以4||2＋|CB|2＝(＋)2＋(－)2＝2(b2＋c2)＝16，即4＋a2＝16，解得a＝2.
又S△ADC＝××1×sin ∠ADC＝，所以sin ∠ADC＝1，
因为0<∠ADC<π，所以∠ADC＝，
所以b＝c＝＝2.
2. (1) 因为A＋B＝3C，所以π－C＝3C，即C＝.
又2sin (A－C)＝sin B＝sin (A＋C)，
即2sin A cos C－2cos A sin C＝sin A cos C＋cos A sin C，
则sin A cos C＝3cos A sin C，所以sin A＝3cos A，
即tan A＝3，所以0所以sin A＝＝.
(2) 由(1)知cos A＝＝，
则sin B＝sin (A＋C)＝sin A cos C＋cos A sin C＝×(＋)＝.
在△ABC中，由正弦定理＝，得AC＝＝2.
设边AB上的高为h，则AB·h＝AB·AC·sin A，
所以h＝AC·sin A＝2×＝6，即边AB上的高为6.
例3　(1) 由a＝b tan A及正弦定理，得＝＝，
所以sin B＝cos A，即sin B＝sin .
因为B为钝角，所以A为锐角，
所以＋A∈，
则B＝＋A，所以B－A＝.
(2) 由(1)知，C＝π－(A＋B)＝π－＝－2A＞0，
所以A∈，
所以sin A＋sin C＝sin A＋sin ＝sin A＋cos 2A＝－2sin2A＋sinA＋1＝－2(sin A－)2＋.
因为0＜A＜，所以0＜sin A＜，
所以＜－2＋≤，
所以sin A＋sin C的取值范围是.
例4　(1) 因为S＝(a2＋b2－c2)＝×2ab cos C＝ab sin C，化简，得cos C＝sin C，
所以tan C＝.
因为C∈(0，π)，所以C＝.
(2) 若c＝，由正弦定理，得＝＝＝＝2，
则a＝2sin A，b＝2sin B，
所以a＋b＝2sin A＋2sin B＝2sin A＋2sin (－A)＝2sin .
因为0所以当A＋＝，即A＝时，a＋b取最大值为 2.
变式训练　因为c2＝a2＋b2－2ab cos C＝a2＋b2－ab≥2ab－ab＝ab，所以ab≤3，则S△ABC＝ab sin C≤×3×＝，当且仅当a＝b＝时取等号，故△ABC面积的最大值为.
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(1) 因为＝＝＝，
所以sin B＝cos A cos B－sin A sin B＝cos (A＋B)＝－cos C＝，
因为0(2) 由(1)知，sin B＝－cos C>0，则因为sin B＝－cos C＝sin ，
所以C＝＋B，即A＝－2B，
所以B∈，C∈，
所以＝＝
＝＝4cos2B＋－5
≥2－5＝4－5，
当且仅当cos 2B＝时取等号，所以的最小值为4－5.
例5　ABD　解析：设△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.由三角形的面积公式，得S△ABC＝bc sinA＝tan A，所以cos A＝， 由余弦定理，得b2＋c2－a2＝2，所以b2＋c2＝3，故A正确；因为S△ABC＝bc sin A＝，又b2＋c2＝3≥2bc＝，所以cos A≥，所以tan A＝＝≤＝，所以S△ABC≤，当且仅当b＝c＝时，等号成立，故B正确；如图，设边AB，AC的中点分别为E，F，在上取一点M，在上取一点N，由两点之间线段最短可得MN≤ME＋EF＋FN＝(a＋b＋c)，当且仅当M，N，E，F四点共线时，等号成立，所以d＝(a＋b＋c).又∠ABC＝，所以tan A＝，解得A＝，所以c＝a＝1，b＝，所以d＝＋1，故C错误；由上述分析可知d＝(a＋b＋c)≤＋＝，当且仅当b＝c＝时，等号成立，故D正确．故选ABD.(共50张PPT)
第四章
4.7　正弦定理、余弦定理及其应用
4.7.1　正弦定理、余弦定理
三角函数、解三角形
复习目标　1．掌握正弦定理、余弦定理及三角形面积公式．2．会利用正、余弦定理解三角形、判断三角形的形状．3．会综合应用正、余弦定理解决相关问题．
内容索引
核心体系
活动方案
核 心 体 系
解三角形
活 动 方 案
活动一　基础引入
1 [苏教版必修二P114本章测试T10]在△ABC中，若sin A∶sin B∶sin C＝3∶5∶7，则角C的大小为 (　　)
A．30°　　　B．60°　　　　C．120°　　　D．150°
C
2 (多选)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法中正确的是 (　　　)
BCD
3 [苏教版必修二P114本章测试T5]在△ABC中，若a cos B＋b cos A＝a，则△ABC的形状是______________．
等腰三角形
【解析】由a cos B＋b cos A＝a及正弦定理，得sin A·cos B＋sin B cos A＝sin A，即sin (A＋B)＝sin A．又A＋B＋C＝π，则sin (π－C)＝sin A，即sin C＝sin A，所以A＝C或A＋C＝π(舍去)，所以△ABC是等腰三角形．
5 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝2，sin A sin B＋sin A sin C＝sin B sin C，则b＋c的最小值为_____．
8
活动二　典例悟法
题组一　利用正、余弦定理解三角形
　　　 [2025安庆二模]在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b sin B－a sin A＝a sin C．
(1) 求证：B＝2A；
1
【解析】 (1) 方法一：由正弦定理，得sin2B－sin2A＝sinA sin C．
因为sin (B＋A)·sin (B－A)＝(sin B cos A＋cos B sin A)·(sin B cos A－cos B sin A)＝(sin B cos A)2－(cos B sin A)2＝sin2B(1－sin2A)－(1－sin2B)sin2A＝sin2B－sin2A，
所以sin(B＋A)·sin (B－A)＝sin A·sin C，
即sin C·sin (B－A)＝sin A·sin C．
因为A，C∈(0，π)，所以sin C≠0，sin A＞0，
所以sin (B－A)＝sin A＞0．
因为A，B∈(0，π)，所以0＜B－A＜π，
所以B－A＝A或B－A＝π－A，
所以B＝2A或B＝π(舍去)，所以B＝2A．
方法二：由正弦定理，得b2－a2＝ac，
由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2ac cos B＝a2＋ac，
所以c2－2ac cos B＝ac，即2a cos B＝c－a，
所以2sin A cos B＝sin C－sin A＝sin (A＋B)－sin A＝sin A cos B＋cos A sin B－sin A，
所以sin (B－A)＝sin A．
因为A∈(0，π)，所以sin A＞0，即sin (B－A)＞0，
因为A，B∈(0，π)，所以0＜B－A＜π，
所以B－A＝A或B－A＝π－A，所以B＝2A或B＝π(舍去)，
所以B＝2A．
A．45°　 B．60°
C．120°　 D．135°
A
ABC
1 如何在不同的背景下利用正弦定理或余弦定理解三角形？
1．利用余弦定理解三角形的类型：
(1) 已知三边，求三个角；
(2) 已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角．
2．利用正弦定理解三角形的类型：
(1) 已知两角和任意一边，求另一角和其他两边；
(2) 已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角．
3．利用正、余弦定理解三角形时，要注意三角形内角和定理对角的范围的限制．
2
C
　　　　　　在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c－a cos B＝(2a－b)·cos A，则△ABC的形状为 (　　)
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
D
2 如何利用正弦定理和余弦定理判定三角形的形状？
判断三角形形状的方法
2．化角为边，通过代数恒等变换，求出三条边之间的关系进行判断．
常用结论：a＝b 等腰三角形；a＝b＝c 等边三角形；a2＋b2＝c2 直角三角形；a2＋b2＜c2 钝角三角形等．
题组三　与三角形面积、周长有关的问题
　　　 [2025蚌埠二模]记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2a cos A＋b cos C＝c cos (A＋C)．
(1) 求角A的大小；
3
【解析】(1) 因为2a cos A＋b cos C＝c cos (A＋C)，
所以2a cos A＋b cos C＝－c cos B，
由正弦定理，得2sin A cos A＋sin B cos C＝－sin C cos B，
所以2sin A cos A＝－sin C cos B－sin B cos C＝－sin (B＋C)＝－sin A，
3 如何利用正、余弦定理和面积公式求有关周长和面积的问题？
2．与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．
谢谢观看
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第四章
4.7　正弦定理、余弦定理及其应用
4.7.2　解三角形的应用
三角函数、解三角形
复习目标　1．会利用正、余弦定理求解有关三角形的面积问题．2．会综合应用正、余弦定理解决相关问题．
内容索引
核心体系
活动方案
核 心 体 系
解三角形的应用
活 动 方 案
活动一　基础引入
B
7
6
4
活动二　典例悟法
题组一　与三角形的中线、角平分线、高有关的问题
1
2
2 [2023新课标Ⅰ卷·17]已知在△ABC中，A＋B＝3C，2sin (A－C)＝sin B．
(1) 求sin A的值；
(2) 设AB＝5，求边AB上的高．
1 与三角形的中线和角平分线有关的问题我们要如何利用有关条件性质解决问题？
中线、角平分线、高线处理策略
1．中线：(1) 中线的向量表达形式；(2) 邻补角的余弦值互为相反数；(3) 倍长中线法等．
2．角平分线：(1) 角平分线定理；(2) 角度的倍数关系；(3) 等面积法(即两个小三角形的面积和等于大三角形的面积)等．
3．高线：(1) 产生直角三角形；(2) 与三角形面积相关等．
题组二　三角形中的最值、范围问题
　　　 设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝b tan A，且B为钝角．
(2) 求sin A＋sin C的取值范围．
3
4
2如何利用正、余弦定理解决一些最值问题？
1．三角形中最值或范围问题解题策略
(1) 利用正弦定理转化成角的函数，结合角的范围，确定所求范围或最值．
(2) 利用余弦定理转化成边的函数，由函数的单调性求最值．
(3) 利用基本不等式求最值．
2．注意题目中的隐含条件，如A＋B＋C＝π，0＜A＜π，|b－c|＜a＜b＋c，大边对大角等．
题组三　正、余弦定理在平面几何中的应用
　　　 (多选)[2025南通、泰州等八市三模]定义：一个平面封闭区域内任意两点之间的距离的最大值称为该区域的“直径”．在△ABC中，BC＝1，边BC上的高等于tan A，以△ABC的各边为直径向△ABC外分别作三个半圆，记三个半圆围成的平面区域为W，其“直径”为d，则下列结论中正确的是 (　　　)
5
ABD
3 如何选择某个或某几个三角形利用正弦定理或余弦定理解决图形化里角度和距离问题？
求解几何计算问题要注意
1．根据已知的边角画出图形并在图中标示．
2．尽量选择边和角的条件都比较多的三角形，然后用正、余弦定理解决．
谢谢观看
Thank you for watching4.7　正弦定理、余弦定理及其应用
4．7.1　正弦定理、余弦定理
一、 单选题
1 [2025惠州五校联考]在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝18，b＝24，A＝45°，则此三角形解的情况为(　　)
A. 无解 B. 两解 C. 一解 D. 不确定
2 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b＝1，C＝，△ABC的面积S＝2，则△ABC的外接圆的直径为(　　)
A. 4 B. 5 C. 5 D. 6
3 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知B＝30°，c＝2，则“b＝”是“C＝45°”成立的(　　)
A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
4 [2025南京、盐城一模]在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若b－2c＝a cos C－2a cos B，则的值为(　　)
A. B. C. 1 D. 2
二、 多选题
5 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若(a2＋c2－b2)tan B＝ac，则角B的大小可以为(　　)
A. B. C. D.
6 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列结论中正确的是(　　)
A. a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C
B. a＝b sin 2A＝sin 2B
C. ＝
D. A>B sin A>sin B
7 [2025湖北调研]已知a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C所对的边，且cos2＝cosB cos C＋，则下列说法中正确的是(　　)
A. tan B tan C＝2 B. tan A＝tan B＋tan C
C. A< D. a>b，a>c
三、 填空题
8 在△ABC中，如果cos (B＋A)＋2sin A sin B＝1，那么△ABC的形状是________．
9 在△ABC中，点D在边BC上，AB＝，CD＝3，B＝45°，∠ADB＝60°，则AC的长为________．
10 [2025安阳三模]在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝4，＋cos A＝2，则的值为________，cos B的取值范围为________．
四、 解答题
11 [2025湖南“长望浏宁”四县调研]已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且2b cos C＝a cos C＋c cos A.
(1) 求角C的大小；
(2) 若c＝，且△ABC的面积为3，求a，b的值．
12 [2025海门二调]记△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知＝.
(1) 求角A的大小；
(2) 若b＝2，a sin A＝b sin C，求△ABC的周长．
4.7.2　解三角形的应用
建议用时：40＋2分钟　答案P160
一、 单选题
1 [2025江苏部分省级示范重点中学月考]在△ABC中，已知(a＋c)(sin A－sin C)＝b(sin A－sin B)，则角C的大小为(　　)
A. B. C. D.
2 已知在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b＝1，cos A－a cos B＝a，则角A的取值范围为(　　)
A. B.
C. D.
3 [2025枣庄模拟]已知在△ABC中，BC＝1，AB＝2，sin ＝sin ，若角B的平分线交AC于点D，则BD的长为(　　)
A. 或 B. 或
C. D.
4 在凸四边形ABCD中，若AB＝1，BC＝2，CD＝3，DA＝4，∠ABC＝120°，则cos ∠BCD的值为(　　)
A. B. －
C. － D.
二、 多选题
5 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，C＝30°，b＝，c＝x.若满足条件的△ABC有且只有一个，则x的取值可能是(　　)
A. B. C. 1 D.
6 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法中正确的是(　　)
A. 若sin A>sin B，则A>B
B. 若＝，则△ABC为等腰三角形
C. 若tan A＋tan B＋tan C<0，则△ABC为钝角三角形
D. 2cos2A＝cos2B＋cos 2C＋4sin B sin C cos A
7 [2025苏州期初调研]如图，已知直线l1∥l2，A是直线l1，l2之间的一个定点，点A到直线l1的距离AE＝1，点A到直线l2的距离AD＝2，点B，C分别在l1，l2上，设∠ACD＝α，则下列说法中正确的是(　　)
A. 若α＝30°，AB⊥AC，则AB＝2
B. 若AB⊥AC，则△ABC面积的最小值为2
C. 若△ABC为等边三角形，则tan α＝
D. 若∠BAC＝60°，则＋的最大值为1
三、 填空题
8 已知△ABC的面积为2，AB＝2，AC＝4，则△ABC的中线AD的长为________．
9 若△ABC的内角满足sin A＋sin B＝2sin C，则cos C的最小值是 ________．
10 如图，在△ABC所在平面内，分别以AB，BC为边向外作正方形ABEF和正方形BCHG.记△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S.已知S＝，且a sin A＋c sin C＝4a sin C sin B，则FH＝________．
四、 解答题
11 [2025湖北七市州调研]在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足sin A(sin A－sin C)＝sin2(A＋C)－sin2C.
(1)求角B的大小；
(2) 若P为边AC上一点(异于端点)，∠BPC＝2A，求的取值范围．
12 [2025郑州二模]记△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b(cos A＋sin A)＝a＋c.
(1) 求角B的大小；
(2) 若a＝2，c＝5，边AC，AB上的中线BE，CF相交于点M.
①求BE的长度；
②求cos ∠EMF的值．
4．7　正弦定理、余弦定理及其应用
4．7.1　正弦定理、余弦定理
1. B　解析：因为＝，所以sin B＝sin A＝sin 45°＝.又因为a2. C　解析：因为b＝1，C＝，△ABC的面积S＝2，所以S＝ab sin ＝2，解得a＝4.由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2ab cos ＝25，解得c＝5，所以△ABC的外接圆的直径为2R＝＝5.
3. B　解析：当b＝时，由正弦定理，得＝，即＝，所以sin C＝.又因为c>b，所以C＝45°或C＝135°，故“b＝”是“C＝45°”成立的必要且不充分条件．
4. D　解析：方法一(利用三角形射影定理)：如图，过点A作AD⊥BC于点D，则BD＝c cos B，CD＝b cos C，所以a＝BD＋CD＝c cos B＋b cos C.同理，b＝a cos C＋c cos A，c＝a cos B＋b cos A．因为b－2c＝a cos C－2a cos B，所以a cos C＋c cos A－2(a cos B＋b cos A)＝a cos C－2a cos B，整理，得c cos A＝2b cos A．又△ABC为锐角三角形，所以cos A≠0，所以c＝2b，即＝2.
方法二(利用余弦定理)：由b－2c＝a cos C－2a cos B和余弦定理，得 b－2c＝a·－2a·，整理，得c3＋b2c－2bc2－2b3＝(c－2b)a2，即(c－2b)(c2＋b2)＝(c－2b)a2.因为△ABC为锐角三角形，所以c2＋b2≠a2，所以c－2b＝0，即＝2.
方法三(利用正弦定理)：由b－2c＝a cos C－2a cos B和正弦定理，得sin B－2sin C＝sin A cos C－2sin A cos B，则sin (A＋C)－2sin (A＋B)＝sin A cos C－2sin A cos B，化简，得cos A sin C＝2cos A sin B．因为△ABC为锐角三角形，所以cos A≠0，所以sin C＝2sin B，由正弦定理，得c＝2b，即＝2.
5. BC　解析： 由余弦定理，得a2＋c2－b2＝2ac cos B，又(a2＋c2－b2)·tan B＝ac，所以2ac cos B tan B＝ac，即sin B＝.又B∈(0，π)，所以B＝或B＝.故选BC.
6. ACD　解析：在△ABC中，由正弦定理＝＝，得a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C，故A正确；由sin 2A＝sin 2B，得2A＝2B或2A＋2B＝180°，则A＝B或A＋B＝90°，故△ABC为等腰三角形或直角三角形，故B错误；由正弦定理知C正确；在△ABC中，A>B a>b sin A>sin B，故D正确．故选ACD.
7. ABD　解析：对于A，因为cos2＝＝cos B·cos C＋，所以cos A＝cos B cos C，即－cos (B＋C)＝cos B cos C，所以sin B sin C＝2cos B cos C，所以tan B tan C＝2，故A正确；对于B，方法一：tan A＝－tan (B＋C)＝－＝－，即tan A＝tan B＋tan C，故B正确；方法二：tan A＝－tan (B＋C)＝－＝－，将sin B sin C＝2cos B cos C代入，得tan A＝－＝tan B＋tan C，故B正确；对于C，方法一：因为 tan B tan C＝2，所以tan B，tan C同号，若tan B<0，tan C<0，且00，tan C>0，此时00，所以0tan B，tan A>tan C，所以A>B，A>C，所以3A>π，所以A>，故C错误；方法二：因为tan B tan C＝2>0，所以tan B>0，tan C>0，所以tan A＝tan B＋tan C≥2＝2>.又0，故C错误；对于D，由A>B，A>C结合正弦定理，得a>b，a>c，故D正确．故选ABD.
8. 等腰三角形　解析：因为cos (B＋A)＋2sin A sin B＝1，所以cos A cos B＋sin A sin B＝1，所以cos (A－B)＝1，所以在△ABC中，A－B＝0，即A＝B，所以△ABC是等腰三角形．
9. 　解析：如图，作AE⊥BD交BD于点E.因为AB＝，CD＝3，B＝45°，∠ADB＝60°，所以AE＝AB＝，则AD＝＝2.在△ACD中，由余弦定理，得AC2＝AD2＋CD2－2AD·CD cos ∠ADC＝22＋32－2×2×3×cos 120°＝19，所以AC＝.
10. 2　　解析：由＋cos A＝2，得＋cos A＝2，所以sin A cos B＋cos A sin B＝2sin B，即sin (A＋B)＝sin C＝2sin B，由正弦定理，得c＝2b，即＝2.cos B＝＝＝＝＋≥2＝，当且仅当＝，即b＝时取等号．又B∈(0，π)，所以cos B<1，所以cos B的取值范围为.
11. (1) 由2b cos C＝a cos C＋c cos A及正弦定理，得2sin B cos C＝sin A cos C＋sin C cos A＝sin (A＋C)＝sin B.
又B∈(0，π)，所以sin B>0，所以cos C＝.
因为C∈(0，π)，所以C＝.
(2) 因为c＝，C＝且△ABC的面积为3，
所以a2＋b2－2ab cos C＝c2，且S△ABC＝ab sin C＝3，
即解得或
12. (1) 由＝，
得2sin C－cos A sin C＝2sin A cos B＋sin A cos C，
即2sin C＝2sin A cos B＋(sin A cos C＋cos A sin C).
因为sin A cos C＋cos A sin C＝sin (A＋C)＝sin B，
所以2sin C＝2sin A cos B＋sin B.
又sin C＝sin (π－C)＝sin (A＋B)＝sin A cos B＋cos A sin B，
所以2sin A cos B＋2cos A sin B＝2sin A cos B＋sin B，
整理，得2cos A sin B＝sin B.
在△ABC中，因为sin B>0，所以cos A＝.
又A∈(0，π)，所以A＝.
(2) 由a sin A＝b sin C及正弦定理，得a2＝bc.
又b＝2，所以a2＝2c，
由(1)，得A＝，结合余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A，
得2c＝4＋c2－2c，
即c2－4c＋4＝0，解得c＝2，所以a2＝2c＝4，则a＝2.
综上，△ABC的周长为a＋b＋c＝2＋2＋2＝6.
4．7.2　解三角形的应用
1. B　解析：因为(a＋c)(sin A－sin C)＝b(sin A－sin B)，所以由正弦定理，得(a＋c)(a－c)＝b(a－b)，即a2＋b2－c2＝ab，所以cos C＝＝＝.又02. A　解析：因为b＝1，cos A－a cos B＝a，所以b cos A－a cos B＝a，所以sin B cos A－sin A cos B＝sin A，即sin (B－A)＝sin A．因为03. C　解析：由sin ＝sin ，得(sin B＋cos B)＝sin B－cos B，即sin B＝－cos B．又B∈(0，π)，所以sin B≠0，所以cos B≠0，则tan B＝－，所以B＝.又因为BD为角B的平分线，所以∠ABD＝∠CBD＝.方法一：由S△ABD＋S△CBD＝S△ABC，得AB·BD·sin ＋BC·BD·sin ＝AB·BC·sin ，即×2×BD×＋×1×BD×＝×2×1×，化简，得2BD＋BD＝2，解得BD＝.
方法二：在△ABC中，AB＝2，BC＝1，由余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2×AB×BC cos ∠ABC＝22＋12－2×2×1×＝7，所以AC＝.由角平分线定理，得＝＝2，所以AD＝，CD＝.由斯台沃特定理，得AB2·DC＋BC2·AD＝BD2·AC＋AD·DC·AC，即4×＋1×＝BD2×＋×，化简，得2＝BD2×＋，解得BD2＝，所以BD＝.
4. C　解析：如图，AB＝1，BC＝2，CD＝3，DA＝4，∠ABC＝120°，在△ABC中，由余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos ∠ABC＝1＋4＋2×1×2×＝7，所以AC＝.因为CD＝3，DA＝4，满足AC2＋CD2＝DA2，所以∠ACD＝90°.在△ABC中，由余弦定理，得cos ∠BCA＝＝，则sin ∠BCA＝，所以cos ∠BCD＝cos (90°＋∠BCA)＝－sin ∠BCA＝－.
5. BD　解析：由正弦定理＝，得＝，则sin B＝.因为△ABC有且只有一个解，若B>30°，则B＝90°；若06. ACD　解析：对于A，在△ABC中，由sin A>sin B及正弦定理，得a>b，所以A>B，故A正确；对于B，由＝及正弦定理，得＝，所以sin 2A＝sin 2B，由07. BCD　解析：对于A，若α＝30°，AB⊥AC，则∠BAC＝90°，∠CAD＝60°，所以∠BAE＝30°.在Rt△ABE中，AB＝＝＝，故A错误；对于B，由AB⊥AC，得∠BAC＝90°，所以∠BAE＝∠ACD＝α.在Rt△ACD中，AC＝＝，在Rt△ABE中，AB＝＝，所以S△ABC＝AB·AC＝＝.因为sin 2α∈(0，1]，所以当sin 2α＝1时，(S△ABC)min＝2，故B正确；对于C，由△ABC为等边三角形，得∠BAC＝60°，∠CAD＝90°－α，则∠BAE＝180°－60°－(90°－α)＝30°＋α.在Rt△ACD中，AC＝，在Rt△ABE中，AB＝.又AB＝AC，所以＝，化简，得cos α＝2sin α，易知cos α≠0，所以tan α＝＝，故C正确；对于D，由C，得AC＝，AB＝，若∠BAC＝60°，则＋＝cos (30°＋α)＋sin α＝cos α＋sin α＝sin (α＋60°)≤1，当且仅当α＝30°时，等号成立，故D正确．故选BCD.
8. 或　解析：因为△ABC的面积为2，AB＝2，AC＝4，所以S△ABC＝AB·AC sin ∠BAC＝4sin ∠BAC＝2，解得sin ∠BAC＝，所以∠BAC＝或∠BAC＝.当∠BAC＝时，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC cos ∠BAC＝12，则BC＝2，故BD＝BC＝.因为AB2＋BC2＝AC2，所以AB⊥BC，所以AD2＝AB2＋BD2＝7，则AD＝.当∠BAC＝时，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC cos ∠BAC＝28，则BC＝2，故BD＝BC＝.在△ABC中，由余弦定理可知cos B＝＝.在△ABD中，由余弦定理，得AD2＝AB2＋BD2－2AB·BD cos B＝3，故AD＝.综上，△ABC的中线AD的长为或.
9. 　解析：由题意，得a＋b＝2c.又cos C＝＝＝＋－≥2－＝，当且仅当a＝b时，等号成立，故cos C的最小值为.
10. 3　解析：因为a sin A＋c sin C＝4a sin C sin B，S＝ac sin B＝，所以a2＋c2＝4ac sin B＝6.连接BF，BH，FH.在△BFH中，由余弦定理， 得FH2＝FB2＋HB2－2FB·HB·cos ∠FBH，又∠FBH＝－∠ABC，所以FH2＝FB2＋HB2－2FB·HB·cos (－∠ABC)＝2(c2＋a2)＋4ac sin ∠ABC＝18，所以FH＝3.
11. (1) 在△ABC中，因为A＋B＋C＝π，
所以sin A(sin A－sin C)＝sin2B－sin2C，
即sin2A－sinA sin C＝sin2B－sin2C，
由正弦定理，得a2－ac＝b2－c2，
即a2＋c2－b2＝ac.
在△ABC中，由余弦定理，得cosB＝＝.
因为B∈(0，π)，所以B＝.
(2) 在△ABC中，因为∠BPC＝2A，
所以∠ABP＝A，则＝，
在△BPC中，由正弦定理，得＝＝＝，
则＝＝＝－1＋.
又因为∠PBC＝－A，
所以A∈，所以tan A∈(0，)，
所以－1＋∈(1，＋∞)，
所以的取值范围为(1，＋∞).
12. (1) 由正弦定理，得sin B(cos A＋sin A)＝sin A＋sin C，
则sin B cos A＋sin B sin A＝sin A＋sin (A＋B)，
整理，得sin B sin A＝sin A＋sin A cos B.
因为sin A≠0，
所以sin B＝1＋cos B，
所以sin ＝.
又－所以B－＝，即B＝.
(2) ①由题意，得＝(＋)，
所以||＝
＝＝.
故BE的长度为.
②在△BCF中，由余弦定理，得CF2＝BC2＋BF2－2BC·BF·cos ∠CBF＝，则CF＝.
因为点M是△ABC的重心，
所以CM＝CF＝，BM＝BE＝，
在△BCM中，由余弦定理可得cos ∠BMC＝＝，又∠EMF＝∠BMC，
所以cos ∠EMF的值为.

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