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【50道解答题·强化训练】人教版数学八年级下册期末总复习
1．如图，某人从A地到B地共有三条路可选，第一条路是从A到B，为10米，第二条路是从A经过C到达B地，为8米，为6米，第三条路是从A经过D地到B地共行走26米，若C、B、D刚好在一条直线上．
（1）求证：；
（2）求的长．
2．元旦期间，为了满足颍上县百姓的消费需要，某大型商场计划用170000元购进一批家电，这批家里的进价和售价如表：
类别 彩电 冰箱 洗衣机
进价（元/台） 2000 1600 1000
售价（元/台） 2300 1800 1100
若在现有资金允许的范围内，购买表中三类家电共100台，其中彩电台数是冰箱台数的2倍，设该商场购买冰箱x台．
（1）用含x的代数式表示洗衣机的台数．
（2）商场至多可以购买冰箱多少台？
（3）购买冰箱多少台时，能使商场销售完这批家电后获得的利润最大？最大利润为多少元？
3．如图，中，，，．
（1）求的面积；
（2）设点在上，若，求的长；
（3）设点在上，若为等腰三角形，求的长．
4．已知是的三边，且，试判断的形状.
阅读下面解题过程：
解，由得：
①
②
即③
∴为直角三角形.
试问：以上解题过程是否正确？若不正确，请指出错在哪一步，并写出正确的解答过程.
5．某中学为筹备校庆，准备印制一批纪念册该纪念册每册需要张大小一样的纸，其中张为彩页，张为黑白页印制该纪念册的总费用由制版费和印刷费两部分组成，制版费与印数无关，价格为：彩页元张，黑白页元张印刷费与印数的关系如下表．
印数千册
彩色元张
黑白元张
（1）印制这批纪念册需制版费多少元？
（2）求出关于的函数表达式．
（3）如果该校希望印数至少为千册，总费用最多为元，求印数的取值范围精确到千册
6．如图，四边形 ABCD 是菱形，对角线 AC，BD 相交于点O，AB=2，AC=2.求：
（1）菱形 ABCD的周长.
（2）BD的长.
（3）菱形 ABCD的面积.
7． 2024年6月6日是第29个全国“爱眼日”，主题是关注普遍的眼健康．为科学防控近视，关注孩子眼睛的健康．希望学校在“爱眼日”当天随机抽取50名学生进行视力检测，并将结果分成A（4.0≤x＜4.2），B（4.2≤x＜4.4），C（4.4≤x＜4.6），D（4.6≤x＜4.8），E（4.8≤x＜5.0），F（5.0≤x）六组，进行数据整理，已知视力标准的正常值≥5.0，信息如下：
视力频数分布表：
视力（x） A（4.0≤x＜4.2） B（4.2≤x＜4.4） C（4.4≤x＜4.6） D（4.6≤x＜4.8） E（4.8≤x＜5.0） F（5.0≤x）
频数 5 8 9 m 7 n
D组的数据分别为：
4.6，4.6，4.7，4.7，4.7，4.7，4.7，4.6，4.7，4.6，4.6，4.7，4.7，4.6
请根据以上信息，回答下列问题：
（1）m＝　 　 ，n＝　 　 ；
（2）本次调查视力情况的中位数为　 　 ，视力正常的人数占被调查人数的百分比为　 　 ；
（3）请对该校学生的视力情况作出评价，并提出两条合理化建议．
8．如图，在四边形 中， ．
（1）试求 的度数．
（2） 试说明 ．
9．2025年4月23日是第30个世界读书日．为了感受阅读的幸福，体味生命的真谛，分享读书的乐趣，某学校举办了“让读书成为习惯，让书香飘满校园” “阅读·梦飞翔”主题活动，为此特为每个班级订购了一批新的图书．七年级订购《骆驼祥子》12套和《昆虫记》6套，总费用为810元；八年级订购《骆驼祥子》9套和《昆虫记》7套，总费用为795元．
（1）求《骆驼祥子》和《昆虫记》每套各是多少元？
（2）学校准备再购买《骆驼祥子》和《昆虫记》共26套，总费用不超过1230元，购买《骆驼祥子》的数量不超过《昆虫记》的3倍，请你设计出最省钱的购买方案，并求出该方案所需的费用．
10．紫阳富硒茶是陕西省著名特产茶叶，此茶叶硒元素含量高，具有特种保健功效.某公司采购员到紫阳茶叶市场购买该种茶叶，商家推出了两种购买方式：
会员卡费用（元/张） 茶叶价格（元）
方式一：金卡会员 500 1300
方式二：银卡会员 200 1500
设该公司此次购买茶叶，按方式一购买茶叶的总费用为元，按方式二购买茶叶的总费用为元.
（1）分别求出，与x之间的关系式；
（2）若按方式一购买茶叶的总费用和按方式二购买茶叶的总费用相同，求该公司此次购买茶叶的质量；
（3）若该公司此次购买茶叶的总预算为5375元，则按哪种方式购买可以获得更多的茶叶？
11．已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E为AC上一点，BE与AD交于点F，且BF=AC，DF=DC.
（1）求证：△BDF≌△ADC；
（2）若AC=5，DF=3，求AF的长.
12．如图1，□ABCD的对角线AC和BD交于点O，EF过点O且与边AB，CD分别交于点E，F。
（1）求证：OE=OF。
（2）如图2，已知
①当α为多少度时，EF⊥AC
②在问题①的基础上，连结AF，求△ADF的周长。
13．观察：∵，即，∴的整数部分为2，小数部分为，请你观察上述式子规律后解决下面问题．
（1）规定用符号表示实数m的整数部分，例如：，，填空：______；_____．
（2）如果的小数部分为a， 的小数部分为b，求的值．
14．为了增强学生身体素质，学校要求同学们练习跑步．
下面是一次练习时的场景：开始时甲生跑了50m，乙生跑了80m，然后甲生、乙生都开始匀速跑步．已知甲生的跑步速度为4.5m/s，当他们分别到达终点时停止跑步，甲生从开始匀速跑步到停止跑步共用时100s．已知x轴表示从开始匀速跑步到停止跑步的时间（s），y轴表示跑过的路程（m），则：
（1）这次练习跑步的路程为　 　.
（2）当甲生追上乙生时，求此时甲生距离出发点的距离．
15．海淀外国语有两个校区，其中初三年级京北校区有200名学生，海淀校区有300名学生，两个校区所有学生都参加了一次环保知识竞赛，为了解两个校区学生的答题情况，进行了抽样调查，从京北、海淀两个校区各随机抽取20名学生，对他们本次环保知识竞赛的成绩（百分制）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a．京北校区成绩的频数分布直方图如下（数据分成4组：，，，）；
b．京北校区成绩在这一组的是_______：
74 74 75 77 77 77 77 78 79 79
c．京北、海淀两校区成绩的平均数、中位数如下：
平均数 中位数
京北校区 79.5
海淀校区 77 81.5
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中m的值：
（2）两个校区分别对本次抽取的学生的成绩进行等级赋分，超过本校区的平均分就可以赋予等级A，判断在本次抽取的学生中哪个校区赋予等级A的学生更多，直接写出结果并说明理由；
（3）估计该校初三年级所有学生本次环保知识竞赛的平均分为____．
16．如图所示，
在平面直角坐标系中，直线y＝x+1与分别交x轴于点B和点C，点A是直线与y轴的交点．
（1）求点A、B、C的坐标；
（2）在直线y＝x+1上是否存在点P，使得S△BCP＝5S△AOC，若存在，请求出点P坐标，若不存在，请说明理由．
17．剪纸面塑、年画风筝、中医问诊、美食扎堆……在开封市“欢乐周末·非遗市集”活动现场，诸多非遗项目集中亮相，让过往游客市民看花了眼、“迷”住了心．小明买了一个年画风筝，并进行了试放，为了解决一些问题，他设计了如下的方案：先测得放飞点与风筝的水平距离为；根据手中余线长度，计算出的长度为；牵线放风筝的手到地面的距离为．已知点在同一平面内．
（1）求风筝离地面的垂直高度；
（2）在余线仅剩的情况下，若想要风筝沿射线方向再上升，请问能否成功？
18．学校与图书馆在同一条笔直道路上，甲从学校去图书馆，乙从图书馆回学校，甲、乙两人都匀速步行且同时出发，乙先到达目的地两人之间的距离米与时间分钟之间的函数关系如图所示．
（1）根据图象信息，当　 　 分钟时甲乙两人相遇，甲的速度为　 　 米分钟；
（2）求出线段所表示的函数表达式．
（3）当为何值时，甲、乙两人相距米？
19．探索归纳：

（1）如图1，已知△ABC为直角三角形，∠A=90°，若沿图中虚线剪去∠A，则∠1+∠2等于(　　)
A．90° B．135° C．270° D．315°
（2）如图2，已知△ABC中，∠A=40°，剪去∠A后成四边形，则∠1+∠2=　 　
（3）如图2，根据（1）与（2）的求解过程，请你归纳猜想∠1+∠2与∠A的关系是　 　
（4）如图3，若没有剪掉，而是把它折成如图3形状，试探究∠1+∠2与∠A的关系并说明理由．
20．某居民小区有块形状为长方形的绿地，长方形绿地的长为，宽为，现在要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（即图中阴影部分），长方形花坛的长为，宽为．
（1）长方形的周长是多少？
（2）除去修建花坛的地方，其他地方全修建成通道，通道上要铺造价为5元的地砖，要铺完整个通道，预算为660元，经费是否够用？
21．某公司员工的月工资如下：
员工 经理 副经理 职员A 职员B 职员C
月工资/元 10800 7200 4800 4500 4000
员工 职员D 职员E 职员F 杂工G 　
月工资/元 3600 3600 3600 2900 　
经理、职员C、职员D从不同的角度描述了该公司员工的收入情况（如图）.
设该公司员工的月工资数据的平均数、中位数、众数分别为k，m，n，请根据上述信息完成后面的问题：
（1）k＝　 　，m＝　 　，n＝　 　；
（2）你认为哪些统计量可以反映一组数据的集中趋势？请结合上面实例，从平均数、中位数及众数中任选一个，简要说明优缺点.
22．合肥地铁一号线与地铁二号线在A站交汇，且两条地铁线互相垂直如图所示，学校P到地铁一号线B站的距离PB＝2km，到地铁二号线C站的距离PC为4km，PB与一号线的夹角为30°，PC与二号线的夹角为60°．求学校P到A站的距离（结果保留根号）
23．已知四边形ABCD是矩形，对角线AC和BD相交于点F，，.
(1)求证：四边形DEAF是菱形；
(2)若，求的度数.
24．已知一次函数.
（1）当m，n是什么数时，随的增大而增大
（2）当m，n是什么数时，函数图象与轴的交点在轴的下方
（3）若函数的图象不经过第二象限，求m，n的取值范围.
25．已知边长分别为的两个正方形的面积分别为．
（1）求的值；
（2）用一根长为的铁丝，能否围成这两个正方形？
26．如图，已知一等腰三角形的周长是16，底边上的高是4．求这个三角形各边的长．
27．“十一”期间，小华一家人开车到距家100千米的景点旅游，出发前，汽车油箱内储油45升，当行驶60千米时，发现油箱余油量为升（假设行驶过程中汽车的耗油量是均匀的）．
（1）求该车平均每千米的耗油量；
（2）写出余油量Q（升）与行驶路程x（千米）之间的关系式；
（3）当油箱中余油量低于3升时，汽车将自动报警，若往返途中不加油，他们能否在汽车报警前回到家？说明理由．
28．2024年9月第11号台风“摩羯”登陆，使我国很多地区受到严重影响．据报道，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径（即以台风中心为圆心，为半径的圆形区域都会受台风影响）．如图，线段是台风中心从市移动到市的大致路线，是某个大型农场，且．若之间相距之间相距．
（1）判断农场是否会受到台风的影响，请说明理由；
（2）若台风中心的移动速度为，则台风影响该农场持续时间有多长？
29．（Ⅰ）已知方程①
②
请判断这两个方程是否有解？并说明理由；
（Ⅱ）已知 ，求 的值．
30．如图，在平面直角坐标系中，点A（4，0），点B（0，3），以点 为圆心， 长为半径画弧，交 轴的负半轴于点 ，求点 的坐标.
31．如图，一次函数y= kx+b(k≠0)的图象过点A(-2，2)，B(2，-3).
（1）求此一次函数的解析式；
（2）直接写出关于x的不等式 kx+b≤2的解集.
32．已知：如图，四边形ABCD中，AB⊥BC，AB=1，BC=2，CD=2，AD=3，求四边形ABCD的面积．
33．如图， AOBC的顶点O（0，0），A（﹣1，2），B（7，0），作∠AOB的平分线交AC于点G，并求线段CG的长，（要求尺规作图保留作图痕迹，不写作法）
34．如图，中，，，，的垂直平分线分别交，于D，E两点，求的长.
35． 为了解某校七年级学生一分钟跳绳情况，对该年级全部360名学生进行一分钟跳绳次数的测试，并把测得的数据分成四组，绘制成如下所示的频数表(每组含前一个边界值，不含后一个边界值).
某校七年级360名学生一分钟跳绳次数的频数表
组别/次 频数
100~130 48
130~160 96
160~190 144
190~220 72
这次测试成绩的中位数落在哪一组
36．如图，在矩形中，对角线、相交于点，点、分别是、的中点，若，求的长度．
37．已知b=+b，求值：（1）ba； （2）（a+b）2015．
38．你知道什么是“低碳生活”吗？“低碳生活”是指人们生活中尽量减少所耗能量，从而降低（特别是二氧化碳）的排放量的一种生活方式．
排碳计算公式：家居用电的二氧化碳排放量耗电量开私家车的二氧化碳排放量耗油量家用天然气二氧化碳排放量天然气使用量家用自来水二氧化碳排放量自来水使用量
（1）设家居用电的二氧化碳排放量为，耗电量为，则家居用电的二氧化碳排放量可以用关系式表示为______；
（2）在上述关系式中，耗电量每增加，二氧化碳排放量增加______；当耗电量从增加到时，二氧化碳排放从______增加到______；
（3）小明家本月家居用电大约，天然气，自来水，开私家车耗油，请你计算一下小明家这几项的二氧化碳排放量．
39．如图，在中，E，F分别为AC，BC的中点，为BC上一点，连结AD交EF于点，已知.
（1）求证：.
（2）已知，若，求的度数.
40．每双鞋都有一个对应的鞋码.查阅资料，了解我国鞋码与脚长之间的关系，以及不同国家鞋码之间的关系.
41．我们运用图（Ⅰ）中大正方形的面积可表示为（a+b）2，也可表示为c3+4（ab），即（a+b）2=c2+4（ab）由此推导出一个重要的结论a2+b2=c2，这个重要的结论就是著名的“勾股定理”．这种根据图形可以极简单地直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称“无字证明”．
（1）请你用图（Ⅱ）（2002年国际数学家大会会标）的面积表达式验证勾股定理（其中四个直角三角形的较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c）．
（2）请你用（Ⅲ）提供的图形进行组合，用组合图形的面积表达式验证：（x+2y）2=x2+4xy+4y2．
42．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，直线的解析式为．
（1）求直线的解析式．
（2）点在轴上，过点作直线平行于轴，分别与直线、交于点、，当点、、三点中的任意两点关于第三点对称时，求的值．
43．如图，直线交y轴于点A，交x轴于点B，点在第四象限，点在线段上．连接，，过点P作x轴的垂线，交边于点E，交折线段于点F．
（1）求点A，B的坐标；
（2）设点E，F的纵坐标分别为，，当时，为定值，求t的值；
（3）在（2）的条件下，分别过点E，F作，垂直于y轴，垂足分别为点G，H，当时，求长方形周长的最大值．
44．如图，在平面直角坐标系中，点为第一象限内一点，线段与轴的夹角为，过点作轴的平行线交轴于点．点为轴正半轴上一点，点为直线上点右侧一动点，连接．设线段的长度为，线段的长度为．
（1）若，．
①求点的坐标；
②如图2，过点作于点，求的值．
（2）如图3，连接交于点．记，，，的面积分别为，，，且满足．
①判断四边形的形状并说明理由；
②若此时四边形的面积为，，且，求，的值．
45．在和中，，，，，点F是线段的中点，连接．
（1）若D在上，
①如图1，点E恰好落在上，请探究线段与的数量关系；
②如图2，试探究线段与的数量关系；
（2）如图3，，点D不在上，，，，直接写出的面积是————·
46．某公司生产的一种营养品信息如下表． 已知甲食材每千克的进价是乙食材的 2 倍， 用 80 元购买的甲食材比用 20 元购买的乙食材多1千克．
营养品信息表
营养成分 每千克含铁 42 毫克
配料表 原料 每千克含铁
甲食材 50 毫克
规格 乙食材 10 毫克
包装 1 千食材含量 每包单价
包装 0.25 千克 45 元
（1） 问甲、乙两种食材每千克进价分别是多少元．
（2）该公司每日用 18000 元购进甲、乙两种食材并恰好全部用完．
①问每日购进甲、乙两种食材各多少千克．
②已知每日其他费用为 2000 元， 且生产的营养品当日全部售出． 若 的数量不低于 的数量，则 为多少包时， 每日所获总利润最大？ 最大总利润为多少元？
47．实验室有两个小型水箱，初始状态下，甲水箱为空，乙水箱已有20升水。实验开始后，甲水箱开启注水模式，以à升/秒的速度匀速注水；同时乙水箱开启放水模式，匀速向外排水。8秒时，甲、乙水箱分别达到实验预设的水量阈值，暂停注水和放水操作，保持水量稳定；24 秒时，乙水箱切换为注水模式，以 升/秒的速度匀速向水箱内注水；30秒时，甲、乙两个水箱的水量恰好相同，均为b升。之后，甲、乙水箱同时开启排水模式，以相同的速度匀速排水，直至水箱排空。甲、乙水箱的水量y(单位：升)与实验时间x(单位：秒)间的函数关系如图所示.请结合图象解答下列问题.
（1） a=　 　， b=　 　；
（2）求线段 MN所在直线的函数表达式；
（3）甲、乙两个水箱在实验进行到多少秒时，它们的水量差为2升
48．【问题背景】
（1）在数学课上，老师出示了这样一个问题：“如图1，在中，是边上的中线，，，，求的长．”经过小组合作交流，有同学提出以下思路：延长至E，使，连接，请在此基础上完成求解过程．
【迁移应用】
（2）如图2，是等边三角形，点D是平面上一点，连接，将绕点D沿逆时针方向旋转得到，连接，点E是中点，连接．判断与的数量关系与位置关系，并证明．
【拓展延伸】
（3）如图3，在（2）的条件下，若，点M、N分别是上的动点，且满足，连接，点P为中点，连接，求线段的最小值．
49．如图，在正方形中，交BC于点F，连接．
（1）与有何数量关系？并说明理由；
（2）过点A作于点N，交于点M，探究线段之间的数量关系．
50．甲、乙两人从A地出发，骑自行车沿同一条路行驶到B地，他们离出发地的距离s（单位：km）和行驶时间t（单位：h）之间的关系的图象如图所示，且甲停止一段时间后再次行走的速度是原来的一半，回答下列问题：
（1）求乙的速度？
（2）甲中途停止了多长时间？
（3）两人相遇时，离B地的路程是多少千米？
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【50道解答题·强化训练】人教版数学八年级下册期末总复习
1．如图，某人从A地到B地共有三条路可选，第一条路是从A到B，为10米，第二条路是从A经过C到达B地，为8米，为6米，第三条路是从A经过D地到B地共行走26米，若C、B、D刚好在一条直线上．
（1）求证：；
（2）求的长．
【答案】（1）证明：∵米，米，米，
∴，
∴是直角三角形，；
（2）解：设米，则米，
∴米
在中，由勾股定理得：，
解得：
则
答：的长为9米．
【解析】【分析】（1）根据勾股定理逆定理即可求出答案.
（2）设米，则米，根据边之间的关系可得米，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
2．元旦期间，为了满足颍上县百姓的消费需要，某大型商场计划用170000元购进一批家电，这批家里的进价和售价如表：
类别 彩电 冰箱 洗衣机
进价（元/台） 2000 1600 1000
售价（元/台） 2300 1800 1100
若在现有资金允许的范围内，购买表中三类家电共100台，其中彩电台数是冰箱台数的2倍，设该商场购买冰箱x台．
（1）用含x的代数式表示洗衣机的台数．
（2）商场至多可以购买冰箱多少台？
（3）购买冰箱多少台时，能使商场销售完这批家电后获得的利润最大？最大利润为多少元？
【答案】（1）解： 设该商场购买冰箱x台 ，
则 彩电台数是冰箱台数的2倍 ，即2x台，
∵ 三类家电共100台 ，
∴洗衣机的购买数量为（100-3x）台
（2）解：据题意得 2000×2x+1600x+1000×（100-3x）≤170000
解得 x≤26，
∵x为整数，
∴ 商场至多可以购买冰箱26台
（3）解：设商场最大利润为W，
则W=（2300-2000）×2x+（1800-1600）x+（1100-1000）×（100-3x）
=500x+10000
∵k=500>0，
∴当x=26时，W有最大值，最大值为500×26+10000=23000元.
答： 购买冰箱26台时，能使商场销售完这批家电后获得的利润最大，最大利润为23000元.
【解析】【分析】（1）根据题意用未知数表示三种家电的数量；
（2）根据“三种家电购买成本最多为170000元”列出不等式求最大整数解即可.
（3）根据一次函数的增减性确定函数在自变量取值范围内的最值.
3．如图，中，，，．
（1）求的面积；
（2）设点在上，若，求的长；
（3）设点在上，若为等腰三角形，求的长．
【答案】（1）解：，，，
，
∴的面积，
答：三角形ABC的面积为96；
（2），
，
设，
，
，
解得：，
；
（3）的长为8或10或．
如图1，当时，，
如图2，当时，
∴，
又∵，，
∴，
∴；
如图3，当时，过作于点，
则，
∴，
∴，
∴，
综上所述，的长为8或10或．
【解析】【分析】
（1）根据勾股定理求得，再由直角三角形面积公式计算即可求解；
（2）由等角对等边可得，设，在中，用勾股定理列关于x的方程，解方程即可求解；
（3）根据等腰三角形的性质，分三种情况讨论：当时，当时，当时，结合图形即可求解．
（1）解：，，，
，
∴的面积，
（2），
，
设，
，
，
解得：，
；
（3）的长为8或10或．
如图1，当时，，
如图2，当时，
∴，
又∵，，
∴，
∴；
如图3，当时，过作于点，
则，
∴，
∴，
∴，
综上所述，的长为8或10或．
4．已知是的三边，且，试判断的形状.
阅读下面解题过程：
解，由得：
①
②
即③
∴为直角三角形.
试问：以上解题过程是否正确？若不正确，请指出错在哪一步，并写出正确的解答过程.
【答案】解：解题过程不正确，错在了第③步，
理由：由得：
，
∴，
∴，
∴，
或，
当时，得，即为等腰三角形；
当时，得，即为直角三角形；
为等腰三角形或直角三角形.
【解析】【分析】由a4+b2c2=b4+a2c2得a4-b4=a2c2-b2c2，因式分解可得(a2-b2)(a2+b2-c2)=0，则a2-b2=0或a2+b2-c2=0，据此判断.
5．某中学为筹备校庆，准备印制一批纪念册该纪念册每册需要张大小一样的纸，其中张为彩页，张为黑白页印制该纪念册的总费用由制版费和印刷费两部分组成，制版费与印数无关，价格为：彩页元张，黑白页元张印刷费与印数的关系如下表．
印数千册
彩色元张
黑白元张
（1）印制这批纪念册需制版费多少元？
（2）求出关于的函数表达式．
（3）如果该校希望印数至少为千册，总费用最多为元，求印数的取值范围精确到千册
【答案】（1）解：制版费：元，
答：印制这批纪念册的制版费为元
（2）当时，；
当时，，
关于的函数表达式为
（3）当时，，
解得，
；
当时，，
解得，
，
印数的取值范围为或
【解析】【分析】（1）根据纪念册中彩面的数量和黑白面的数量及对应的单价，即可计算出制版费；
（2）按印数x的取值范围将函数分为两段，分别列出关于的函数表达式即可；
（3）因为印数至少为千册，所以应分当时和当时，两种情况分别求的取值范围．
6．如图，四边形 ABCD 是菱形，对角线 AC，BD 相交于点O，AB=2，AC=2.求：
（1）菱形 ABCD的周长.
（2）BD的长.
（3）菱形 ABCD的面积.
【答案】（1）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD=2，
∴菱形ABCD的周长为8；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=OC=AC=1，OB=OD，
且∠AOB=90°.
在Rt△AOB中，∴
（3）解：S菱形ABCD=AC× BD=.
【解析】【分析】(1)根据菱形的性质可知AB=BC=CD=AD，由已知AB=AC=2，可算出菱形ABCD的周长.(2)根据菱形的性质，由勾股定理可算出OB，再由BD=2OB可得答案；（3）由菱形的面积公式即可求菱形 ABCD的面积.
7． 2024年6月6日是第29个全国“爱眼日”，主题是关注普遍的眼健康．为科学防控近视，关注孩子眼睛的健康．希望学校在“爱眼日”当天随机抽取50名学生进行视力检测，并将结果分成A（4.0≤x＜4.2），B（4.2≤x＜4.4），C（4.4≤x＜4.6），D（4.6≤x＜4.8），E（4.8≤x＜5.0），F（5.0≤x）六组，进行数据整理，已知视力标准的正常值≥5.0，信息如下：
视力频数分布表：
视力（x） A（4.0≤x＜4.2） B（4.2≤x＜4.4） C（4.4≤x＜4.6） D（4.6≤x＜4.8） E（4.8≤x＜5.0） F（5.0≤x）
频数 5 8 9 m 7 n
D组的数据分别为：
4.6，4.6，4.7，4.7，4.7，4.7，4.7，4.6，4.7，4.6，4.6，4.7，4.7，4.6
请根据以上信息，回答下列问题：
（1）m＝　 　 ，n＝　 　 ；
（2）本次调查视力情况的中位数为　 　 ，视力正常的人数占被调查人数的百分比为　 　 ；
（3）请对该校学生的视力情况作出评价，并提出两条合理化建议．
【答案】（1）14；7
（2）4.6；14%
（3）解：该校学生的视力大多数没有达到视力正常的水平；建议：①加强学生的用眼健康教育，养成良好的用眼习惯；②加强对电子产品进校园及使用的管控．（答案不唯一，合理即可）
【解析】【解答】解：（1）D组的频数为14，则E组的频数为：n＝7，
故答案为：14，7；
（2）D组排序为：4.6，4.6，4.6，4.6，4.6，4.6，4.7，4.7，4.7，4.7，4.7，4.7，4.7，4.7，
第25，26个数据均4.6，故本次调查视力情况的中位数为4.6，
视力正常的人数占被调查人数的百分比为，
故答案为：4.6，14%；
【分析】(1)由题意可知，D组的频数为14，再根据样本容量是50求出n；
(2)根据D组的数据结合中位数的定义求出中位数即可，求出视力正常(≥5.0)的人数即可解答；
(3)根据视力正常(≥5.0)的人数占被调查人数的百分比提出建议即可.
8．如图，在四边形 中， ．
（1）试求 的度数．
（2） 试说明 ．
【答案】（1）解：设的度数为3x
则的度数分别为2x，7x，6x
.
（2）证明：
.
【解析】【分析】（1）按照比设出相对应的份数，列方程求即为即可得出答案；
（2）根据（1）中的条件，利用同旁内角互补，两直线平行证明即可得出结论.
9．2025年4月23日是第30个世界读书日．为了感受阅读的幸福，体味生命的真谛，分享读书的乐趣，某学校举办了“让读书成为习惯，让书香飘满校园” “阅读·梦飞翔”主题活动，为此特为每个班级订购了一批新的图书．七年级订购《骆驼祥子》12套和《昆虫记》6套，总费用为810元；八年级订购《骆驼祥子》9套和《昆虫记》7套，总费用为795元．
（1）求《骆驼祥子》和《昆虫记》每套各是多少元？
（2）学校准备再购买《骆驼祥子》和《昆虫记》共26套，总费用不超过1230元，购买《骆驼祥子》的数量不超过《昆虫记》的3倍，请你设计出最省钱的购买方案，并求出该方案所需的费用．
【答案】（1）解：设《骆驼祥子》每套x元，《昆虫记》每套y元，
根据题意，得：
解得，
答：《骆驼祥子》单价为30元，《昆虫记》单价为75元．
（2）解：设学校购买《骆驼祥子》m套，则购买《昆虫记》套，根据题意得，
解得．
设所需费用为W元，则，
∵，
∴W随m的增大而减小，
∴当时，W有最小值为（元）
此时，（套）．
答：学校购买《骆驼祥子》19套，《昆虫记》7套，所需费用最小为1095元．
【解析】【分析】（1）设《骆驼祥子》每套x元，《昆虫记》每套y元，题意列二元一次方程组解答即可；
（2）设学校购买《骆驼祥子》m套，根据题意列一元一次不等式组，求出m的取值范围，设所需费用为W元，得到W关于m的一次函数，然后利用函数的增减性解答即可．
（1）解：设《骆驼祥子》每套x元，《昆虫记》每套y元，
根据题意，得：
解得，
答：《骆驼祥子》单价为30元，《昆虫记》单价为75元．
（2）解：设学校购买《骆驼祥子》m套，则购买《昆虫记》套，
根据题意得，
解得．
设所需费用为W元，则，
∵，
∴W随m的增大而减小，
∴当时，W有最小值为（元）
此时，（套）．
答：学校购买《骆驼祥子》19套，《昆虫记》7套，所需费用最小为1095元．
10．紫阳富硒茶是陕西省著名特产茶叶，此茶叶硒元素含量高，具有特种保健功效.某公司采购员到紫阳茶叶市场购买该种茶叶，商家推出了两种购买方式：
会员卡费用（元/张） 茶叶价格（元）
方式一：金卡会员 500 1300
方式二：银卡会员 200 1500
设该公司此次购买茶叶，按方式一购买茶叶的总费用为元，按方式二购买茶叶的总费用为元.
（1）分别求出，与x之间的关系式；
（2）若按方式一购买茶叶的总费用和按方式二购买茶叶的总费用相同，求该公司此次购买茶叶的质量；
（3）若该公司此次购买茶叶的总预算为5375元，则按哪种方式购买可以获得更多的茶叶？
【答案】（1）解：根据题意，得，
；
（2）解：根据题意，得：，解得，
答：该公司此次购买茶叶的质量为1.5kg；
（3）解：方式一：，解得；
方式二：，解得.
因为，
所以按照方式一购买可以获得更多的茶叶.
【解析】【分析】（1）根据总费用会员卡费用茶叶单价茶叶数量即可得；
（2）根据两种方式购买的总费用相同建立方程，解方程即可得；
（3）分别求出和时，的值，由此即可得．
11．已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E为AC上一点，BE与AD交于点F，且BF=AC，DF=DC.
（1）求证：△BDF≌△ADC；
（2）若AC=5，DF=3，求AF的长.
【答案】（1）解：证明：∵AD⊥BC，
∴∠ADC=∠BDF=90°.
在 Rt△BDF 与 Rt△ADC中，
∴Rt△BDF≌Rt△ADC(HL)
（2）解：∵AC=5，
∴BF=AC=5
在Rt△BDF中，
∴AD=BD=4
∴AF=AD-DF=1
【解析】【分析】(1)根据HL证明Rt△BDF≌Rt△ADC即可；
(2)根据直角三角形的性质和勾股定理求出BD=4，进而即可求解.
12．如图1，□ABCD的对角线AC和BD交于点O，EF过点O且与边AB，CD分别交于点E，F。
（1）求证：OE=OF。
（2）如图2，已知
①当α为多少度时，EF⊥AC
②在问题①的基础上，连结AF，求△ADF的周长。
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，AB∥CD
∴∠EBO=∠FDO
又∵∠BOE=∠DOF，
∴△BOE≌△DOF(ASA)
∴OE=OF
（2）解：①∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵
∴∠ADO=90°，∠AOD=45°
②∵EF垂直平分AC，
∴AF=FC
又 的周长=AD+DF+AF=AD+CD=1+
【解析】【分析】(1)通过平行四边形的性质得到角和边的关系，证明三角形全等从而得出线段相等；
(2)①利用勾股定理逆定理判断三角形形状，进而求出角度；
②根据线段垂直平分线的性质得到线段相等，从而求出三角形的周长.
13．观察：∵，即，∴的整数部分为2，小数部分为，请你观察上述式子规律后解决下面问题．
（1）规定用符号表示实数m的整数部分，例如：，，填空：______；_____．
（2）如果的小数部分为a， 的小数部分为b，求的值．
【答案】（1）5；1
（2）解：由（1）得：，，∴，
∴，，
∴．
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：5；1；
【分析】（1）根据题设中，所给计算规律，由和，得到和，即可得结果；
（2）根据题意，把无理数的整数部分和小数部分分别表示出来，结合题设中的规律，代入计算，即可得到答案．
（1）解：∵，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：5；1；
（2）解：由（1）得：，，
∴，
∴，，
∴．
14．为了增强学生身体素质，学校要求同学们练习跑步．
下面是一次练习时的场景：开始时甲生跑了50m，乙生跑了80m，然后甲生、乙生都开始匀速跑步．已知甲生的跑步速度为4.5m/s，当他们分别到达终点时停止跑步，甲生从开始匀速跑步到停止跑步共用时100s．已知x轴表示从开始匀速跑步到停止跑步的时间（s），y轴表示跑过的路程（m），则：
（1）这次练习跑步的路程为　 　.
（2）当甲生追上乙生时，求此时甲生距离出发点的距离．
【答案】（1）500m
（2）
【解析】【解答】（1）解：甲生匀速跑步的路程为()，
总路程为：()，
则这次练习跑步的路程为．
故答案为：；
【分析】（1）先求出甲生匀速跑步的路程，再求总路程即可；
（2）求出乙生跑步的速度，再求出追击的时间，运用路程公式计算即可．
15．海淀外国语有两个校区，其中初三年级京北校区有200名学生，海淀校区有300名学生，两个校区所有学生都参加了一次环保知识竞赛，为了解两个校区学生的答题情况，进行了抽样调查，从京北、海淀两个校区各随机抽取20名学生，对他们本次环保知识竞赛的成绩（百分制）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a．京北校区成绩的频数分布直方图如下（数据分成4组：，，，）；
b．京北校区成绩在这一组的是_______：
74 74 75 77 77 77 77 78 79 79
c．京北、海淀两校区成绩的平均数、中位数如下：
平均数 中位数
京北校区 79.5
海淀校区 77 81.5
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中m的值：
（2）两个校区分别对本次抽取的学生的成绩进行等级赋分，超过本校区的平均分就可以赋予等级A，判断在本次抽取的学生中哪个校区赋予等级A的学生更多，直接写出结果并说明理由；
（3）估计该校初三年级所有学生本次环保知识竞赛的平均分为____．
【答案】（1）
（2）解：海淀校区赋予等级A的学生更多，理由如下：
京北校区成绩的平均数是79.5，第12位的成绩是79，之间有7人，之间有1人，可知成绩超过平均数的学生有8人，即赋予等级A的学生有8人；
海淀校区成绩的平均数是77，中位数是81.5，可知成绩超过平均数的学生至少有10人，即赋予等级A的学生至少有10人；
所以海淀校区赋予等级A的学生更多．
（3）78
【解析】【解答】（1）解：京北校区成绩的中位数．
（3）解：估计京北校区200名学生成绩的平均数为79.5，海淀校区300名学生成绩的平均数为77，
因此估计该校初三年级所有学生本次环保知识竞赛的平均分为，
故答案为：78．
【分析】（1）根据中位数的定义即可求出答案.
（2）根据两个校区成绩的中位数和平均数，求出成绩超过平均数的人数，再比较大小即可.
（3）根据平均数的定义即可求出答案.
（1）解：京北校区成绩的中位数．
（2）解：海淀校区赋予等级A的学生更多，理由如下：
京北校区成绩的平均数是79.5，第12位的成绩是79，之间有7人，之间有1人，可知成绩超过平均数的学生有8人，即赋予等级A的学生有8人；
海淀校区成绩的平均数是77，中位数是81.5，可知成绩超过平均数的学生至少有10人，即赋予等级A的学生至少有10人；
所以海淀校区赋予等级A的学生更多．
（3）解：估计京北校区200名学生成绩的平均数为79.5，海淀校区300名学生成绩的平均数为77，
因此估计该校初三年级所有学生本次环保知识竞赛的平均分为，
故答案为：78．
16．如图所示，
在平面直角坐标系中，直线y＝x+1与分别交x轴于点B和点C，点A是直线与y轴的交点．
（1）求点A、B、C的坐标；
（2）在直线y＝x+1上是否存在点P，使得S△BCP＝5S△AOC，若存在，请求出点P坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：当y＝x+3中的x＝0时，y＝×0+3＝3，
∴点A的坐标为（0，3）；
当y＝x+1中的y＝0时，x+1＝0，
解得：x＝-1，
∴点B的坐标为（-1，0）；
当y＝x+3中的y＝0时，x+3＝0，
解得：x＝4，
∴点C的坐标为（4，0）；
（2）解：存在，∵点A的坐标为（0，3），点B的坐标为（-1，0），点C的坐标为（4，0），
∴OA＝3，OC＝4，BC＝5．
∵S△BCP＝5S△AOC，
∴ BC |yP|＝5×OA OC，
∴×5|yP|＝5××3×4，
∴|yP|＝12，
∴yP＝±12，
当y＝12时，x+1＝12，
解得：x＝11，
∴点P的坐标为（11，12）；
当y＝-12时，x+1＝-12，
解得：x＝-13，
∴点P的坐标为（-13，-12）．
综上所述，点P的坐标为（11，12）或（-13，-12）.
【解析】【分析】（1）分别根据直线于坐标轴的交点坐标特征求出点A、点B和点C的坐标；
（2）由题意得OA＝3，OC＝4，BC＝5，根据"S△BCP＝5S△AOC"，列式即可求出点P的纵坐标，进而即可点出点P的坐标.
17．剪纸面塑、年画风筝、中医问诊、美食扎堆……在开封市“欢乐周末·非遗市集”活动现场，诸多非遗项目集中亮相，让过往游客市民看花了眼、“迷”住了心．小明买了一个年画风筝，并进行了试放，为了解决一些问题，他设计了如下的方案：先测得放飞点与风筝的水平距离为；根据手中余线长度，计算出的长度为；牵线放风筝的手到地面的距离为．已知点在同一平面内．
（1）求风筝离地面的垂直高度；
（2）在余线仅剩的情况下，若想要风筝沿射线方向再上升，请问能否成功？
【答案】（1）解：如图，过点作于点，
∴，
由题意得，，，
∴在中，，
∴；
（2）解：不能成功，理由如下：
假设能上升，如图所示，延长至点，连接，则，
∴，
∵∠AEC=90°，
∴在中，，
∵，余线仅剩，
∴，
∴不能上升，即不能成功．
【解析】【分析】（1）作，可推出，再根据题意写出AE、ED的长，根据勾股定理即可求解；
（2）先假设能上升，作出，先计算出EF的长度，再根据勾股定理可得的长度，再比较风筝线长和AF的长，即可得出结论．
（1）解：如图所示，过点作于点，则，，，
∴在中，，
∴；
（2）解：不能成功，理由如下，
假设能上升，如图所示，延长至点，连接，则，
∴，
在中，，
∵，余线仅剩，
∴，
∴不能上升，即不能成功．
18．学校与图书馆在同一条笔直道路上，甲从学校去图书馆，乙从图书馆回学校，甲、乙两人都匀速步行且同时出发，乙先到达目的地两人之间的距离米与时间分钟之间的函数关系如图所示．
（1）根据图象信息，当　 　 分钟时甲乙两人相遇，甲的速度为　 　 米分钟；
（2）求出线段所表示的函数表达式．
（3）当为何值时，甲、乙两人相距米？
【答案】（1）24；40
（2）解：甲、乙速度和为米分钟，而甲速度为米分钟，
乙速度是米分钟，
乙达到目的地所用时间是分钟，即横坐标为，
此时两人相距米，即纵坐标为，
，
设线段所表示的函数表达式为，将、代入得：
，
解得
线段所表示的函数表达式为，
（3）解：甲、乙两人相距米分两种情况：
二人相遇前，两人路程和为米，甲、乙两人相距米，此时分钟，
二人相遇后，乙达到目的地时二人相距米，甲再走米两人就相距米，
此时分钟，
综上所述，二人相距米时，分钟或分钟．
【解析】【解答】解：根据图形信息，甲、乙两人相向而行，当两人之间的距离y为0时，两人相遇，此时t=24，乙先到达目的地，则用时60分钟的是甲，则甲的速度=2400÷60=40米分钟；
【分析】本题考查一次函数的行程问题和待定系数法求函数解析式。根据题目和图象，判断出24分钟时，甲乙相遇，可知速度和，乙先到达目的地，可知A点乙到达，A到B的距离变化是甲一个人行走，则可计算出A的坐标，结合B的坐标，代入函数解析式，可求AB段直线解析式。当两人相距2000米时，分两种情况：甲乙二人相遇前和乙到达目的地后；或者求出相遇前的直线解析式y=-10x+2400，令y=2000，则t=4，再求出乙到达目的地后的AB直线解析式y=40x，令y=2000，t=50。此题用函数知识或者行程知识都可解决。
19．探索归纳：

（1）如图1，已知△ABC为直角三角形，∠A=90°，若沿图中虚线剪去∠A，则∠1+∠2等于(　　)
A．90° B．135° C．270° D．315°
（2）如图2，已知△ABC中，∠A=40°，剪去∠A后成四边形，则∠1+∠2=　 　
（3）如图2，根据（1）与（2）的求解过程，请你归纳猜想∠1+∠2与∠A的关系是　 　
（4）如图3，若没有剪掉，而是把它折成如图3形状，试探究∠1+∠2与∠A的关系并说明理由．
【答案】（1）C
（2）220°
（3）∠1+∠2=180°+∠A
（4）解∵△EFP是由△EFA折叠得到的，∴∠AFE=∠PFE，∠AEF=∠PEF∴∠1=180°﹣2∠AFE，∠2=180°﹣2∠AEF
∴∠1+∠2=360°﹣2（∠AFE+∠AEF）
又∵∠AFE+∠AEF=180°﹣∠A，∴∠1+∠2=360°﹣2（180°﹣∠A）=2∠A．
【解析】【解答】解：（1）：∵四边形的内角和为360°，直角三角形中两个锐角和为90°
∴∠1+∠2=360°﹣（∠A+∠B）=360°﹣90°=270°．
∴∠1+∠2等于270°．
故选C；
（2）∠1+∠2=180°+40°=220°，
故答案是：220°；
（3）∠1+∠2与∠A的关系是：∠1+∠2=180°+∠A
【分析】（1）利用了四边形内角和为360°和直角三角形的性质求解；
（2）根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和求解；
（3）根据（1）（2）可以直接写出结果；
（4）根据折叠的性质，对应角相等，以及邻补角的性质即可求解．
20．某居民小区有块形状为长方形的绿地，长方形绿地的长为，宽为，现在要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（即图中阴影部分），长方形花坛的长为，宽为．
（1）长方形的周长是多少？
（2）除去修建花坛的地方，其他地方全修建成通道，通道上要铺造价为5元的地砖，要铺完整个通道，预算为660元，经费是否够用？
【答案】（1）解：∵长方形的长为，宽为，∴长方形的周长为：
．
答：长方形的周长是．
（2）解：由题意，知
∵，
∴经费不够用．
【解析】【分析】(1)先把长方形的长和宽化为最简二次根式，再代入长方形周长公式2×（长+宽），合并同类二次根式后得到结果；
(2)先计算长方形绿地的面积与花坛的面积，求出通道的面积；再用通道面积乘以地砖单价得到总造价，最后与预算660元比较，判断经费是否足够。
21．某公司员工的月工资如下：
员工 经理 副经理 职员A 职员B 职员C
月工资/元 10800 7200 4800 4500 4000
员工 职员D 职员E 职员F 杂工G 　
月工资/元 3600 3600 3600 2900 　
经理、职员C、职员D从不同的角度描述了该公司员工的收入情况（如图）.
设该公司员工的月工资数据的平均数、中位数、众数分别为k，m，n，请根据上述信息完成后面的问题：
（1）k＝　 　，m＝　 　，n＝　 　；
（2）你认为哪些统计量可以反映一组数据的集中趋势？请结合上面实例，从平均数、中位数及众数中任选一个，简要说明优缺点.
【答案】（1）5 000；4 000；3 600
（2）解：中位数可以反映一组数据的集中趋势，优点：有一半的员工的工资能达到中位数，缺点：没有体现月平均工资水平.
【解析】【解答】解：
(1)由题意得：4000+3600+3600+3600+2900)
=5000，
把9个员工的工资从小到大排列，排在中间的数是4000，故中位数m=4000，
9个员工的工资中3600出现的次数最多，故众数n=3600.
故答案为： 5000， 4000， 3600；
【分析】(1)求出9个数据之和再除以总个数即可；对于中位数，按从大到小的顺序排列，找出最中间的那个数即可；出现频数最多的数据即为众数；
(2)从平均数、中位数、众数中，任选一个计算即可.
22．合肥地铁一号线与地铁二号线在A站交汇，且两条地铁线互相垂直如图所示，学校P到地铁一号线B站的距离PB＝2km，到地铁二号线C站的距离PC为4km，PB与一号线的夹角为30°，PC与二号线的夹角为60°．求学校P到A站的距离（结果保留根号）
【答案】解：过点P作PD⊥AB于点D，过点P作PE⊥AC于点E，
∵∠PBD＝30°，PB＝2，
∴PD＝1，
∵∠PCE＝60°，PC＝4，
∴CE＝2，
∴由勾股定理可知：PE＝2 ，
易证：四边形PDAE是矩形，
∴PD＝AE＝1，
∴由勾股定理可知：PA＝
【解析】【分析】过点P作PD⊥AB于点D，过点P作PE⊥AC于点E，得到PD＝1，CE＝2，再由勾股定理PE＝2 ，在证明四边形PDAE是矩形，即可解答
23．已知四边形ABCD是矩形，对角线AC和BD相交于点F，，.
(1)求证：四边形DEAF是菱形；
(2)若，求的度数.
【答案】解：(1)证明：∵，，
∴四边形DEAF为平行四边形
∵四边形ABCD为矩形，
∴，，，
∴
∴四边形DEAF为菱形
(2)解：∵四边形DEAF为菱形，
∴
∵，
∴，
∵，
∴为等边三角形
∴
【解析】【分析】（1）根据平行四边形判定定理可得四边形DEAF为平行四边形，再根据矩形的性质可得，再根据菱形判定定理即可求出答案.
（2）根据菱形性质可得，再根据边之间的关系可得，根据等边三角形判定定理可得为等边三角形，则，即可求出答案.
24．已知一次函数.
（1）当m，n是什么数时，随的增大而增大
（2）当m，n是什么数时，函数图象与轴的交点在轴的下方
（3）若函数的图象不经过第二象限，求m，n的取值范围.
【答案】（1）解：∵y随x的增大而增大，
∴2m+4>0，解得m>-2.
∴当m>-2，n为任意实数时，y随x的增大而增大.
（2）解：∵函数图象与y轴的交点在x轴的下方，
解得，
∴当时，函数图象与y轴的交点在x轴的下方.
（3）解：∵函数图象不经过第二象限，
，
解得.
【解析】【分析】（1）根据一次函数的性质和系数的关系，即可求解；
（2）根据"若一次函数与y轴交于x轴上方，则，若一次函数与y轴交于x轴下方，则"，据此得到： 且进而即可求解；
（3）根据一次函数不过第二象限得到：，即 ，进而即可求解.
25．已知边长分别为的两个正方形的面积分别为．
（1）求的值；
（2）用一根长为的铁丝，能否围成这两个正方形？
【答案】（1）解：∵边长分别是的两个正方形的面积分别为，，∴，，
∴
；
（2）解：两个正方形的周长分别为 和 ，总周长为，
∵，，，
∴
∴不能围成这两个正方形．
【解析】【分析】（1）根据正方形面积公式，用边长平方表示S1、S2；利用完全平方和、完全平方差公式(a±b)2=a2±2ab+b2分别展开两个平方式；与互为相反数抵消，剩余有理数相加，算出面积和.（2）依据正方形周长公式，分别列式表示两个正方形周长，再相加化简总周长；化简时与 抵消，得到总周长；两个正数比较，分别平方后比大小，判定>16；总需要铁丝长度＞现有铁丝长度，故不能围成.
（1）解：∵边长分别是的两个正方形的面积分别为，，
∴，，
∴
；
（2）解：两个正方形的周长分别为 和 ，
总周长为，
∵，，，
∴
∴不能围成这两个正方形．
26．如图，已知一等腰三角形的周长是16，底边上的高是4．求这个三角形各边的长．
【答案】解：设BD=x，则AB=8﹣x
由勾股定理，可以得到AB2=BD2+AD2，也就是（8﹣x）2=x2+42，
∴x=3，
∴AB=AC=5，BC=6．
【解析】【分析】由于等腰三角形中底边上的高平分底边，故周长的一半为AB与BD的和，可设出未知数，利用勾股定理建立方程求解．
27．“十一”期间，小华一家人开车到距家100千米的景点旅游，出发前，汽车油箱内储油45升，当行驶60千米时，发现油箱余油量为升（假设行驶过程中汽车的耗油量是均匀的）．
（1）求该车平均每千米的耗油量；
（2）写出余油量Q（升）与行驶路程x（千米）之间的关系式；
（3）当油箱中余油量低于3升时，汽车将自动报警，若往返途中不加油，他们能否在汽车报警前回到家？说明理由．
【答案】（1）解：（升/千米），
答：该车平均每千米耗油升；
（2）解：由题意，得：；
（3）解：当时，，
∵，
∴所以他们不能在汽车报警前回到家．
【解析】【分析】（1）由题意可知，当行驶60千米时，用油13.5升，然后计算得该车平均每千米的耗油量；
（2）由（1）可知，汽车每行驶1千米耗油0.225升，故行驶x千米耗油0.225x升，进而列出余油量关于行驶路程的关系式；
（3）小华家到景点的距离为100千米，故往返的路程为200千米，将x=200代入关系式可知，小华到家时油刚好用完，因此他们不能在汽车报警前回到家．
28．2024年9月第11号台风“摩羯”登陆，使我国很多地区受到严重影响．据报道，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径（即以台风中心为圆心，为半径的圆形区域都会受台风影响）．如图，线段是台风中心从市移动到市的大致路线，是某个大型农场，且．若之间相距之间相距．
（1）判断农场是否会受到台风的影响，请说明理由；
（2）若台风中心的移动速度为，则台风影响该农场持续时间有多长？
【答案】（1）解：农场会受到台风的影响，理由如下：
如图，过作于，
，
，
，
的面积，
，
，
，
农场会受到台风的影响；
（2）解：如图，台风从点开始影响该农场，到点以后结束影响，连接，，
，
，
，
由勾股定理得，
，
台风中心的移动速度为，
台风影响该农场持续时间是（小时）．
【解析】【分析】（1）首先，过点作垂线于点。利用勾股定理计算得出，再通过比较，即可得出结论；
（2）台风的影响范围从点开始，到点结束。连接和，再次应用勾股定理可得：，进而求出，进而根据时间=路程÷速度，即可得出答案。
（1）解：农场会受到台风的影响，理由如下：
如图，过作于，
，
，
，
的面积，
，
，
，
农场会受到台风的影响；
（2）解：如图，台风从点开始影响该农场，到点以后结束影响，连接，，
，
，
，
由勾股定理得，
，
台风中心的移动速度为，
台风影响该农场持续时间是（小时）．
29．（Ⅰ）已知方程①
②
请判断这两个方程是否有解？并说明理由；
（Ⅱ）已知 ，求 的值．
【答案】解：（Ⅰ）方程①无解，理由如下： 由 得 当 时， 的最小值为 方程①无解. 方程②有解，理由如下： 由 ， 得 当 时， 的最小值为 <3， 方程②有解. （Ⅱ） (1) 设 (2) 由(1) (2)得到： 即：的值为2.
【解析】【分析】本题隐含的条件是二次根式中被开方数大于或等于0，再根据二次根式的非负性得到最小值，来判断方程是否有解以及求代数式的值.
30．如图，在平面直角坐标系中，点A（4，0），点B（0，3），以点 为圆心， 长为半径画弧，交 轴的负半轴于点 ，求点 的坐标.
【答案】∵点A，B的坐标分别为（4，0），（0，3），
∴OA=4，OB=3，
∴ .
∵以点 为圆心， 长为半径画弧，
∴ ，
∴ .
∵交 轴的负半轴于点 ，
∴点 的坐标为（-1，0）.
【解析】【分析】首先由A(4.0)，B(0，3)，即可得出OA=4 ， OB=3，再由勾股定理求得AB的长，由作法可知： AC= AB，即可求得OC，从而确定点C的坐标.
31．如图，一次函数y= kx+b(k≠0)的图象过点A(-2，2)，B(2，-3).
（1）求此一次函数的解析式；
（2）直接写出关于x的不等式 kx+b≤2的解集.
【答案】（1）解：∵ 一次函数 y = kx+b(k≠0)的图象过点A(-2，2)，B(2，-3)，
解得
∴一次函数的解析式为
（2）x≥-2
【解析】【解答】解： (2) 不等式kx+b≤2，即y≤2．
观察图象可知，当x≥-2时，一次函数图象上的点的纵坐标y≤2．
∴不等式kx+b≤2的解集为x≥-2．
【分析】(1)先设一次函数的解析式为y=kx+b，再利用待定系数法将已知点A(-2，2)，B(2，-3)的坐标代入解析式，得到关于k，b的二元一次方程组；接着通过解方程组求出，从而确定一次函数的解析式；
(2)先将不等式kx+b≤2转化为一次函数值y≤2的问题；再结合一次函数的图象，找到纵坐标等于2的点A(-2，2)，根据函数的增减性，判断出y≤2时对应的x的取值范围为x≥-2．
32．已知：如图，四边形ABCD中，AB⊥BC，AB=1，BC=2，CD=2，AD=3，求四边形ABCD的面积．
【答案】解：连接AC．
∵∠ABC=90°，AB=1，BC=2，
∴AC= = ，
在△ACD中，AC2+CD2=5+4=9=AD2，
∴△ACD是直角三角形，
∴S四边形ABCD= AB BC+ AC CD，
= ×1×2+ × ×2，
=1+ ．
故四边形ABCD的面积为1+ ．
【解析】【分析】先根据勾股定理求出AC的长度，再根据勾股定理的逆定理判断出△ACD的形状，再利用三角形的面积公式求解即可．
33．如图， AOBC的顶点O（0，0），A（﹣1，2），B（7，0），作∠AOB的平分线交AC于点G，并求线段CG的长，（要求尺规作图保留作图痕迹，不写作法）
【答案】解：如图，
就是所求的 的平分线.
的顶点 ， ，
， ，
在 中， .
由题意可知 平分 ，
，
又 ，
，
，
.
的顶点 ，
，
.
【解析】【分析】根据角平分线的作图步骤画出图形即可， 先根据勾股定理求得AO的长度，再利用角平分线得 ，再根据AC=OB=7即可得出线段 的长.
34．如图，中，，，，的垂直平分线分别交，于D，E两点，求的长.
【答案】解：∵是的垂直平分线，∴，
设，则，
在Rt中
，即
整理得：，
解得：．
【解析】【分析】本题以直角三角形为载体，考查线段垂直平分线的性质与勾股定理的综合应用. 解题核心是通过垂直平分线“到线段两端点距离相等”的性质，得到AD=CD，再通过设未知数，在Rt中结合勾股定理列方程求解.
35． 为了解某校七年级学生一分钟跳绳情况，对该年级全部360名学生进行一分钟跳绳次数的测试，并把测得的数据分成四组，绘制成如下所示的频数表(每组含前一个边界值，不含后一个边界值).
某校七年级360名学生一分钟跳绳次数的频数表
组别/次 频数
100~130 48
130~160 96
160~190 144
190~220 72
这次测试成绩的中位数落在哪一组
【答案】解：因为
所以第 180和第181个数据都落在160~190这一组，所以这次测试成绩的中位数落在 160~190这一组.
【解析】【分析】根据中位数的定义“中位数是将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数为这组数据的中位数，如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数为这组数据的中位数”解答即可.
36．如图，在矩形中，对角线、相交于点，点、分别是、的中点，若，求的长度．
【答案】解：四边形是矩形，
，，
，
点、是，的中点，
是的中位线，
．
【解析】【分析】本题考查矩形性质和三角形中位线定理。矩形的对角线互相平分且相等，三角形的中位线平行且等于底边的一半。熟悉这些知识即可求出答案。
37．已知b=+b，求值：（1）ba； （2）（a+b）2015．
【答案】解：∵与有意义，∴，解得a=±2，∵a﹣2≠0，∴a=﹣2，∴a=﹣2，b为任意实数；（1）ba=b﹣2=（b≠0）；（2）（a+b）2015=（b﹣2）2015．
【解析】【分析】先根据二次根式及分式有意义的条件求出a的值，求出b的值，再代入代数式进行计算即可．
38．你知道什么是“低碳生活”吗？“低碳生活”是指人们生活中尽量减少所耗能量，从而降低（特别是二氧化碳）的排放量的一种生活方式．
排碳计算公式：家居用电的二氧化碳排放量耗电量开私家车的二氧化碳排放量耗油量家用天然气二氧化碳排放量天然气使用量家用自来水二氧化碳排放量自来水使用量
（1）设家居用电的二氧化碳排放量为，耗电量为，则家居用电的二氧化碳排放量可以用关系式表示为______；
（2）在上述关系式中，耗电量每增加，二氧化碳排放量增加______；当耗电量从增加到时，二氧化碳排放从______增加到______；
（3）小明家本月家居用电大约，天然气，自来水，开私家车耗油，请你计算一下小明家这几项的二氧化碳排放量．
【答案】（1）
（2），，
（3）解：，
，
，
，
答：小明家用电的二氧化碳排放量是，天然气的二氧化碳排放量是，自来水的二氧化碳排放量是，开私家车的二氧化碳排放量是.
【解析】【解答】（1）解：由题意可得，
故答案为：；
（2）解：∵家居用电的二氧化碳排放量耗电量，
∴耗电量每增加，二氧化碳排放量增加，
当耗电量时二氧化碳排放量为；当耗电量时二氧化碳排放量为；
故答案为：，，.
【分析】（1）根据“ 家居用电的二氧化碳排放量耗电量 ”直接列出函数解析式即可；
（2）利用（1）中的函数解析式直接将数据代入计算即可；
（3）利用表格中的数据和（1）的解析式分别求出二氧化碳的排放量，再相加即可.
39．如图，在中，E，F分别为AC，BC的中点，为BC上一点，连结AD交EF于点，已知.
（1）求证：.
（2）已知，若，求的度数.
【答案】（1）证明： 点 分别为 的中点， 是 的中位线，
（2）解： ，
∴
【解析】【分析】(1)根据三角形中位线定理得出然后利用平行线的性质和等腰三角形的性质解答即可；
(2)根据平行线的性质可得∠DFG的度数，然后求出∠GDF的度数，再利用三角形的外角性质得出即可.
40．每双鞋都有一个对应的鞋码.查阅资料，了解我国鞋码与脚长之间的关系，以及不同国家鞋码之间的关系.
【答案】我国鞋码（旧标准）与脚长（单位：厘米）的换算公式为：鞋码 = 脚长 × 2 - 10。例如，脚长25cm对应鞋码40。不同国家鞋码标准不同，如欧码（EUR）与中国码基本一致，美码（US）、英码（UK）则与厘米数存在不同线性关系（如美码≈厘米数×0.846 24），这些关系均可表示为一次函数形式，可通过查阅数据建立函数模型并进行换算。
【解析】【分析】本题旨在引导学生从真实生活中发现一次函数的实例，强化函数建模思想。通过调查鞋码与脚长的关系，学生能理解变量间的对应法则，并运用“设变量、找对应、写表达式”的步骤建立函数模型。比较各国鞋码标准，可深入理解不同一次函数（k、b不同）的实际意义，提升数据获取、公式推导和应用能力，体现数学的实用性和文化性。
41．我们运用图（Ⅰ）中大正方形的面积可表示为（a+b）2，也可表示为c3+4（ab），即（a+b）2=c2+4（ab）由此推导出一个重要的结论a2+b2=c2，这个重要的结论就是著名的“勾股定理”．这种根据图形可以极简单地直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称“无字证明”．
（1）请你用图（Ⅱ）（2002年国际数学家大会会标）的面积表达式验证勾股定理（其中四个直角三角形的较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c）．
（2）请你用（Ⅲ）提供的图形进行组合，用组合图形的面积表达式验证：（x+2y）2=x2+4xy+4y2．
【答案】解：（1）S阴影=4×ab，S阴影=c2﹣（a﹣b）2，∴4×ab=c2﹣（a﹣b）2，即2ab=c2﹣a2+2ab﹣b2，则a2+b2=c2；（2）如图所示，大正方形的面积为x2+4y2+4xy，也可以为（x+2y）2，则（x+2y）2=x2+4xy+4y2．
【解析】【分析】（1）阴影部分面积由大正方形面积减去小正方形面积，也可以由四个直角三角形面积之和求出，两者相等即可得证；
（2）拼成如图所示图形，根据大正方形边长为x+2y，表示出正方形面积，再由两个小正方形与两个矩形面积之和求出，即可验证．
42．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，直线的解析式为．
（1）求直线的解析式．
（2）点在轴上，过点作直线平行于轴，分别与直线、交于点、，当点、、三点中的任意两点关于第三点对称时，求的值．
【答案】（1）解：由题意，设为，再将、两点代入得，，
．
直线的解析式为
（2）解：由题意得，，再由点、、三点中的任意两点关于第三点对称，
当点和关于点对称时，即，解得；
当点和关于点对称时，即，解得；
当点和关于点对称时，即，解得．
综上所述，的值为：或或
【解析】【分析】（1）依据题意，设为，再将、两点代入求出，即可得解；
（2）先确定三点坐标：直线 x=a 平行于 y 轴，与 l1、l2的交点 M (a，-a+5)、N (a，3a-3)，点 P (a，0)，三点横坐标相同，对称关系仅体现在纵坐标上。分三类讨论对称关系： M、P 关于 N 对称；N、P 关于 M 对称； M、N 关于 P 对称；汇总三类情况，得到 a 的所有可能值。
（1）解：由题意，设为，再将、两点代入得，，
．
直线的解析式为．
（2）解：由题意得，，再由点、、三点中的任意两点关于第三点对称，
当点和关于点对称时，即，解得；
当点和关于点对称时，即，解得；
当点和关于点对称时，即，解得．
综上所述，的值为：或或．
43．如图，直线交y轴于点A，交x轴于点B，点在第四象限，点在线段上．连接，，过点P作x轴的垂线，交边于点E，交折线段于点F．
（1）求点A，B的坐标；
（2）设点E，F的纵坐标分别为，，当时，为定值，求t的值；
（3）在（2）的条件下，分别过点E，F作，垂直于y轴，垂足分别为点G，H，当时，求长方形周长的最大值．
【答案】（1）解：∵直线交y轴于点A，交x轴于点B，
∴当时，得：，
解得：，
当时，得：，
∴，；
（2）解：设的解析式为，过点，
∴，
∴，
∴的解析式为，
∵点在线段上，过点作轴的垂线，交边于点，交折线段于点，且点，的纵坐标分别为，，，
∴，，
∴，
∵为定值，即为定值，
∴，
解得：；
（3）解：①当时，（定长），在点运动到图中点，此时直线经过点，即，
∴长方形周长的最大值：，
②当时，
设的解析式为，过点，，
∴，
解得：，
∴的解析式为，
∴，
∴长方形的周长为：，
∵，
∴随的增大而减小，
当时，长方形周长的最大值为：，
综上所述，长方形周长的最大值为．
【解析】【分析】（1）分别令和x=0，可以得到关于和y的一元一次方程，解方程后即可得出点，的坐标；
（2）利用待定系数法将C点坐标（4，t）代入，得到的解析式为，然后表示出，再根据定值的条件得出，求解t即可；
（3）分和两种情况，并结合待定系数法和一次函数的增减项进行讨论计算即可．
（1）解：∵直线交y轴于点A，交x轴于点B，
∴当时，得：，
解得：，
当时，得：，
∴，；
（2）解：设的解析式为，过点，
∴，
∴，
∴的解析式为，
∵点在线段上，过点作轴的垂线，交边于点，交折线段于点，且点，的纵坐标分别为，，，
∴，，
∴，
∵为定值，即为定值，
∴，
解得：；
（3）①当时，
（定长），在点运动到图中点，此时直线经过点，即，
∴长方形周长的最大值：，
②当时，
设的解析式为，过点，，
∴，
解得：，
∴的解析式为，
∴，
∴长方形的周长为：，
∵，
∴随的增大而减小，
当时，长方形周长的最大值为：，
综上所述，长方形周长的最大值为．
44．如图，在平面直角坐标系中，点为第一象限内一点，线段与轴的夹角为，过点作轴的平行线交轴于点．点为轴正半轴上一点，点为直线上点右侧一动点，连接．设线段的长度为，线段的长度为．
（1）若，．
①求点的坐标；
②如图2，过点作于点，求的值．
（2）如图3，连接交于点．记，，，的面积分别为，，，且满足．
①判断四边形的形状并说明理由；
②若此时四边形的面积为，，且，求，的值．
【答案】（1）解：①由题意得：轴，，
∵轴轴，
∴，
∵，
∴在中，，，
∵点为第一象限内一点，
∴点的坐标为．
②∵轴，，
∴点到的距离等于点到的距离，即为，
∵，，
∴，
∴
（2）解：①四边形是平行四边形，理由如下：
∵，，，
∴，
设，
∴，
∵轴，
∴点到的距离等于点到的距离，均等于，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
联立，
解得，，，
∴的边上的高为，
的边上的高为，
又∵的边上的高与的边上的高之和等于，
∴，
整理得：，
∴，
∴，即，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形．
②∵平行四边形的面积为，
∴，
由上已得：，
∴，即，
在中，，，，
由勾股定理得：，
即，
整理得：，
∴，
∴，
，
又∵，
∴，即，
解得：，
∴的值为，的值为
【解析】【分析】（1）①根据直角三角形的性质"30度角所对的直角边等于斜边的一半"可得，在中，用勾股定理求得OE的值，然后根据点A所在的象限即可求解；
②先根据平行线间的距离可得点到的距离等于点到的距离，然后用三角形的面积公式可求解；
（2）①根据直角三角形的性质"30度角所对的直角边等于斜边的一半"可将AE用含a的代数式表示出来，在Rt△AOE中，用勾股定理将OE用含a的代数式表示出来，设，根据三角形的面积公式可得，，，从而可得，，，然后根据的边上的高与的边上的高之和等于列等式，化简整理可得，再根据平行四边形的判定“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”即可求解；
②根据平行四边形的性质可得，根据勾股定理可得，用完全平方公式求出和的值，从而可得和的值，然后解二元一次方程组即可求解．
（1）解：①由题意得：轴，，
∵轴轴，
∴，
∵，
∴在中，，，
∵点为第一象限内一点，
∴点的坐标为．
②∵轴，，
∴点到的距离等于点到的距离，即为，
∵，，
∴，
∴．
（2）解：①四边形是平行四边形，理由如下：
∵，，，
∴，
设，
∴，
∵轴，
∴点到的距离等于点到的距离，均等于，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
联立，
解得，，，
∴的边上的高为，
的边上的高为，
又∵的边上的高与的边上的高之和等于，
∴，
整理得：，
∴，
∴，即，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形．
②∵平行四边形的面积为，
∴，
由上已得：，
∴，即，
在中，，，，
由勾股定理得：，即，
整理得：，
∴，
∴，
，
又∵，
∴，即，
解得，
所以的值为，的值为．
45．在和中，，，，，点F是线段的中点，连接．
（1）若D在上，
①如图1，点E恰好落在上，请探究线段与的数量关系；
②如图2，试探究线段与的数量关系；
（2）如图3，，点D不在上，，，，直接写出的面积是————·
【答案】（1）解：①，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵点F是线段的中点，
∴，
∵，
∴；
②，理由如下：
延长至S，使，连接，如图，
∵点F是线段的中点，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）
【解析】【解答】（2）解：延长至S，使，连接，，过点D作于点T．如图，
∵点F是线段的中点，
∴是的中位线，
∴，
同上可证，
∴．
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∵是等边三角形，
∴．
【分析】（1）①根据角之间的关系可得，根据边之间的关系可得，根据线段中点可得，再根据边之间的关系即可求出答案.
②延长至S，使，连接，根据三角形中位线定理可得，根据垂直平分线判定定理可得垂直平分，则，根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
（2）延长至S，使，连接，，过点D作于点T，根据三角形中位线定理可得，同上可证，根据全等三角形性质可得，则，根据含30°角的直角三角形性质可得，再根据等边三角形判定定理可得是等边三角形，则，根据角之间的关系可得，根据等腰直角三角形性质可得，根据勾股定理可得AT，再根据边之间的关系可得AB，再根据三角形面积即可求出答案.
（1）解：①，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵点F是线段的中点，
∴，
∵，
∴；
②，理由如下：
延长至S，使，连接，如图，
∵点F是线段的中点，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：延长至S，使，连接，，过点D作于点T．如图，
∵点F是线段的中点，
∴是的中位线，
∴，
同上可证，
∴．
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∵是等边三角形，
∴．
46．某公司生产的一种营养品信息如下表． 已知甲食材每千克的进价是乙食材的 2 倍， 用 80 元购买的甲食材比用 20 元购买的乙食材多1千克．
营养品信息表
营养成分 每千克含铁 42 毫克
配料表 原料 每千克含铁
甲食材 50 毫克
规格 乙食材 10 毫克
包装 1 千食材含量 每包单价
包装 0.25 千克 45 元
（1） 问甲、乙两种食材每千克进价分别是多少元．
（2）该公司每日用 18000 元购进甲、乙两种食材并恰好全部用完．
①问每日购进甲、乙两种食材各多少千克．
②已知每日其他费用为 2000 元， 且生产的营养品当日全部售出． 若 的数量不低于 的数量，则 为多少包时， 每日所获总利润最大？ 最大总利润为多少元？
【答案】（1）解：设乙食材的进购价格为x元，则甲食材的进购价格为2x元，
由题意得，解得x=20，
则2×20=40，
答：甲食材每千克进价为 40 元， 乙食材每千克进价为 20 元.
（2）解：①设每日购进甲食x千克，乙食材y千克，
由题意得，解得，
答：每日购进甲食材 400 千克，乙食材 100千克；
②设A为m包，则B为=(2000-4m)包，
因为A得数量不低于B得数量，
∴m≥2000-4m，
∴m≥400，
设总利润为Y元，由题意可知：
Y=45m+12(2000-4m)-18000-2000=3m+4000，
∴k=-3＜0，
∴当m=400时，Y的最大值为2800，
答：当 为 400 包时，每日所获总利润最大，最大总利润为 2800 元
【解析】【分析】（1）根据题目信息将乙食材的价格设出来，就能知道甲食材的价格，再根据题目已知信息列出等量关系式，求解即可知道甲，乙的进购价；
（2）①根据题目中给出的信息该公司每日用 18000 元购进甲、乙两种食材并恰好全部用完 ，再结合（1）当中的结论列出方程，在解答即可；
②设A为m包，则B为=(2000-4m)包，根据A得数量不低于B得数量，可列出不等式，然后求解即可知道m的取值范围，再设总利润为Y元，根据题意写出Y关于m的解析式，分析解析式，根据一次函数的性质即可得到获利最大的进货方案，从而求出最大利润.
47．实验室有两个小型水箱，初始状态下，甲水箱为空，乙水箱已有20升水。实验开始后，甲水箱开启注水模式，以à升/秒的速度匀速注水；同时乙水箱开启放水模式，匀速向外排水。8秒时，甲、乙水箱分别达到实验预设的水量阈值，暂停注水和放水操作，保持水量稳定；24 秒时，乙水箱切换为注水模式，以 升/秒的速度匀速向水箱内注水；30秒时，甲、乙两个水箱的水量恰好相同，均为b升。之后，甲、乙水箱同时开启排水模式，以相同的速度匀速排水，直至水箱排空。甲、乙水箱的水量y(单位：升)与实验时间x(单位：秒)间的函数关系如图所示.请结合图象解答下列问题.
（1） a=　 　， b=　 　；
（2）求线段 MN所在直线的函数表达式；
（3）甲、乙两个水箱在实验进行到多少秒时，它们的水量差为2升
【答案】（1）3；24
（2）解：设MN的表达式为y=kx+n，将点(0，20)和(8，16)代入得，解得，故MN的表达式为
（3）解：0当水量差为2时，有或，解得x=或；
当24综上所述，相应的时间为 .
【解析】【解答】解：(1)由题意知b=8a，乙水箱放水的速度为升/秒，
注水后的乙箱×6+16=b，由此得b=24，a=3；
【分析】(1)由函数图象知b=8a，同时b=×6+16，由此可得a、b的值；
(2)利用待定系数法设MN为y=kx+n，将点代入可得k、n的值，即得MN的表达式；
(3)由函数图象知当048．【问题背景】
（1）在数学课上，老师出示了这样一个问题：“如图1，在中，是边上的中线，，，，求的长．”经过小组合作交流，有同学提出以下思路：延长至E，使，连接，请在此基础上完成求解过程．
【迁移应用】
（2）如图2，是等边三角形，点D是平面上一点，连接，将绕点D沿逆时针方向旋转得到，连接，点E是中点，连接．判断与的数量关系与位置关系，并证明．
【拓展延伸】
（3）如图3，在（2）的条件下，若，点M、N分别是上的动点，且满足，连接，点P为中点，连接，求线段的最小值．
【答案】（1）解：延长至E，使，连接．
在△ADC和△EDB中
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴（勾股定理逆定理）
∴，
∴．
（2），且．
证明：延长到G，令，连接、、、，延长与相交于点H，与交于点T．
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，（也可证得，），
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴是等边三角形．
∵，
∴（三线合一）且，
∴，
∴．
（3）延长到Q，令，连接，延长与相交于点R，过点D作于点S．
∵，，，
∴，
∴且，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，．
∴当时，最小值为的长，则最小值为，
∵，，，
∴，，，
根据得
，
∴DP=DS=.
∴的最小值为
【解析】【分析】（1）由题意，用边角边可证，由全等三角形的对应边相等可得，，然后勾股定理分别计算AE2+BE2、AB2的值，根据勾股定理的逆定理可得，再用勾股定理计算即可求解；
（2）延长到G，令，连接、、、，延长与相交于点H，与交于点T．根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可证四边形是平行四边形，由平行四边形的对边平行且相等可得，，用边角边可证，由全答案教学的对应边（角）相等可得，，根据有两个角等于60度的三角形是等边三角形可得是等边三角形．由等边三角形的三线合一性质和含30度角的直角三角形的性质即可求解；
（3）延长到Q，令，连接，延长与相交于点R，过点D作于点S．由题意，用边角边可证，由全等三角形的对应边（角）相等可得且，于是可得△为等腰直角三角形，，则当时，最小值为的长，则最小值为，根据含30度角的直角三角形的性质求得，，，然后根据等面积法求得即可求解．
49．如图，在正方形中，交BC于点F，连接．
（1）与有何数量关系？并说明理由；
（2）过点A作于点N，交于点M，探究线段之间的数量关系．
【答案】（1）解：；
理由：过点C作交于点H，
∵四边形是正方形，
∴，．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴；
（2）解：如图2，过点A作的延长线于点H，
∵，，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴．
又∵，，
∴，
∴，
∴．
【解析】【分析】（1）过点C作交于点H，根据ASA证明△ECB≌△HCD，可得HC=EC，可求出，再利用角的和差即可求解；
（2）过点A作的延长线于点H，则四边形是矩形，根据ASA证明△ADN≌△ABH，可得DN=BH，再利用线段的和差即可求解.
50．甲、乙两人从A地出发，骑自行车沿同一条路行驶到B地，他们离出发地的距离s（单位：km）和行驶时间t（单位：h）之间的关系的图象如图所示，且甲停止一段时间后再次行走的速度是原来的一半，回答下列问题：
（1）求乙的速度？
（2）甲中途停止了多长时间？
（3）两人相遇时，离B地的路程是多少千米？
【答案】（1）解：乙的速度为，
∴乙的速度为．
（2）解：甲停止前的速度为，
甲停止一段时间后再次行走的速度为，
则，
所以甲中途停止的时间为，
∴甲中途停止了．
（3）解：设乙骑行了小时与甲相遇，
因为，
所以，
则可列方程为，
解得，
则，
∴两人相遇时，离B地的路程是10千米．
【解析】【分析】（1）根据速度=路程时间：由图象可知乙在内骑行了即可解答；
（2）根据图象停止前的速度为；甲停止一段时间后再次行走的速度 是原来的一半为，再根据时间等于路程除以速度可求出的值，由此即可解答；
（3）设乙骑行了小时与甲相遇，先判断出，再根据相遇时，两人离出发地的距离相等建立方程，解方程求出的值，由此即可解答．
（1）解：乙的速度为，
答：乙的速度为．
（2）解：甲停止前的速度为，
甲停止一段时间后再次行走的速度为，
则，
所以甲中途停止的时间为，
答：甲中途停止了．
（3）解：设乙骑行了小时与甲相遇，
因为，
所以，
则可列方程为，
解得，
则，
答：两人相遇时，离B地的路程是10千米．
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