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【50道解答题·强化训练】沪科版数学七年级下册期末总复习
1．光线从空气中射入水中会产生折射现象，同时光线从水中射入空气中也会产生折射现象，如图，光线a从空气中射入水中，再从水中射入空气中，形成光线b，根据光学知识有，，请判断光线a与光线b是否平行，并说明理由.
2．解不等式组 并写出它的所有整数解．
3．如图，将△ABC沿BC边向右平移得到△DEF、
（1）若∠B=70°，∠F=40°，求∠EDF的度数：
（2）若△ABC的周长为10，AD=2， 求四边形ABFD的周长、
4．如图，AB∥CD，点E是CD上一点，∠AEC＝42°，EF平分∠AED交AB于点F，求∠AFE的度数.
5．
（1）解分式方程： ；
（2）解不等式组
6．某学校为顺利开展九年级物理、化学实验操作考试，培养学生的动手操作能力，计划采购一批物理和化学实验器材，购买物理实验器材用了2430元，购买化学实验器材用了1440元，购买的物理实验器材的数量是化学实验器材的1.5倍，物理实验器材单价比化学实验器材单价贵6元．
（1）求物理、化学实验器材的单价分别为多少元？
（2）该学校计划再购买物理、化学实验器材共100套，再购买总费用不超过5000元，那么该校此次计划最多能购买多少套物理实验器材？
7．某品牌羽毛球拍售价 120元/副，羽毛球售价5元/只．王教练计划购买一批羽毛球拍和羽毛球，实体店和网店有不同的促销活动，具体信息如下：
店铺 球拍优惠信息 赠品 配送方式
实体店 球拍打9折 每购买一副球拍赠送一只羽毛球 免费送货上门
网店 若购买球拍不超过10副，不打折；若购买球拍超过10副，则超过部分打8折． 每购买一副球拍赠送两只羽毛球 包邮送货上门
（1）若王教练想要购买20副球拍和40只羽毛球，请你帮王教练分别计算实体店、网店两家店铺优惠后的实际付款金额，判断在哪家店购买更优惠；
（2）若王教练计划购买n副球拍和2n只羽毛球，请用含n的代数式分别表示在实体店、网店购买时，优惠后的实际付款金额；
（3）若王教练有5000元预算，希望尽可能多地购买羽毛球拍，请问最多可购买多少副球拍 购买球拍后剩余的钱还可以购买多少只羽毛球
8．如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了2个单位长度到达点，点表示，设点所表示的数为．
（1）实数的值是　 　；
（2）求的值；
（3）在数轴上还有、两点分别表示实数和，且有与互为相反数，求的平方根．
9．（1）因式分解：4a2（x﹣y）﹣9（x﹣y）；
（2）先化简：，再从1、2、3、﹣1、﹣2中选一个合适的数代入求值．
10．嘉淇准备完成题目：解不等式组时，发现常数“”印刷不清楚．
（1）他把“”猜成，请你解不等式组；
（2）王老师说：我做一下变式，若不等式组的解集为，请求常数“”的取值范围．
11．解分式方程
12．如图，点D、E、F分别在三角形ABC的三条边上，点G在DF上，若∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B，DE与BC所在的直线存在什么位置关系？请详细说明理由．
13．先化简，再求值：，其中．
14． 如图， 直线.垂足为O，直线EF 经过点O， 求 的度数.
15．利用数轴求出不等式组的解集．．
16．近年来，我国逐步完善养老金保险制度，甲、乙两人计划用相同的年数分别缴纳养老保险金15万元和10万元，甲计划比乙每年多缴纳养老保险金0.2万元．求甲、乙两人计划每年分别缴纳养老保险金多少万元？
17．某车间加工1500个零件后，由于技术革新，工作效率提高到原来的倍，当再加工同样多的零件时，用时比以前少．该车间技术革新前每小时加工多少个零件？
18． 解不等式组，并把它的解集在如图所示的数轴上表示出来．
19．如图，在△ABC中，∠AED＝80°，BD是∠ABC的平分线，DE∥BC，求∠EDB的度数．
20．解方程：
（1）
（2）
21．某物流公司现有114吨货物，计划同时租用A，B两种车，经理发现一个运货货单上的一个信息是：
A型车（满载） B型车（满载） 运货总量
3辆 2辆 38吨
1辆 3辆 36吨
根据以上信息，解答下列问题：
（1）1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货多少吨？
（2）若物流公司打算用两种型号的车一次运完，且恰好每辆车都装满货物，请你帮该物流公司设计租车方案；
（3）若A型车每辆需租金800元/次，B型车每辆需租金1000元/次，那么最少租车费是多少元？此时的租车方案是什么？
22． 某软件公司开发了一种数学软件，已知前期投入的开发和广告宣传费用共50000元，且每售出一套软件，软件公司还需支付安装调试费200元.如果每套软件按定价700元出售，那么软件公司至少要售出多少套软件才能确保不亏本
23．（填写结果或理由）
如图，已知直线a∥b，∠4=60°，求∠1，∠3 的度数.
解：∵a∥b（已知）
∴∠1=∠2 （ ）
又∵∠2=∠4（ ）
∠4=60°（已知）
∴∠1=∠4= _▲_°（等量代换）
又∵∠3+∠4=180°
∴∠3= _▲_°.
24．在“新冠病毒”防控期间，某医疗器械公司分两次购进酒精消毒液与测温枪两种商品进行销售，两次购进同一商品的进价相同，具体情况如表所示：
项目 购进数量（件） 购进所需费用（元）
酒精消毒液 测温枪
第一次 40 50 10600
第二次 20 70 14300
（1）求酒精消毒液和测温枪两种商品每件的进价分别是多少元；
（2）公司决定酒精消毒液以每件20元出售，测温枪以每件230元出售．为满足市场需求，需购进这两种商品共1000件，且酒精消毒液的数量不少于测温枪数量的4倍，求该公司销售完上述1000件商品获得的最大利润．
25．先化简，再求值： ，其中 ．
26．某服装厂加工、两种款式的运动服共件，加工种运动服的成本为每件元，加工种运动服的成本为每件元，加工两种运动服的成本共用去元．
（1）、两种运动服各加工多少件？
（2）两种运动服共计件送到商场销售，种运动服的售价为元，种运动服的售价为元，销售过程中发现种运动服的销量不好，种运动服卖出一定数量后，商家决定，余下的部分按原价的八折出售，两种运动服全部卖出后，若共获利高于元，则种运动服至少卖出多少件时才可以打折销售？
27．如图，长为ycm，宽为xcm的大长方形被分割为7小块，除阴影A，B外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为2cm.
（1）从图可知，每一个小长方形较长一边长为　 　cm（用含y的代数式表示）.
（2）分别用含x，y的代数式表示阴影部分A，B的面积.
（3）当x=2024，y=12时，求阴影A与阴影B的面积差.
28．某校举办学生书画展览，现要在长方形展厅中划出3个形状、大小完全一样的小长方形(图中阴影部分)区域摆放作品．
（1）如图1，若大长方形的长和宽分别为45米和30米，求小长方形的长和宽．
（2）如图2，若大长方形的长和宽分别为和．
①直接写出1个小长方形的周长与大长方形的周长之比．
②若作品展览区域(阴影部分)面积占展厅面积的，试求的值．
29．和你的同学一起完成，看谁做得又快又对.
（1）用科学记数法表示下列式子的结果.
　 　；
　 　；
　 　.
试根据所填的结果推断 　 　(m，n为正整数).
利用结论计算：
（2）若光在真空中的传播速度为每秒 千米，太阳光射到地球上需要的时间约为 秒，则地球与太阳间的距离约是多少千米
（3）地球的质量约为6×10 3亿吨，太阳的质量约是地球的质量的 倍，那么太阳的质量约是多少亿吨
30．新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”．
（1）判定方程x﹣（3x+1）＝﹣5是不是不等式组的关联方程，并说明理由；
（2）若方程，2（x+1）﹣x＝2.5都是关于x的不等式组的关联方程，求m的取值范围．
31．解不等式组，并把它们的解集表示在数轴上．
32．将下列各数在数轴上表示出来，并按从小到大的顺序用“”号连接起来：，，，．
33．某城市平均每天要处理垃圾700吨，有甲、乙两个垃圾处理厂，已知甲厂每小时可处理垃圾55吨，需费用550元；乙厂每小时可处理垃圾45吨，需费用495元，如果规定该城市处理垃圾的费用不多于7370元，甲厂每天至少处理垃圾多少吨？
34．已知，求的值．
35．解下列不等式(组)，并把解集在数轴上表示出来
（1）－x＞1；
（2）
36． 如图，点O在直线AB 上，∠BOD 与∠COD互补，∠BOC=n∠EOC.
（1）若∠AOD=24°，n=3，求∠DOE的度数.
（2）若∠DOE=90°，求 n的值.
（3）若n=4，设∠AOD=α，求∠DOE 的度数(用含α的代数式表示∠DOE的度数).
37．一辆货车从甲地送货到乙地，速度为a千米/时，然后空车按原路返回时速度为b千米/时，求货车从送货到返回原地的平均速度.
38．某项电力工程按千米记工作量为千米．某工程队承担了此项工程的施工，在完成了千米工作量后，该工程队改进施工技术和方案，每小时比原来多完成千米工作量，结果共用了小时完成了此项工程的施工任务．试问：该工程队改进施工技术和方案后每小时工作量是多少千米？
39． 小颖和小红在化简的过程中，分别给出如下的部分运算过程．
小颖：原式
…
小红：原式
…
（1）小颖解法的依据是　 　，小红解法的依据是　 　．
A．分式的基本性质 B．等式的基本性质 C．乘法结合律 D．乘法分配律
（2）请你选择一种解法，写出完整的解答过程，并从“，，”中选一个合适的数作为的值，代入求该分式的值．
40．某中学在商店购进了A、两种品牌的篮球购买品牌篮球花费了元，购买品牌篮球花费了元，且购买A品牌篮球数量是购买品牌篮球数量的倍，已知购买一个品牌篮球比购买一个品牌篮球多花元．
（1）求购买一个A品牌、一个品牌的篮球各需多少元？
（2）购买后仍供不应求，学校决定再次购进A、两种篮球共个，恰逢该商店对这两种品牌售价进行调整，A品牌售价比第一次购买时提高了元，品牌按第一次购买时售价的折出售如果学校要求此次购买的总费用不超过元，那么该中学此次至少可购买多少个A品牌篮球？
41．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么我们称这个正整数为“和谐数”，如4=22-0，12=42-22，20=62-42，因此，4，12，20这三个数都是“和谐数”.
（1）28和2 016这两个数是“和谐数”吗 为什么
（2）设两个连续偶数为2k+2和2k(其中k取非负整数)，由这两个连续偶数构成的“和谐数”是4的倍数吗 为什么
42．已知n为正整数，且x2n=4
（1）求xn-3·x3(n+1)的值；
（2）求9(x3n)2-13(x2)2n的值．
43．在月历上，我们可以发现一些日期数满足一定的规律。如图是某月的月历，若任意选择图中上下相邻的四个日期(如阴影部分)，将其中四个位置上的数交叉相乘，再相减，例如：3×9-2×10=7，6×12-5×13=7，不难发现，结果都是 7。
（1）请再选择两个类似的部分试一试，看看是否也符合这个规律。
（2）设符合条件的四个日期左上角位置上的数为a，请利用整式的运算对以上的规律加以验证。
44．一副三角尺按如图1的方式叠放，现将含45°角的三角尺ADE固定不动，把含30°角的三角尺ABC绕顶点A顺时针旋转∠α(∠α=∠BAD且0°<∠α<180°)，使两块三角尺至少有一组边平行．
（1）如图2，α=　 　度时，BC∥DE．
（2）请分别在图3、图4内画一种符合要求的图形，标出α，并完成各项填空：
①图3中，当α=　 　度时，　 　∥　 　．
②图4中，当α=　 　度时，　 　∥　 　．
45．【课题学行线的“等角转化”．
如图1，已知点A是外一点，连接，．求的度数．
解：过点A作，
∴_____，______，
又∵．
∴______．
【问题解决】（1）阅读并补全上述推理过程．
【解题反思】从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，， “凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．
【方法运用】（2）如图2，已知，、交于点E，，求的度数．
（3）如图3，若，点P在，外部，请直接写出，，之间的关系．
46．已知：如图1，在三角形ABC中，∠BAC＝40°，∠C＝65°，将线段AC沿直线AB平移得到线段DE，连结AE．
（1）当∠E＝65°时，请说明AE∥BC．
（2）如图2，当DE在AC上方时，且∠E＝2∠BAE﹣29°时，求∠BAE与∠EAC的度数．
（3）在整个运动中，当AE垂直三角形ABC中的一边时，求出所有满足条件的∠E的度数．
47．某数学兴趣小组在一次课外学习与探究中遇到一个新的数学符号，规定如下：
对于三个实数，用表示这三个数中最大的数，例如，．请结合上述材料，解决下列问题：
（1）______，______；
（2）若，求的取值范围；
（3）若，求的值．
48．如图，已知，．点是射线上一动点（与点不重合），，分别平分和交射线于点E，F．
（1）求的度数，若，请直接用含的式子表示；
（2）随着点的运动，设，，与之间的数量关系是否改变？若不改变，请求出此数量关系；若改变，请说明理由；
（3）当时，请直接写出的度数．
49．已知代数式：①4β+1，②，③﹣2，④0，又设k=2n且α，β，n为整数，
（1）讨论n的正负性，判断①、②、③、④这4个代数式中与k相等的可能性？
（2）进一步说明4β+1与两个代数式相等的可能性．
50．
（1）如图1，AB∥CD，则∠E+∠G与∠B+∠F+∠D有何数量关系 并说明理由.
（2）如图 2，若 AB∥CD，你能得到什么结论 请直接写出结论.
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【50道解答题·强化训练】沪科版数学七年级下册期末总复习
1．光线从空气中射入水中会产生折射现象，同时光线从水中射入空气中也会产生折射现象，如图，光线a从空气中射入水中，再从水中射入空气中，形成光线b，根据光学知识有，，请判断光线a与光线b是否平行，并说明理由.
【答案】解：平行，理由如下：
如图，
，
，
，
，
.
【解析】【分析】 平行，理由如下： 根据等角的补角相等得∠5=∠6，由等式性质得∠3+∠5=∠4+∠6，进而根据内错角相等，两直线平行，即可得出结论.
2．解不等式组 并写出它的所有整数解．
【答案】解：原不等式组为
解不等式①得， ．
解不等式②得，x＜2．
∴原不等式组的解集为 ，
∴原不等式组的所有整数解为﹣1，0，1．
【解析】【分析】先分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，在其公共解集内找出符合条件的x的所有整数解即可．
3．如图，将△ABC沿BC边向右平移得到△DEF、
（1）若∠B=70°，∠F=40°，求∠EDF的度数：
（2）若△ABC的周长为10，AD=2， 求四边形ABFD的周长、
【答案】（1）解：△ABC沿BC边向右平移得到∠DEF，∠B=70°
∴∠DEF=∠B=70°，AC//DF
∵∠F=40°
∴∠EDF=180°-∠DEF-∠F=180°-70°-40°=70°
（2）解：△ABC沿BC边向右平移得到∠DEF，AD=2，
∴CF=AD=2，DF=AC
∵△ABC的周长为10
∴四边形ABFD的周长=AB+BC+CF+DF+AD
=△ABC的周长+AD+CF
=10+2+2
=14
∴四边形ABFD的周长为14
【解析】【分析】(1)首先由平移的性质可知∠DEF=∠B，再由三角形的内角和为180°即可求出∠EDF的度数.
（2）由平移的性质可知，平移前后的两个图形中的对应线段相等，观察图形可知DF=AC，CF=AD，然后根据四边形的周长的定义列式计算即可.
4．如图，AB∥CD，点E是CD上一点，∠AEC＝42°，EF平分∠AED交AB于点F，求∠AFE的度数.
【答案】解：∵∠AEC＝42°，
∴∠AED＝180°－∠AEC＝138°.
∵EF平分∠AED，
∴∠DEF＝ ∠AED＝69°.
∵AB∥CD，
∴∠AFE＝∠DEF＝69°.
【解析】【分析】由平角求出∠AED的度数，由角平分线得出∠DEF的度数，再由平行线的性质即可求出∠AFE的度数.
5．
（1）解分式方程： ；
（2）解不等式组
【答案】（1）解：
去分母得：10x-5=2(2x-1)，
解得：x= ，
经检验x= 是原方程的增根，
故原方程无解；
（2） ，
解不等式①得，x≤-1；
解不等式②得，x＜
所以，不等式组的解集为：x≤-1
【解析】【解答】 ，
解不等式①得，x≤-1；
解不等式②得，x＜
所以，不等式组的解集为：x≤-1．
【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可．
6．某学校为顺利开展九年级物理、化学实验操作考试，培养学生的动手操作能力，计划采购一批物理和化学实验器材，购买物理实验器材用了2430元，购买化学实验器材用了1440元，购买的物理实验器材的数量是化学实验器材的1.5倍，物理实验器材单价比化学实验器材单价贵6元．
（1）求物理、化学实验器材的单价分别为多少元？
（2）该学校计划再购买物理、化学实验器材共100套，再购买总费用不超过5000元，那么该校此次计划最多能购买多少套物理实验器材？
【答案】（1）解：设化学实验器材单价为x元，则物理实验器材单价为（x+6）元，
根据题意：，
解得：，
经检验，是分式方程的解，
则化学实验器材单价为48元，则物理实验器材单价为元
（2）解：该校此次计划最多能购买m套物理实验器材，则化学实验器材能购买套，根据题意有：，
解得：，
∵m为整数，
∴m最大取33，
即该校此次计划最多能购买33套物理实验器材．
【解析】【分析】本题主要对分式方程的实际应用，一元一次不等式的应用进行考查．
（1）设化学实验器材单价为x元，则物理实验器材单价为（x+6）元，根据题意列出方程，求解得，所以物理器材54元、化学器材48元．
（2）设该校此次计划最多能购买m套物理实验器材，则化学实验器材能购买套，根据题意列出一元一次不等式，解得，故最多购买33套物理实验器材．
（1）解：设化学实验器材单价为x元，则物理实验器材单价为（x+6）元，
根据题意：，
解得：，
经检验，是分式方程的解，
则化学实验器材单价为48元，则物理实验器材单价为元
（2）解：该校此次计划最多能购买m套物理实验器材，则化学实验器材能购买套，
根据题意有：，
解得：，
∵m为整数，
∴m最大取33，
即该校此次计划最多能购买33套物理实验器材．
7．某品牌羽毛球拍售价 120元/副，羽毛球售价5元/只．王教练计划购买一批羽毛球拍和羽毛球，实体店和网店有不同的促销活动，具体信息如下：
店铺 球拍优惠信息 赠品 配送方式
实体店 球拍打9折 每购买一副球拍赠送一只羽毛球 免费送货上门
网店 若购买球拍不超过10副，不打折；若购买球拍超过10副，则超过部分打8折． 每购买一副球拍赠送两只羽毛球 包邮送货上门
（1）若王教练想要购买20副球拍和40只羽毛球，请你帮王教练分别计算实体店、网店两家店铺优惠后的实际付款金额，判断在哪家店购买更优惠；
（2）若王教练计划购买n副球拍和2n只羽毛球，请用含n的代数式分别表示在实体店、网店购买时，优惠后的实际付款金额；
（3）若王教练有5000元预算，希望尽可能多地购买羽毛球拍，请问最多可购买多少副球拍 购买球拍后剩余的钱还可以购买多少只羽毛球
【答案】（1）解：若在实体店购买则需付款：（元），
若在网店购买则需付款：（元），
，
答：实体店实际付款金额为2260元，网店实际付款金额为2160元，在网店购买更优惠；
（2）解：在实体店购买则需付款：元，
在网店购买则需付款：
当时，需付款元；
当时，需付款元，
以为购买n副球拍赠送只羽毛球，则无需计算羽毛球费用，
实体店：元；网店：当时，元；当时，元；
（3）解：设购买x副球拍，
元钱购买的球拍数量大于10副，则网店购买比较合适，
，
解得：，
取整数，
球拍的费用为元，
剩余金额为（元），
，
最多可购买49副球拍，剩余钱还可以购买11只羽毛球．
【解析】【分析】（1）根据实体店以及网店的优惠方案列式计算解答；
（2）根据实体店以及网店的优惠方案列代数式即可；
（3）设购买x副球拍，根据题意列不等式求出x的最大整数解，然后求出剩余金额买羽毛球的数量解答即可．
8．如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了2个单位长度到达点，点表示，设点所表示的数为．
（1）实数的值是　 　；
（2）求的值；
（3）在数轴上还有、两点分别表示实数和，且有与互为相反数，求的平方根．
【答案】（1）
（2）解：，则，，
；
答：的值为2．
（3）解：与互为相反数，
，
，，
解得，，
，
．
【解析】【解答】解：
(1) ∵点A 表示数 ，点B所表示的数为m，又∵从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，∴m= +2.
故答案为： +2.
【分析】(1) 通过A， B在数轴上表示的数进行计算即可；
(2) 根据绝对值的意义和实数的混合运算法则计算即可；
(3)根据绝对值、算数平方根的非负性进行解答即可.
9．（1）因式分解：4a2（x﹣y）﹣9（x﹣y）；
（2）先化简：，再从1、2、3、﹣1、﹣2中选一个合适的数代入求值．
【答案】（1）解： 4a2（x﹣y）﹣9（x﹣y）
=（x-y）（4a2-9）
=（x-y）（2a+3）（2a-3）；
（2）解：原式=
=
=
=，
当a=1时，原式=，
【解析】【分析】（1）先提取公因式（x-y），再利用平方差公式因式分解即可；
（2）先利用分式的混合运算化简，再将a的值代入计算即可.
10．嘉淇准备完成题目：解不等式组时，发现常数“”印刷不清楚．
（1）他把“”猜成，请你解不等式组；
（2）王老师说：我做一下变式，若不等式组的解集为，请求常数“”的取值范围．
【答案】（1）解：，
解不等式得，
，
，
解不等式得，
，
，
不等式组的解集为；
（2）解：，
设常数“”为，
，
，
，
不等式的解集为，
又不等式的解集为，
而不等式组的解集为，
，
，
．
【解析】【分析】（1）先补全不等式组，分别解不等式组中的两个不等式，再确定解集的公共部分即可；
（2）设常数“”为m，先解含参不等式组，再根据解集为x>-1，建立关于m的不等式，解不等式即可。
11．解分式方程
【答案】解：原方程可化为 ，
即 ，
移项，得： ，
通分，得： ，
去分母得： ，
去括号，得： ，
移项，合并同类项，得： ，
解得： ，
经检验， 是原方程的解．
【解析】【分析】先去分母，再去括号，然后移项合并同类项，最后系数化为1并检验即可。
12．如图，点D、E、F分别在三角形ABC的三条边上，点G在DF上，若∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B，DE与BC所在的直线存在什么位置关系？请详细说明理由．
【答案】解：DE∥BC，理由如下：
∵∠1+∠DGE＝180°，∠1+∠2＝180°，
∴∠DGE＝∠2，
∴EG∥AB，
∴∠3＝∠ADE，
∵∠3＝∠B，
∴∠B＝∠ADE，
∴DE∥BC．
【解析】【分析】利用邻补角的定义和补角的性质可证得∠DGE＝∠2，结合已知可证得∠B=∠ADE，利用平行线的判定定理，可证得结论.
13．先化简，再求值：，其中．
【答案】解：
当时，
原式=
【解析】【分析】先利用分式的混合运算化简，再将代入计算即可。
14． 如图， 直线.垂足为O，直线EF 经过点O， 求 的度数.
【答案】解：∵∠1=26°
∴；
∵
∴∠DOB=90°，
∴
【解析】【分析】先根据对顶角相等得到，再根据垂直结合题意进行角的运算即可求解。
15．利用数轴求出不等式组的解集．．
【答案】解：，
解不等式①得：x＜1，
解不等式②得：x＞﹣3，
在数轴上表示不等式①、②的解集，得：
，
∴不等式组的解集是：﹣3＜x＜1．
【解析】【分析】先分别解出两个不等式的解集，然后根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无处找”的规律找出不等式组的解集，再利用数轴画出解集即可.
16．近年来，我国逐步完善养老金保险制度，甲、乙两人计划用相同的年数分别缴纳养老保险金15万元和10万元，甲计划比乙每年多缴纳养老保险金0.2万元．求甲、乙两人计划每年分别缴纳养老保险金多少万元？
【答案】解：设乙每年缴纳养老保险金为x万元，则甲每年缴纳养老保险金为（x+0.2）万元，
根据题意得：
去分母得：15x=10x+2，
解得：x=0.4，
经检验x=0.4是分式方程的解，且符合题意，
∴x+0.2=0.4+0.2=0.6（万元），
答：甲、乙两人计划每年分别缴纳养老保险金0.6万元、0.4万元．
【解析】【分析】设乙每年缴纳养老保险金为x万元，则甲每年缴纳养老保险金为（x+0.2）万元，根据“甲计划比乙每年多缴纳养老保险金0.2万元”列出分式方程求解并检验即可。
17．某车间加工1500个零件后，由于技术革新，工作效率提高到原来的倍，当再加工同样多的零件时，用时比以前少．该车间技术革新前每小时加工多少个零件？
【答案】解：设该车间技术革新前每小时加工x个零件，则技术革新后每小时加工个零件，
，
解得：，
经检验，是原分式方程的解；
答：该车间技术革新前每小时加工50个零件．
【解析】【分析】设该车间技术革新前每小时加工x个零件，则技术革新后每小时加工2.5x个零件，根据工作总量除以工作效率等于工作时间及“提高工作效率后， 再加工同样多的零件时，用时比以前少18h ”建立方程，求解并检验即可.
18． 解不等式组，并把它的解集在如图所示的数轴上表示出来．
【答案】解：解不等式①：
，
，
，
；
解不等式②：
，
，
，
；
不等式组的解集为：．
将其表示在数轴上如图所示：
【解析】【分析】根据题意分别解不等式①和②，进而即可得到不等式组的解集，再表示在数轴上即可求解。
19．如图，在△ABC中，∠AED＝80°，BD是∠ABC的平分线，DE∥BC，求∠EDB的度数．
【答案】证明：∵DE∥BC且∠AED＝80°，
∴∠ABC＝AED＝80°；
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠DBC＝∠ABC，
∴∠DBC＝40°，
∴∠EDB＝∠DBC＝40°
【解析】【分析】根据平行线的性质求出 ∠ABC＝AED＝80°，再根据角平分线求出∠DBC＝∠ABC， 最后计算求解即可。
20．解方程：
（1）
（2）
【答案】（1）方程的两边同乘6x，得。
化简，得。
把代入原方程检验，左边=右边，
所以是原方程的解。
（2）方程的两边同乘，得。
化简，得。
把代入公分母，得。
所以不是原方程的根，故原方程无解。
【解析】【分析】（1）先去分母，把分式方程转化为整式方程，求出方程的解。再把该解代入到原方程的分母中进行检验，即可得到原分式方程的解.
（2）先去分母，把分式方程转化为整式方程，求出方程的解。再把该解代入到原方程的分母中进行检验，即可得到原分式方程的解.
21．某物流公司现有114吨货物，计划同时租用A，B两种车，经理发现一个运货货单上的一个信息是：
A型车（满载） B型车（满载） 运货总量
3辆 2辆 38吨
1辆 3辆 36吨
根据以上信息，解答下列问题：
（1）1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货多少吨？
（2）若物流公司打算用两种型号的车一次运完，且恰好每辆车都装满货物，请你帮该物流公司设计租车方案；
（3）若A型车每辆需租金800元/次，B型车每辆需租金1000元/次，那么最少租车费是多少元？此时的租车方案是什么？
【答案】（1）解：设1辆A型车和1辆B型车一次分别可以运货x吨，y吨，
根据题意得：，解得：，
则1辆A型车和1辆B型车一次分别可以运货6吨，10吨；
（2）解：设物流公司需租A型车a辆，B型车b辆，
则有，即
∴，解得：，
∵为正整数，∴a=1，2，…，10，11，12，13，14，15，16，17，18，19.
∵为正整数，∴a=4，9，14，
∴，；，；，.
∴满足条件的租车方案一共有3种，，；，；，.
（3）解：∵A型车每辆需租金800元/次，B型车每辆需租金1000元/次，
当，，租车费用为：元；
当，，租车费用为：元；
当，，租车费用为：元.
∴当租用A型车4辆，B型车9辆时，租车费最少.
【解析】【分析】本题考查二元一次方程组的应用和一元一次不等式组的应用，根据题意找准题中的数量关系是解题关键。
（1）设1辆A型车和1辆B型车一次分别可以运货x吨，y吨；根据题意可列出关于x和y的二元一次方程组，利用加减消元法解得x=6，y=10即可得出答案；
（2）根据题意可知：A型车和B型车运114吨货物，即可设需租A型车a辆，B型车b辆，因为a与b表示的是车辆数，所以a≥0，b≥0，且a和b都是正整数，根据A型车和B型车运114吨货物客流处关于a和b的二元一次方程，结合a和b的范围可确定出具体租车方案；
（3）根据（2）中具体租车方案算出出租车费用即可。
22． 某软件公司开发了一种数学软件，已知前期投入的开发和广告宣传费用共50000元，且每售出一套软件，软件公司还需支付安装调试费200元.如果每套软件按定价700元出售，那么软件公司至少要售出多少套软件才能确保不亏本
【答案】解：设软件公司要售出x套软件才能确保不亏本.
根据题意，得700x≥50000+200x.
解不等式，得x≥100.
答：软件公司至少要售出100套软件才能确保不亏本.
【解析】【分析】根据销售收入大于等于成本列出一元一次不等式，求解即可.
23．（填写结果或理由）
如图，已知直线a∥b，∠4=60°，求∠1，∠3 的度数.
解：∵a∥b（已知）
∴∠1=∠2 （ ）
又∵∠2=∠4（ ）
∠4=60°（已知）
∴∠1=∠4= _▲_°（等量代换）
又∵∠3+∠4=180°
∴∠3= _▲_°.
【答案】解：∵a∥b（已知）
∴∠1=∠2 （两直线平行，同位角相等）
又∵∠2=∠4（对顶角相等）
∠4=60°（已知）
∴∠1=∠4=60°（等量代换）
又∵∠3+∠4=180°（补角的定义）
∴∠3=180°-∠4=120゜.
【解析】【分析】 由a∥b可得∠1=∠2，由对顶角相等可得∠2=∠4=60°，从而得出∠1=∠4=60°，利用邻补角定义可得∠3=180°-∠4，据此计算即得.
24．在“新冠病毒”防控期间，某医疗器械公司分两次购进酒精消毒液与测温枪两种商品进行销售，两次购进同一商品的进价相同，具体情况如表所示：
项目 购进数量（件） 购进所需费用（元）
酒精消毒液 测温枪
第一次 40 50 10600
第二次 20 70 14300
（1）求酒精消毒液和测温枪两种商品每件的进价分别是多少元；
（2）公司决定酒精消毒液以每件20元出售，测温枪以每件230元出售．为满足市场需求，需购进这两种商品共1000件，且酒精消毒液的数量不少于测温枪数量的4倍，求该公司销售完上述1000件商品获得的最大利润．
【答案】（1）解：设酒精消毒液每件的进价为x元，测温枪每件的进价为y元，
根据题意得：，
解得：．
∴酒精消毒液每件的进价为15元，测温枪每件的进价为200元；
（2）解：设购进测温枪m件，获得的利润为W元，则购进酒精消毒液（1000﹣m）件，
根据题意得：
W＝（20﹣15）（1000﹣m）+（230﹣200）m＝25m+5000，
∵酒精消毒液的数量不少于测温枪数量的4倍，
∴1000﹣m≥4m，
解得：m≤200．
又∵在W＝25m+5000中，k＝25＞0，
∴W的值随m的增大而增大，
∴当m＝200时，W取最大值，最大值为25×200+5000＝10000，
∴当购进酒精消毒液800件、购进测温枪200件时，销售利润最大，最大利润为10000元．
【解析】【分析】（1）设酒精消毒液每件的进价为x元，测温枪每件的进价为y元，根据两次进货情况表，可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进测温枪m件，获得的利润为W元，则购进酒精消毒液（1000﹣m）件，根据总利润＝单件利润×购进数量，即可得出W与m之间的函数关系式，由酒精消毒液的数量不少于测温枪数量的4倍，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，再根据一次函数的性质即可解决最值问题．
25．先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】解：
，
当 时，原式
【解析】【分析】先利用分式的混合运算化简，再将x的值代入计算即可。
26．某服装厂加工、两种款式的运动服共件，加工种运动服的成本为每件元，加工种运动服的成本为每件元，加工两种运动服的成本共用去元．
（1）、两种运动服各加工多少件？
（2）两种运动服共计件送到商场销售，种运动服的售价为元，种运动服的售价为元，销售过程中发现种运动服的销量不好，种运动服卖出一定数量后，商家决定，余下的部分按原价的八折出售，两种运动服全部卖出后，若共获利高于元，则种运动服至少卖出多少件时才可以打折销售？
【答案】（1）解：设种运动服加工件，种运动服加工件，根据题意可得：
，
解得：，
答：种运动服加工件，种运动服加工件；
（2）解：设种运动服卖出件时开始打八折销售，根据题意可得：
，
解得：，
答：种运动服至少卖出4件时开始打八折销售.
【解析】【分析】（1）设种运动服加工x件，种运动服加工y件，根据加工A、B两种款式的运动服共100件列出方程x+y=100，根据单价乘以数量等于总价及“ 加工两种运动服的成本共用去9200元 ”列出方程80x+100y=9200，联立两方程，求解即可；
（2）设A种运动服卖出a件时开始打八折销售，则销售a件A款运动服获取的利润为(200-80)a元，销售剩下A款运动服获取的利润为(200×0.8-80)(40-a)元，销售B款运动服获取的利润为60×(220-100)元，然后根据“ 两种运动服全部卖出后，若共获利高于10520元 ”列出不等式，求解取最小整数解即可.
（1）解：设种运动服加工件，种运动服加工件，根据题意可得：
，
解得：，
答：种运动服加工件，种运动服加工件；
（2）解：设种运动服卖出件时开始打八折销售，根据题意可得：
，
解得：，
答：种运动服至少卖出件时开始打八折销售
27．如图，长为ycm，宽为xcm的大长方形被分割为7小块，除阴影A，B外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为2cm.
（1）从图可知，每一个小长方形较长一边长为　 　cm（用含y的代数式表示）.
（2）分别用含x，y的代数式表示阴影部分A，B的面积.
（3）当x=2024，y=12时，求阴影A与阴影B的面积差.
【答案】（1）(y-6)
（2）解：
（3）解：由（2）得：
∵，
∴阴影A与阴影B的面积差为：.
【解析】【解答】解：（1）每一个小长方形较长一边长为cm，
故答案为：.
【分析】（1）根据图形即可得到其结果；
（2）分别根据图形分割后的尺寸，结合长方形面积计算公式计算即可；
（3）结合（2）得到然后把代入计算即可.
28．某校举办学生书画展览，现要在长方形展厅中划出3个形状、大小完全一样的小长方形(图中阴影部分)区域摆放作品．
（1）如图1，若大长方形的长和宽分别为45米和30米，求小长方形的长和宽．
（2）如图2，若大长方形的长和宽分别为和．
①直接写出1个小长方形的周长与大长方形的周长之比．
②若作品展览区域(阴影部分)面积占展厅面积的，试求的值．
【答案】（1）解：设小长方形的长和宽分别为米、米，
由题意得得
答：小长方形的长和宽分别为20米、5米．
（2）解：①．
②作品展览区域(阴影部分)面积占展厅面积的，
，
，
化简得，．
【解析】【解答】解：（2）①
两式相加，得，
个小长方形的周长与大长方形的周长之比是，
即1个小长方形的周长与大长方形的周长之比是．
【分析】⑴、列方程（组）解答图形问题，审清题意后设未知数，根据2小长方形长+小长方形宽=45；2小长方形宽+小长方形长=30；列方程组求解。
⑵、①仿照⑴小题可以列出小长方形长x、宽y，关于大长方形长与宽的方程组，仔细观察方程组，利用加减法思想，两方程相加可得大长方形与小长方形周长的关系；
②、根据面积比得xy与ab之间的关系式，然后利用①将a与b用含x、y的代数式替换（等量代换），进而得关于x、y的等式，化简可得x与y的关系，从而求出所求代数式的值。
29．和你的同学一起完成，看谁做得又快又对.
（1）用科学记数法表示下列式子的结果.
　 　；
　 　；
　 　.
试根据所填的结果推断 　 　(m，n为正整数).
利用结论计算：
（2）若光在真空中的传播速度为每秒 千米，太阳光射到地球上需要的时间约为 秒，则地球与太阳间的距离约是多少千米
（3）地球的质量约为6×10 3亿吨，太阳的质量约是地球的质量的 倍，那么太阳的质量约是多少亿吨
【答案】（1）1×103；1×105；1×1015；10m+n
（2）解：地球与太阳间的距离是：3×105×5×102＝1.5×108（千米）
答：地球与太阳间的距离是1.5×108千米
（3）解：太阳的质量为：6×1013×3.3×105＝1.98×1019（亿吨）
答：太阳的质量是1.98×1019亿吨
【解析】【解答】解：（1）10×100＝1×103；
102×103＝1×105；
108×107＝1×1015；
推断：10m×10n＝10m+n（m，n为正整数）．
故答案为：1×103；1×105；1×1015；10m+n；
【分析】（1）根据科学记数法的形式进行求解即可；
（2）列出相应的式子，结合科学记数法即可求解；
（3）列出相应的式子，结合科学记数法即可求解．
30．新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”．
（1）判定方程x﹣（3x+1）＝﹣5是不是不等式组的关联方程，并说明理由；
（2）若方程，2（x+1）﹣x＝2.5都是关于x的不等式组的关联方程，求m的取值范围．
【答案】（1）是关联方程，理由：
解不等式组，得：，
方程的解为，
∵，∴是关联方程；
（2）解不等式组得解集为，方程的解为，方程的解为，
∵，都在不等式组的解集内，
∴，∴．
所以m的取值范围是．
【解析】【分析】（1）分别解不等式组和一元一次方程，再根据“关联方程"的定义判断即可.
（2）解不等式组得，再解一元一次方程得出方程的解，再根据“关联方程"的定义得出关于m的不等式组，再解之即可.
31．解不等式组，并把它们的解集表示在数轴上．
【答案】解：，
解不等式①得，，
解不等式②得，，
在数轴上表示如下：
所以不等式组的解集为：．
【解析】【分析】先分别解出两个不等式的解集，然后根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无处找”的规律找出不等式组的解集，再利用数轴画出解集即可.
32．将下列各数在数轴上表示出来，并按从小到大的顺序用“”号连接起来：，，，．
【答案】解：如图所示：
所以大小关系为：．
【解析】【分析】将4个实数化简后在数轴上表示，根据数轴上的点由左到右依次增大比较大小即可。
33．某城市平均每天要处理垃圾700吨，有甲、乙两个垃圾处理厂，已知甲厂每小时可处理垃圾55吨，需费用550元；乙厂每小时可处理垃圾45吨，需费用495元，如果规定该城市处理垃圾的费用不多于7370元，甲厂每天至少处理垃圾多少吨？
【答案】解：设甲厂每天处理垃圾x吨，根据题意，得
，
解这个不等式，得，
∴甲厂每天至少处理垃圾330吨．
【解析】【分析】设甲厂每天处理垃圾x吨，根据题意列出不等式求解即可。
34．已知，求的值．
【答案】解：，
，
，
，
，
．
【解析】【分析】把a+2b看成一个整体，将原方程左边利用完全平方公式分解因式后直接开平方可得，再整体代入计算乘方即可．
35．解下列不等式(组)，并把解集在数轴上表示出来
（1）－x＞1；
（2）
【答案】（1）解：－x＞1，
去分母，得5-x-3x>3，
移项，合并同类项，得-4x>-2，
系数化成1，得x<0.5
在数轴上表示如下：
（2），
由4x+6>1-x得：x> 1 ，
由3(x-1)≤x+5得：x≤4 ．
∴ 1数轴上表示如下：
【解析】【分析】（1）先去分母，再移项，合并同类项，系数化为1，即可求得不等式的解集，再将解集表示在数轴上即可；
（2）先分别解出两个不等式的解集，再取两个解集的交集即为不等式组的解集，再将其在数轴上表示出来即可.
36． 如图，点O在直线AB 上，∠BOD 与∠COD互补，∠BOC=n∠EOC.
（1）若∠AOD=24°，n=3，求∠DOE的度数.
（2）若∠DOE=90°，求 n的值.
（3）若n=4，设∠AOD=α，求∠DOE 的度数(用含α的代数式表示∠DOE的度数).
【答案】（1）解：∵∠BOD+∠AOD=180°，∠BOD+∠COD=180°，
∴∠AOD=∠COD=24°，
∴∠AOC=∠AOD+∠COD
∴∠BOC=3∠EOC=132°，
∴∠EOC= ∠BOC= ×132°=44°，
∴∠DOE=∠COD+∠EOC=24°+44°=68°.
（2）解：设∠AOD=x，∵∠BOD+∠AOD=180°，∠BOD+∠COD=180°，
∴∠AOD=∠COD=x，
∴∠AOC=∠AOD+∠COD=x+x=2x，
∴∠BOC=180°-∠AOC=180°- 2x
∵∠BOC=n∠EOC，
∴180°-2x=n(90°-x)，
∴n=2.
（3）解：∵∠BOD+∠AOD=180°，∠BOD+∠COD=180°，
∴∠AOD=∠COD=α，
∴∠AOC=∠AOD+∠COD=α+α
【解析】【分析】(1)根据∠BOD与∠COD互补，平角的意义，可得出∠AOD=∠COD，进而求出∠BOC，再根据∠BOC=3∠EOC，求出∠EOC，最后求出∠DOE；
（2）设∠AOD=x，根据同角的补角相等可得∠AOD=∠COD=x，即可算出∠AOC的度数，根据平角的性质可得∠BOC的度数，根据垂线的性质，可得∠DOE=90°，即可算出∠COE=90°-∠COD的度数，由∠BOC=n∠EOC，代入计算即可算出n的值；
(3)根据同角的补角相等可得∠AOD=∠COD=α，即可算出∠AOC关于α的表达式，根据平角的性质可得∠BOC关于α的表达式，由n=4，即可得出∠BOC=4∠EOC，代入计算即可得出∠EOC关于α的表达式，再根据∠EOD=∠COD+∠EOC代入计算即可得出答案.
37．一辆货车从甲地送货到乙地，速度为a千米/时，然后空车按原路返回时速度为b千米/时，求货车从送货到返回原地的平均速度.
【答案】解：设甲乙两地的路程为S千米，依题意得：
==，
∴ 货车从送货到返回原地的平均速度为千米/小时.
【解析】【分析】利用公式：平均速度=，总路程=往返路程，可以设甲乙两地的路程为S千米，那么，往返路程=2S.总时间=。然后计算、化简即可.
38．某项电力工程按千米记工作量为千米．某工程队承担了此项工程的施工，在完成了千米工作量后，该工程队改进施工技术和方案，每小时比原来多完成千米工作量，结果共用了小时完成了此项工程的施工任务．试问：该工程队改进施工技术和方案后每小时工作量是多少千米？
【答案】解：设该工程队则原来每小时工作量是 千米，
则改进施工技术和方案后每小时工作量是 千米．
依题意得：
解得： 或 （不合题意，舍去）
经检验： 是分式方程的解，
答：改进施工技术和方案后每小时工作量是 千米．
【解析】【分析】根据题意先找出等量关系求出 ，再解方程求解即可。
39． 小颖和小红在化简的过程中，分别给出如下的部分运算过程．
小颖：原式
…
小红：原式
…
（1）小颖解法的依据是　 　，小红解法的依据是　 　．
A．分式的基本性质 B．等式的基本性质 C．乘法结合律 D．乘法分配律
（2）请你选择一种解法，写出完整的解答过程，并从“，，”中选一个合适的数作为的值，代入求该分式的值．
【答案】（1）A；D
（2）解：选择小颖的解法：
，
，
，
，
则原式 = ；
选择小红的解法，
∵当x为2，-2时，原式无意义，
∴当x=1时，原式=.
【解析】【解答】解：（1）观察小颖的解法，依据是分式的基本性质；小红的解法，依据是乘法分配律；
故答案为：A，D
【分析】（1） 小颖 是首先根据分是的基本性质进行同分，先计算括号里面的，然后在进行乘法运算；小红是根据乘法分配律，去括号，先进性乘法运算，再进行加法运算，即可得出答案；
（2）选择小颖的解法，可得出化简结果为，然后根据原分式的意义可选取x=1，进行代入求值即可；选择小红的解法，可得出化简结果为，然后根据原分式的意义可选取x=1，进行代入求值即可。
40．某中学在商店购进了A、两种品牌的篮球购买品牌篮球花费了元，购买品牌篮球花费了元，且购买A品牌篮球数量是购买品牌篮球数量的倍，已知购买一个品牌篮球比购买一个品牌篮球多花元．
（1）求购买一个A品牌、一个品牌的篮球各需多少元？
（2）购买后仍供不应求，学校决定再次购进A、两种篮球共个，恰逢该商店对这两种品牌售价进行调整，A品牌售价比第一次购买时提高了元，品牌按第一次购买时售价的折出售如果学校要求此次购买的总费用不超过元，那么该中学此次至少可购买多少个A品牌篮球？
【答案】（1）解：设购买一个A品牌的篮球需元，则购买一个品牌的篮球需元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：购买一个A品牌的篮球需元，购买一个品牌的篮球需元．
（2）解：设中学此次可购买个A品牌篮球，则购买个品牌篮球，
由题意得：，
解得：，
是整数，
的最小值是，
答：该中学此次至少可购买个A品牌篮球．
【解析】【分析】（1）设购买一个A品牌的篮球需x元，则购买一个品牌的篮球需(x+15)元，根据相等关系“ 购买A品牌篮球数量=2×购买B品牌篮球数量 ”可列关于x的方程，解方程并检验即可求解；
（2）设中学此次可购买a个A品牌篮球，则购买（50-a）个B品牌篮球，根据不等关系“a个A品牌篮球的费用+（50-a）个B品牌篮球的费用≤1600”可列关于a的不等式，解这个不等式并根据a是正整数即可求解.
41．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么我们称这个正整数为“和谐数”，如4=22-0，12=42-22，20=62-42，因此，4，12，20这三个数都是“和谐数”.
（1）28和2 016这两个数是“和谐数”吗 为什么
（2）设两个连续偶数为2k+2和2k(其中k取非负整数)，由这两个连续偶数构成的“和谐数”是4的倍数吗 为什么
【答案】（1）解：28是和谐数，2 016不是和谐数.理由如下：
因为28=82-62，所以28是“和谐数”.
因为2 016不能表示成两个连续偶数的平方差，
所以2 016不是“和谐数”.
（2）解：是.理由如下：
(2k+2)2-(2k)2=4k2+8k+4-4k2=4+8k=4(2k+1)，
因为k为非负整数，所以2k+1一定为正整数.
所以4(2k+1)一定能被4整除，
即由这两个连续偶数构成的“和谐数”是4的倍数.
【解析】【分析】（1）根据题干中的定义及计算方法求解即可；
（2）先利用整式的混合运算求出(2k+2)2-(2k)2=4k2+8k+4-4k2=4+8k=4(2k+1)，再结合4(2k+1)一定能被4整除，即可证出由这两个连续偶数构成的“和谐数”是4的倍数.
42．已知n为正整数，且x2n=4
（1）求xn-3·x3(n+1)的值；
（2）求9(x3n)2-13(x2)2n的值．
【答案】（1）解：∵ x2n=4
∴xn-3·x3(n+1)=xn-3+3n+3=x4n=（x2n）2=42=16.
（2）解：∵ x2n=4
∴9(x3n)2-13(x2)2n= 9(x2n)3-13(x2n)2=9×43-13×42=368.
【解析】【分析】（1）根据幂的乘方及同底数幂的乘法先化简，再代入计算即可；
（2）根据幂的乘方将原式变形，再代入计算即可.
43．在月历上，我们可以发现一些日期数满足一定的规律。如图是某月的月历，若任意选择图中上下相邻的四个日期(如阴影部分)，将其中四个位置上的数交叉相乘，再相减，例如：3×9-2×10=7，6×12-5×13=7，不难发现，结果都是 7。
（1）请再选择两个类似的部分试一试，看看是否也符合这个规律。
（2）设符合条件的四个日期左上角位置上的数为a，请利用整式的运算对以上的规律加以验证。
【答案】（1）解：选择，.
符合规律.
（2）解：若左上角数为a，则右上角数为a+1，左下角数为a+7，右下角数为a+8.
∴.
因此，无论a 取何值（只要对应位置存在日期），交叉相乘再相减的结果恒为7，规律得证.
【解析】【分析】（1）需在月历中选取两组上下相邻的四个日期，按照“交叉相乘再相减”的规则计算，观察结果是否为7；
（2）先依据月历中日期的位置关系（同一列上下差7天，同一行左右差1天），用含 a 的代数式表示出其余三个日期，再通过整式的乘法与加减法运算验证交叉相乘相减的结果是否恒为7.
44．一副三角尺按如图1的方式叠放，现将含45°角的三角尺ADE固定不动，把含30°角的三角尺ABC绕顶点A顺时针旋转∠α(∠α=∠BAD且0°<∠α<180°)，使两块三角尺至少有一组边平行．
（1）如图2，α=　 　度时，BC∥DE．
（2）请分别在图3、图4内画一种符合要求的图形，标出α，并完成各项填空：
①图3中，当α=　 　度时，　 　∥　 　．
②图4中，当α=　 　度时，　 　∥　 　．
【答案】（1）15
（2）60；AD；BC；105；AE；BC
【解析】【解答】解：（1）如图2，∵∠C=∠AED=90°，
∴当C、E、A三点共线时，BC∥DE，
∵∠DAE=45°，∠BAC=30°，
∴∠BAD= ∠α =∠DAE-∠BAC=15°，
即当α=15°时， BC∥DE ；
故答案为：15；
（2）①图3中，当α=60°时，AD∥BC，
∵当α=60°时，∠DAC=∠BAC+∠α=30°+60°=90°，
又∵∠ACB=90°，
∴∠ACB+∠CAD=90°+90°=180°，
∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）；
故答案为：60，AD，BC；
②如图4，当α=105°时，AE∥BC，
∵当α=105°时，∠BAE=∠α-∠DAE=105°-45°=60°
又∵∠ABC=60°，
∴∠ABC=∠BAE=60°，
∴AE∥BC（内错角相等，两直线平行）.
故答案为：105，AE，BC.
【分析】（1）由于∠C=∠AED=90°，故当C、E、A三点共线时，BC∥DE，进而根据学具的性质结合图形，由角的和差计算可得答案；
（2）①②按△ABC旋转过程中的不同情形，①BC∥DE，②BC∥AD，③BC∥AE，④AC∥DE，⑤AB∥DE，选其中两种进行计算即可.
45．【课题学行线的“等角转化”．
如图1，已知点A是外一点，连接，．求的度数．
解：过点A作，
∴_____，______，
又∵．
∴______．
【问题解决】（1）阅读并补全上述推理过程．
【解题反思】从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，， “凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．
【方法运用】（2）如图2，已知，、交于点E，，求的度数．
（3）如图3，若，点P在，外部，请直接写出，，之间的关系．
【答案】解：（1）；；；
（2）过点E作，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3），理由见解析
【解析】【解答】解：（1）过点A作，
∴，，
又∵，
∴，
故答案为：；；；
（3），
理由：过点P作，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
【分析】（1）过点A作，则，，再根据角之间的关系即可求出答案.
（2）过点E作，根据直线平行性质即可求出答案.
（3）过点P作，根据直线平行性质即可求出答案.
46．已知：如图1，在三角形ABC中，∠BAC＝40°，∠C＝65°，将线段AC沿直线AB平移得到线段DE，连结AE．
（1）当∠E＝65°时，请说明AE∥BC．
（2）如图2，当DE在AC上方时，且∠E＝2∠BAE﹣29°时，求∠BAE与∠EAC的度数．
（3）在整个运动中，当AE垂直三角形ABC中的一边时，求出所有满足条件的∠E的度数．
【答案】（1）证明：∵将线段AC沿直线AB平移得到线段DE，
∴AC∥DE，
∴∠CAE＝∠E＝65°，
∴∠C＝∠CAE，
∴AE∥BC；
（2）解：∵将线段AC沿直线AB平移得到线段DE，
∴DE∥AC，
∴∠BAC＝∠BDE＝40°，∠E＝∠EAC，
∴∠E+∠BAE＝40°，
∵∠E＝2∠BAE﹣29°，
∴∠BAE＝23°，∠E＝17°，
∴∠EAC＝17°；
（3）解：如图2，当AE⊥BC时，
∵∠BAC＝40°，∠C＝65°，
∴∠ABC＝75°，
∵AE⊥BC，
∴∠BAE＝15°，
∵∠BDE＝40°，
∴∠E＝25°；
如图3，当AE⊥AC时，
∵AC∥DE，
∴∠E＝∠CAE＝90°，
③如图4，当AE⊥AB时，
∵∠BAC＝40°，
∴∠CAE＝90°﹣∠BAC＝50°，
∵AC∥DE，
∴∠E＝∠CAE＝50°，
综上所述：∠E＝25°或50°或90°．
【解析】【分析】（1）根据平移的性质可得，根据平行线的性质可得，再根据平行线的判定可得结论；
（2）根据平移的性质可得DE∥AC，根据平行线的性质可得，再根据三角形外角的性质可得，然后结合已知可得答案；
（3）分三种情况讨论：当AE⊥BC时；当AE⊥AC时；当AE⊥AB时；分别利用平行线的性质求解即可．
47．某数学兴趣小组在一次课外学习与探究中遇到一个新的数学符号，规定如下：
对于三个实数，用表示这三个数中最大的数，例如，．请结合上述材料，解决下列问题：
（1）______，______；
（2）若，求的取值范围；
（3）若，求的值．
【答案】（1）解：根据表示这三个数中最大的数，
可得，.
（2）解：因为，所以，解得，
所以的取值范围为：.
（3）解：由，
所以，当，即时，，，
解得：，不在范围内，不符合题意；
当时，，而，故不符合题意；
当时，，，
解得：，符合题意；
综上所述，的值为．
【解析】【分析】（1）根据三个实数，用表示这三个数中最大的数，即可得到答案；
（2）由，得出不等式组，求解不等式组，即可得到答案；
（3）由，可得分三种情况进行讨论：当时；当时；当时，分别求解即可得到答案．
（1）解：根据题意可得：
，，
故答案为：，；
（2）解：，
，
解得，
的取值范围为：；
（3）解：，
当，即时，，
，
解得：，不在范围内，不符合题意；
当时，，而，故不符合题意；
当时，，
，
解得：，符合题意；
综上所述，的值为．
48．如图，已知，．点是射线上一动点（与点不重合），，分别平分和交射线于点E，F．
（1）求的度数，若，请直接用含的式子表示；
（2）随着点的运动，设，，与之间的数量关系是否改变？若不改变，请求出此数量关系；若改变，请说明理由；
（3）当时，请直接写出的度数．
【答案】（1）解：∵，，
∴，
∴
∵分别平分和，
∴
∴；
．
（2）解：不变．恒为，理由如下：
∵，
∴
∵平分，
∴，
∴．
（3）解：．
【解析】【解答】解：（3）∵
又CE平分
在（1）中可知
故填：
【分析】（1）根据两直线平行同旁内角互补的定理，可得的代数式，由图可知下面的等量关系式：，已知 CE、CF平分后两个角，根据角平分线定义，可得示的代数式；
（2）根据两直线平行内错角相等的定理，把和角等量平移到中，根据角平分线的定义，可得 ，只要两直线的平行关系存在， 的数量关系就存在；
（3）在前两问的基础上，根据平行关系、角平分线定义进行等量代换，可得所求角等于，而已在（1）中可求，故的度数就是55°。
49．已知代数式：①4β+1，②，③﹣2，④0，又设k=2n且α，β，n为整数，
（1）讨论n的正负性，判断①、②、③、④这4个代数式中与k相等的可能性？
（2）进一步说明4β+1与两个代数式相等的可能性．
【答案】解：（1）因为：①4β+1=22β+2，②=21﹣2α，k=2n且α，β，n为整数，
所以k=2n不能等于0，也不能等于﹣2，
所以①、②、③、④这4个代数式中与k相等的可能性只能是①和②；
（2）不能，理由如下：
因为：①4β+1=22β+2，②=21﹣2α，
若代数式相等时，则有2β+2=1﹣2α，
可得2（α+β）=﹣1，
所以当α，β为整数，其2倍不能是﹣1，
所以4β+1与两个代数式不能相等．
【解析】【分析】将几个代数式进行整理得出：①4β+1=22β+2，②=21﹣2α，再比较即可．
50．
（1）如图1，AB∥CD，则∠E+∠G与∠B+∠F+∠D有何数量关系 并说明理由.
（2）如图 2，若 AB∥CD，你能得到什么结论 请直接写出结论.
【答案】（1）解：∠E+∠G=∠B+∠F+∠D.理由如下：
如图：
过点E作EH//AB，过点F作FN//AB，过点G作GM//CD，
∵AB//CD，
∴AB//EH//FN//GM//CD.
∴∠B=∠BEH，∠EFN=∠HEF，∠NFG=∠FGM，∠D=∠MGD.
∴∠B+∠EFN+∠NFG+∠D=∠BEH+∠HEF+∠FGM+∠MGD.
∵∠EFN+∠NFG=∠EFG，∠BEH+∠HEF=∠BEF，∠FGM+∠MGD=∠FGD，
∴∠B+∠EFG+∠D=∠BEF+∠FGD.
即∠E+∠G=∠B+∠F+∠D.
（2）解：
【解析】【解答】解：（2）由图1的结论，同理可证： .
故答案为：
【分析】（1）过点E作EH//AB，过点F作FN//AB，过点G作GM//CD，利用平行公理推论得到AB//EH//FN//GM//CD.再利用平行线的性质"两直线平行，内错角相等"之后将各等式相加即可得到结论.
（2）根据第（1）问的结论总结规律求解第2问即可.
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