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(共63张PPT)
第3讲　自由落体和竖直上抛运动
1.掌握自由落体运动和竖直上抛运动的特点，并能解决实际问题。 2.理解竖直上抛运动的对称性和多解性。
目标
要求
1
强基础 固本增分
2
研考点 精准突破
3
限时规范训练
栏
目
导
引
一、自由落体
1．定义：只受______作用，由静止开始(v0＝0)，加速度为___的匀加速直线运动。
2．自由落体运动规律
(1)速度公式：v＝______。
(2)位移公式：h＝。
(3)速度与位移关系式：v2＝_________。
强基础
固本增分
重力
g
gt
2gh
3．伽利略对自由落体运动的研究
(1)伽利略通过____________的方法推翻了亚里士多德的“重的物体下落得快”的结论。
(2)伽利略对自由落体运动的研究方法是逻辑推理→猜想与假设→实验验证→合理外推。这种方法的核心是把实验和____________(包括数学演算)和谐地结合起来。
逻辑推理
逻辑推理
二、竖直上抛
1．定义：只受______作用，___________________________的运动。
2．竖直上抛运动规律
(1)速度公式：v＝_______________。
(2)位移公式：h＝____________。
(3)速度与位移关系式：__________________＝－2gh。
重力
初速度方向竖直向上
v0－gt
v0t－
v2－v02
1．判断正误
(1)物体由某高度从静止下落一定做自由落体运动。(　　)
(2)质量大的物体自由落体时的加速度大。(　　)
(3)从水平飞行着的飞机上释放的物体将做自由落体运动。(　　)
(4)做竖直上抛运动的物体，上升到最高点时速度为零而加速度不为零。
(　　)
(5)做竖直上抛运动的物体，在上升阶段速度变化量的方向是向下的。
(　　)
×
×
×
√
√
2．（一题多解）(人教版教材原题改编)有一种“傻瓜”照相机，其光圈(进光孔径)随被摄物体的亮度自动调节，而快门(曝光时间)是固定不变的。为估测某架“傻瓜”照相机的曝光时间，实验者从某砖墙前的高处使一个石子自由落下，拍摄石子在空中的照片如图所示。由于石子的运动，它在照片上留下了一条模糊的径迹。已知石子从地面以上2.5 m的高度下落，每块砖的平均厚度为6 cm，
请估算这架照相机的曝光时间(　　)
A．0.01 s B．0.02 s
C．0.1 s D．0.2 s
B　
解析：B　法一(公式法)：图中AB的实际长度为AB＝0.12 m，A到地面的高度h1＝8.5×6 cm＝0.51 m，B到地面的高度h2＝6.5×6 cm＝0.39 m，设开始下落点为O，则hOA＝H－h1＝1.99 m，hOB＝H－h2＝2.11 m。由hOA＝gt12得t1≈0.63 s，由hOB＝gt22得t2≈0.65 s。曝光时间约为Δt＝t2－t1＝0.02 s，故B正确。
法二(估算法)：石子做自由落体运动到A点的速度为v＝≈6.3 m/s。因为0.12 m远小于1.99 m，故可以近似地将AB段的运动当作匀速直线运动，故曝光时间约为t＝≈0.02 s，故B正确。
3．(人教版教材原题改编)同学们利用如图所示方法估测反应时间。首先，甲同学捏住直尺上端，使直尺保持竖直状态，直尺零刻度线位于乙同学的两指之间。当乙看见甲放开直尺时，立即用手指捏直尺，若捏住位置的刻度读数为x，则乙同学的反应时间为_________(重力加速度为g)。基于上述原理，某同学用直尺制作测量反应时间的工具，若测量范围为0～0.4 s，则所用直尺的长度至少为________cm(g取10 m/s2)；若以相等时间间隔在该直尺的另一面标记出表示反应时间的刻度线，则每个时间间隔在直尺上对应的长度是_________的(选填“相等”或“不相等”)。
解析：由自由落体运动知识可知，x＝gt2，则t＝ 。根据最长反应时间为0.4 s，可得直尺的最小长度为80 cm。由于自由落体运动是匀变速直线运动，所以相等时间内位移不相等，即直尺上对应的长度不相等。
答案：　80　不相等
考点一　自由落体运动
考向1　重力加速度的理解
(2025·广东汕头一中期中)关于自由落体运动的加速度g，下列说法中正确的是(　　)
A．质量大的物体的g值大
B．g值在地球上任何地方都一样大
C．同一地点，不同物体的g值一样大
D．g值在赤道处大于在北极处
研考点
精准突破
C　
解析：C　地球上同一地点的重力加速度相等，与物体的质量无关，故A错误，C正确；在地球上两极的重力加速度大于赤道处的重力加速度，故B、D错误。
重力加速度与在地球上的位置及距地面的高度有关，在地球表面上，重力加速度随纬度的增加而增大。
考向2　自由落体运动规律的应用
　 (2025·吉林长春二模)某小区发生一起高空坠物案件，警方在调取事发地监控后截取了两个画面，合成图片如图所示，图中黑点为坠落的重物。重物经过A、B两点的时间间隔为0.6 s，各楼层平均高度约为3 m，阴影部分为第14层的消防通道。重物可视为由静止坠落，忽略空气阻力，取重力加速度g＝10 m/s2。请估算：
(1)重物开始坠落的楼层；
(2)重物刚接触地面时的速度大小(计算结果取整数)。
解析：(1)由图片可知，在Δt＝0.6 s时间内下落了约Δh＝6 m的高度，设重物由O点开始下落，OA的距离为h，重物经过OA的时间为t，则h＝gt2，h＋Δh＝g(t＋Δt)2
解得h＝2.45 m
结合图片中A点位置，可确定重物从16楼开始坠落。
(2)设O到地面的距离为H，重物刚接触地面的速度为v，由(1)问结果可知45 m≤H≤48 m
v2＝2gH
解得v＝30 m/s或v＝31 m/s。
答案：(1)16楼　(2)30 m/s或31 m/s
考向3　“推论及比例式”的应用
　 v (多选)(2025·河南新乡开学考)真空中羽毛和钢球从同一高度同时自由下落，如图是用频闪相机得到的信息，已知频闪相机闪光的时间间隔为T，下列说法正确的是(　　)
A．一定满足关系x1∶x2∶x3＝1∶3∶5
B．一定满足关系x3－x2＝x2－x1
C．拍照当地的重力加速度g＝
D．羽毛下落到位置C时的速度大小为
BD　
解析：BD　若A点的速度为0，则满足关系x1∶x2∶x3＝1∶3∶5，但是A点速度无法确定，故不一定满足x1∶x2∶x3＝1∶3∶5，A错误；x1、x2、x3的时间间隔相等，则根据Δx＝aT2，有Δx＝x3－x2＝x2－x1，B正确；拍照当地的重力加速度为g＝，C错误；羽毛下落到位置C时的速度大小就等于BD之间的平均速度，为vC＝，D正确。
(1)从开始下落，连续相等时间内下落的高度之比为1∶3∶5∶7∶…。
(2)Δv＝gΔt。相等时间内，速度变化量相同。
(3)连续相等时间T内下落的高度之差Δh＝gT2。
考向4　多物体自由下落问题
(2025·河北武安一中月考)如图所示，有三架无人机静止在空中，离地面的高度之比h1∶h2∶h3＝3∶2∶1。若同时由静止释放小球a、b、c，不计空气阻力，则以下说法正确的是(　　)
A．a、b、c下落时间之比为3∶2∶1
B．a、b、c落地前瞬间速度大小之比为3∶2∶1
C．a与b落地的时间差小于b与c落地的时间差
D．a与b落地的时间差等于b与c落地的时间差
C
解析：C　根据h＝gt2，可得t＝ ∝，可知a、b、c下落时间之比为ta∶tb∶tc＝∶∶1，则a与b落地的时间差与b与c落地的时间差之比为<1，则a与b落地的时间差小于b与c落地的时间差，故A、D错误，C正确；根据v＝gt，可知a、b、c落地前瞬间速度大小之比为va∶vb∶vc＝ta∶tb∶tc＝∶∶1，故B错误。
考点二　竖直上抛运动
考向1　基本规律的应用
　(2025·四川南充一模)如图所示是某身高约150 cm的儿童正在玩“抓子”游戏，他蹲在地面上将小石子以某一初速度竖直向上抛出，然后又迅速用手抓起地面上的另一小石子， 并将抛出的石子在落地前接住。若某次小石子从A点抛出，上升到最高点B, 不计空气阻力， 重力加速度g取10 m/s2，则该次抛出小石子的初速度约为(　　)
A．1 m/s B．3 m/s
C．5 m/s D．7 m/s
B　
解析：B　由图可知，石子上升的高度约为h＝50 cm，由竖直上抛运动公式可有v02＝2gh，可得该次抛出小石子的初速度约为v0＝ m/s≈3 m/s，故选B。
竖直上抛运动看成加速度为g的匀减速直线运动
　(一题多解)(2025·天津河西期中)在某次跳水比赛中，一位运动员从离水面10 m高的平台上向上跃起，举起双臂竖直离开台面，此时其重心位于从手到脚全长的中点，跃起后重心升高0.45 m达到最高点，落水时身体竖直，手先入水(在此过程中运动员水平方向的运动忽略不计)，求：(计算时，可以把运动员看作全部质量集中在重心的一个质点，g取10 m/s2)
(1)运动员起跳时的速度大小v0；
(2)从离开跳台到手接触水面所经历的时间t(本问结果可保留根号)。
解析：(1)上升阶段有0－v02＝－2gh，代入数据解得v0＝3 m/s。
(2)法一：分段法
上升阶段有0＝v0－gt1
代入数据解得t1＝0.3 s
自由落体运动过程有H＝gt22
其中H＝10 m＋0.45 m＝10.45 m
解得t2＝ s
所以从离开跳台到手接触水面所经历的时间
t＝t1＋t2＝0.3 s＋ s＝ s。
法二：全程法
取竖直向上为正方向，初速度v0＝3 m/s，位移为x＝－10 m
由匀变速直线运动位移与时间的关系得x＝v0t－gt2
解得t＝ s，另一解为负值，舍去。
答案：(1)3 m/s　(2) s
竖直上抛运动的两种研究方法
(1)分段法：将全程分为两个阶段，即上升过程的匀减速阶段和下落过程的自由落体阶段。
(2)全程法：将全过程视为初速度为v0，加速度为a＝－g的匀变速直线运动(g为重力加速度的大小)，必须注意物理量的矢量性。
考向2　竖直上抛运动的对称性
　(2026·清华大学附中期中)小明的叔叔是杂技演员，小明平时也跟叔叔学了一些简单的杂技。图示为小明用一只手抛球、接球的示意图，他每隔0.5 s抛出一个小球，接到小球后便立即抛出。已知除抛、接球的短暂时间外，空中总共有4个小球，将小球的运动近似看成是竖直方向的运动，取重力加速度大小g＝10 m/s2。若高度从抛球点算起，则小球到达的最大高度是(　　)
A．1.25 m B．2.5 m
C．3.2 m D．5.0 m
D　
解析：D　根据竖直上抛的对称性可知，空中的四个球，有两个在上升，两个在下降，由于每隔0.5 s抛出一个，则从抛出到最高点的时间为t＝1 s，则上升的最大高度为h＝×10×12 m＝5 m，故选D。
考向3　竖直上抛运动的多解性
　(多选)(2025·广东肇庆一中开学考)从高为20 m的位置以20 m/s的初速度竖直上抛一物体，g取10 m/s2，当物体与抛出点距离为15 m时，所经历的时间可能是(　　)
A．1 s B．2 s
C．3 s D．s
ACD　
解析：ACD　取竖直向上为正方向，则初速度v0＝20 m/s，当物体运动到抛出点上方离抛出点15 m处时，位移为x＝15 m，由竖直上抛运动的位移与时间关系式得x＝v0t－gt2，解得t1＝1 s，t2＝3 s；当物体运动到抛出点下方离抛出点15 m处时，位移为x′＝－15 m，由x′＝v0t－gt2，解得t3＝s或t4＝s(负值舍去)，A、C、D正确，B错误。
习惯上取v0的方向为正方向，则v>0时，物体正在上升；v<0时，物体正在下降；h>0时，物体在抛出点上方；h<0时，物体在抛出点下方。
[归纳总结]　竖直上抛运动的重要特性
(1)对称性：如图所示，物体以初速度v0竖直上抛，A、B为
途中的任意两点，C为最高点。
①时间对称性：物体上升过程中从A→C所用时间tAC和
下降过程中从C→A所用时间tCA相等，同理有tAB＝tBA。
②速度对称性：物体上升过程经过A点的速度与下降过程经过A点的速度大小相等，方向相反。
(2)多解性：在竖直上抛运动中，当物体经过抛出点上方某一位置时，可能处于上升阶段，也可能处于下落阶段，因此这类问题可能造成时间多解或者速度多解，也可能造成路程多解。
素养拓展　自由落体和竖直上抛运动的相遇问题
1．同时运动，相遇时间的确定
方法1：
相遇时两物体位移之和等于初始距离，即gt2＝H，解得t＝。
方法2：a以b为参照物，a相对b向上做匀速运动，则有H＝v0t，可得t＝。
2．要使a、b相遇，a的初速度v0满足条件的确定
(1)若在a球上升时两球相遇，则有t<，即<，解得v0>。
(2)若在a球下降时两球相遇且相遇处在a球抛出点上方，则有　(多选)(2025·四川绵阳一模)在t＝0时刻，从水平地面以初速度v0竖直上抛一小球a，同时在小球a正上方离地高H处的位置自由释放小球b，重力加速度为g，不计空气阻力，则(　　)
A．若两球同时落地，则v0＝
B．若两球同时落地，则v0＝
C．若a、b能在空中相遇，则相遇的时刻t＝
D．若a、b能在空中相遇，则相遇的时刻t＝
AC
解析：AC　由题可知，根据自由落体运动规律可知，b球落地的时间H＝gtb2，tb＝，故a球在空中运动时间＝tb＝，解得v0＝，A正确，B错误；根据竖直上抛运动和自由落体运动的规律可知，二者在空中相遇的时间为ha＋hb＝H，即有v0t－gt2＝H，解得t＝，C正确，D错误。
(2025·河南郑州模拟)如图所示，长度为0.55 m的圆筒竖直放在水平地面上，在圆筒正上方距其上端1.25 m处有一小球(可视为质点)。在由静止释放小球的同时，将圆筒竖直向上抛出，结果在圆筒落地前的瞬间，小球在圆筒内运动而没有落地，则圆筒上抛的速度大小可能为(空气阻力不计，取g＝10 m/s2)(　　)
A．2.3 m/s B．2.6 m/s
C．3.1 m/s D．3.2 m/s
B
解析：B　小球从释放到落地共用时t1＝ ＝ s＝0.6 s，小球从释放到下落1.25 m共用时t2＝ ＝ s＝0.5 s，设圆筒上抛的初速度为v0，则圆筒在空中的运动时间为t3＝，要使圆筒落地前的瞬间小球在圆筒内运动而没有落地，则圆筒的运动时间要
小于小球的总运动时间，还要大于小球从释放到下落
1.25 m所用时间，即t2＜t3＜t1，则0.5 s＜＜0.6 s，
解得2.5 m/s＜v0＜3 m/s，故选B。
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(建议用时：40分钟　满分：70分)
(选择题1～7题每题5分，8～10题每题6分，12题7分，共60分)
[基础巩固练]
1．(多选)(2026·湖南长郡中学开学检测)关于伽利略对自由落体运动的研究，下列说法正确的是(　　)
A．由实验观察直接得出了自由落体运动的速度随时间均匀变化
B．让铜球沿斜面滚下，冲淡重力使得时间测量变得容易
C．利用斜面实验主要是为了便于测量小球运动的位移
D．创造了实验和逻辑推理相结合的科学方法
限时规范
训练(3)　自由落体和竖直上抛运动
BD　
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解析：BD　是从实验的基础上经过逻辑推理得出了自由落体运动的速度随时间均匀变化，故A错误；让铜球沿斜面滚下，是为了冲淡重力使时间测量变得容易，故B正确，C错误；伽利略创造了实验和逻辑推理相结合的科学方法，故D正确。故选BD。
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2．(2024·广西卷，3)让质量为1 kg的石块P1从足够高处自由下落，P1在下落的第1 s末速度大小为v1，再将P1和质量为2 kg的石块绑为一个整体P2，使P2从原高度自由下落，P2在下落的第1 s末速度大小为v2，g取10 m/s2，则(　　)
A．v1＝5 m/s B．v1＝10 m/s
C．v2＝15 m/s D．v2＝30 m/s
解析：B　自由落体运动的加速度与质量无关，根据v＝gt得v1＝10 m/s，v2＝10 m/s，B正确。
B　
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3．(2025·北京昌平二模)小明做家务时，发现家里自来水的出水情况有这样的特点：当水流不太大时，从水龙头中连续流出的水会形成水柱，从上往下越来越细，如图所示。水柱的横截面可视为圆，在水柱上取两个横截面A、B，粗测A、B的直径之比d1∶d2＝2∶1。则经过A、B处的水流速度大小之比v1∶v2为(　　)
A．4∶1 B．1∶4
C．2∶1 D．1∶2
B　
解析：B　取相同的Δt时间，且Δt→0，则有π2v1Δt＝π2v2Δt，可得经过A、B处的水流速度大小之比为v1∶v2＝d22∶d12＝1∶4，故选B。
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4．(2025·辽宁本溪二模)中国最高的喷泉是位于湖南省长沙市梅溪湖国际文化艺术中心附近的梅溪湖音乐喷泉。这个喷泉喷水高度可达200米左右，是目前中国最高的喷泉之一。梅溪湖音乐喷泉结合了音乐、灯光和水柱的表演，成了当地的一个著名景点，吸引了大量游客前来观赏。如果某时刻喷泉喷出的高度为180 m，重力加速度g取10 m/s2，则水离开喷头的初速度大小约为(　　)
A．18 m/s B．36 m/s
C．60 m/s D．180 m/s
C　
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解析：C　根据竖直上抛运动的规律有v02＝2gh，可得v0＝ m/s＝60 m/s，故选C。
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5．(2025·河北秦皇岛一模)随着社会的进步，世界各地建筑物的高度越来越高。一同学为了估测某建筑物的高度，由楼顶静止释放一物体，测得物体落地前1 s内下落的高度为95 m，重力加速度g取10 m/s2，则该建筑物的高度约为(　　)
A．450 m B．500 m
C．550 m D．600 m
解析：B　设物体下落的时间为t，则测得物体落地前1 s内下落的高度为Δh＝g(t－1)2＝95 m，解得t＝10 s，则该建筑物的高度约为h＝×10×102 m＝500 m，故选B。
B　
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6．(2025·河北一模)某次比赛中运动员将网球竖直向上抛出，并在网球抛出1 s时完成击球。已知网球在上升到最高点的过程中，最初0.4 s与最后0.4 s内上升的高度之比为2∶1，重力加速度g＝10 m/s2，不计空气阻力，则击球瞬间网球至抛出点的距离为(　　)
A．1.2 m B．1 m
C．0.8 m D．0.6 m
B　
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解析：B　网球上升过程中，最后0.4 s内上升的高度h1＝gt2＝0.8 m，可知网球抛出后最初0.4 s内上升的高度h2＝2h1＝1.6 m，设网球抛出时的初速度大小为v0，则有v0t－gt2＝h2，解得v0＝6 m/s，所以击球瞬间网球至抛出点的距离h＝v0t′－gt′2＝1 m(其中t′＝1 s)，故选B。
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7．(多选)(2025·四川资阳高三月考)在塔顶上以大小为20 m/s的初速度将一物体竖直向上抛出，不计空气阻力，设塔足够高。则当物体位移大小为10 m时，物体所经过的时间可能为(　　)
A．s B．s
C． s D．s
解析：ABD　设竖直向上为正方向，当物体的位移大小为10 m时，若在抛出点上方，则有10 m＝v0t－gt2，解得t1＝s或t2＝s；若在抛出点下方，则有－10 m＝v0t－gt2，解得t3＝s或t4＝s(舍去)，故A、B、D正确。
ABD　
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[能力提升练]
8．(2026·上海中学期末)如图所示，两个大小一样的金属小球用长为L的细线连接，a球在上，b球在下，用手拿着a球，测得a球释放时离地面的高度为h，某时刻静止释放a球，两球落地的时间差为Δt，空气阻力忽略不计。下列判断正确的是(　　)
A．b球下落的时间大于
B．a球下落的时间小于
C．重力加速度g＝2
D．b球落地前a球的加速度比b球大
C　
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解析：C　某时刻静止释放a球，a球下落高度为h，b球下落高度为h－L，则根据运动学公式可得h－L＝gt2，则b球下落的时间为t＝，A错误；a球下落的时间为t′＝，B错误；两球落地的时间差为Δt，则Δt＝t′－t＝，故重力加速度为g＝2，b球落地前两球做自由落体运动，则a球的加速度与b球加速度相等，D错误。
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9．(2025·江苏高邮市质检)科技馆中的一个展品如图所示，在较暗处有一个不断均匀滴水的水龙头，在一种特殊的间歇闪光灯的照射下，若调节间歇闪光灯间隔时间正好与水滴从A下落到B的时间相同，可以看到一种奇特的现象，水滴似乎不再下落，而是像固定在图中的A、B、C、D四个位置不动，对出现的这种现象，下列描述正确的是(g取10 m/s2)(　　)
A．水滴在下落过程中通过相邻两点之间的时间满足tABB．闪光的间隔时间是 s
C．水滴在相邻两点间的平均速度满足∶∶＝1∶4∶9
D．水滴在各点的速度之比满足vB∶vC∶vD＝1∶3∶5
B　
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解析：B　由题图可知hAB∶hBC∶hCD＝1∶3∶5，水滴做初速度为零的匀加速直线运动，故水滴在下落过程中通过相邻两点之间的时间相等，A错误；由h＝gt2可得水滴在下落过程中通过相邻两点之间的时间为 s，即闪光的间隔时间是 s，B正确；由知水滴在相邻两点间的平均速度满足∶∶＝1∶3∶5，C错误；由v＝gt知水滴在各点的速度之比满足vB∶vC∶vD＝1∶2∶3，D错误。
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10．(2026·华中师大一附中期中)屋檐上每隔一定时间滴下一滴水，当第6滴正欲滴下时，第1滴刚好落到地面，并且第5滴与第3滴分别位于高0.4 m的窗子的上、下沿，g取10 m/s2，则(　　)
A．滴水的时间间隔为0.2 s
B．屋檐离地面高度为1.25 m
C．第4滴与第2滴水的距离也为0.4 m
D．第1滴水刚好落到地面时，第4滴水的速度大小为4 m/s
B　
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解析：B　设时间间隔为T，第5滴与第3滴分别位于高0.4 m的窗子的上、下沿，则有Δh＝g(3T)2－gT2＝0.4 m，解得T＝0.1 s，A项错误；当第6滴正欲滴下时，第1滴刚好落到地面，从屋檐下落到地面需要的时间间隔为5T，则屋檐离地面高度为H＝g(5T)2＝1.25 m，B项正确；第4滴与第2滴水的距离为d＝g(4T)2－g(2T)2＝0.6 m，C项错误；第1滴水刚好落到地面时，第4滴水的速度大小为v＝g(2T)＝2 m/s，D项错误。
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11．(10分)(2026·河北衡水二中一调)如图所示，AB为空心圆管、C是可视为质点的小球，AB长度为L＝1 m，AB与C在同一竖直线上，AC之间距离为h＝20 m。零时刻，AB做自由落体运动，C从地面以初速度v0开始做竖直上抛运动，g＝10 m/s2。
(1)若小球从A点由静止开始下落，求它落到地面所需的时间；
(2)要使小球C在AB落地前到达B端，v0至少多大？
(3)若小球向上穿过AB段的时间为0.01 s，求小球上抛时
的初速度v0。
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解析：(1)小球从A点由静止开始下落，做自由落体运动，根据位移公式h＝gt2，解得小球落到地面所需的时间为t＝＝2 s。
(2)要使小球C在AB落地前到达B端，则圆管落地的瞬间小球与B点相遇时，v0最小；圆管的落地时间为2 s，此时C恰好与B相遇，则v0t－gt2＝L，解得v0＝10.5 m/s。
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(3)设AB空心圆管与小球C刚接触时的时间为t1，AB空心圆管下落的高度为h1＝gt12，
小球C上升的高度为x1＝v0t1－gt12，则h1＋x1＝h，可得v0t1＝h
设小球C刚穿过AB空心圆管时的时间为t2，AB空心圆管下落的高度为h2＝gt22
小球C上升的高度为x2＝v0t2－gt22，则h2＋x2－L＝h，
得v0t2－L＝h，又t2－t1＝0.01 s
联立得v0＝100 m/s。
答案：(1)2 s　(2)10.5 m/s　(3)100 m/s
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[培优创新练]
12．(多选)(2025·山东济宁高三期中)如图所示，将小球a从地面以初速度v0竖直上抛的同时，将另一相同小球b从地面上方某处由静止释放，两球在空中相遇时速度大小恰好均为v0(不计空气阻力)。重力加速度为g，则
(　　)
A．球b开始下落的高度为
B．球b开始下落的高度为
C．两球同时落地
D．两球落地的时间差为
BD　
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解析：BD　根据自由落体运动规律，依题意有gt＝v0，解得t＝，则从运动开始至两球相遇，a球上升高度为h1＝v0t－，球b已下落的距离为h2＝，则球b开始下落的高度为h＝h1＋h2＝，故A错误，B正确；由题意可知，a球上升的最大高度与b球下落的高度相等，有gt12，解得b球运动的时间为t1＝，而a球做竖直上抛运动，向上匀减速、然后自由落体，根据运动的对称性可知，其运
动时间为t2＝，可知两球不会同时落地，故C错误；
两球落地的时间差为Δt＝t2－t1＝，故D正确。
第3讲　自由落体和竖直上抛运动
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目标 要求 　 　 1.掌握自由落体运动和竖直上抛运动的特点，并能解决实际问题。 2.理解竖直上抛运动的对称性和多解性。
一、自由落体
1．定义：只受重力作用，由静止开始(v0＝0)，加速度为g的匀加速直线运动。
2．自由落体运动规律
(1)速度公式：v＝gt。
(2)位移公式：h＝。
(3)速度与位移关系式：v2＝2gh。
3．伽利略对自由落体运动的研究
(1)伽利略通过逻辑推理的方法推翻了亚里士多德的“重的物体下落得快”的结论。
(2)伽利略对自由落体运动的研究方法是逻辑推理→猜想与假设→实验验证→合理外推。这种方法的核心是把实验和逻辑推理(包括数学演算)和谐地结合起来。
二、竖直上抛
1．定义：只受重力作用，初速度方向竖直向上的运动。
2．竖直上抛运动规律
(1)速度公式：v＝v0－gt。
(2)位移公式：h＝v0t－。
(3)速度与位移关系式：v2－v02＝－2gh。
1．判断正误
(1)物体由某高度从静止下落一定做自由落体运动。(×)
(2)质量大的物体自由落体时的加速度大。(×)
(3)从水平飞行着的飞机上释放的物体将做自由落体运动。(×)
(4)做竖直上抛运动的物体，上升到最高点时速度为零而加速度不为零。(√)
(5)做竖直上抛运动的物体，在上升阶段速度变化量的方向是向下的。(√)
2．（一题多解）(人教版教材原题改编)有一种“傻瓜”照相机，其光圈(进光孔径)随被摄物体的亮度自动调节，而快门(曝光时间)是固定不变的。为估测某架“傻瓜”照相机的曝光时间，实验者从某砖墙前的高处使一个石子自由落下，拍摄石子在空中的照片如图所示。由于石子的运动，它在照片上留下了一条模糊的径迹。已知石子从地面以上2.5 m的高度下落，每块砖的平均厚度为6 cm，请估算这架照相机的曝光时间(　　)
A．0.01 s B．0.02 s
C．0.1 s D．0.2 s
解析：B　法一(公式法)：图中AB的实际长度为AB＝0.12 m，A到地面的高度h1＝8.5×6 cm＝0.51 m，B到地面的高度h2＝6.5×6 cm＝0.39 m，设开始下落点为O，则hOA＝H－h1＝1.99 m，hOB＝H－h2＝2.11 m。由hOA＝gt12得t1≈0.63 s，由hOB＝gt22得t2≈0.65 s。曝光时间约为Δt＝t2－t1＝0.02 s，故B正确。
法二(估算法)：石子做自由落体运动到A点的速度为v＝≈6.3 m/s。因为0.12 m远小于1.99 m，故可以近似地将AB段的运动当作匀速直线运动，故曝光时间约为t＝≈0.02 s，故B正确。
3．(人教版教材原题改编)同学们利用如图所示方法估测反应时间。首先，甲同学捏住直尺上端，使直尺保持竖直状态，直尺零刻度线位于乙同学的两指之间。当乙看见甲放开直尺时，立即用手指捏直尺，若捏住位置的刻度读数为x，则乙同学的反应时间为_________(重力加速度为g)。基于上述原理，某同学用直尺制作测量反应时间的工具，若测量范围为0～0.4 s，则所用直尺的长度至少为________cm(g取10 m/s2)；若以相等时间间隔在该直尺的另一面标记出表示反应时间的刻度线，则每个时间间隔在直尺上对应的长度是_________的(选填“相等”或“不相等”)。
解析：由自由落体运动知识可知，x＝gt2，则t＝ 。根据最长反应时间为0.4 s，可得直尺的最小长度为80 cm。由于自由落体运动是匀变速直线运动，所以相等时间内位移不相等，即直尺上对应的长度不相等。
答案：　80　不相等
考点一　自由落体运动
考向1　重力加速度的理解
　(2025·广东汕头一中期中)关于自由落体运动的加速度g，下列说法中正确的是(　　)
A．质量大的物体的g值大
B．g值在地球上任何地方都一样大
C．同一地点，不同物体的g值一样大
D．g值在赤道处大于在北极处
解析：C　地球上同一地点的重力加速度相等，与物体的质量无关，故A错误，C正确；在地球上两极的重力加速度大于赤道处的重力加速度，故B、D错误。
重力加速度与在地球上的位置及距地面的高度有关，在地球表面上，重力加速度随纬度的增加而增大。
考向2　自由落体运动规律的应用
　(2025·吉林长春二模)某小区发生一起高空坠物案件，警方在调取事发地监控后截取了两个画面，合成图片如图所示，图中黑点为坠落的重物。重物经过A、B两点的时间间隔为0.6 s，各楼层平均高度约为3 m，阴影部分为第14层的消防通道。重物可视为由静止坠落，忽略空气阻力，取重力加速度g＝10 m/s2。请估算：
(1)重物开始坠落的楼层；
(2)重物刚接触地面时的速度大小(计算结果取整数)。
解析：(1)由图片可知，在Δt＝0.6 s时间内下落了约Δh＝6 m的高度，设重物由O点开始下落，OA的距离为h，重物经过OA的时间为t，则h＝gt2，h＋Δh＝g(t＋Δt)2
解得h＝2.45 m
结合图片中A点位置，可确定重物从16楼开始坠落。
(2)设O到地面的距离为H，重物刚接触地面的速度为v，由(1)问结果可知45 m≤H≤48 m
v2＝2gH
解得v＝30 m/s或v＝31 m/s。
答案：(1)16楼　(2)30 m/s或31 m/s
考向3　“推论及比例式”的应用
　(多选)(2025·河南新乡开学考)真空中羽毛和钢球从同一高度同时自由下落，如图是用频闪相机得到的信息，已知频闪相机闪光的时间间隔为T，下列说法正确的是(　　)
A．一定满足关系x1∶x2∶x3＝1∶3∶5
B．一定满足关系x3－x2＝x2－x1
C．拍照当地的重力加速度g＝
D．羽毛下落到位置C时的速度大小为
解析：BD　若A点的速度为0，则满足关系x1∶x2∶x3＝1∶3∶5，但是A点速度无法确定，故不一定满足x1∶x2∶x3＝1∶3∶5，A错误；x1、x2、x3的时间间隔相等，则根据Δx＝aT2，有Δx＝x3－x2＝x2－x1，B正确；拍照当地的重力加速度为g＝，C错误；羽毛下落到位置C时的速度大小就等于BD之间的平均速度，为vC＝，D正确。
(1)从开始下落，连续相等时间内下落的高度之比为1∶3∶5∶7∶…。
(2)Δv＝gΔt。相等时间内，速度变化量相同。
(3)连续相等时间T内下落的高度之差Δh＝gT2。
考向4　多物体自由下落问题
　(2025·河北武安一中月考)如图所示，有三架无人机静止在空中，离地面的高度之比h1∶h2∶h3＝3∶2∶1。若同时由静止释放小球a、b、c，不计空气阻力，则以下说法正确的是(　　)
A．a、b、c下落时间之比为3∶2∶1
B．a、b、c落地前瞬间速度大小之比为3∶2∶1
C．a与b落地的时间差小于b与c落地的时间差
D．a与b落地的时间差等于b与c落地的时间差
解析：C　根据h＝gt2，可得t＝ ∝，可知a、b、c下落时间之比为ta∶tb∶tc＝∶∶1，则a与b落地的时间差与b与c落地的时间差之比为<1，则a与b落地的时间差小于b与c落地的时间差，故A、D错误，C正确；根据v＝gt，可知a、b、c落地前瞬间速度大小之比为va∶vb∶vc＝ta∶tb∶tc＝∶∶1，故B错误。
考点二　竖直上抛运动
考向1　基本规律的应用
　(2025·四川南充一模)如图所示是某身高约150 cm的儿童正在玩“抓子”游戏，他蹲在地面上将小石子以某一初速度竖直向上抛出，然后又迅速用手抓起地面上的另一小石子， 并将抛出的石子在落地前接住。若某次小石子从A点抛出，上升到最高点B, 不计空气阻力， 重力加速度g取10 m/s2，则该次抛出小石子的初速度约为(　　)
A．1 m/s B．3 m/s
C．5 m/s D．7 m/s
解析：B　由图可知，石子上升的高度约为h＝50 cm，由竖直上抛运动公式可有v02＝2gh，可得该次抛出小石子的初速度约为v0＝ m/s≈3 m/s，故选B。
竖直上抛运动看成加速度为g的匀减速直线运动
　（一题多解）(2025·天津河西期中)在某次跳水比赛中，一位运动员从离水面10 m高的平台上向上跃起，举起双臂竖直离开台面，此时其重心位于从手到脚全长的中点，跃起后重心升高0.45 m达到最高点，落水时身体竖直，手先入水(在此过程中运动员水平方向的运动忽略不计)，求：(计算时，可以把运动员看作全部质量集中在重心的一个质点，g取10 m/s2)
(1)运动员起跳时的速度大小v0；
(2)从离开跳台到手接触水面所经历的时间t(本问结果可保留根号)。
解析：(1)上升阶段有0－v02＝－2gh，代入数据解得v0＝3 m/s。
(2)法一：分段法
上升阶段有0＝v0－gt1
代入数据解得t1＝0.3 s
自由落体运动过程有H＝gt22
其中H＝10 m＋0.45 m＝10.45 m
解得t2＝ s
所以从离开跳台到手接触水面所经历的时间
t＝t1＋t2＝0.3 s＋ s＝ s。
法二：全程法
取竖直向上为正方向，初速度v0＝3 m/s，位移为x＝－10 m
由匀变速直线运动位移与时间的关系得x＝v0t－gt2
解得t＝ s，另一解为负值，舍去。
答案：(1)3 m/s　(2) s
竖直上抛运动的两种研究方法
(1)分段法：将全程分为两个阶段，即上升过程的匀减速阶段和下落过程的自由落体阶段。
(2)全程法：将全过程视为初速度为v0，加速度为a＝－g的匀变速直线运动(g为重力加速度的大小)，必须注意物理量的矢量性。
考向2　竖直上抛运动的对称性
　(2026·清华大学附中期中)小明的叔叔是杂技演员，小明平时也跟叔叔学了一些简单的杂技。图示为小明用一只手抛球、接球的示意图，他每隔0.5 s抛出一个小球，接到小球后便立即抛出。已知除抛、接球的短暂时间外，空中总共有4个小球，将小球的运动近似看成是竖直方向的运动，取重力加速度大小g＝10 m/s2。若高度从抛球点算起，则小球到达的最大高度是(　　)
A．1.25 m B．2.5 m
C．3.2 m D．5.0 m
解析：D　根据竖直上抛的对称性可知，空中的四个球，有两个在上升，两个在下降，由于每隔0.5 s抛出一个，则从抛出到最高点的时间为t＝1 s，则上升的最大高度为h＝×10×12 m＝5 m，故选D。
考向3　竖直上抛运动的多解性
　(多选)(2025·广东肇庆一中开学考)从高为20 m的位置以20 m/s的初速度竖直上抛一物体，g取10 m/s2，当物体与抛出点距离为15 m时，所经历的时间可能是(　　)
A．1 s B．2 s
C．3 s D．s
解析：ACD　取竖直向上为正方向，则初速度v0＝20 m/s，当物体运动到抛出点上方离抛出点15 m处时，位移为x＝15 m，由竖直上抛运动的位移与时间关系式得x＝v0t－gt2，解得t1＝1 s，t2＝3 s；当物体运动到抛出点下方离抛出点15 m处时，位移为x′＝－15 m，由x′＝v0t－gt2，解得t3＝s或t4＝s(负值舍去)，A、C、D正确，B错误。
习惯上取v0的方向为正方向，则v>0时，物体正在上升；v<0时，物体正在下降；h>0时，物体在抛出点上方；h<0时，物体在抛出点下方。
[归纳总结]　竖直上抛运动的重要特性
(1)对称性：如图所示，物体以初速度v0竖直上抛，A、B为途中的任意两点，C为最高点。
①时间对称性：物体上升过程中从A→C所用时间tAC和下降过程中从C→A所用时间tCA相等，同理有tAB＝tBA。
②速度对称性：物体上升过程经过A点的速度与下降过程经过A点的速度大小相等，方向相反。
(2)多解性：在竖直上抛运动中，当物体经过抛出点上方某一位置时，可能处于上升阶段，也可能处于下落阶段，因此这类问题可能造成时间多解或者速度多解，也可能造成路程多解。
素养拓展　自由落体和竖直上抛运动的相遇问题
1．同时运动，相遇时间的确定
方法1：
相遇时两物体位移之和等于初始距离，即gt2＝H，解得t＝。
方法2：a以b为参照物，a相对b向上做匀速运动，则有H＝v0t，可得t＝。
2．要使a、b相遇，a的初速度v0满足条件的确定
(1)若在a球上升时两球相遇，则有t<，即<，解得v0>。
(2)若在a球下降时两球相遇且相遇处在a球抛出点上方，则有　(多选)(2025·四川绵阳一模)在t＝0时刻，从水平地面以初速度v0竖直上抛一小球a，同时在小球a正上方离地高H处的位置自由释放小球b，重力加速度为g，不计空气阻力，则(　　)
A．若两球同时落地，则v0＝
B．若两球同时落地，则v0＝
C．若a、b能在空中相遇，则相遇的时刻t＝
D．若a、b能在空中相遇，则相遇的时刻t＝
解析：AC　由题可知，根据自由落体运动规律可知，b球落地的时间H＝gtb2，tb＝，故a球在空中运动时间＝tb＝，解得v0＝，A正确，B错误；根据竖直上抛运动和自由落体运动的规律可知，二者在空中相遇的时间为ha＋hb＝H，即有v0t－gt2＝H，解得t＝，C正确，D错误。
　(2025·河南郑州模拟)如图所示，长度为0.55 m的圆筒竖直放在水平地面上，在圆筒正上方距其上端1.25 m处有一小球(可视为质点)。在由静止释放小球的同时，将圆筒竖直向上抛出，结果在圆筒落地前的瞬间，小球在圆筒内运动而没有落地，则圆筒上抛的速度大小可能为(空气阻力不计，取g＝10 m/s2)(　　)
A．2.3 m/s B．2.6 m/s
C．3.1 m/s D．3.2 m/s
解析：B　小球从释放到落地共用时t1＝ ＝ s＝0.6 s，小球从释放到下落1.25 m共用时t2＝ ＝ s＝0.5 s，设圆筒上抛的初速度为v0，则圆筒在空中的运动时间为t3＝，要使圆筒落地前的瞬间小球在圆筒内运动而没有落地，则圆筒的运动时间要小于小球的总运动时间，还要大于小球从释放到下落1.25 m所用时间，即t2＜t3＜t1，则0.5 s＜＜0.6 s，解得2.5 m/s＜v0＜3 m/s，故选B。
限时规范训练(3)　自由落体和竖直上抛运动
(建议用时：40分钟　满分：70分)
(选择题1～7题每题5分，8～10题每题6分，12题7分，共60分)
[基础巩固练]
1．(多选)(2026·湖南长郡中学开学检测)关于伽利略对自由落体运动的研究，下列说法正确的是(　　)
A．由实验观察直接得出了自由落体运动的速度随时间均匀变化
B．让铜球沿斜面滚下，冲淡重力使得时间测量变得容易
C．利用斜面实验主要是为了便于测量小球运动的位移
D．创造了实验和逻辑推理相结合的科学方法
解析：BD　是从实验的基础上经过逻辑推理得出了自由落体运动的速度随时间均匀变化，故A错误；让铜球沿斜面滚下，是为了冲淡重力使时间测量变得容易，故B正确，C错误；伽利略创造了实验和逻辑推理相结合的科学方法，故D正确。故选BD。
2．(2024·广西卷，3)让质量为1 kg的石块P1从足够高处自由下落，P1在下落的第1 s末速度大小为v1，再将P1和质量为2 kg的石块绑为一个整体P2，使P2从原高度自由下落，P2在下落的第1 s末速度大小为v2，g取10 m/s2，则(　　)
A．v1＝5 m/s B．v1＝10 m/s
C．v2＝15 m/s D．v2＝30 m/s
解析：B　自由落体运动的加速度与质量无关，根据v＝gt得v1＝10 m/s，v2＝10 m/s，B正确。
3．(2025·北京昌平二模)小明做家务时，发现家里自来水的出水情况有这样的特点：当水流不太大时，从水龙头中连续流出的水会形成水柱，从上往下越来越细，如图所示。水柱的横截面可视为圆，在水柱上取两个横截面A、B，粗测A、B的直径之比d1∶d2＝2∶1。则经过A、B处的水流速度大小之比v1∶v2为(　　)
A．4∶1 B．1∶4
C．2∶1 D．1∶2
解析：B　取相同的Δt时间，且Δt→0，则有π2v1Δt＝π2v2Δt，可得经过A、B处的水流速度大小之比为v1∶v2＝d22∶d12＝1∶4，故选B。
4．(2025·辽宁本溪二模)中国最高的喷泉是位于湖南省长沙市梅溪湖国际文化艺术中心附近的梅溪湖音乐喷泉。这个喷泉喷水高度可达200米左右，是目前中国最高的喷泉之一。梅溪湖音乐喷泉结合了音乐、灯光和水柱的表演，成了当地的一个著名景点，吸引了大量游客前来观赏。如果某时刻喷泉喷出的高度为180 m，重力加速度g取10 m/s2，则水离开喷头的初速度大小约为(　　)
A．18 m/s B．36 m/s
C．60 m/s D．180 m/s
解析：C　根据竖直上抛运动的规律有v02＝2gh，可得v0＝ m/s＝60 m/s，故选C。
5．(2025·河北秦皇岛一模)随着社会的进步，世界各地建筑物的高度越来越高。一同学为了估测某建筑物的高度，由楼顶静止释放一物体，测得物体落地前1 s内下落的高度为95 m，重力加速度g取10 m/s2，则该建筑物的高度约为(　　)
A．450 m B．500 m
C．550 m D．600 m
解析：B　设物体下落的时间为t，则测得物体落地前1 s内下落的高度为Δh＝g(t－1)2＝95 m，解得t＝10 s，则该建筑物的高度约为h＝×10×102 m＝500 m，故选B。
6．(2025·河北一模)某次比赛中运动员将网球竖直向上抛出，并在网球抛出1 s时完成击球。已知网球在上升到最高点的过程中，最初0.4 s与最后0.4 s内上升的高度之比为2∶1，重力加速度g＝10 m/s2，不计空气阻力，则击球瞬间网球至抛出点的距离为(　　)
A．1.2 m B．1 m
C．0.8 m D．0.6 m
解析：B　网球上升过程中，最后0.4 s内上升的高度h1＝gt2＝0.8 m，可知网球抛出后最初0.4 s内上升的高度h2＝2h1＝1.6 m，设网球抛出时的初速度大小为v0，则有v0t－gt2＝h2，解得v0＝6 m/s，所以击球瞬间网球至抛出点的距离h＝v0t′－gt′2＝1 m(其中t′＝1 s)，故选B。
7．(多选)(2025·四川资阳高三月考)在塔顶上以大小为20 m/s的初速度将一物体竖直向上抛出，不计空气阻力，设塔足够高。则当物体位移大小为10 m时，物体所经过的时间可能为(　　)
A．s B．s
C． s D．s
解析：ABD　设竖直向上为正方向，当物体的位移大小为10 m时，若在抛出点上方，则有10 m＝v0t－gt2，解得t1＝s或t2＝s；若在抛出点下方，则有－10 m＝v0t－gt2，解得t3＝s或t4＝s(舍去)，故A、B、D正确。
[能力提升练]
8．(2026·上海中学期末)如图所示，两个大小一样的金属小球用长为L的细线连接，a球在上，b球在下，用手拿着a球，测得a球释放时离地面的高度为h，某时刻静止释放a球，两球落地的时间差为Δt，空气阻力忽略不计。下列判断正确的是(　　)
A．b球下落的时间大于
B．a球下落的时间小于
C．重力加速度g＝2
D．b球落地前a球的加速度比b球大
解析：C　某时刻静止释放a球，a球下落高度为h，b球下落高度为h－L，则根据运动学公式可得h－L＝gt2，则b球下落的时间为t＝，A错误；a球下落的时间为t′＝，B错误；两球落地的时间差为Δt，则Δt＝t′－t＝，故重力加速度为g＝2，b球落地前两球做自由落体运动，则a球的加速度与b球加速度相等，D错误。
9．(2025·江苏高邮市质检)科技馆中的一个展品如图所示，在较暗处有一个不断均匀滴水的水龙头，在一种特殊的间歇闪光灯的照射下，若调节间歇闪光灯间隔时间正好与水滴从A下落到B的时间相同，可以看到一种奇特的现象，水滴似乎不再下落，而是像固定在图中的A、B、C、D四个位置不动，对出现的这种现象，下列描述正确的是(g取10 m/s2)(　　)
A．水滴在下落过程中通过相邻两点之间的时间满足tABB．闪光的间隔时间是 s
C．水滴在相邻两点间的平均速度满足∶∶＝1∶4∶9
D．水滴在各点的速度之比满足vB∶vC∶vD＝1∶3∶5
解析：B　由题图可知hAB∶hBC∶hCD＝1∶3∶5，水滴做初速度为零的匀加速直线运动，故水滴在下落过程中通过相邻两点之间的时间相等，A错误；由h＝gt2可得水滴在下落过程中通过相邻两点之间的时间为 s，即闪光的间隔时间是 s，B正确；由知水滴在相邻两点间的平均速度满足∶∶＝1∶3∶5，C错误；由v＝gt知水滴在各点的速度之比满足vB∶vC∶vD＝1∶2∶3，D错误。
10．(2026·华中师大一附中期中)屋檐上每隔一定时间滴下一滴水，当第6滴正欲滴下时，第1滴刚好落到地面，并且第5滴与第3滴分别位于高0.4 m的窗子的上、下沿，g取10 m/s2，则(　　)
A．滴水的时间间隔为0.2 s
B．屋檐离地面高度为1.25 m
C．第4滴与第2滴水的距离也为0.4 m
D．第1滴水刚好落到地面时，第4滴水的速度大小为4 m/s
解析：B　设时间间隔为T，第5滴与第3滴分别位于高0.4 m的窗子的上、下沿，则有Δh＝g(3T)2－gT2＝0.4 m，解得T＝0.1 s，A项错误；当第6滴正欲滴下时，第1滴刚好落到地面，从屋檐下落到地面需要的时间间隔为5T，则屋檐离地面高度为H＝g(5T)2＝1.25 m，B项正确；第4滴与第2滴水的距离为d＝g(4T)2－g(2T)2＝0.6 m，C项错误；第1滴水刚好落到地面时，第4滴水的速度大小为v＝g(2T)＝2 m/s，D项错误。
11．(10分)(2026·河北衡水二中一调)如图所示，AB为空心圆管、C是可视为质点的小球，AB长度为L＝1 m，AB与C在同一竖直线上，AC之间距离为h＝20 m。零时刻，AB做自由落体运动，C从地面以初速度v0开始做竖直上抛运动，g＝10 m/s2。
(1)若小球从A点由静止开始下落，求它落到地面所需的时间；
(2)要使小球C在AB落地前到达B端，v0至少多大？
(3)若小球向上穿过AB段的时间为0.01 s，求小球上抛时的初速度v0。
解析：(1)小球从A点由静止开始下落，做自由落体运动，根据位移公式h＝gt2，解得小球落到地面所需的时间为t＝＝2 s。
(2)要使小球C在AB落地前到达B端，则圆管落地的瞬间小球与B点相遇时，v0最小；圆管的落地时间为2 s，此时C恰好与B相遇，则v0t－gt2＝L，解得v0＝10.5 m/s。
(3)设AB空心圆管与小球C刚接触时的时间为t1，AB空心圆管下落的高度为h1＝gt12，
小球C上升的高度为x1＝v0t1－gt12，则h1＋x1＝h，可得v0t1＝h
设小球C刚穿过AB空心圆管时的时间为t2，AB空心圆管下落的高度为h2＝gt22
小球C上升的高度为x2＝v0t2－gt22，则h2＋x2－L＝h，得v0t2－L＝h，又t2－t1＝0.01 s
联立得v0＝100 m/s。
答案：(1)2 s　(2)10.5 m/s　(3)100 m/s
[培优创新练]
12．(多选)(2025·山东济宁高三期中)如图所示，将小球a从地面以初速度v0竖直上抛的同时，将另一相同小球b从地面上方某处由静止释放，两球在空中相遇时速度大小恰好均为v0(不计空气阻力)。重力加速度为g，则(　　)
A．球b开始下落的高度为
B．球b开始下落的高度为
C．两球同时落地
D．两球落地的时间差为
解析：BD　根据自由落体运动规律，依题意有gt＝v0，解得t＝，则从运动开始至两球相遇，a球上升高度为h1＝v0t－，球b已下落的距离为h2＝，则球b开始下落的高度为h＝h1＋h2＝，故A错误，B正确；由题意可知，a球上升的最大高度与b球下落的高度相等，有gt12，解得b球运动的时间为t1＝，而a球做竖直上抛运动，向上匀减速、然后自由落体，根据运动的对称性可知，其运动时间为t2＝，可知两球不会同时落地，故C错误；两球落地的时间差为Δt＝t2－t1＝，故D正确。限时规范训练(3)　自由落体和竖直上抛运动
(建议用时：40分钟　满分：70分)
(选择题1～7题每题5分，8～10题每题6分，12题7分，共60分)
[基础巩固练]
1．(多选)(2026·湖南长郡中学开学检测)关于伽利略对自由落体运动的研究，下列说法正确的是(　　)
A．由实验观察直接得出了自由落体运动的速度随时间均匀变化
B．让铜球沿斜面滚下，冲淡重力使得时间测量变得容易
C．利用斜面实验主要是为了便于测量小球运动的位移
D．创造了实验和逻辑推理相结合的科学方法
解析：BD　是从实验的基础上经过逻辑推理得出了自由落体运动的速度随时间均匀变化，故A错误；让铜球沿斜面滚下，是为了冲淡重力使时间测量变得容易，故B正确，C错误；伽利略创造了实验和逻辑推理相结合的科学方法，故D正确。故选BD。
2．(2024·广西卷，3)让质量为1 kg的石块P1从足够高处自由下落，P1在下落的第1 s末速度大小为v1，再将P1和质量为2 kg的石块绑为一个整体P2，使P2从原高度自由下落，P2在下落的第1 s末速度大小为v2，g取10 m/s2，则(　　)
A．v1＝5 m/s B．v1＝10 m/s
C．v2＝15 m/s D．v2＝30 m/s
解析：B　自由落体运动的加速度与质量无关，根据v＝gt得v1＝10 m/s，v2＝10 m/s，B正确。
3．(2025·北京昌平二模)小明做家务时，发现家里自来水的出水情况有这样的特点：当水流不太大时，从水龙头中连续流出的水会形成水柱，从上往下越来越细，如图所示。水柱的横截面可视为圆，在水柱上取两个横截面A、B，粗测A、B的直径之比d1∶d2＝2∶1。则经过A、B处的水流速度大小之比v1∶v2为(　　)
A．4∶1 B．1∶4
C．2∶1 D．1∶2
解析：B　取相同的Δt时间，且Δt→0，则有π2v1Δt＝π2v2Δt，可得经过A、B处的水流速度大小之比为v1∶v2＝d22∶d12＝1∶4，故选B。
4．(2025·辽宁本溪二模)中国最高的喷泉是位于湖南省长沙市梅溪湖国际文化艺术中心附近的梅溪湖音乐喷泉。这个喷泉喷水高度可达200米左右，是目前中国最高的喷泉之一。梅溪湖音乐喷泉结合了音乐、灯光和水柱的表演，成了当地的一个著名景点，吸引了大量游客前来观赏。如果某时刻喷泉喷出的高度为180 m，重力加速度g取10 m/s2，则水离开喷头的初速度大小约为(　　)
A．18 m/s B．36 m/s
C．60 m/s D．180 m/s
解析：C　根据竖直上抛运动的规律有v02＝2gh，可得v0＝ m/s＝60 m/s，故选C。
5．(2025·河北秦皇岛一模)随着社会的进步，世界各地建筑物的高度越来越高。一同学为了估测某建筑物的高度，由楼顶静止释放一物体，测得物体落地前1 s内下落的高度为95 m，重力加速度g取10 m/s2，则该建筑物的高度约为(　　)
A．450 m B．500 m
C．550 m D．600 m
解析：B　设物体下落的时间为t，则测得物体落地前1 s内下落的高度为Δh＝g(t－1)2＝95 m，解得t＝10 s，则该建筑物的高度约为h＝×10×102 m＝500 m，故选B。
6．(2025·河北一模)某次比赛中运动员将网球竖直向上抛出，并在网球抛出1 s时完成击球。已知网球在上升到最高点的过程中，最初0.4 s与最后0.4 s内上升的高度之比为2∶1，重力加速度g＝10 m/s2，不计空气阻力，则击球瞬间网球至抛出点的距离为(　　)
A．1.2 m B．1 m
C．0.8 m D．0.6 m
解析：B　网球上升过程中，最后0.4 s内上升的高度h1＝gt2＝0.8 m，可知网球抛出后最初0.4 s内上升的高度h2＝2h1＝1.6 m，设网球抛出时的初速度大小为v0，则有v0t－gt2＝h2，解得v0＝6 m/s，所以击球瞬间网球至抛出点的距离h＝v0t′－gt′2＝1 m(其中t′＝1 s)，故选B。
7．(多选)(2025·四川资阳高三月考)在塔顶上以大小为20 m/s的初速度将一物体竖直向上抛出，不计空气阻力，设塔足够高。则当物体位移大小为10 m时，物体所经过的时间可能为(　　)
A．s B．s
C． s D．s
解析：ABD　设竖直向上为正方向，当物体的位移大小为10 m时，若在抛出点上方，则有10 m＝v0t－gt2，解得t1＝s或t2＝s；若在抛出点下方，则有－10 m＝v0t－gt2，解得t3＝s或t4＝s(舍去)，故A、B、D正确。
[能力提升练]
8．(2026·上海中学期末)如图所示，两个大小一样的金属小球用长为L的细线连接，a球在上，b球在下，用手拿着a球，测得a球释放时离地面的高度为h，某时刻静止释放a球，两球落地的时间差为Δt，空气阻力忽略不计。下列判断正确的是(　　)
A．b球下落的时间大于
B．a球下落的时间小于
C．重力加速度g＝2
D．b球落地前a球的加速度比b球大
解析：C　某时刻静止释放a球，a球下落高度为h，b球下落高度为h－L，则根据运动学公式可得h－L＝gt2，则b球下落的时间为t＝，A错误；a球下落的时间为t′＝，B错误；两球落地的时间差为Δt，则Δt＝t′－t＝，故重力加速度为g＝2，b球落地前两球做自由落体运动，则a球的加速度与b球加速度相等，D错误。
9．(2025·江苏高邮市质检)科技馆中的一个展品如图所示，在较暗处有一个不断均匀滴水的水龙头，在一种特殊的间歇闪光灯的照射下，若调节间歇闪光灯间隔时间正好与水滴从A下落到B的时间相同，可以看到一种奇特的现象，水滴似乎不再下落，而是像固定在图中的A、B、C、D四个位置不动，对出现的这种现象，下列描述正确的是(g取10 m/s2)(　　)
A．水滴在下落过程中通过相邻两点之间的时间满足tABB．闪光的间隔时间是 s
C．水滴在相邻两点间的平均速度满足∶∶＝1∶4∶9
D．水滴在各点的速度之比满足vB∶vC∶vD＝1∶3∶5
解析：B　由题图可知hAB∶hBC∶hCD＝1∶3∶5，水滴做初速度为零的匀加速直线运动，故水滴在下落过程中通过相邻两点之间的时间相等，A错误；由h＝gt2可得水滴在下落过程中通过相邻两点之间的时间为 s，即闪光的间隔时间是 s，B正确；由知水滴在相邻两点间的平均速度满足∶∶＝1∶3∶5，C错误；由v＝gt知水滴在各点的速度之比满足vB∶vC∶vD＝1∶2∶3，D错误。
10．(2026·华中师大一附中期中)屋檐上每隔一定时间滴下一滴水，当第6滴正欲滴下时，第1滴刚好落到地面，并且第5滴与第3滴分别位于高0.4 m的窗子的上、下沿，g取10 m/s2，则(　　)
A．滴水的时间间隔为0.2 s
B．屋檐离地面高度为1.25 m
C．第4滴与第2滴水的距离也为0.4 m
D．第1滴水刚好落到地面时，第4滴水的速度大小为4 m/s
解析：B　设时间间隔为T，第5滴与第3滴分别位于高0.4 m的窗子的上、下沿，则有Δh＝g(3T)2－gT2＝0.4 m，解得T＝0.1 s，A项错误；当第6滴正欲滴下时，第1滴刚好落到地面，从屋檐下落到地面需要的时间间隔为5T，则屋檐离地面高度为H＝g(5T)2＝1.25 m，B项正确；第4滴与第2滴水的距离为d＝g(4T)2－g(2T)2＝0.6 m，C项错误；第1滴水刚好落到地面时，第4滴水的速度大小为v＝g(2T)＝2 m/s，D项错误。
11．(10分)(2026·河北衡水二中一调)如图所示，AB为空心圆管、C是可视为质点的小球，AB长度为L＝1 m，AB与C在同一竖直线上，AC之间距离为h＝20 m。零时刻，AB做自由落体运动，C从地面以初速度v0开始做竖直上抛运动，g＝10 m/s2。
(1)若小球从A点由静止开始下落，求它落到地面所需的时间；
(2)要使小球C在AB落地前到达B端，v0至少多大？
(3)若小球向上穿过AB段的时间为0.01 s，求小球上抛时的初速度v0。
解析：(1)小球从A点由静止开始下落，做自由落体运动，根据位移公式h＝gt2，解得小球落到地面所需的时间为t＝＝2 s。
(2)要使小球C在AB落地前到达B端，则圆管落地的瞬间小球与B点相遇时，v0最小；圆管的落地时间为2 s，此时C恰好与B相遇，则v0t－gt2＝L，解得v0＝10.5 m/s。
(3)设AB空心圆管与小球C刚接触时的时间为t1，AB空心圆管下落的高度为h1＝gt12，
小球C上升的高度为x1＝v0t1－gt12，则h1＋x1＝h，可得v0t1＝h
设小球C刚穿过AB空心圆管时的时间为t2，AB空心圆管下落的高度为h2＝gt22
小球C上升的高度为x2＝v0t2－gt22，则h2＋x2－L＝h，得v0t2－L＝h，又t2－t1＝0.01 s
联立得v0＝100 m/s。
答案：(1)2 s　(2)10.5 m/s　(3)100 m/s
[培优创新练]
12．(多选)(2025·山东济宁高三期中)如图所示，将小球a从地面以初速度v0竖直上抛的同时，将另一相同小球b从地面上方某处由静止释放，两球在空中相遇时速度大小恰好均为v0(不计空气阻力)。重力加速度为g，则(　　)
A．球b开始下落的高度为
B．球b开始下落的高度为
C．两球同时落地
D．两球落地的时间差为
解析：BD　根据自由落体运动规律，依题意有gt＝v0，解得t＝，则从运动开始至两球相遇，a球上升高度为h1＝v0t－，球b已下落的距离为h2＝，则球b开始下落的高度为h＝h1＋h2＝，故A错误，B正确；由题意可知，a球上升的最大高度与b球下落的高度相等，有gt12，解得b球运动的时间为t1＝，而a球做竖直上抛运动，向上匀减速、然后自由落体，根据运动的对称性可知，其运动时间为t2＝，可知两球不会同时落地，故C错误；两球落地的时间差为Δt＝t2－t1＝，故D正确。

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