资源简介

专题突破2　追及和相遇问题
目标 要求 　 　 1.会分析追及相遇问题，掌握追及相遇问题的分析方法和技巧。2.熟练运用运动学公式结合运动学图像解决追及相遇问题。
考点一　解决追及和相遇问题的常用方法
角度1　速度小者追速度大者(以匀加速追匀速为例)
　(一题多解)(2026·辽宁铁岭月考)某一长直的赛道上，一辆赛车前方200 m处有一安全车正以10 m/s的速度匀速前进，这时赛车从静止出发以2 m/s2的加速度追赶。求：
(1)赛车出发3 s末的瞬时速度大小；
(2)赛车追上安全车所需的时间及追上时的速度大小；
(3)追上之前两车的最大距离。
解析：(1)赛车出发3 s末的瞬时速度大小为v1＝a1t1＝2×3 m/s＝6 m/s。
(2)设经t2时间追上安全车，由位移关系得
v0t2＋200 m＝a1t22，解得t2＝20 s或t2＝－10 s(舍去)
此时赛车的速度v＝a1t2＝2×20 m/s＝40 m/s。
(3)法一　物理分析法
当两车速度相等时，两车相距最远
由v0＝a1t3得两车速度相等时，经过的时间
t3＝ s＝5 s，追上之前两车相距最远有
Δxmax＝v0t3＋200 m－a1t32
代入数据解得Δxmax＝225 m。
法二　二次函数法
由题意得，Δx＝10t＋200－t2，
当t＝＝5 s时，Δx有极值，相距最远，
将t＝5 s代入解得Δxmax＝225 m。
法三　图像法
由题意画出v-t图像，
从图像可知，当赛车速度等于安全车速度时，即v0＝a1t＝10 m/s，
得t＝5 s时，相距最远，解得Δxmax＝225 m。
答案：(1)6 m/s　(2)20 s　40 m/s　(3)225 m
匀加速追匀速时，当二者速度相等时，二者距离最大。
[拓展]　（一题多解）若当赛车刚追上安全车时，赛车手立即刹车，使赛车以4 m/s2的加速度做匀减速直线运动，则两车再经过多长时间第二次相遇？(设赛车可以从安全车旁经过而不相碰，用物理分析法和图像法两种方法解题)
提示：法一　物理分析法
假设再经t4时间两车第二次相遇(两车一直在运动)，
由位移关系得vt4－a2t42＝v0t4
解得t4＝15 s
赛车停下来的时间t′＝＝10 s
所以t4＝15 s不符合实际，两车第二次相遇时赛车已停止运动
设再经时间t5两车第二次相遇，应满足＝v0t5，又v＝40 m/s
解得t5＝20 s。
法二　图像法
赛车和安全车的v-t图像如图。由图知t＝10 s赛车停下时，安全车的位移小于赛车的位移，由v0t5＝，解得t5＝20 s。
易错提醒：若被追赶的物体做匀减速直线运动，一定要注意判断被追上前该物体是否已经停止运动。
［方法技巧］　追及和相遇问题的求解方法
(2)解题技巧
①紧抓“一图三式”，即：过程示意图，时间关系式、速度关系式和位移关系式。
②审题应抓住题目中的关键字眼，充分挖掘题目中的隐含条件，如“刚好”“恰好”“最多”“至少”等，往往对应一个临界状态，满足相应的临界条件。
角度2　速度大者追速度小者
　(2026·湖南长沙月考)在赣州市南河大桥扩建工程中，双向桥梁已完成了某一通车方向的建设，为保持双向车辆正常通行，临时将其改成双向车道。如图所示，引桥与桥面对接处，有两车道合并一车道的对接口，A、B两车相距s0＝4 m时，B车正以vB＝4 m/s速度匀速行驶，A车正以vA＝7 m/s的速度借道超越同向行驶的B车，此时A车司机发现前方距离车头s＝16 m处的并道对接口，A、B两车长度均为L＝4 m，且不考虑A车变道过程的影响。
(1)若A车司机放弃超车，且立即驶入与B车相同的行驶车道，A车至少以多大的加速度刹车匀减速，才能避免与B车相撞；
(2)若A车司机加速超车，A车的最大加速度为a＝3 m/s2，请通过计算分析A车能否实现安全超车。
解析：(1)A车减速到与B车同速时，若恰未与B车相碰，则A车将不会与B车相碰，设经历的时间为t
则A车位移xA＝t　①
B车位移xB＝vBt　②
xA－xB＝s0　③
由①②③式联立解得t＝ s
则A车与B车不相碰，刹车时的最小加速度
amin＝ m/s2＝ m/s2。
(2)设A车加速t′时间后车尾到达B车车头，则s0＋2L＝vAt′＋at′2－vBt′
解得t′＝2 s
在此时间内，A车向前运动了
xA1＝vAt′＋at′2
计算可得xA1＝20 m>s＝16 m，说明在离并道对接口16 m的距离上以3 m/s2的加速度加速不能实现安全超车。
答案：(1) m/s2　(2)见解析
速度大者追速度小者，二者速度相等是判断是否追上的临界条件，若此时追不上，二者之间距离有最小值。
[归纳总结]　追及相遇问题的常用分析方法
(1)物理分析法
①抓住“两物体能否同时到达空间某位置”这一关键，认真审题，挖掘题目中的隐含条件，建立物体运动关系的情境图。
②能否追上的判断方法(临界条件法)：
物体甲追赶物体乙，开始时，两个物体相距x0，当v甲＝v乙时，若x甲>x乙＋x0，则能追上；若x甲＝x乙＋x0，则恰好追上；若x甲(2)二次函数法：设运动时间为t，根据条件列方程，得到关于二者之间的距离Δx与时间t的二次函数关系。对于该二次函数关系：
①当Δx＝0时，表示两者相遇。取Δx＝0时，对于关于时间t的一元二次方程，利用根的判别式进行分析。
ⅰ.若Δ>0，即有两个解，说明可以相遇两次；
ⅱ.若Δ＝0，有一个解，说明能刚好追上或相遇；
ⅲ.若Δ<0，无解，说明追不上或不能相遇。
②当t＝－时，函数有极值，代表两者距离的最大或最小值。
(3)图像法：在同一坐标系中画出两物体的运动图像。位移—时间图像的交点表示相遇，分析速度—时间图像时，应抓住速度相等时的“面积”关系找位移关系。
考点二　运动图像中的追及相遇问题
　(2026·福建宁德期中)某兴趣小组举行机器人跑步比赛，甲、乙两机器人均做直线运动。两机器人运动的位移—时间图像如图所示，其中机器人乙的x-t图线是关于x轴对称的抛物线的一部分，则下列说法正确的是(　　)
　
A．机器人甲先做匀减速直线运动后做匀速直线运动
B．机器人甲在0～10 s内的平均速度为－1.5 m/s
C．机器人乙一定做初速度为零的匀变速直线运动
D．在0～10 s内甲、乙机器人相遇两次，且相遇时速度可能相等
解析：C　x-t图线切线的斜率表示瞬时速度，由题图可知甲先沿负方向做匀速直线运动，后保持静止，A错误；甲在0～10 s内的位移为Δx＝(4－10)m＝－6 m，则平均速度为 m/s＝－0.6 m/s，B错误；乙的x-t图线是关于x轴对称的抛物线的一部分，t＝0时斜率为零，说明其运动性质是初速度为零的匀变速直线运动，C正确；在0～10 s内甲、乙机器人的x-t图线相交两次，表示相遇两次，相遇时由于斜率不同，速度不同，D错误。
x-t图像中，图像相交即代表两物体相遇。
　(多选)(2025·遂宁市射洪中学一模)在一大雾天，一辆小汽车以30 m/s的速度行驶在高速公路上，突然发现正前方30 m处有一辆大卡车以10 m/s的速度同方向匀速行驶，小汽车紧急刹车，刹车过程中刹车失灵。如图所示，a、b分别为小汽车和大卡车的v-t图线，以下说法正确的是(　　)
A．刹车失灵前与失灵后，小汽车加速度大小之比为3∶1
B．在t＝5 s时两车发生追尾事故
C．在t＝3 s时两车发生追尾事故
D．若紧急刹车时两车相距40 m，则不会发生追尾事故且两车最近时相距5 m
解析：CD　根据v-t图像的斜率绝对值表示加速度的大小，可知刹车失灵前的加速度大小为a1＝ m/s2＝10 m/s2，刹车失灵后的加速度大小为a2＝ m/s2＝2.5 m/s2，故刹车失灵前与失灵后，小汽车加速度大小之比为a1∶a2＝4∶1，故A错误；根据v-t图像与时间轴所围“面积”大小等于位移，由图知，t＝3 s时b车的位移为xb＝10×3 m＝30 m，a车的位移为xa＝×1 m＋×2 m＝60 m，则有Δx＝xa－xb＝30 m，所以在t＝3 s时追尾，故B错误，C正确；若紧急刹车时两车相距40 m，当速度相等时，a车的位移为xa′＝×1 m＋×4 m＝85 m，b车的位移为xb′＝10×5 m＝50 m，则有Δx′＝xa′－xb′＝35 m<40 m，则不会发生追尾事故，且两车最近时相距d＝40 m－35 m＝5 m，故D正确。
v-t图像中，抓住速度相等时的“面积”关系找两物体的位移关系是关键。
　(2026·河北辛集中学期中)均可视为质点的A、B两物体沿同一直线做同向运动，从0时刻起同时出发，A做匀减速直线运动直至速度为零，整个运动过程中速度平方随位置坐标的变化关系如图甲所示。B做匀加速直线运动，位置坐标随时间的变化关系如图乙所示。已知A、B两物体在同一坐标系中运动，求：
(1)B物体追上A物体之前，二者相距最远的时刻t1；
(2)B物体追上A物体所用的时间t2。
解析：(1)A做匀减速直线运动，根据图甲和运动学公式得
x＝
v02＝576 m2/s2
解得v0＝24 m/s，A的加速度大小aA＝6 m/s2
B做匀加速直线运动，在第1 s内和第2 s内的位移之比为1∶3，可知B做的是初速度为零的匀加速直线运动，1 s时的速度为前2 s的平均速度v＝＝4 m/s
加速度为aB＝＝4 m/s2
当A、B两物体速度相等时，二者相距最远，则
v0－aAt1＝aBt1
解得t1＝2.4 s。
(2)假设A物体停止之前，B物体追上A物体，则
xB＝aBt2
xA＝v0t－aAt2
xA＋2 m＝xB
解得t＝4.9 s
而A物体速度减为零需要的时间为
t′＝＝4 s说明B追上A时，A已经停止，则B物体追上A物体所用的时间t2
＋2 m＝aBt22
解得t2＝5 s。
答案：(1)2.4 s　(2)5 s
限时规范训练(5)　追及和相遇问题
(建议用时：40分钟　满分：65分)
(选择题1～6题每题5分，7～9题每题6分，11题7分，共55分)
[基础巩固练]
1．(2025·北京市东城区一模)甲、乙两辆汽车同时同地向同一方向开始运动，速度v随时间t变化的图像如图所示。在t1时刻甲图线的切线斜率等于乙图线的斜率。下列说法正确的是(　　)
A．0～t2过程中，甲的加速度始终比乙的大
B．t2时刻，乙追上甲
C．t2之后的某个时刻，乙追上甲
D．乙追上甲之前，t1时刻两车相距最远
解析：C　图像的斜率等于加速度，可知0～t2过程中，甲的加速度先大于乙的加速度，后小于乙的加速度，选项A错误；由图像与坐标轴围成的面积等于位移可知，0～t2时间内甲的位移大于乙，即t2时刻，甲在乙前面，因此后乙的速度大于甲，可知t2之后的某个时刻，乙追上甲，选项B错误，C正确；乙追上甲之前，t2时刻两车共速，此时相距最远，选项D错误。故选C。
2．(2026·河北十校高三联考)某停车场中，甲、乙两车分别停在直线道路的A、B两端。 当甲车以10 m/s的速度从A端开始匀减速驶向B端时，对向的乙车从B端由静止开始匀加速启动驶向A端，两车加速度大小均为1 m/s2。已知甲车到达B端时速度恰好减为零，则甲、乙两车相遇时，甲到B端的距离为(　　)
A．2.5 m B．5 m
C．10 m D．12.5 m
解析：D　设甲、乙两车经过时间t相遇，甲车做匀减速直线运动，根据速度－时间公式v＝v0＋at，甲车速度减为零的时间t0＝ s＝10 s，甲车的位移x甲＝v0t－t2，乙车做初速度为零的匀加速直线运动，乙车的位移x乙＝×1t2，又因为x甲＋x乙＝，两车初始距离等于甲车以初速度行驶t0时间的位移，即10t－×1t2＝5×10，解得t＝5 s，则甲到B端的距离x＝×1×52 m＝12.5 m，故选D。
3．(2026 ·重庆市七校高三开学联考)“魔幻城市”重庆的立体交通层叠交错，时时上演着“速度与激情”，小明选取其中两条线路探究车辆的运动。如图所示，轻轨列车与汽车初始时车头齐平，分别从M和N同时向左出发，直道M与车道NO的距离为15 m。列车以初速度10 m/s做匀速直线运动。在长为120 m的直道NO段，汽车先以初速度15 m/s做匀减速直线运动，加速度大小为1 m/s2，速度减为5 m/s后，匀速运动到O。两车均视为质点，则(　　)
A．两车速度相同，经历时间2 s
B．两车速度相同时，相距最近
C．汽车到达O点前，两车不会出现再次齐平
D．汽车到达O点前，两车相距的最远距离为25 m
解析：D　两车速度相同时有v列＝v汽－at1，其中v列＝10 m/s，v汽＝15 m/s，a＝1 m/s2，联立解得t1＝5 s，故A错误；车头齐平开始，匀速追匀减速，共速前距离越来越大，共速时不是相距最近，故B错误；两车再次齐平，经历时间t2，由v列t2＝v汽t2－at22，解得t2＝10 s，此时汽车速度v2＝v汽－at1＝5 m/s，汽车位移x2＝v汽t2－at22＝100 m，汽车距离O点x3＝120 m－x2＝20 m，可知汽车到达O点前，两车会出现再次齐平，故C错误；汽车到达O点时，列车比汽车多运动的位移Δx＝20 m，两车相距最远距离xm＝ m＝25 m，故D正确。故选D。
4．(多选)(2026·河南新未来高三9月测评)实验小组让甲、乙两辆电动玩具小车在同一条平直轨道上运动来研究匀变速直线运动的规律，两小车同时同地出发，甲车的速度与时间关系图像如图1所示，乙车速度的平方与位移的关系图像如图2所示，结合图像所给的信息，分析下列说法正确的是(　　)
A．甲车的加速度大小为0.5 m/s2
B．乙车的加速度大小为2 m/s2
C．乙车在前4 s内的平均速度为8 m/s
D．甲、乙两车相遇的时刻为2 s
解析：BD　根据v-t图像的斜率表示加速度，由图1可得a甲＝ m/s2＝1 m/s2，故A错误；由题知，乙车初速度为0，根据速度位移公式有v2＝2ax，可知v2-x图像的斜率表示加速度的两倍，由图2可得2a乙＝ m/s2，解得a乙＝2 m/s2，故B正确；乙车第4 s末的瞬时速度v4＝a乙t＝2×4 m/s＝8 m/s，故乙车前4 s的平均速度 m/s＝4 m/s，故C错误；设甲、乙两车相遇的时刻为t，甲车的初速度为v0＝1 m/s，则有v0t＋a甲t2＝a乙t2，解得t＝2 s，故D正确。故选BD。
5．(多选)(2026·重庆八中高三9月月考)甲、乙两辆可视为质点的汽车在相邻平直车道上沿同一方向运动。t＝0时刻，以此时乙所在位置为坐标原点，运动方向为正方向建立x坐标轴，乙做匀变速直线运动，其x-t图像如图1所示。甲从t＝0时刻由静止开始运动，其v2-x图像如图2所示。则(　　)
A．甲汽车的加速度大小为 6 m/s2
B．乙汽车出发时的初速度为v＝10 m/s
C．经过6 s，甲追上乙
D．甲追上乙之前两车相距最远的距离为16 m
解析：BD　根据v2－v02＝2a甲x，由v2-x图线可知斜率2a甲＝6 m/s2，解得a甲＝3 m/s2，故A错误；根据x＝v0t＋a乙t2，代入图线给出两组数据可得v0＝10 m/s，a乙＝－2 m/s2，故B正确；由图2知，甲做匀加速时间t1＝＝2 s，2 s后到乙的起点后做匀速运动，速度恒为v＝6 m/s，乙的减速时间t2＝＝5 s，乙的位移x乙＝＝25 m，设经过时间t甲乙相遇，则有6(t－2)＝x乙，解得t≈6.17 s，故C错误；速度相等时，两车相距最远有a甲t′＝v0＋a乙t′，解得t′＝2 s，此时甲正好行驶到乙的初位置，此时距离x＝v0t′＋a乙t′2＝16 m，故D正确。故选BD。
6．(多选)(2026·辽宁高三9月联考)目前新能源汽车迅猛发展，在某次测试中，甲、乙两车(均可视为质点)同时沿相同方向做直线运动，它们的 -t图像如图所示，t＝0时刻，甲车在乙车前方d＝26 m处。下列说法正确的是(　　)
A．乙车追上甲车之前的最大距离为50 m
B．两车相遇的时刻为t1＝10 s
C．t2＝12 s时，乙车超前甲车30 m
D．t＝0时刻，若甲、乙两车初位置互换，其他条件不变，则两车仍可以相遇
解析：ABC　根据位移—时间关系x＝v0t＋at2，整理可得a·t，可知甲、乙的初速度分别为v甲0＝16 m/s，v乙0＝4 m/s，甲、乙的加速度分别为a甲＝－2 m/s2，a乙＝1 m/s2，当两车的速度相等时，乙车追上甲车之前的距离最大，根据速度关系v甲0＋a甲t＝v乙0＋a乙t，可得时间t＝4 s，最大距离为Δxmax＝v甲0t＋a甲t2－(v乙0t＋a乙t2)＋d，代入数据得Δxmax＝50 m，故A正确；甲车速度减为零所需的时间t3＝＝8 s，此时甲、乙两车的距离Δx＝－(v乙0t3＋a乙t32)＋d，代入数据得Δx＝26 m，根据位移时间关系Δx＝(v乙0＋a乙t3)t4＋a乙t42，解得乙追上甲还需要的时间t4＝2 s，两车相遇的时刻为t1＝t3＋t4＝10 s，故B正确；t2＝12 s时，即相遇后2 s时间内，乙车超前甲车的距离Δx′＝(v乙0＋a乙t1)(t2－t1)＋a乙(t2－t1)2，代入数据可得Δx′＝30 m，故C正确；t＝0时刻，若甲、乙两车初位置互换，其他条件不变，两车速度相等时的距离Δx″＝(v乙0t＋a乙t2)－(v甲0t＋a甲t2)＋d，代入数据可得Δx″＝2 m，此后乙车的速度大于甲车，即两车不会相遇，故D错误。故选ABC。
[能力提升练]
7．(多选)(2026·河南濮阳一中高三开学考)A、B两个物体(可以看作质点)沿x轴正方向运动，其中A物体从坐标原点由静止开始运动，它的位置坐标随时间的变化关系如图甲所示(曲线为抛物线；O为抛物线的顶点)，B物体从x0＝12 m处开始运动，速度—时间图像如图乙所示。下列说法中正确的是(　　)
A．B的加速度小于A的加速度
B．相遇前A、B距离最大时A的速度为8 m/s
C．在t＝6 s时A、B相遇
D．A、B可能相遇两次
解析：AC　设A的加速度为a1，结合图甲可知，A做初速度为零的匀加速直线运动，满足xA＝a1t2，解得a1＝3 m/s2，设B的加速度为a2，结合图乙可知vB＝v0＋a2t，解得v0＝4 m/s，a2＝1 m/s2，所以a1>a2，A正确；当A、B速度相等时，A、B距离最大，即满足vA＝a1t1＝v0＋a2t1，解得t1＝2 s，vA＝6 m/s，B错误；B物体发生的位移xB＝v0t＋a2t2，当A、B相遇时有xA＝xB＋x0，解得t＝6 s，C正确；共速时A还没有追上B，共速后A追上B，此时A的速度大于B的速度，且A的加速度大于B的加速度，所以A、B只能相遇一次，D错误。故选AC。
8．(多选)(2025·陕西汉中二模)t＝0时刻起，A、B两物体从同一位置同时向同一方向运动，其速度与位移变化的关系图像如图所示，物体A的图线为平行于横轴的直线，物体B的图线为顶点在原点O、开口向右的抛物线。下列说法正确的是(　　)
A．物体A做匀减速直线运动
B．物体B做匀加速直线运动
C．t＝4 s时两物体的速度相同
D．t＝4 s时两物体相遇
解析：BD　物体A的图线为平行于横轴的直线，物体A做速度大小为4 m/s的匀速直线运动，故A错误；物体B的图线为顶点在原点O、开口向右的抛物线，所以物体B的速度与位移的关系式为x＝，结合题中图像可得a＝2 m/s2，所以物体B由静止开始做匀加速直线运动，故B正确；设A、B两物体在t1时刻速度相等，则有v0＝at1，解得t1＝2 s，故C错误；设A、B两物体在t2时刻相遇，则有v0t2＝at22，解得t2＝4 s，故D正确。
9．(多选)(2026·河南安阳高三调研)两辆汽车沿同一条平直的公路行驶，汽车甲以恒定的速度v＝10 m/s行驶，t＝0时刻汽车甲在汽车乙的前方s＝7.5 m处，汽车乙从0时刻开始刹车，其平均速度随时间的变化规律如图所示。经过一段时间，两辆汽车有两次并排行驶，则下列说法正确的是(　　)
A．汽车乙的加速度大小为2.5 m/s2
B．第二次并排行驶时，汽车乙的速度大小为5 m/s
C．两次并排行驶的时间段内，汽车甲、乙之间的最大距离为2.5 m
D．t＝6 s时，汽车甲、乙之间的距离为37.5 m
解析：BC　根据匀减速直线运动规律，乙刹车时，0时刻乙车速度v′＝v0，则由图像可知乙车初速度v0＝20 m/s，在t＝8 s时，平均速度＝0，则v′＝－20 m/s(取不到)，汽车乙的加速度为a＝＝－5 m/s2，汽车乙的加速度大小为5 m/s2，故A错误；两车并排行驶时x甲＋s＝x乙，即vt＝v0t＋at2－s，解得两车并排行驶的时间t1＝1 s，t2＝3 s，则t2＝3 s时第二次并排行驶，汽车乙的速度大小为v2＝v0＋at2＝5 m/s，故B正确；两车共速时间距最大，此时v＝v0＋at′，解得t′＝2 s，最大间距为Δxmax＝v0t′＋at′2－vt′－s＝2.5 m，故C正确；乙车停下需要t乙＝＝4 s<6 s，所以t＝6 s时，乙车已静止，汽车乙从刹车到静止的总位移为x乙＝v0t乙＋at乙2＝40 m，汽车甲、乙之间的距离为Δx＝vt＋s－x乙＝27.5 m，故D错误。故选BC。
10．(10分)(2026·浙江学军中学期中)随着智能手机的使用越来越广泛，一些人在驾车时也常常低头看手机，然而开车时看手机是一种危险驾驶行为，极易引发交通事故。如图甲所示，一辆出租车在平直公路上以v0＝20 m/s 的速度匀速行驶，此时车的正前方x0＝63.5 m处有一辆电动车，正以v1＝6 m/s的速度匀速行驶，而出租车司机此时开始低头看手机，3.5 s后才发现危险，司机经0.5 s反应时间后，立即采取紧急制动措施。若从司机发现危险开始计时，出租车的速度—时间图像如图乙所示，重力加速度g取10 m/s2。
(1)若出租车前面没有任何物体，从司机开始低头看手机到出租车停止运动的这段时间内，出租车前进的距离是多少？
(2)通过计算判断电动车是否会被撞。若不会被撞，求二者之间的最小距离；若会相撞，求从出租车刹车开始，经过多长时间二者相撞。
解析：(1)根据题意可知，出租车先匀速行驶t1＝3.5 s，然后在反应时间t2＝0.5 s内继续匀速行驶，再匀减速行驶t3＝4.0 s停止，总位移为x＝v0(t1＋t2)＋v0t3＝120 m。
(2)由题图乙可知，出租车做匀减速运动的加速度大小为a＝＝5 m/s2
设两车速度相等时，出租车的刹车时间为Δt，
则有v0－aΔt＝v1，解得Δt＝2.8 s
出租车的位移为
x1＝v0(t1＋t2)＋(v0＋v1)Δt
代入数据可解得x1＝116.4 m
电动车的位移为
x2＝v1(t1＋t2＋Δt)＝40.8 m
因为x1－x2＝75.6 m>63.5 m，故电动车会被撞。
设出租车刹车后经过时间t′电动车被撞，则有
v0(t1＋t2)＋v0t′－at′2＝x0＋v1(t1＋t2＋t′)
代入数据解得t′＝0.6 s(另一解不符合题意，舍去)。
答案：(1)120 m　(2)电动车会被撞　0.6 s
[培优创新练]
11．(2026·首都师大附中月考)假设高速公路上甲、乙两车在同一车道上同向行驶。甲车在前，乙车在后，速度均为v0＝30 m/s。甲、乙相距x0＝100 m，t＝0时刻甲车遭遇紧急情况后，甲、乙两车的加速度随时间变化关系分别如图甲、乙所示。取运动方向为正方向。下列说法正确的是(　　)
A．t＝3 s时两车相距最近
B．t＝6 s时两车速度不相等
C．t＝6 s时两车距离最近，且最近距离为10 m
D．两车在0～9 s内会相撞
解析：C　由题给图像画出两车的v-t图像如图所示，由图像可知，t＝6 s时两车等速，此时距离最近，图中阴影部分面积表示0～6 s内两车位移之差，即Δx＝m＝90 m(建议用时：40分钟　满分：65分)
(选择题1～6题每题5分，7～9题每题6分，11题7分，共55分)
[基础巩固练]
1．(2025·北京市东城区一模)甲、乙两辆汽车同时同地向同一方向开始运动，速度v随时间t变化的图像如图所示。在t1时刻甲图线的切线斜率等于乙图线的斜率。下列说法正确的是(　　)
A．0～t2过程中，甲的加速度始终比乙的大
B．t2时刻，乙追上甲
C．t2之后的某个时刻，乙追上甲
D．乙追上甲之前，t1时刻两车相距最远
解析：C　图像的斜率等于加速度，可知0～t2过程中，甲的加速度先大于乙的加速度，后小于乙的加速度，选项A错误；由图像与坐标轴围成的面积等于位移可知，0～t2时间内甲的位移大于乙，即t2时刻，甲在乙前面，因此后乙的速度大于甲，可知t2之后的某个时刻，乙追上甲，选项B错误，C正确；乙追上甲之前，t2时刻两车共速，此时相距最远，选项D错误。故选C。
2．(2026·河北十校高三联考)某停车场中，甲、乙两车分别停在直线道路的A、B两端。 当甲车以10 m/s的速度从A端开始匀减速驶向B端时，对向的乙车从B端由静止开始匀加速启动驶向A端，两车加速度大小均为1 m/s2。已知甲车到达B端时速度恰好减为零，则甲、乙两车相遇时，甲到B端的距离为(　　)
A．2.5 m B．5 m
C．10 m D．12.5 m
解析：D　设甲、乙两车经过时间t相遇，甲车做匀减速直线运动，根据速度－时间公式v＝v0＋at，甲车速度减为零的时间t0＝ s＝10 s，甲车的位移x甲＝v0t－t2，乙车做初速度为零的匀加速直线运动，乙车的位移x乙＝×1t2，又因为x甲＋x乙＝，两车初始距离等于甲车以初速度行驶t0时间的位移，即10t－×1t2＝5×10，解得t＝5 s，则甲到B端的距离x＝×1×52 m＝12.5 m，故选D。
3．(2026 ·重庆市七校高三开学联考)“魔幻城市”重庆的立体交通层叠交错，时时上演着“速度与激情”，小明选取其中两条线路探究车辆的运动。如图所示，轻轨列车与汽车初始时车头齐平，分别从M和N同时向左出发，直道M与车道NO的距离为15 m。列车以初速度10 m/s做匀速直线运动。在长为120 m的直道NO段，汽车先以初速度15 m/s做匀减速直线运动，加速度大小为1 m/s2，速度减为5 m/s后，匀速运动到O。两车均视为质点，则(　　)
A．两车速度相同，经历时间2 s
B．两车速度相同时，相距最近
C．汽车到达O点前，两车不会出现再次齐平
D．汽车到达O点前，两车相距的最远距离为25 m
解析：D　两车速度相同时有v列＝v汽－at1，其中v列＝10 m/s，v汽＝15 m/s，a＝1 m/s2，联立解得t1＝5 s，故A错误；车头齐平开始，匀速追匀减速，共速前距离越来越大，共速时不是相距最近，故B错误；两车再次齐平，经历时间t2，由v列t2＝v汽t2－at22，解得t2＝10 s，此时汽车速度v2＝v汽－at1＝5 m/s，汽车位移x2＝v汽t2－at22＝100 m，汽车距离O点x3＝120 m－x2＝20 m，可知汽车到达O点前，两车会出现再次齐平，故C错误；汽车到达O点时，列车比汽车多运动的位移Δx＝20 m，两车相距最远距离xm＝ m＝25 m，故D正确。故选D。
4．(多选)(2026·河南新未来高三9月测评)实验小组让甲、乙两辆电动玩具小车在同一条平直轨道上运动来研究匀变速直线运动的规律，两小车同时同地出发，甲车的速度与时间关系图像如图1所示，乙车速度的平方与位移的关系图像如图2所示，结合图像所给的信息，分析下列说法正确的是(　　)
A．甲车的加速度大小为0.5 m/s2
B．乙车的加速度大小为2 m/s2
C．乙车在前4 s内的平均速度为8 m/s
D．甲、乙两车相遇的时刻为2 s
解析：BD　根据v-t图像的斜率表示加速度，由图1可得a甲＝ m/s2＝1 m/s2，故A错误；由题知，乙车初速度为0，根据速度位移公式有v2＝2ax，可知v2-x图像的斜率表示加速度的两倍，由图2可得2a乙＝ m/s2，解得a乙＝2 m/s2，故B正确；乙车第4 s末的瞬时速度v4＝a乙t＝2×4 m/s＝8 m/s，故乙车前4 s的平均速度 m/s＝4 m/s，故C错误；设甲、乙两车相遇的时刻为t，甲车的初速度为v0＝1 m/s，则有v0t＋a甲t2＝a乙t2，解得t＝2 s，故D正确。故选BD。
5．(多选)(2026·重庆八中高三9月月考)甲、乙两辆可视为质点的汽车在相邻平直车道上沿同一方向运动。t＝0时刻，以此时乙所在位置为坐标原点，运动方向为正方向建立x坐标轴，乙做匀变速直线运动，其x-t图像如图1所示。甲从t＝0时刻由静止开始运动，其v2-x图像如图2所示。则(　　)
A．甲汽车的加速度大小为 6 m/s2
B．乙汽车出发时的初速度为v＝10 m/s
C．经过6 s，甲追上乙
D．甲追上乙之前两车相距最远的距离为16 m
解析：BD　根据v2－v02＝2a甲x，由v2-x图线可知斜率2a甲＝6 m/s2，解得a甲＝3 m/s2，故A错误；根据x＝v0t＋a乙t2，代入图线给出两组数据可得v0＝10 m/s，a乙＝－2 m/s2，故B正确；由图2知，甲做匀加速时间t1＝＝2 s，2 s后到乙的起点后做匀速运动，速度恒为v＝6 m/s，乙的减速时间t2＝＝5 s，乙的位移x乙＝＝25 m，设经过时间t甲乙相遇，则有6(t－2)＝x乙，解得t≈6.17 s，故C错误；速度相等时，两车相距最远有a甲t′＝v0＋a乙t′，解得t′＝2 s，此时甲正好行驶到乙的初位置，此时距离x＝v0t′＋a乙t′2＝16 m，故D正确。故选BD。
6．(多选)(2026·辽宁高三9月联考)目前新能源汽车迅猛发展，在某次测试中，甲、乙两车(均可视为质点)同时沿相同方向做直线运动，它们的 -t图像如图所示，t＝0时刻，甲车在乙车前方d＝26 m处。下列说法正确的是(　　)
A．乙车追上甲车之前的最大距离为50 m
B．两车相遇的时刻为t1＝10 s
C．t2＝12 s时，乙车超前甲车30 m
D．t＝0时刻，若甲、乙两车初位置互换，其他条件不变，则两车仍可以相遇
解析：ABC　根据位移—时间关系x＝v0t＋at2，整理可得a·t，可知甲、乙的初速度分别为v甲0＝16 m/s，v乙0＝4 m/s，甲、乙的加速度分别为a甲＝－2 m/s2，a乙＝1 m/s2，当两车的速度相等时，乙车追上甲车之前的距离最大，根据速度关系v甲0＋a甲t＝v乙0＋a乙t，可得时间t＝4 s，最大距离为Δxmax＝v甲0t＋a甲t2－(v乙0t＋a乙t2)＋d，代入数据得Δxmax＝50 m，故A正确；甲车速度减为零所需的时间t3＝＝8 s，此时甲、乙两车的距离Δx＝－(v乙0t3＋a乙t32)＋d，代入数据得Δx＝26 m，根据位移时间关系Δx＝(v乙0＋a乙t3)t4＋a乙t42，解得乙追上甲还需要的时间t4＝2 s，两车相遇的时刻为t1＝t3＋t4＝10 s，故B正确；t2＝12 s时，即相遇后2 s时间内，乙车超前甲车的距离Δx′＝(v乙0＋a乙t1)(t2－t1)＋a乙(t2－t1)2，代入数据可得Δx′＝30 m，故C正确；t＝0时刻，若甲、乙两车初位置互换，其他条件不变，两车速度相等时的距离Δx″＝(v乙0t＋a乙t2)－(v甲0t＋a甲t2)＋d，代入数据可得Δx″＝2 m，此后乙车的速度大于甲车，即两车不会相遇，故D错误。故选ABC。
[能力提升练]
7．(多选)(2026·河南濮阳一中高三开学考)A、B两个物体(可以看作质点)沿x轴正方向运动，其中A物体从坐标原点由静止开始运动，它的位置坐标随时间的变化关系如图甲所示(曲线为抛物线；O为抛物线的顶点)，B物体从x0＝12 m处开始运动，速度—时间图像如图乙所示。下列说法中正确的是(　　)
A．B的加速度小于A的加速度
B．相遇前A、B距离最大时A的速度为8 m/s
C．在t＝6 s时A、B相遇
D．A、B可能相遇两次
解析：AC　设A的加速度为a1，结合图甲可知，A做初速度为零的匀加速直线运动，满足xA＝a1t2，解得a1＝3 m/s2，设B的加速度为a2，结合图乙可知vB＝v0＋a2t，解得v0＝4 m/s，a2＝1 m/s2，所以a1>a2，A正确；当A、B速度相等时，A、B距离最大，即满足vA＝a1t1＝v0＋a2t1，解得t1＝2 s，vA＝6 m/s，B错误；B物体发生的位移xB＝v0t＋a2t2，当A、B相遇时有xA＝xB＋x0，解得t＝6 s，C正确；共速时A还没有追上B，共速后A追上B，此时A的速度大于B的速度，且A的加速度大于B的加速度，所以A、B只能相遇一次，D错误。故选AC。
8．(多选)(2025·陕西汉中二模)t＝0时刻起，A、B两物体从同一位置同时向同一方向运动，其速度与位移变化的关系图像如图所示，物体A的图线为平行于横轴的直线，物体B的图线为顶点在原点O、开口向右的抛物线。下列说法正确的是(　　)
A．物体A做匀减速直线运动
B．物体B做匀加速直线运动
C．t＝4 s时两物体的速度相同
D．t＝4 s时两物体相遇
解析：BD　物体A的图线为平行于横轴的直线，物体A做速度大小为4 m/s的匀速直线运动，故A错误；物体B的图线为顶点在原点O、开口向右的抛物线，所以物体B的速度与位移的关系式为x＝，结合题中图像可得a＝2 m/s2，所以物体B由静止开始做匀加速直线运动，故B正确；设A、B两物体在t1时刻速度相等，则有v0＝at1，解得t1＝2 s，故C错误；设A、B两物体在t2时刻相遇，则有v0t2＝at22，解得t2＝4 s，故D正确。
9．(多选)(2026·河南安阳高三调研)两辆汽车沿同一条平直的公路行驶，汽车甲以恒定的速度v＝10 m/s行驶，t＝0时刻汽车甲在汽车乙的前方s＝7.5 m处，汽车乙从0时刻开始刹车，其平均速度随时间的变化规律如图所示。经过一段时间，两辆汽车有两次并排行驶，则下列说法正确的是(　　)
A．汽车乙的加速度大小为2.5 m/s2
B．第二次并排行驶时，汽车乙的速度大小为5 m/s
C．两次并排行驶的时间段内，汽车甲、乙之间的最大距离为2.5 m
D．t＝6 s时，汽车甲、乙之间的距离为37.5 m
解析：BC　根据匀减速直线运动规律，乙刹车时，0时刻乙车速度v′＝v0，则由图像可知乙车初速度v0＝20 m/s，在t＝8 s时，平均速度＝0，则v′＝－20 m/s(取不到)，汽车乙的加速度为a＝＝－5 m/s2，汽车乙的加速度大小为5 m/s2，故A错误；两车并排行驶时x甲＋s＝x乙，即vt＝v0t＋at2－s，解得两车并排行驶的时间t1＝1 s，t2＝3 s，则t2＝3 s时第二次并排行驶，汽车乙的速度大小为v2＝v0＋at2＝5 m/s，故B正确；两车共速时间距最大，此时v＝v0＋at′，解得t′＝2 s，最大间距为Δxmax＝v0t′＋at′2－vt′－s＝2.5 m，故C正确；乙车停下需要t乙＝＝4 s<6 s，所以t＝6 s时，乙车已静止，汽车乙从刹车到静止的总位移为x乙＝v0t乙＋at乙2＝40 m，汽车甲、乙之间的距离为Δx＝vt＋s－x乙＝27.5 m，故D错误。故选BC。
10．(10分)(2026·浙江学军中学期中)随着智能手机的使用越来越广泛，一些人在驾车时也常常低头看手机，然而开车时看手机是一种危险驾驶行为，极易引发交通事故。如图甲所示，一辆出租车在平直公路上以v0＝20 m/s 的速度匀速行驶，此时车的正前方x0＝63.5 m处有一辆电动车，正以v1＝6 m/s的速度匀速行驶，而出租车司机此时开始低头看手机，3.5 s后才发现危险，司机经0.5 s反应时间后，立即采取紧急制动措施。若从司机发现危险开始计时，出租车的速度—时间图像如图乙所示，重力加速度g取10 m/s2。
(1)若出租车前面没有任何物体，从司机开始低头看手机到出租车停止运动的这段时间内，出租车前进的距离是多少？
(2)通过计算判断电动车是否会被撞。若不会被撞，求二者之间的最小距离；若会相撞，求从出租车刹车开始，经过多长时间二者相撞。
解析：(1)根据题意可知，出租车先匀速行驶t1＝3.5 s，然后在反应时间t2＝0.5 s内继续匀速行驶，再匀减速行驶t3＝4.0 s停止，总位移为x＝v0(t1＋t2)＋v0t3＝120 m。
(2)由题图乙可知，出租车做匀减速运动的加速度大小为a＝＝5 m/s2
设两车速度相等时，出租车的刹车时间为Δt，
则有v0－aΔt＝v1，解得Δt＝2.8 s
出租车的位移为
x1＝v0(t1＋t2)＋(v0＋v1)Δt
代入数据可解得x1＝116.4 m
电动车的位移为
x2＝v1(t1＋t2＋Δt)＝40.8 m
因为x1－x2＝75.6 m>63.5 m，故电动车会被撞。
设出租车刹车后经过时间t′电动车被撞，则有
v0(t1＋t2)＋v0t′－at′2＝x0＋v1(t1＋t2＋t′)
代入数据解得t′＝0.6 s(另一解不符合题意，舍去)。
答案：(1)120 m　(2)电动车会被撞　0.6 s
[培优创新练]
11．(2026·首都师大附中月考)假设高速公路上甲、乙两车在同一车道上同向行驶。甲车在前，乙车在后，速度均为v0＝30 m/s。甲、乙相距x0＝100 m，t＝0时刻甲车遭遇紧急情况后，甲、乙两车的加速度随时间变化关系分别如图甲、乙所示。取运动方向为正方向。下列说法正确的是(　　)
A．t＝3 s时两车相距最近
B．t＝6 s时两车速度不相等
C．t＝6 s时两车距离最近，且最近距离为10 m
D．两车在0～9 s内会相撞
解析：C　由题给图像画出两车的v-t图像如图所示，由图像可知，t＝6 s时两车等速，此时距离最近，图中阴影部分面积表示0～6 s内两车位移之差，即Δx＝m＝90 m专题突破2　追及和相遇问题
1.会分析追及相遇问题，掌握追及相遇问题的分析方法和技巧。2.熟练运用运动学公式结合运动学图像解决追及相遇问题。
目标
要求
1
研考点 精准突破
2
限时规范训练
栏
目
导
引
考点一　解决追及和相遇问题的常用方法
角度1　速度小者追速度大者(以匀加速追匀速为例)
　(一题多解)(2026·辽宁铁岭月考)某一长直的赛道上，一辆赛车前方200 m处有一安全车正以10 m/s的速度匀速前进，这时赛车从静止出发以2 m/s2的加速度追赶。求：
(1)赛车出发3 s末的瞬时速度大小；
(2)赛车追上安全车所需的时间及追上时的速度大小；
(3)追上之前两车的最大距离。
研考点
精准突破
解析：(1)赛车出发3 s末的瞬时速度大小为v1＝a1t1＝2×3 m/s＝6 m/s。
(2)设经t2时间追上安全车，由位移关系得
v0t2＋200 m＝a1t22，解得t2＝20 s或t2＝－10 s(舍去)
此时赛车的速度v＝a1t2＝2×20 m/s＝40 m/s。
(3)法一　物理分析法
当两车速度相等时，两车相距最远
由v0＝a1t3得两车速度相等时，经过的时间
t3＝ s＝5 s，追上之前两车相距最远有
Δxmax＝v0t3＋200 m－a1t32
代入数据解得Δxmax＝225 m。
法二　二次函数法
由题意得，Δx＝10t＋200－t2，
当t＝＝5 s时，Δx有极值，相距最远，
将t＝5 s代入解得Δxmax＝225 m。
法三　图像法
由题意画出v-t图像，
从图像可知，当赛车速度等于安全车速度时，即v0＝a1t＝10 m/s，
得t＝5 s时，相距最远，解得Δxmax＝225 m。
答案：(1)6 m/s　(2)20 s　40 m/s　(3)225 m
匀加速追匀速时，当二者速度相等时，二者距离最大。
[拓展]　（一题多解）若当赛车刚追上安全车时，赛车手立即刹车，使赛车以4 m/s2的加速度做匀减速直线运动，则两车再经过多长时间第二次相遇？(设赛车可以从安全车旁经过而不相碰，用物理分析法和图像法两种方法解题)
提示：法一　物理分析法
假设再经t4时间两车第二次相遇(两车一直在运动)，
由位移关系得vt4－a2t42＝v0t4
解得t4＝15 s
赛车停下来的时间t′＝＝10 s
所以t4＝15 s不符合实际，两车第二次相遇时赛车已停止运动
设再经时间t5两车第二次相遇，应满足＝v0t5，又v＝40 m/s
解得t5＝20 s。
法二　图像法
赛车和安全车的v-t图像如图。由图知t＝10 s赛车停下时，安全车的位移小于赛车的位移，由v0t5＝，解得t5＝20 s。
易错提醒：若被追赶的物体做匀减速直线运动，一定要注意判断被追上前该物体是否已经停止运动。
(2)解题技巧
①紧抓“一图三式”，即：过程示意图，时间关系式、速度关系式和位移关系式。
②审题应抓住题目中的关键字眼，充分挖掘题目中的隐含条件，如“刚好”“恰好”“最多”“至少”等，往往对应一个临界状态，满足相应的临界条件。
角度2　速度大者追速度小者
　(2026·湖南长沙月考)在赣州市南河大桥扩建工程中，双向桥梁已完成了某一通车方向的建设，为保持双向车辆正常通行，临时将其改成双向车道。如图所示，引桥与桥面对接处，有两车道合并一车道的对接口，A、B两车相距s0＝4 m时，B车正以vB＝4 m/s速度匀速行驶，A车正以vA＝7 m/s的速度借道超越同向行驶的B车，此时A车司机发现前方距离车头s＝16 m处的并道对接口，A、B两车长度均为L＝4 m，且不考虑A车变道过程的影响。
(1)若A车司机放弃超车，且立即驶入与B车相同的行驶车道，A车至少以多大的加速度刹车匀减速，才能避免与B车相撞；
(2)若A车司机加速超车，A车的最大加速度为a＝3 m/s2，请通过计算分析A车能否实现安全超车。
解析：(1)A车减速到与B车同速时，若恰未与B车相碰，则A车将不会与B车相碰，设经历的时间为t
则A车位移xA＝t　①
B车位移xB＝vBt　②
xA－xB＝s0　③
由①②③式联立解得t＝ s
则A车与B车不相碰，刹车时的最小加速度
amin＝ m/s2＝ m/s2。
(2)设A车加速t′时间后车尾到达B车车头，则s0＋2L＝vAt′＋at′2－vBt′
解得t′＝2 s
在此时间内，A车向前运动了
xA1＝vAt′＋at′2
计算可得xA1＝20 m>s＝16 m，说明在离并道对接口16 m的距离上以3 m/s2的加速度加速不能实现安全超车。
答案：(1) m/s2　(2)见解析
速度大者追速度小者，二者速度相等是判断是否追上的临界条件，若此时追不上，二者之间距离有最小值。
[归纳总结]　追及相遇问题的常用分析方法
(1)物理分析法
①抓住“两物体能否同时到达空间某位置”这一关键，认真审题，挖掘题目中的隐含条件，建立物体运动关系的情境图。
②能否追上的判断方法(临界条件法)：
物体甲追赶物体乙，开始时，两个物体相距x0，当v甲＝v乙时，若x甲>x乙＋x0，则能追上；若x甲＝x乙＋x0，则恰好追上；若x甲(2)二次函数法：设运动时间为t，根据条件列方程，得到关于二者之间的距离Δx与时间t的二次函数关系。对于该二次函数关系：
①当Δx＝0时，表示两者相遇。取Δx＝0时，对于关于时间t的一元二次方程，利用根的判别式进行分析。
ⅰ.若Δ>0，即有两个解，说明可以相遇两次；
ⅱ.若Δ＝0，有一个解，说明能刚好追上或相遇；
ⅲ.若Δ<0，无解，说明追不上或不能相遇。
②当t＝－时，函数有极值，代表两者距离的最大或最小值。
(3)图像法：在同一坐标系中画出两物体的运动图像。位移—时间图像的交点表示相遇，分析速度—时间图像时，应抓住速度相等时的“面积”关系找位移关系。
考点二　运动图像中的追及相遇问题
　 (2026·福建宁德期中)某兴趣小组举行机器人跑步比赛，甲、乙两机器人均做直线运动。两机器人运动的位移—时间图像如图所示，其中机器人乙的x-t图线是关于x轴对称的抛物线的一部分，则下列说法正确的是(　　)
A．机器人甲先做匀减速直线运动后做匀速直线运动
B．机器人甲在0～10 s内的平均速度为－1.5 m/s
C．机器人乙一定做初速度为零的匀变速直线运动
D．在0～10 s内甲、乙机器人相遇两次，且相遇时速度可能相等
解析：C　x-t图线切线的斜率表示瞬时速度，由题图可知甲先沿负方向做匀速直线运动，后保持静止，A错误；甲在0～10 s内的位移为Δx＝(4－10)m＝－6 m，则平均速度为 m/s＝－0.6 m/s，B错误；乙的x-t图线是关于x轴对称的抛物线的一部分，t＝0时斜率为零，说明其运动性质是初速度为零的匀变速直线运动，C正确；在0～10 s内甲、乙机器人的x-t图线相交两次，表示相遇两次，相遇时由于斜率不同，速度不同，D错误。
x-t图像中，图像相交即代表两物体相遇。
　(多选)(2025·遂宁市射洪中学一模)在一大雾天，一辆小汽车以30 m/s的速度行驶在高速公路上，突然发现正前方30 m处有一辆大卡车以10 m/s的速度同方向匀速行驶，小汽车紧急刹车，刹车过程中刹车失灵。如图所示，a、b分别为小汽车和大卡车的v-t图线，以下说法正确的是(　　)
A．刹车失灵前与失灵后，小汽车加速度大小之比为3∶1
B．在t＝5 s时两车发生追尾事故
C．在t＝3 s时两车发生追尾事故
D．若紧急刹车时两车相距40 m，则不会
发生追尾事故且两车最近时相距5 m
CD　
解析：CD　根据v-t图像的斜率绝对值表示加速度的大小，可知刹车失灵前的加速度大小为a1＝ m/s2＝10 m/s2，刹车失灵后的加速度大小为a2＝ m/s2＝2.5 m/s2，故刹车失灵前与失灵后，小汽车加速度大小之比为a1∶a2＝4∶1，故A错误；根据v-t图像与时间轴所围“面积”大小等于位移，由图知，t＝3 s时b车的位移为xb＝10×3 m＝30 m，a车的位移为xa＝×1 m＋×2 m＝60 m，则有Δx＝xa－xb＝30 m，所以在t＝3 s时追尾，故B错误，C正确；若紧急刹车时两车相距40 m，当速度相等时，a车的位移为xa′＝×1 m＋×4 m＝85 m，b车的位移为xb′＝10×5 m＝50 m，则有Δx′＝xa′－xb′＝35 m<40 m，则不会发生追尾事故，且两车最近时相距d＝40 m－35 m＝5 m，故D正确。
v-t图像中，抓住速度相等时的“面积”关系找两物体的位移关系是关键。
　(2026·河北辛集中学期中)均可视为质点的A、B两物体沿同一直线做同向运动，从0时刻起同时出发，A做匀减速直线运动直至速度为零，整个运动过程中速度平方随位置坐标的变化关系如图甲所示。B做匀加速直线运动，位置坐标随时间的变化关系如图乙所示。已知A、B两物体在同一坐标系中运动，求：
(1)B物体追上A物体之前，二者相
距最远的时刻t1；
(2)B物体追上A物体所用的时间t2。
解析：(1)A做匀减速直线运动，
根据图甲和运动学公式得
x＝
v02＝576 m2/s2
解得v0＝24 m/s，A的加速度大小aA＝6 m/s2
B做匀加速直线运动，在第1 s内和第2 s内的位移之比为1∶3，可知B做的是初速度为零的匀加速直线运动，1 s时的速度为前2 s的平均速度v＝＝4 m/s
加速度为aB＝＝4 m/s2
当A、B两物体速度相等时，二者相距最远，则
v0－aAt1＝aBt1
解得t1＝2.4 s。
(2)假设A物体停止之前，B物体追上A物体，则
xB＝aBt2
xA＝v0t－aAt2
xA＋2 m＝xB
解得t＝4.9 s
而A物体速度减为零需要的时间为
t′＝＝4 s说明B追上A时，A已经停止，则B物体追上A物体所用的时间t2
＋2 m＝aBt22
解得t2＝5 s。
答案：(1)2.4 s　(2)5 s
3
4
5
6
7
8
9
10
11
1
2
(建议用时：40分钟　满分：65分)
(选择题1～6题每题5分，7～9题每题6分，11题7分，共55分)
[基础巩固练]
1．(2025·北京市东城区一模)甲、乙两辆汽车同时同地向同一方向开始运动，速度v随时间t变化的图像如图所示。在t1时刻甲图线的切线斜率等于乙图线的斜率。下列说法正确的是(　　)
A．0～t2过程中，甲的加速度始终比乙的大
B．t2时刻，乙追上甲
C．t2之后的某个时刻，乙追上甲
D．乙追上甲之前，t1时刻两车相距最远
限时规范
训练(5)　追及和相遇问题
C　
3
4
5
6
7
8
9
10
11
1
2
解析：C　图像的斜率等于加速度，可知0～t2过程中，甲的加速度先大于乙的加速度，后小于乙的加速度，选项A错误；由图像与坐标轴围成的面积等于位移可知，0～t2时间内甲的位移大于乙，即t2时刻，甲在乙前面，因此后乙的速度大于甲，可知t2之后的某个时刻，乙追上甲，选项B错误，C正确；乙追上甲之前，t2时刻两车共速，此时相距最远，选项D错误。故选C。
2
1
3
4
5
6
7
8
9
10
11
2．(2026·河北十校高三联考)某停车场中，甲、乙两车分别停在直线道路的A、B两端。 当甲车以10 m/s的速度从A端开始匀减速驶向B端时，对向的乙车从B端由静止开始匀加速启动驶向A端，两车加速度大小均为1 m/s2。已知甲车到达B端时速度恰好减为零，则甲、乙两车相遇时，甲到B端的距离为(　　)
A．2.5 m B．5 m
C．10 m D．12.5 m
D　
2
1
3
4
5
6
7
8
9
10
11
解析：D　设甲、乙两车经过时间t相遇，甲车做匀减速直线运动，根据速度－时间公式v＝v0＋at，甲车速度减为零的时间t0＝ s＝10 s，甲车的位移x甲＝v0t－t2，乙车做初速度为零的匀加速直线运动，乙车的位移x乙＝×1t2，又因为x甲＋x乙＝，两车初始距离等于甲车以初速度行驶t0时间的位移，即10t－×1t2＝5×10，解得t＝5 s，则甲到B端的距离x＝×1×52 m＝12.5 m，故选D。
2
3
1
4
5
6
7
8
9
10
11
3．(2026 ·重庆市七校高三开学联考)“魔幻城市”重庆的立体交通层叠交错，时时上演着“速度与激情”，小明选取其中两条线路探究车辆的运动。如图所示，轻轨列车与汽车初始时车头齐平，分别从M和N同时向左出发，直道M与车道NO的距离为15 m。列车以初速度10 m/s做匀速直线运动。在长为120 m的直道NO段，汽车先以初速度15 m/s做匀减速直线运动，加速度大小为1 m/s2，速度减为5 m/s后，匀速运动到O。两车均视为质点，则(　　)
A．两车速度相同，经历时间2 s
B．两车速度相同时，相距最近
C．汽车到达O点前，两车不会出现再次齐平
D．汽车到达O点前，两车相距的最远距离为25 m
D　
2
3
1
4
5
6
7
8
9
10
11
解析：D　两车速度相同时有v列＝v汽－at1，其中v列＝10 m/s，v汽＝15 m/s，a＝1 m/s2，联立解得t1＝5 s，故A错误；车头齐平开始，匀速追匀减速，共速前距离越来越大，共速时不是相距最近，故B错误；两车再次齐平，经历时间t2，由v列t2＝v汽t2－at22，解得t2＝10 s，此时汽车速度v2＝v汽－at1＝5 m/s，汽车位移x2＝v汽t2－at22＝100 m，汽车距离O点x3＝120 m－x2＝20 m，可知汽车到达O点前，两车会出
现再次齐平，故C错误；汽车到达O点时，列车比汽
车多运动的位移Δx＝20 m，两车相距最远距离xm＝
m＝25 m，故D正确。故选D。
2
3
4
1
5
6
7
8
9
10
11
4．(多选)(2026·河南新未来高三9月测评)实验小组让甲、乙两辆电动玩具小车在同一条平直轨道上运动来研究匀变速直线运动的规律，两小车同时同地出发，甲车的速度与时间关系图像如图1所示，乙车速度的平方与位移的关系图像如图2所示，结合图像所给的信息，分析下列说法正确的是(　　)
A．甲车的加速度大小为0.5 m/s2
B．乙车的加速度大小为2 m/s2
C．乙车在前4 s内的平均速度为8 m/s
D．甲、乙两车相遇的时刻为2 s
BD　
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
1
解析：BD　根据v-t图像的斜率表示加速度，由图1可得a甲＝ m/s2＝1 m/s2，故A错误；由题知，乙车初速度为0，根据速度位移公式有v2＝2ax，可知v2-x图像的斜率表示加速度的两倍，由图2可得2a乙＝ m/s2，解得a乙＝2 m/s2，故B正确；乙车第4 s末的瞬时速度v4＝a乙t＝2×4 m/s＝8 m/s，故乙车前4 s的平均速度 m/s＝4 m/s，故C错误；设甲、乙两车相遇的时刻为t，甲车的初速
度为v0＝1 m/s，则有v0t＋a甲t2＝a乙t2，
解得t＝2 s，故D正确。故选BD。
2
3
4
5
1
6
7
8
9
10
11
5．(多选)(2026·重庆八中高三9月月考)甲、乙两辆可视为质点的汽车在相邻平直车道上沿同一方向运动。t＝0时刻，以此时乙所在位置为坐标原点，运动方向为正方向建立x坐标轴，乙做匀变速直线运动，其x-t图像如图1所示。甲从t＝0时刻由静止开始运动，其v2-x图像如图2所示。则
(　　)
A．甲汽车的加速度大小为 6 m/s2
B．乙汽车出发时的初速度为v＝
10 m/s
C．经过6 s，甲追上乙
D．甲追上乙之前两车相距最远的距离为16 m
BD　
2
3
4
5
1
6
7
8
9
10
11
解析：BD　根据v2－v02＝2a甲x，由v2-x图线可知斜率2a甲＝6 m/s2，解得a甲＝3 m/s2，故A错误；根据x＝v0t＋a乙t2，代入图线给出两组数据可得v0＝10 m/s，a乙＝－2 m/s2，故B正确；由图2知，甲做匀加速时间t1＝＝2 s，2 s后到乙的起点后做匀速运动，速度恒为v＝6 m/s，乙的减速时间t2＝＝5 s，乙的位移x乙＝＝25 m，设经过时间t甲乙相遇，则有6(t－2)＝x乙，解得t≈6.17 s，故C错误；速度相等时，两车相距最
远有a甲t′＝v0＋a乙t′，解得t′＝2 s，此
时甲正好行驶到乙的初位置，此时
距离x＝v0t′＋a乙t′2＝16 m，故D正确。
故选BD。
2
3
4
5
6
1
7
8
9
10
11
6．(多选)(2026·辽宁高三9月联考)目前新能源汽车迅猛发展，在某次测试中，甲、乙两车(均可视为质点)同时沿相同方向做直线运动，它们的 -t图像如图所示，t＝0时刻，甲车在乙车前方d＝26 m处。下列说法正确的是(　　)
A．乙车追上甲车之前的最大距离为50 m
B．两车相遇的时刻为t1＝10 s
C．t2＝12 s时，乙车超前甲车30 m
D．t＝0时刻，若甲、乙两车初位置互换，其他
条件不变，则两车仍可以相遇
ABC　
2
3
4
5
6
1
7
8
9
10
11
解析：ABC　根据位移—时间关系x＝v0t＋at2，整理可得a·t，可知甲、乙的初速度分别为v甲0＝16 m/s，v乙0＝4 m/s，甲、乙的加速度分别为a甲＝－2 m/s2，a乙＝1 m/s2，当两车的速度相等时，乙车追上甲车之前的距离最大，根据速度关系v甲0＋a甲t＝v乙0＋a乙t，可得时间t＝4 s，最大距离为Δxmax＝v甲0t＋a甲t2－(v乙0t＋a乙t2)＋d，代入数据得Δxmax＝50 m，故A正确；甲车速度减为零所需
的时间t3＝＝8 s，此时甲、乙两车的距离
2
3
4
5
6
1
7
8
9
10
11
Δx＝－(v乙0t3＋a乙t32)＋d，代入数据得Δx＝26 m，根据位移时间关系Δx＝(v乙0＋a乙t3)t4＋a乙t42，解得乙追上甲还需要的时间t4＝2 s，两车相遇的时刻为t1＝t3＋t4＝10 s，故B正确；t2＝12 s时，即相遇后2 s时间内，乙车超前甲车的距离Δx′＝(v乙0＋a乙t1)(t2－t1)＋a乙(t2－t1)2，代入数据可得Δx′＝30 m，故C正确；t＝0时刻，若甲、乙两车初位置互换，其他条件不变，两车速度相等时的距离Δx″＝(v乙0t＋a乙t2)－(v甲0t＋a甲t2)＋d，代入数据可得Δx″＝2 m，此后乙车的速度大于甲车，即两车不会相遇，故D错误。故选ABC。
7
8
9
10
11
1
3
4
5
6
2
[能力提升练]
7．(多选)(2026·河南濮阳一中高三开学考)A、B两个物体(可以看作质点)沿x轴正方向运动，其中A物体从坐标原点由静止开始运动，它的位置坐标随时间的变化关系如图甲所示(曲线为抛物线；O为抛物线的顶点)，B物体从x0＝12 m处开始运动，速度—时间图像如图乙所示。下列说法中正确的是(　　)
A．B的加速度小于A的加速度
B．相遇前A、B距离最大时A的速度为8 m/s
C．在t＝6 s时A、B相遇
D．A、B可能相遇两次
AC　
7
8
9
10
11
1
3
4
5
6
2
解析：AC　设A的加速度为a1，结合图甲可知，A做初速度为零的匀加速直线运动，满足xA＝a1t2，解得a1＝3 m/s2，设B的加速度为a2，结合图乙可知vB＝v0＋a2t，解得v0＝4 m/s，a2＝1 m/s2，所以a1>a2，A正确；当A、B速度相等时，A、B距离最大，即满足vA＝a1t1＝v0＋a2t1，解得t1＝2 s，vA＝6 m/s，B错误；B物体发生的位移xB＝v0t＋a2t2，当A、B相遇时有xA＝xB＋x0，解得t＝6 s，C正确；共速时A还没有追上B，共速后A追上B，此时A的速度大于B的速度，且A的加速度大于B的加速度，所以A、B只能相遇一次，D错误。故选AC。
8
9
10
11
1
3
4
5
6
7
2
8．(多选)(2025·陕西汉中二模)t＝0时刻起，A、B两物体从同一位置同时向同一方向运动，其速度与位移变化的关系图像如图所示，物体A的图线为平行于横轴的直线，物体B的图线为顶点在原点O、开口向右的抛物线。下列说法正确的是(　　)
A．物体A做匀减速直线运动
B．物体B做匀加速直线运动
C．t＝4 s时两物体的速度相同
D．t＝4 s时两物体相遇
BD　
8
9
10
11
1
3
4
5
6
7
2
解析：BD　物体A的图线为平行于横轴的直线，物体A做速度大小为4 m/s的匀速直线运动，故A错误；物体B的图线为顶点在原点O、开口向右的抛物线，所以物体B的速度与位移的关系式为x＝，结合题中图像可得a＝2 m/s2，所以物体B由静止开始做匀加速直线运动，故B正确；设A、B两物体在t1时刻速度相等，则有v0＝at1，解得t1＝2 s，故C错误；设A、B两物体在t2时刻相遇，则有v0t2＝at22，
解得t2＝4 s，故D正确。
9
10
11
1
3
4
5
6
7
8
2
9．(多选)(2026·河南安阳高三调研)两辆汽车沿同一条平直的公路行驶，汽车甲以恒定的速度v＝10 m/s行驶，t＝0时刻汽车甲在汽车乙的前方s＝7.5 m处，汽车乙从0时刻开始刹车，其平均速度随时间的变化规律如图所示。经过一段时间，两辆汽车有两次并排行驶，则下列说法正确的是
(　　)
A．汽车乙的加速度大小为2.5 m/s2
B．第二次并排行驶时，汽车乙的速度大小为5 m/s
C．两次并排行驶的时间段内，汽车甲、乙之间的
最大距离为2.5 m
D．t＝6 s时，汽车甲、乙之间的距离为37.5 m
BC　
9
10
11
1
3
4
5
6
7
8
2
解析：BC　根据匀减速直线运动规律，乙刹车时，0时刻乙车速度v′＝v0，则由图像可知乙车初速度v0＝20 m/s，在t＝8 s时，平均速度＝0，则v′＝－20 m/s(取不到)，汽车乙的加速度为a＝＝－5 m/s2，汽车乙的加速度大小为5 m/s2，故A错误；两车并排行驶时x甲＋s＝x乙，即vt＝v0t＋at2－s，解得两车并排行驶的时间t1＝1 s，t2＝3 s，则t2＝3 s时第二次并排行驶，汽车乙的速度大小为v2＝v0＋at2＝5 m/s，故B正确；两车共速时间距最大，此时v＝v0＋at′，解得t′＝2 s，最大间距为Δxmax＝v0t′＋at′2－vt′－s＝2.5 m，故C正确；乙车停下需要t乙＝＝4 s<6 s，所以t＝6 s时，乙车已静止，汽车乙从刹车到静止的总
位移为x乙＝v0t乙＋at乙2＝40 m，汽车甲、乙之间的距
离为Δx＝vt＋s－x乙＝27.5 m，故D错误。故选BC。
10
11
1
3
4
5
6
7
8
9
2
10．(10分)(2026·浙江学军中学期中)随着智能手机的使用越来越广泛，一些人在驾车时也常常低头看手机，然而开车时看手机是一种危险驾驶行为，极易引发交通事故。如图甲所示，一辆出租车在平直公路上以v0＝20 m/s 的速度匀速行驶，此时车的正前方x0＝63.5 m处有一辆电动车，正以v1＝6 m/s的速度匀速行驶，而出租车司机此时开始低头看手机，3.5 s后才发现危险，司机经0.5 s反应时间后，立即采取紧急制动措施。若从司机发现危险开始计时，出租车的速度—时间图像如图乙所示，重力加速度g取10 m/s2。
10
11
1
3
4
5
6
7
8
9
2
(1)若出租车前面没有任何物体，从司机开始低头看手机到出租车停止运动的这段时间内，出租车前进的距离是多少？
(2)通过计算判断电动车是否会被撞。若不会被撞，求二者之间的最小距离；若会相撞，求从出租车刹车开始，经过多长时间二者相撞。
10
11
1
3
4
5
6
7
8
9
2
解析：(1)根据题意可知，出租车先匀速行驶t1＝3.5 s，然后在反应时间t2＝0.5 s内继续匀速行驶，再匀减速行驶t3＝4.0 s停止，总位移为x＝v0(t1＋t2)＋v0t3＝120 m。
10
11
1
3
4
5
6
7
8
9
2
(2)由题图乙可知，出租车做匀减速运动的加速度大小为a＝＝5 m/s2
设两车速度相等时，出租车的刹车时间为Δt，
则有v0－aΔt＝v1，解得Δt＝2.8 s
出租车的位移为
10
11
1
3
4
5
6
7
8
9
2
x1＝v0(t1＋t2)＋(v0＋v1)Δt
代入数据可解得x1＝116.4 m
电动车的位移为
x2＝v1(t1＋t2＋Δt)＝40.8 m
因为x1－x2＝75.6 m>63.5 m，故电动车会被撞。
10
11
1
3
4
5
6
7
8
9
2
设出租车刹车后经过时间t′电动车被撞，则有
v0(t1＋t2)＋v0t′－at′2＝x0＋v1(t1＋t2＋t′)
代入数据解得t′＝0.6 s(另一解不符合题意，舍去)。
答案：(1)120 m　(2)电动车会被撞　0.6 s
11
1
3
4
5
6
7
8
9
10
2
[培优创新练]
11．(2026·首都师大附中月考)假设高速公路上甲、乙两车在同一车道上同向行驶。甲车在前，乙车在后，速度均为v0＝30 m/s。甲、乙相距x0＝100 m，t＝0时刻甲车遭遇紧急情况后，甲、乙两车的加速度随时间变化关系分别如图甲、乙所示。取运动方向为正方向。下列说法正确的是
(　　)
A．t＝3 s时两车相距最近
B．t＝6 s时两车速度不相等
C．t＝6 s时两车距离最近，
且最近距离为10 m
D．两车在0～9 s内会相撞
C　
11
1
3
4
5
6
7
8
9
10
2
解析：C　由题给图像画出两车的v-t图像如图所示，由图像可知，t＝6 s时两车等速，此时距离最近，图中阴影部分面积表示0～6 s内两车位移之差，即Δx＝m＝90 m专题突破2　追及和相遇问题
点击进入WORD文档
按ESC键退出全屏播放

展开更多......

收起↑