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(共71张PPT)
第2讲　力的合成与分解
1.了解力的合成与分解；知道矢量和标量。2.会应用平行四边形定则或三角形定则求合力。3.会利用效果分解法和正交分解法计算分力。4.知道“活结”与“死结”、“动杆”与“定杆”的特点及区别。
目标
要求
1
强基础 固本增分
2
研考点 精准突破
3
限时规范训练
栏
目
导
引
强基础
固本增分
一、合力与分力
1．定义：如果一个力的________跟几个力共同作用的效果相同，这一个力就叫那几个力的____，那几个力就叫这个力的____。
2．逻辑关系：合力和分力是一种________的关系。
二、共点力　力的合成
1．定义：作用在物体上的力的作用线或作用线的__________交于一点的力。
作用效果
合力
分力
等效替代
反向延长线
2．力的合成的运算法则
(1)平行四边形定则：求两个互成角度的共点力F1、F2的合力，可以用表示F1、F2的有向线段为____作平行四边形，平行四边形的______(在两个有向线段F1、F2之间)就表示合力的____和____，如图甲所示。
(2)三角形定则：求两个互成角度的共点力F1、F2的合力，可以把表示F1、F2的线段____顺次相接地画出，把F1、F2的另外两端连接起来，则此连线就表示____的大小和方向，如图乙所示。
图甲　　 　　图乙　　　
邻边
对角线
大小
方向
首尾
合力
三、矢量和标量
1．矢量：既有大小又有____的量。相加时遵循______________。
2．标量：只有大小____方向的量。求和时按________相加。
四、力的分解
1．定义：求一个已知力的____的过程。
2．遵循的原则：__________定则或______定则。
3．分解的方法
(1) 按力产生的________进行分解。
(2)正交分解法。
方向
平行四边形定则
没有
算术法则
分力
平行四边形
三角形
实际效果
1．判断正误
(1)合力是原来几个力的等效代替，合力的作用效果与分力的共同作用效果相同。( )
(2)两个力夹角为θ(0°≤θ≤180°)它们的合力随θ增大而增大。( )
(3)两个力的合力一定大于这两个力中的任一个。( )
(4)力的分解必须按作用效果分解。( )
(5)不是同时作用在同一物体上的力也能进行力的合成运算。( )
(6)既有大小又有方向的量一定是矢量。( )
×
√
×
×
×
×
2．(多选)(人教版教材原题改编)两个力F1和F2间的夹角为θ，两力的合力为F，以下说法正确的是(　　)
A．若F1、F2的大小和方向一定，则F的大小和方向一定
B．若F1与F2大小不变，θ角越小，合力F就越大
C．如果夹角θ不变，F1大小不变，只要增大F2，合力F就必然增大
D．合力F的作用效果与两个分力F1和F2共同产生的作用效果是相同的
ABD　
解析：ABD　根据平行四边形定则，若F1、F2的大小和方向一定，则F的大小和方向一定，A正确；若F1与F2大小不变，θ角越小，合力F就越大，故B正确；若夹角θ角为钝角且不变，F1大小不变，增大F2时，合力F可能先变小后增大，如图所示，故C错误；合力F的作用效果与分力F1和F2共同产生的作用效果是相同的，故D正确。
3．(人教版教材原题改编)有两个力，它们的合力为0。现在把其中一个向东6 N的力改为向南(大小不变)，它们的合力大小为(　　)
A．6 N B．6 N
C．12 N D．0
解析：B　两个力合力为0，其中一个向东的力为6 N，则另一个力向西且大小也为6 N，将向东的6 N的力改为向南，则向西的6 N的力与向南的6 N的力的合力大小为6 N，故B正确。
B　
4．(人教版教材原题改编)刀、斧、凿等切削工具的刃部叫作劈，如图是斧头劈木柴的情景。劈的纵截面是一个等腰三角形，使用劈的时候，垂直劈背加一个力F，这个力产生两个作用效果，使劈的两个侧面推压木柴，把木柴劈开。设劈背的宽度为d，劈的侧面长为l，不计斧头自身的重力，则劈的侧面推压木柴的力的大小为(　　)
A．F
B．F
C．F
D．F
B　
解析：B　斧头劈木柴时，设两侧面推压木柴的力分别为F1、F2，且F1＝F2，利用几何三角形与力的三角形相似有，得推压木柴的力F1＝F2＝F，所以B正确，A、C、D错误。
研考点
精准突破
考点一　共点力的合成
考向1　合力与分力的关系
(多选)(2025·杭州二中期中)两个共点力F1、F2大小不同，夹角为α(0<α<π)，它们的合力大小为F，则(　　)
A．F1、F2同时增加10 N，F也增加10 N
B．F1、F2同时增大一倍，F也增大一倍
C．F1增加10 N，F2减少10 N，F一定不变
D．若F1、F2都增大，但F不一定增大
BD　
解析：BD　F1、F2同时增加10 N，根据平行四边形定则合成之后，合力的大小增加不一定是10 N，故A错误；根据平行四边形定则，F1、F2同时增大一倍，F也增大一倍，故B正确；F1增加10 N，F2减少10 N，F可能变大或变小，也可能不变，故C错误；若F1、F2都增大，根据平行四边形定则可知F不一定增大，故D正确。
合力与分力是等效替代关系。运算满足平行四边形定则。
考向2　两个力的合成及合力的范围
(2026·天津十四中期中)如图所示为两个大小不变、夹角θ变化的力的合力的大小F与θ(0≤θ≤2π)角之间的关系图像，下列说法中正确的是
(　　)
A．合力大小的变化范围是0≤F≤14 N
B．合力大小的变化范围是2 N≤F≤10 N
C．这两个分力的大小分别为6 N和8 N
D．这两个分力的大小分别为2 N和8 N
C　
解析：C　由题图可知，当两力夹角为180°时，两力的合力大小为2 N，而当两力夹角为90°时，两力的合力大小为10 N，则这两个力的大小分别为6 N、8 N，故C正确，D错误；当两个力方向相同时，合力大小最大，等于两个力之和；当两个力方向相反时，合力大小最小，等于两个力之差，由此可知，合力大小的变化范围是2 N≤F≤14 N，故A、B错误。
两个共点力的合成范围
|F1－F2|≤F合≤F1＋F2。
(多选)(2026·清华大学附中月考)一物体静止于水平桌面上，物体与水平面之间的最大静摩擦力为5 N，现将水平面内三个力同时作用于该物体的同一点，三个力的大小分别为2 N、2 N、3 N。下列关于该物体的受力情况和运动情况判断正确的是(　　)
A．物体所受静摩擦力可能为2 N B．物体所受静摩擦力可能为4 N
C．物体可能仍保持静止 D．物体一定被拉动
解析：ABC　两个2 N的力的合力范围为0～4 N，然后与3 N的力合成，则三力的合力范围为0～7 N，由于最大静摩擦力为5 N，因此可判定选项A、B、C正确，D错误。
ABC　
三个共点力的合成范围
(1)最大值：三个力共线且同向时，其合力最大，为F1＋F2＋F3。
(2)最小值：任取两个力，求出其合力的范围，如果第三个力在这个范围之内，则三个力合力的最小值为0；否则合力的最小值等于最大的力减去另外两个力。
考向3　合力的计算
(2025·吉林一中期中)某物体同时受到2个共点力作用，在如图所示的四种情况中(坐标纸中每格的边长均表示1 N大小的力)，物体所受合外力最大的是(　　)
C　
解析：C　题A图中，将F1与F2进行合成，求得合力的大小为F合＝3 N，如图甲所示；题B图中，将F1与F2进行合成，求得合力的大小为F合＝ N＝5 N，如图乙所示；题C图中，将F1与F2进行合成，求得合力的大小为F合＝4 N，如图丙所示；题D图中，将F1与F2进行合成，求得合力的大小为F合＝3 N，如图丁所示。图丙所示合外力最大，故选项C符合题意。
图甲　 　图乙 图丙　　 　图丁
作图法求合力：从力的作用点O起，按同一标度作出两个分力F1和F2的图示，再以F1和F2的图示为邻边作平行四边形，画出过作用点O的对角线。
(2025·山东师大附中月考)射箭是奥运会比赛项目之一，运动员射箭的场景如图甲所示。发射时弦和箭可等效为图乙，已知弦均匀且弹性良好，自由长度为l，劲度系数为k，发射箭时弦的最大长度为l(弹性限度内)。此时弓的顶部跨度(虚线长)为l，(假设箭在弦的正中间，弦夹在类似动滑轮的附加装置上)，则箭被发射瞬间所受的最大弹力为(设弦的弹力满足胡克定律)(　　)
A．kl B．kl
C．kl D．2kl
图甲　 图乙
B　
解析：B　设弦达到最大长度时与箭的夹角为θ，由几何关系可得sin θ＝，可得θ＝37°，箭被发射瞬间所受的最大弹力为Fmax＝2k·cos θ＝kl，故选B。
图甲　 图乙
计算法求合力：根据平行四边形定则作出示意图，然后利用解三角形的方法求出合力。
[拓展]　若拉弓时，手对弦的作用力为F，弦的拉力分别
为TA和TB，如图所示。试分析：TA和TB的大小之和等于F
吗？F一定大于TA吗？人将弦拉得越紧，箭受的合力越大
吗？
提示：根据力的平行四边定则可知，TA和TB的大小之和等
于F，而F可能大于TA，也可能等于TA，也可能小于TA；人将弦拉得越紧，则夹角越小，拉力TA越大，而合力不变。
[归纳总结]　共点力合成的常见特殊情境
类型 作图 合力的计算
两力互相垂直 F＝，tan θ＝
两力等大，夹角为θ F＝2F1cos ，F与F1夹角为
两力等大，夹角为120° F′＝F，F′与F夹角为60°
考点二　力的分解
考向1　力的效果分解
(2025·四川自贡市一中高三诊断)我们在进行古建筑复原时，需要用各种各样的凿子制作卯眼，如图甲所示为木工常用的一种凿子，其截面如图乙所示，侧面与竖直面间的夹角为θ。当在顶部施加竖直向下的力F时，其侧面和竖直面对两侧木头的压力分别为F1和F2，不计凿子的重力和摩擦阻力，下列说法正确的是(　　)
A．力F一定小于F1
B．力F一定大于F2
C．F1和F2之间的大小关系满足F1sin θ＝F2
D．夹角θ越大，凿子越容易进入木头
图甲　 图乙
A　
解析：A　按效果将力F分解为F1′、F2′，如图所示，由几何关系结合F1＝F1′、F2＝F2′，可知F1cos θ＝F2，F＝F1sin θ，解得F1＝，可知F一定小于F1，由于不知道θ的具体大小，故F和F2的大小关系不能确定，且在顶部施加同样的力F时，夹角θ越大，力F1和F2越小，凿子越不容易进入木头，故A正确，B、C、D错误。
应用效果分解法的思路
(1)根据力的实际作用效果确定两个实际分力的方向。
(2)再根据两个分力方向画出平行四边形。
(3)最后由几何知识求出两个分力的大小和方向。
考向2　力的正交分解
(2025·河南重点中学4月联考)如图甲所示，推力F垂直斜面作用在斜面体上，斜面体静止在竖直墙面上，若将斜面体改成如图乙所示放置，用相同大小的推力F垂直斜面作用到斜面体上，则下列说法正确的是
(　　)
A．墙面受到的压力一定变小
B．斜面体受到的摩擦力一定变小
C．斜面体受到的摩擦力可能变大
D．斜面体可能沿墙面向上滑动
图甲　　　　　图乙
B　
解析：B　受力分析如图所示，图1中，FN1＝F cos θ，Ff1＝mg＋F sin θ≤Ffm，图2中，FN2＝F cos θ，所以墙面受到的压力不变，A项错误；若F sin θ＝mg，则Ff2＝0，若F sin θ＞mg，则Ff2方向向下，Ff2＝F sin θ－mg，若F sin θ＜mg，则Ff2方向向上，Ff2＝mg－F sin θ，所以斜面体受到的摩擦力一定变小，B项正确，C项错误；因为墙面受到的压力没有变，所以Ffm不变，图1中，Ff1＝mg＋F sin θ≤Ffm，推不动斜面体，图2中，Ff2＝F sin θ－mg，肯定比Ffm小，所以斜面体肯定不沿墙面向上滑动，D项错误。
图1　　　　　　图2
(1)选取原则：当物体受到三个以上的力时，常用正交分解法。
(2)基本思路：把各力沿相互垂直的x轴、y轴分解。
大小：x轴上的合力
Fx＝Fx1＋Fx2＋Fx3＋…
y轴上的合力
Fy＝Fy1＋Fy2＋Fy3＋…
合力大小F＝
方向：合力方向与x轴夹角为θ，则tan θ＝。
考向3　力分解中的唯一性和多解性
(多选)(2026·安徽阜阳期中联考)已知力F，且它的一个分力F1跟F成30°角，大小未知，另一个分力F2的大小为F，方向未知，则F1的大小可能是(　　)
A．
C．F
AC　
解析：AC　根据题意，作出矢量三角形，如图所示，通过几何关系得F1＝F或F1＝F，故A、C正确，B、D错误。
[归纳总结]　力的分解的唯一性和多解性
已知条件 示意图 解的情况
已知合力与两个分力的方向(两个分力不共线)

有唯一解
已知合力与一个分力的大小和方向

有唯一解
已知条件 示意图 解的情况
已知合力与一个分力的大小及另一个分力的方向 ①当F1＝F sin θ或F1≥F时，有一组解；
②当F1③当F sin θ素养拓展　“活结”和“死结”与“动杆”和“定杆”模型
1．“活结”与“死结”模型
模型结构 模型解读 模型特点
“活结”模型 “活结”把绳子分为两段，且可沿绳移动，“活结”一般由绳跨过滑轮或绳上挂一光滑挂钩而形成，绳子因“活结”而弯曲，但实际为同一根绳 “活结”两侧的绳子上的张力大小处处相等
模型结构 模型解读 模型特点
“死结”模型 “死结”把绳子分为两段，且不可沿绳移动，“死结”两侧的绳因结而变成两根独立的绳 “死结”两侧的绳子上张力不一定相等
(2024·浙江1月选考，6)如图所示，在同一竖直平面内，小球A、B上系有不可伸长的细线a、b、c和d，其中a的上端悬挂于竖直固定的支架上，d跨过左侧定滑轮、c跨过右侧定滑轮分别与相同配重P、Q相连，调节左、右两侧定滑轮高度达到平衡。已知小球A、B和配重P、Q质量均为50 g，细线c、d平行且与水平面成θ＝30°角(不计摩擦)，则细线a、b的拉力分别为(　　)
A．2 N　1 N
B．2 N　0.5 N
C．1 N　1 N
D．1 N　0.5 N
D　
解析：D　对A、B整体受力分析，如图1所示，由于FTd＝FTc＝mg，且两者共线反向，则由力的平衡条件有FTa＝2mg＝1 N，方向竖直向上；对A单独受力分析，如图2所示，根据力的平衡条件，水平方向上有FTbcos α＝FTccos θ，竖直方向上有FTbsin α＋FTcsin θ＝mg，联立并代入数据解得α＝θ＝30°，FTb＝FTc＝mg＝0.5 N。综上可知，D正确。
图1　　　　　 　图2
2．“动杆”与“定杆”模型
模型结构 模型解读 模型特点
“动杆”模型 轻杆用光滑的转轴或铰链连接，轻杆可围绕转轴或铰链自由转动 当杆处于平衡状态时，杆所受的弹力方向一定沿杆
“定杆”模型 轻杆被固定在接触面上，不能发生转动 杆所受的弹力方向不一定沿杆，可沿任意方向
(多选)(2025·山东济南外国语学校期末)图甲中，轻杆AB一端与墙上的光滑的铰链连接，另一端用轻绳系住，绳、杆之间夹角为30°，在B点下方悬挂质量为m的重物。图乙中，轻杆CD一端插入墙内，另一端装有小滑轮，现用轻绳绕过滑轮挂住质量为m的重物，绳、杆之间夹角也为30°。甲、乙中杆都垂直于墙，两图中重物都静止，则下列说法中正确的是(　　)
图甲 　 图乙
AD　
A．与轻杆AB连接的铰链受到杆的弹力大小为mg
B．轻杆CD上的小滑轮受到杆的弹力大小为mg
C．两根杆中弹力方向均沿杆方向
D．若甲、乙中轻绳能承受最大拉力相同，则重物的质量增加时，甲中轻绳更容易断裂
图甲 　 图乙
解析：AD　题图甲中B点受力如图1，杆对B点的作用力方向沿杆，由平行四边形定则可知，FN1＝mg，FT1＝＝2mg，则与轻杆AB连接的铰链受到杆的弹力大小为mg，故A正确；题图乙中D点受力如图2，D点滑轮受到杆的作用力方向不沿杆，绳中两个拉力大小相同，可知轻杆CD上的小滑轮受到杆的弹力大小为FN2＝FT1′＝FT2′＝mg，故B、
C错误；若甲、乙中轻绳能承受最大拉力相同，但图甲、乙中绳子拉力大小关系为FT1＞FT1′，则重物的质量增加时，甲中轻绳更容易断裂，故D正确。
图1　 图2
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限时规范
训练(8)　力的合成与分解
(建议用时：40分钟　满分：74分)
(选择题1～6题每题5分，7～10题每题6分，共54分)
[基础巩固练]
1．(2026·重庆西南大学附中月考)2025年5月19日，中国最先进的极地科考破冰船“雪龙2号”正式停靠泰国，庆祝中泰建交50周年。访问期间，“雪龙2号”将于5月21日至23日对公众开放，让泰国民众零距离接触全球领先的极地科考平台。破冰船可以滑上冰层借助自身重力破冰。在破冰船的船头相对冰层向上滑动的瞬间，船头受到冰层的支持力和摩擦力作用，题图所示的a、b、c、d四个方向中，这
两个力的合力方向可能是(　　)
A．a B．b
C．c D．d
C　
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解析：C　由题意可知，船头受到冰层的支持力垂直于冰面向上，摩擦力沿着冰面向下，根据平行四边形定则可知，这两个力的合力方向可能是c。
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2．(2023·重庆卷，1)矫正牙齿时，可用牵引线对牙施
加力的作用。若某颗牙齿受到牵引线的两个作用力大
小均为F，夹角为α(如图)，则该牙所受两牵引力的合力
大小为(　　)
A．2F sin B．2F cos
C．F sin α D．F cos α
解析：B　根据平行四边形定则可知，该牙所受两牵引力的合力大小为 F合＝2F cos ，故选B。
B　
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3．(2026·海南师大附中月考)已知两个共点力的合力为50 N，分力F1的方向与合力F的方向成30°角，分力F2的大小为30 N，则(　　)
A．F1的大小是唯一的
B．F2的方向是唯一的
C．F2有两个可能的方向
D．F2可取任意方向
C　
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解析：C　由F1、F2和F的矢量三角形图可以看出：因F2＝30 N＞F20＝25 N且F2＜F，所以F1的大小有两个，即F1′和F1″，F2的方向有两个，即F2′的方向和F2″的方向，故选项A、B、D错误，C正确。
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4．(一题多解)(2026·青海西宁期末)如图，有五个力作用于同一点O，表示这五个力的有向线段恰分别为一个正六边形的两条邻边和三条对角线。已知F2＝10 N，则这五个力的合力大小为(　　)
A．20 N B．30 N
C．40 N D．60 N
D　
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解析：D　法一：利用平行四边形定则。如图1所示，根据平行四边形定则，F3与F4的合力与F1等大同向，F2与F5的合力与F1等大同向，则这五个力的合力为3F1，已知F2＝10 N，根据几何关系可知F1＝＝20 N，所以这五个力的合力大小为F＝3F1＝60 N，故选D。
图1
法二：利用三角形定则。如图2所示，将力F2、F3平移到F5与F1、F4与F1的首端之间，F4、F3的合力等于F1，F5、F2的合力等于F1，由几何关系可知F1＝＝20 N，故这五个力的合力大小为F＝3F1＝60 N，故选D。
图2
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5．(2026·天津外国语学校月考)用卡车运输质量为m的匀质圆筒状工件，为使工件保持固定，将其置于两光滑斜面之间，如图所示。两斜面Ⅰ、Ⅱ固定在车上，倾角分别为30°和60°。重力加速度为g。当卡车沿平直公路匀速行驶时，圆筒对斜面Ⅰ、Ⅱ压力的大小分别为F1、F2，则(　　)
A．F1＝mg
B．F1＝mg
C．F1＝mg
D．F1＝mg
D　
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解析：D　将圆筒的重力垂直于斜面Ⅰ、Ⅱ进行分解，如图所示，由几何关系结合牛顿第三定律可知，F1＝mg cos 30°＝mg，F2＝mg sin 30°＝mg，D正确。
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6．(2023·广东卷，2)如图所示，可视为质点的机器人通过磁铁吸附在船舷外壁面检测船体。壁面可视为斜面，与竖直方向夹角为θ。船和机器人保持静止时，机器人仅受重力G、支持力FN、摩擦力Ff和磁力F的作用，磁力垂直壁面。下列关系式正确的是(　　)
A．Ff＝G B．F＝FN
C．Ff＝G cos θ D．F＝G sin θ
C　
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解析：C　将重力沿斜面和垂直于斜面方向分解，如图所示，沿斜面方向，由平衡条件得Ff＝G cos θ，故A错误，C正确；垂直于斜面方向F＝G sin θ＋FN，故B、D错误。
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[能力提升练]
7．(2026·北京师大附中月考)在如图所示装置中，两物体质量分别为m1和m2，滑轮直径大小可忽略。设动滑轮P两侧的绳与竖直方向夹角分别为α和β。整个装置能保持静止。不计动滑轮P的质量和一切摩擦。则下列说法正确的有(　　)
A．α一定等于β
B．m1一定大于m2
C．m1一定小于m2
D．m1可能大于2m2
A　
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解析：A　绳子连续通过定滑轮和动滑轮，绳子上的拉力相同，整个装置能保持静止，则绳子上的拉力大小与m2的重力大小相同，即T＝m2g，对滑轮P进行受力分析可得T sin α＝T sin β，T cos α＋T cos β＝m1g，解得α＝β，m1＝2m2cos α，故m1一定小于2m2，当α＝β＝60°时，有T＝m1g＝m2g，故选A。
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8．(2026·华东师大附中月考)弹跳能力是职业篮球运动员重要的身体素质指标之一，许多著名的篮球运动员因为具有惊人的弹跳能力而被球迷称为“弹簧人”。弹跳过程是身体肌肉、骨骼关节等部位一系列相关动作的过程，屈膝是其中的一个关键动作。如图所示，人屈膝下蹲时，膝关节弯曲的角度为θ，设此时大、小腿部的肌群对膝关节的作用力F的方向水平向后，且大腿骨、小腿骨对膝关节的作用力大致相等，那么脚掌所受地面竖直向上的弹力约为(　　)
A．tan
C．
A　
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解析：A　受力如图所示，设大腿骨和小腿骨对膝关节的作用力大小为F1，已知它们之间的夹角为θ，F即为它们的合力的大小，作出平行四边形如图所示，有F1cos ，则脚掌对地面竖直向下的压力为FN＝F1sin ，由牛顿第三定律可知脚掌所受地面竖直向上的弹力为FN′＝·tan 。故选A。
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9．(2026·天津市一中月考)图(a)、(b)、(c)分别为细绳拉质量为M的重物Q的简化装置，轻杆OA为可绕O点且垂直于纸面的光滑轴转动的杆，AB为轻绳，重物Q平衡时角度关系如图所示，轻杆OA在图(a)、(b)、(c)中受力分别为F1、F2、F3的大小关系正确的是(　　)
A．F1＞F2＝F3
B．F1＝F2＞F3
C．F1＞F2＞F3
D．F1＝F2＜F3
图(a) 图(b)　　　　 　图(c)
B　
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7
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解析：B　轻杆OA为可绕O点且垂直于纸面的光滑轴转动的杆，所以杆的弹力沿杆，对图甲有F1＝2Mg cos 30°＝Mg，对图乙有F2＝Mg，对图丙有F3＝Mg cos 30°＝Mg，故B正确，A、C、D错误。
图甲 图乙　　　　 　图丙
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10．(2024·湖北卷，6)如图所示，两拖船P、Q拉着无动力货船S一起在静水中沿图中虚线方向匀速前进，两根水平缆绳与虚线的夹角均保持为30°。假设水对三艘船在水平方向的作用力大小均为f，方向与船的运动方向相反，则每艘拖船发动机提供的动力大小为(　　)
A．f B．f
C．2f D．3f
B　
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解析：B　设缆绳对货船S的拉力为T，对货船S，有2T cos 30°＝f，解得T＝，对拖船P，设沿速度方向动力分量为Fx，垂直速度方向动力分量为Fy，则有Fx＝f＋T cos 30°＝f，Fy＝T sin 30°＝f，每艘拖船提供的动力设为F，则F＝f，B正确。
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11．(10分)(2024·新课标卷，24节选)将重物从高层楼房的窗外运到地面时，为安全起见，要求下降过程中重物与楼墙保持一定的距离。如图，一种简单的操作方法是一人在高处控制一端系在重物上的绳子P，另一人在地面控制另一根一端系在重物上的绳子Q，二人配合可使重物缓慢竖直下降。若重物的质量m＝42 kg，重力加速度大小g＝10 m/s2。当P绳与竖直方向的夹角α＝37°时，Q绳与竖直方向的夹角β＝53°。(sin 37°＝0.6)求此时P、Q绳中拉力的大小。
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解析：由题意可知重物下降过程中受力平衡，设此时P绳中拉力的大小为FP、Q绳中拉力的大小为FQ，则
在竖直方向上有FPcos α＝FQcos β＋mg
在水平方向上有FPsin α＝FQsin β
联立并代入数据解得FP＝1200 N、FQ＝900 N。
答案：1200 N　900 N
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[培优创新练]
12．(10分)(2026·北京大学附中月考)如图所示为一侧耳
朵佩戴口罩的示意图，一侧的口罩带是由直线AB、弧
线BCD和直线DE组成的。假若口罩带可认为是一段劲
度系数为k的弹性轻绳，在佩戴好口罩后弹性轻绳被拉
长了x，此时AB段与水平方向的夹角为37°，DE段与
水平方向的夹角为53°，弹性绳涉及到的受力均在同一平面内，不计摩擦，已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。求耳朵受到口罩带的作用力。
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解析：耳朵分别受到AB、ED段口罩带的拉力FAB、FED，且
FAB＝ FED ＝kx
将两力正交分解如图所示
FABx＝FAB·cos 37°
FABy＝FAB·sin 37°
FEDx＝ FED·cos 53°
FEDy＝ FED·sin 53°
水平方向合力Fx＝ FABx＋FEDx
竖直方向合力Fy＝ FABy＋FEDy
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解得Fx＝kx
耳朵受到口罩的作用力F合＝kx，方向与x轴负方向成45°角。
答案：kx，方向与x轴负方向成45°角
第2讲　力的合成与分解
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目标 要求 　 　 1.了解力的合成与分解；知道矢量和标量。2.会应用平行四边形定则或三角形定则求合力。3.会利用效果分解法和正交分解法计算分力。4.知道“活结”与“死结”、“动杆”与“定杆”的特点及区别。
一、合力与分力
1．定义：如果一个力的作用效果跟几个力共同作用的效果相同，这一个力就叫那几个力的合力，那几个力就叫这个力的分力。
2．逻辑关系：合力和分力是一种等效替代的关系。
二、共点力　力的合成
1．定义：作用在物体上的力的作用线或作用线的反向延长线交于一点的力。
2．力的合成的运算法则
(1)平行四边形定则：求两个互成角度的共点力F1、F2的合力，可以用表示F1、F2的有向线段为邻边作平行四边形，平行四边形的对角线(在两个有向线段F1、F2之间)就表示合力的大小和方向，如图甲所示。
(2)三角形定则：求两个互成角度的共点力F1、F2的合力，可以把表示F1、F2的线段首尾顺次相接地画出，把F1、F2的另外两端连接起来，则此连线就表示合力的大小和方向，如图乙所示。
图甲　　　　图乙　　　
三、矢量和标量
1．矢量：既有大小又有方向的量。相加时遵循平行四边形定则。
2．标量：只有大小没有方向的量。求和时按算术法则相加。
四、力的分解
1．定义：求一个已知力的分力的过程。
2．遵循的原则：平行四边形定则或三角形定则。
3．分解的方法
(1) 按力产生的实际效果进行分解。
(2)正交分解法。
1．判断正误
(1)合力是原来几个力的等效代替，合力的作用效果与分力的共同作用效果相同。(√)
(2)两个力夹角为θ(0°≤θ≤180°)它们的合力随θ增大而增大。(×)
(3)两个力的合力一定大于这两个力中的任一个。(×)
(4)力的分解必须按作用效果分解。(×)
(5)不是同时作用在同一物体上的力也能进行力的合成运算。(×)
(6)既有大小又有方向的量一定是矢量。(×)
2．(多选)(人教版教材原题改编)两个力F1和F2间的夹角为θ，两力的合力为F，以下说法正确的是(　　)
A．若F1、F2的大小和方向一定，则F的大小和方向一定
B．若F1与F2大小不变，θ角越小，合力F就越大
C．如果夹角θ不变，F1大小不变，只要增大F2，合力F就必然增大
D．合力F的作用效果与两个分力F1和F2共同产生的作用效果是相同的
解析：ABD　根据平行四边形定则，若F1、F2的大小和方向一定，则F的大小和方向一定，A正确；若F1与F2大小不变，θ角越小，合力F就越大，故B正确；若夹角θ角为钝角且不变，F1大小不变，增大F2时，合力F可能先变小后增大，如图所示，故C错误；合力F的作用效果与分力F1和F2共同产生的作用效果是相同的，故D正确。
3．(人教版教材原题改编)有两个力，它们的合力为0。现在把其中一个向东6 N的力改为向南(大小不变)，它们的合力大小为(　　)
A．6 N B．6 N
C．12 N D．0
解析：B　两个力合力为0，其中一个向东的力为6 N，则另一个力向西且大小也为6 N，将向东的6 N的力改为向南，则向西的6 N的力与向南的6 N的力的合力大小为6 N，故B正确。
4．(人教版教材原题改编)刀、斧、凿等切削工具的刃部叫作劈，如图是斧头劈木柴的情景。劈的纵截面是一个等腰三角形，使用劈的时候，垂直劈背加一个力F，这个力产生两个作用效果，使劈的两个侧面推压木柴，把木柴劈开。设劈背的宽度为d，劈的侧面长为l，不计斧头自身的重力，则劈的侧面推压木柴的力的大小为(　　)
　
A．F B．F
C．F D．F
解析：B　斧头劈木柴时，设两侧面推压木柴的力分别为F1、F2，且F1＝F2，利用几何三角形与力的三角形相似有，得推压木柴的力F1＝F2＝F，所以B正确，A、C、D错误。
考点一　共点力的合成
考向1　合力与分力的关系
　(多选)(2025·杭州二中期中)两个共点力F1、F2大小不同，夹角为α(0<α<π)，它们的合力大小为F，则(　　)
A．F1、F2同时增加10 N，F也增加10 N
B．F1、F2同时增大一倍，F也增大一倍
C．F1增加10 N，F2减少10 N，F一定不变
D．若F1、F2都增大，但F不一定增大
解析：BD　F1、F2同时增加10 N，根据平行四边形定则合成之后，合力的大小增加不一定是10 N，故A错误；根据平行四边形定则，F1、F2同时增大一倍，F也增大一倍，故B正确；F1增加10 N，F2减少10 N，F可能变大或变小，也可能不变，故C错误；若F1、F2都增大，根据平行四边形定则可知F不一定增大，故D正确。
合力与分力是等效替代关系。运算满足平行四边形定则。
考向2　两个力的合成及合力的范围
　(2026·天津十四中期中)如图所示为两个大小不变、夹角θ变化的力的合力的大小F与θ(0≤θ≤2π)角之间的关系图像，下列说法中正确的是(　　)
A．合力大小的变化范围是0≤F≤14 N
B．合力大小的变化范围是2 N≤F≤10 N
C．这两个分力的大小分别为6 N和8 N
D．这两个分力的大小分别为2 N和8 N
解析：C　由题图可知，当两力夹角为180°时，两力的合力大小为2 N，而当两力夹角为90°时，两力的合力大小为10 N，则这两个力的大小分别为6 N、8 N，故C正确，D错误；当两个力方向相同时，合力大小最大，等于两个力之和；当两个力方向相反时，合力大小最小，等于两个力之差，由此可知，合力大小的变化范围是2 N≤F≤14 N，故A、B错误。
两个共点力的合成范围
|F1－F2|≤F合≤F1＋F2。
　(多选)(2026·清华大学附中月考)一物体静止于水平桌面上，物体与水平面之间的最大静摩擦力为5 N，现将水平面内三个力同时作用于该物体的同一点，三个力的大小分别为2 N、2 N、3 N。下列关于该物体的受力情况和运动情况判断正确的是(　　)
A．物体所受静摩擦力可能为2 N
B．物体所受静摩擦力可能为4 N
C．物体可能仍保持静止
D．物体一定被拉动
解析：ABC　两个2 N的力的合力范围为0～4 N，然后与3 N的力合成，则三力的合力范围为0～7 N，由于最大静摩擦力为5 N，因此可判定选项A、B、C正确，D错误。
三个共点力的合成范围
(1)最大值：三个力共线且同向时，其合力最大，为F1＋F2＋F3。
(2)最小值：任取两个力，求出其合力的范围，如果第三个力在这个范围之内，则三个力合力的最小值为0；否则合力的最小值等于最大的力减去另外两个力。
考向3　合力的计算
　(2025·吉林一中期中)某物体同时受到2个共点力作用，在如图所示的四种情况中(坐标纸中每格的边长均表示1 N大小的力)，物体所受合外力最大的是(　　)
　
解析：C　题A图中，将F1与F2进行合成，求得合力的大小为F合＝3 N，如图甲所示；题B图中，将F1与F2进行合成，求得合力的大小为F合＝ N＝5 N，如图乙所示；题C图中，将F1与F2进行合成，求得合力的大小为F合＝4 N，如图丙所示；题D图中，将F1与F2进行合成，求得合力的大小为
F合＝3 N，如图丁所示。图丙所示合外力最大，故选项C符合题意。
图甲　　 　图乙 图丙　　　图丁
作图法求合力：从力的作用点O起，按同一标度作出两个分力F1和F2的图示，再以F1和F2的图示为邻边作平行四边形，画出过作用点O的对角线。
　(2025·山东师大附中月考)射箭是奥运会比赛项目之一，运动员射箭的场景如图甲所示。发射时弦和箭可等效为图乙，已知弦均匀且弹性良好，自由长度为l，劲度系数为k，发射箭时弦的最大长度为l(弹性限度内)。此时弓的顶部跨度(虚线长)为l，(假设箭在弦的正中间，弦夹在类似动滑轮的附加装置上)，则箭被发射瞬间所受的最大弹力为(设弦的弹力满足胡克定律)(　　)
图甲　 图乙
A．kl B．kl
C．kl D．2kl
解析：B　设弦达到最大长度时与箭的夹角为θ，由几何关系可得sin θ＝，可得θ＝37°，箭被发射瞬间所受的最大弹力为Fmax＝2k·cos θ＝kl，故选B。
[拓展]　若拉弓时，手对弦的作用力为F，弦的拉力分别为TA和TB，如图所示。试分析：TA和TB的大小之和等于F吗？F一定大于TA吗？人将弦拉得越紧，箭受的合力越大吗？
提示：根据力的平行四边定则可知，TA和TB的大小之和等于F，而F可能大于TA，也可能等于TA，也可能小于TA；人将弦拉得越紧，则夹角越小，拉力TA越大，而合力不变。
计算法求合力：根据平行四边形定则作出示意图，然后利用解三角形的方法求出合力。
[归纳总结]　共点力合成的常见特殊情境
类型 作图 合力的计算
两力互相垂直 F＝，tan θ＝
两力等大，夹角为θ F＝2F1cos ，F与F1夹角为
两力等大，夹角为120° F′＝F，F′与F夹角为60°
考点二　力的分解
考向1　力的效果分解
　(2025·四川自贡市一中高三诊断)我们在进行古建筑复原时，需要用各种各样的凿子制作卯眼，如图甲所示为木工常用的一种凿子，其截面如图乙所示，侧面与竖直面间的夹角为θ。当在顶部施加竖直向下的力F时，其侧面和竖直面对两侧木头的压力分别为F1和F2，不计凿子的重力和摩擦阻力，下列说法正确的是(　　)
图甲　 图乙
A．力F一定小于F1
B．力F一定大于F2
C．F1和F2之间的大小关系满足F1sin θ＝F2
D．夹角θ越大，凿子越容易进入木头
解析：A　按效果将力F分解为F1′、F2′，如图所示，由几何关系结合F1＝F1′、F2＝F2′，可知F1cos θ＝F2，F＝F1sin θ，解得F1＝，可知F一定小于F1，由于不知道θ的具体大小，故F和F2的大小关系不能确定，且在顶部施加同样的力F时，夹角θ越大，力F1和F2越小，凿子越不容易进入木头，故A正确，B、C、D错误。
应用效果分解法的思路
(1)根据力的实际作用效果确定两个实际分力的方向。
(2)再根据两个分力方向画出平行四边形。
(3)最后由几何知识求出两个分力的大小和方向。
考向2　力的正交分解
　(2025·河南重点中学4月联考)如图甲所示，推力F垂直斜面作用在斜面体上，斜面体静止在竖直墙面上，若将斜面体改成如图乙所示放置，用相同大小的推力F垂直斜面作用到斜面体上，则下列说法正确的是(　　)
图甲　　　　　图乙
A．墙面受到的压力一定变小
B．斜面体受到的摩擦力一定变小
C．斜面体受到的摩擦力可能变大
D．斜面体可能沿墙面向上滑动
解析：B　受力分析如图所示，图1中，FN1＝F cos θ，Ff1＝mg＋F sin θ≤Ffm，图2中，FN2＝F cos θ，所以墙面受到的压力不变，A项错误；若F sin θ＝mg，则Ff2＝0，若F sin θ＞mg，则Ff2方向向下，Ff2＝F sin θ－mg，若F sin θ＜mg，则Ff2方向向上，Ff2＝mg－F sin θ，所以斜面体受到的摩擦力一定变小，B项正确，C项错误；因为墙面受到的压力没有变，所以Ffm不变，图1中，Ff1＝mg＋F sin θ≤Ffm，推不动斜面体，图2中，Ff2＝F sin θ－mg，肯定比Ffm小，所以斜面体肯定不沿墙面向上滑动，D项错误。
图1　　　　　　　　图2
(1)选取原则：当物体受到三个以上的力时，常用正交分解法。
(2)基本思路：把各力沿相互垂直的x轴、y轴分解。
大小：
x轴上的合力
Fx＝Fx1＋Fx2＋Fx3＋…
y轴上的合力
Fy＝Fy1＋Fy2＋Fy3＋…
合力大小F＝
方向：合力方向与x轴夹角为θ，则tan θ＝。
考向3　力分解中的唯一性和多解性
　(多选)(2026·安徽阜阳期中联考)已知力F，且它的一个分力F1跟F成30°角，大小未知，另一个分力F2的大小为F，方向未知，则F1的大小可能是(　　)
A．
C．F
解析：AC　根据题意，作出矢量三角形，如图所示，通过几何关系得F1＝F或F1＝F，故A、C正确，B、D错误。
[归纳总结]　力的分解的唯一性和多解性
已知条件 示意图 解的情况
已知合力与两个分力的方向(两个分力不共线) 有唯一解
已知合力与一个分力的大小和方向 有唯一解
已知合力与一个分力的大小及另一个分力的方向 ①当F1＝F sin θ或F1≥F时，有一组解； ②当F1素养拓展　“活结”和“死结”与“动杆”和“定杆”模型
1．“活结”与“死结”模型
模型结构 模型解读 模型特点
“活结”模型 “活结”把绳子分为两段，且可沿绳移动，“活结”一般由绳跨过滑轮或绳上挂一光滑挂钩而形成，绳子因“活结”而弯曲，但实际为同一根绳 “活结”两侧的绳子上的张力大小处处相等
“死结”模型 “死结”把绳子分为两段，且不可沿绳移动，“死结”两侧的绳因结而变成两根独立的绳 “死结”两侧的绳子上张力不一定相等
　(2024·浙江1月选考，6)如图所示，在同一竖直平面内，小球A、B上系有不可伸长的细线a、b、c和d，其中a的上端悬挂于竖直固定的支架上，d跨过左侧定滑轮、c跨过右侧定滑轮分别与相同配重P、Q相连，调节左、右两侧定滑轮高度达到平衡。已知小球A、B和配重P、Q质量均为50 g，细线c、d平行且与水平面成θ＝30°角(不计摩擦)，则细线a、b的拉力分别为(　　)
A．2 N　1 N B．2 N　0.5 N
C．1 N　1 N D．1 N　0.5 N
解析：D　对A、B整体受力分析，如图1所示，由于FTd＝FTc＝mg，且两者共线反向，则由力的平衡条件有FTa＝2mg＝1 N，方向竖直向上；对A单独受力分析，如图2所示，根据力的平衡条件，水平方向上有FTbcos α＝FTccos θ，竖直方向上有FTbsin α＋FTcsin θ＝mg，联立并代入数据解得α＝θ＝30°，FTb＝FTc＝mg＝0.5 N。综上可知，D正确。
图1　　　　　　　　图2
2．“动杆”与“定杆”模型
模型结构 模型解读 模型特点
“动杆”模型 轻杆用光滑的转轴或铰链连接，轻杆可围绕转轴或铰链自由转动 当杆处于平衡状态时，杆所受的弹力方向一定沿杆
“定杆”模型 轻杆被固定在接触面上，不能发生转动 杆所受的弹力方向不一定沿杆，可沿任意方向
　(多选)(2025·山东济南外国语学校期末)图甲中，轻杆AB一端与墙上的光滑的铰链连接，另一端用轻绳系住，绳、杆之间夹角为30°，在B点下方悬挂质量为m的重物。图乙中，轻杆CD一端插入墙内，另一端装有小滑轮，现用轻绳绕过滑轮挂住质量为m的重物，绳、杆之间夹角也为30°。甲、乙中杆都垂直于墙，两图中重物都静止，则下列说法中正确的是(　　)
图甲 　 图乙
A．与轻杆AB连接的铰链受到杆的弹力大小为mg
B．轻杆CD上的小滑轮受到杆的弹力大小为mg
C．两根杆中弹力方向均沿杆方向
D．若甲、乙中轻绳能承受最大拉力相同，则重物的质量增加时，甲中轻绳更容易断裂
解析：AD　题图甲中B点受力如图1，杆对B点的作用力方向沿杆，由平行四边形定则可知，FN1＝mg，FT1＝＝2mg，则与轻杆AB连接的铰链受到杆的弹力大小为mg，故A正确；题图乙中D点受力如图2，D点滑轮受到杆的作用力方向不沿杆，绳中两个拉力大小相同，可知轻杆CD上的小滑轮受到杆的弹力大小为FN2＝FT1′＝FT2′＝mg，故B、C错误；若甲、乙中轻绳能承受最大拉力相同，但图甲、乙中绳子拉力大小关系为FT1＞FT1′，则重物的质量增加时，甲中轻绳更容易断裂，故D正确。
图1　 图2
限时规范训练(8)　力的合成与分解
(建议用时：40分钟　满分：74分)
(选择题1～6题每题5分，7～10题每题6分，共54分)
[基础巩固练]
1．(2026·重庆西南大学附中月考)2025年5月19日，中国最先进的极地科考破冰船“雪龙2号”正式停靠泰国，庆祝中泰建交50周年。访问期间，“雪龙2号”将于5月21日至23日对公众开放，让泰国民众零距离接触全球领先的极地科考平台。破冰船可以滑上冰层借助自身重力破冰。在破冰船的船头相对冰层向上滑动的瞬间，船头受到冰层的支持力和摩擦力作用，题图所示的a、b、c、d四个方向中，这两个力的合力方向可能是(　　)
A．a B．b
C．c D．d
解析：C　由题意可知，船头受到冰层的支持力垂直于冰面向上，摩擦力沿着冰面向下，根据平行四边形定则可知，这两个力的合力方向可能是c。
2．(2023·重庆卷，1)矫正牙齿时，可用牵引线对牙施加力的作用。若某颗牙齿受到牵引线的两个作用力大小均为F，夹角为α(如图)，则该牙所受两牵引力的合力大小为(　　)
A．2F sin B．2F cos
C．F sin α D．F cos α
解析：B　根据平行四边形定则可知，该牙所受两牵引力的合力大小为F合＝2F cos ，故选B。
3．(2026·海南师大附中月考)已知两个共点力的合力为50 N，分力F1的方向与合力F的方向成30°角，分力F2的大小为30 N，则(　　)
A．F1的大小是唯一的
B．F2的方向是唯一的
C．F2有两个可能的方向
D．F2可取任意方向
解析：C　由F1、F2和F的矢量三角形图可以看出：因F2＝30 N＞F20＝25 N且F2＜F，所以F1的大小有两个，即F1′和F1″，F2的方向有两个，即F2′的方向和F2″的方向，故选项A、B、D错误，C正确。
4．(一题多解)(2026·青海西宁期末)如图，有五个力作用于同一点O，表示这五个力的有向线段恰分别为一个正六边形的两条邻边和三条对角线。已知F2＝10 N，则这五个力的合力大小为(　　)
A．20 N B．30 N
C．40 N D．60 N
解析：D　法一：利用平行四边形定则。如图1所示，根据平行四边形定则，F3与F4的合力与F1等大同向，F2与F5的合力与F1等大同向，则这五个力的合力为3F1，已知F2＝10 N，根据几何关系可知F1＝＝20 N，所以这五个力的合力大小为F＝3F1＝60 N，故选D。
图1
法二：利用三角形定则。如图2所示，将力F2、F3平移到F5与F1、F4与F1的首端之间，F4、F3的合力等于F1，F5、F2的合力等于F1，由几何关系可知F1＝＝20 N，故这五个力的合力大小为F＝3F1＝60 N，故选D。
图2
5．(2026·天津外国语学校月考)用卡车运输质量为m的匀质圆筒状工件，为使工件保持固定，将其置于两光滑斜面之间，如图所示。两斜面Ⅰ、Ⅱ固定在车上，倾角分别为30°和60°。重力加速度为g。当卡车沿平直公路匀速行驶时，圆筒对斜面Ⅰ、Ⅱ压力的大小分别为F1、F2，则(　　)
A．F1＝mg
B．F1＝mg
C．F1＝mg
D．F1＝mg
解析：D　将圆筒的重力垂直于斜面Ⅰ、Ⅱ进行分解，如图所示，由几何关系结合牛顿第三定律可知，F1＝mg cos 30°＝mg，F2＝mg sin 30°＝mg，D正确。
6．(2023·广东卷，2)如图所示，可视为质点的机器人通过磁铁吸附在船舷外壁面检测船体。壁面可视为斜面，与竖直方向夹角为θ。船和机器人保持静止时，机器人仅受重力G、支持力FN、摩擦力Ff和磁力F的作用，磁力垂直壁面。下列关系式正确的是(　　)
A．Ff＝G B．F＝FN
C．Ff＝G cos θ D．F＝G sin θ
解析：C　将重力沿斜面和垂直于斜面方向分解，如图所示，沿斜面方向，由平衡条件得Ff＝G cos θ，故A错误，C正确；垂直于斜面方向F＝G sin θ＋FN，故B、D错误。
[能力提升练]
7．(2026·北京师大附中月考)在如图所示装置中，两物体质量分别为m1和m2，滑轮直径大小可忽略。设动滑轮P两侧的绳与竖直方向夹角分别为α和β。整个装置能保持静止。不计动滑轮P的质量和一切摩擦。则下列说法正确的有(　　)
A．α一定等于β B．m1一定大于m2
C．m1一定小于m2 D．m1可能大于2m2
解析：A　绳子连续通过定滑轮和动滑轮，绳子上的拉力相同，整个装置能保持静止，则绳子上的拉力大小与m2的重力大小相同，即T＝m2g，对滑轮P进行受力分析可得T sin α＝T sin β，T cos α＋T cos β＝m1g，解得α＝β，m1＝2m2cos α，故m1一定小于2m2，当α＝β＝60°时，有T＝m1g＝m2g，故选A。
8．(2026·华东师大附中月考)弹跳能力是职业篮球运动员重要的身体素质指标之一，许多著名的篮球运动员因为具有惊人的弹跳能力而被球迷称为“弹簧人”。弹跳过程是身体肌肉、骨骼关节等部位一系列相关动作的过程，屈膝是其中的一个关键动作。如图所示，人屈膝下蹲时，膝关节弯曲的角度为θ，设此时大、小腿部的肌群对膝关节的作用力F的方向水平向后，且大腿骨、小腿骨对膝关节的作用力大致相等，那么脚掌所受地面竖直向上的弹力约为(　　)
A．tan
C．
解析：A　受力如图所示，设大腿骨和小腿骨对膝关节的作用力大小为F1，已知它们之间的夹角为θ，F即为它们的合力的大小，作出平行四边形如图所示，有F1cos ，则脚掌对地面竖直向下的压力为FN＝F1sin ，由牛顿第三定律可知脚掌所受地面竖直向上的弹力为FN′＝·tan 。故选A。
9．(2026·天津市一中月考)图(a)、(b)、(c)分别为细绳拉质量为M的重物Q的简化装置，轻杆OA为可绕O点且垂直于纸面的光滑轴转动的杆，AB为轻绳，重物Q平衡时角度关系如图所示，轻杆OA在图(a)、(b)、(c)中受力分别为F1、F2、F3的大小关系正确的是(　　)
图(a)
图(b)　　　　　图(c)
A．F1＞F2＝F3 B．F1＝F2＞F3
C．F1＞F2＞F3 D．F1＝F2＜F3
解析：B　轻杆OA为可绕O点且垂直于纸面的光滑轴转动的杆，所以杆的弹力沿杆，对图甲有F1＝2Mg cos 30°＝Mg，对图乙有F2＝Mg，对图丙有F3＝Mg cos 30°＝Mg，故B正确，A、C、D错误。
图甲
图乙　　　　　图丙
10．(2024·湖北卷，6)如图所示，两拖船P、Q拉着无动力货船S一起在静水中沿图中虚线方向匀速前进，两根水平缆绳与虚线的夹角均保持为30°。假设水对三艘船在水平方向的作用力大小均为f，方向与船的运动方向相反，则每艘拖船发动机提供的动力大小为(　　)
A．f B．f
C．2f D．3f
解析：B　设缆绳对货船S的拉力为T，对货船S，有2T cos 30°＝f，解得T＝，对拖船P，设沿速度方向动力分量为Fx，垂直速度方向动力分量为Fy，则有Fx＝f＋T cos 30°＝f，Fy＝T sin 30°＝f，每艘拖船提供的动力设为F，则F＝f，B正确。
11．(10分)(2024·新课标卷，24节选)将重物从高层楼房的窗外运到地面时，为安全起见，要求下降过程中重物与楼墙保持一定的距离。如图，一种简单的操作方法是一人在高处控制一端系在重物上的绳子P，另一人在地面控制另一根一端系在重物上的绳子Q，二人配合可使重物缓慢竖直下降。若重物的质量m＝42 kg，重力加速度大小g＝10 m/s2。当P绳与竖直方向的夹角α＝37°时，Q绳与竖直方向的夹角β＝53°。(sin 37°＝0.6)求此时P、Q绳中拉力的大小。
解析：由题意可知重物下降过程中受力平衡，设此时P绳中拉力的大小为FP、Q绳中拉力的大小为FQ，则
在竖直方向上有FPcos α＝FQcos β＋mg
在水平方向上有FPsin α＝FQsin β
联立并代入数据解得FP＝1200 N、FQ＝900 N。
答案：1200 N　900 N
[培优创新练]
12．(10分)(2026·北京大学附中月考)如图所示为一侧耳朵佩戴口罩的示意图，一侧的口罩带是由直线AB、弧线BCD和直线DE组成的。假若口罩带可认为是一段劲度系数为k的弹性轻绳，在佩戴好口罩后弹性轻绳被拉长了x，此时AB段与水平方向的夹角为37°，DE段与水平方向的夹角为53°，弹性绳涉及到的受力均在同一平面内，不计摩擦，已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。求耳朵受到口罩带的作用力。
解析：耳朵分别受到AB、ED段口罩带的拉力FAB、FED，且
FAB＝ FED ＝kx
将两力正交分解如图所示
FABx＝FAB·cos 37°
FABy＝FAB·sin 37°
FEDx＝ FED·cos 53°
FEDy＝ FED·sin 53°
水平方向合力Fx＝ FABx＋FEDx
竖直方向合力Fy＝ FABy＋FEDy
解得Fx＝kx
耳朵受到口罩的作用力F合＝kx，方向与x轴负方向成45°角。
答案：kx，方向与x轴负方向成45°角限时规范训练(8)　力的合成与分解
(建议用时：40分钟　满分：74分)
(选择题1～6题每题5分，7～10题每题6分，共54分)
[基础巩固练]
1．(2026·重庆西南大学附中月考)2025年5月19日，中国最先进的极地科考破冰船“雪龙2号”正式停靠泰国，庆祝中泰建交50周年。访问期间，“雪龙2号”将于5月21日至23日对公众开放，让泰国民众零距离接触全球领先的极地科考平台。破冰船可以滑上冰层借助自身重力破冰。在破冰船的船头相对冰层向上滑动的瞬间，船头受到冰层的支持力和摩擦力作用，题图所示的a、b、c、d四个方向中，这两个力的合力方向可能是(　　)
A．a B．b
C．c D．d
解析：C　由题意可知，船头受到冰层的支持力垂直于冰面向上，摩擦力沿着冰面向下，根据平行四边形定则可知，这两个力的合力方向可能是c。
2．(2023·重庆卷，1)矫正牙齿时，可用牵引线对牙施加力的作用。若某颗牙齿受到牵引线的两个作用力大小均为F，夹角为α(如图)，则该牙所受两牵引力的合力大小为(　　)
A．2F sin B．2F cos
C．F sin α D．F cos α
解析：B　根据平行四边形定则可知，该牙所受两牵引力的合力大小为F合＝2F cos ，故选B。
3．(2026·海南师大附中月考)已知两个共点力的合力为50 N，分力F1的方向与合力F的方向成30°角，分力F2的大小为30 N，则(　　)
A．F1的大小是唯一的
B．F2的方向是唯一的
C．F2有两个可能的方向
D．F2可取任意方向
解析：C　由F1、F2和F的矢量三角形图可以看出：因F2＝30 N＞F20＝25 N且F2＜F，所以F1的大小有两个，即F1′和F1″，F2的方向有两个，即F2′的方向和F2″的方向，故选项A、B、D错误，C正确。
4．(一题多解)(2026·青海西宁期末)如图，有五个力作用于同一点O，表示这五个力的有向线段恰分别为一个正六边形的两条邻边和三条对角线。已知F2＝10 N，则这五个力的合力大小为(　　)
A．20 N B．30 N
C．40 N D．60 N
解析：D　法一：利用平行四边形定则。如图1所示，根据平行四边形定则，F3与F4的合力与F1等大同向，F2与F5的合力与F1等大同向，则这五个力的合力为3F1，已知F2＝10 N，根据几何关系可知F1＝＝20 N，所以这五个力的合力大小为F＝3F1＝60 N，故选D。
图1
法二：利用三角形定则。如图2所示，将力F2、F3平移到F5与F1、F4与F1的首端之间，F4、F3的合力等于F1，F5、F2的合力等于F1，由几何关系可知F1＝＝20 N，故这五个力的合力大小为F＝3F1＝60 N，故选D。
图2
5．(2026·天津外国语学校月考)用卡车运输质量为m的匀质圆筒状工件，为使工件保持固定，将其置于两光滑斜面之间，如图所示。两斜面Ⅰ、Ⅱ固定在车上，倾角分别为30°和60°。重力加速度为g。当卡车沿平直公路匀速行驶时，圆筒对斜面Ⅰ、Ⅱ压力的大小分别为F1、F2，则(　　)
A．F1＝mg
B．F1＝mg
C．F1＝mg
D．F1＝mg
解析：D　将圆筒的重力垂直于斜面Ⅰ、Ⅱ进行分解，如图所示，由几何关系结合牛顿第三定律可知，F1＝mg cos 30°＝mg，F2＝mg sin 30°＝mg，D正确。
6．(2023·广东卷，2)如图所示，可视为质点的机器人通过磁铁吸附在船舷外壁面检测船体。壁面可视为斜面，与竖直方向夹角为θ。船和机器人保持静止时，机器人仅受重力G、支持力FN、摩擦力Ff和磁力F的作用，磁力垂直壁面。下列关系式正确的是(　　)
A．Ff＝G B．F＝FN
C．Ff＝G cos θ D．F＝G sin θ
解析：C　将重力沿斜面和垂直于斜面方向分解，如图所示，沿斜面方向，由平衡条件得Ff＝G cos θ，故A错误，C正确；垂直于斜面方向F＝G sin θ＋FN，故B、D错误。
[能力提升练]
7．(2026·北京师大附中月考)在如图所示装置中，两物体质量分别为m1和m2，滑轮直径大小可忽略。设动滑轮P两侧的绳与竖直方向夹角分别为α和β。整个装置能保持静止。不计动滑轮P的质量和一切摩擦。则下列说法正确的有(　　)
A．α一定等于β B．m1一定大于m2
C．m1一定小于m2 D．m1可能大于2m2
解析：A　绳子连续通过定滑轮和动滑轮，绳子上的拉力相同，整个装置能保持静止，则绳子上的拉力大小与m2的重力大小相同，即T＝m2g，对滑轮P进行受力分析可得T sin α＝T sin β，T cos α＋T cos β＝m1g，解得α＝β，m1＝2m2cos α，故m1一定小于2m2，当α＝β＝60°时，有T＝m1g＝m2g，故选A。
8．(2026·华东师大附中月考)弹跳能力是职业篮球运动员重要的身体素质指标之一，许多著名的篮球运动员因为具有惊人的弹跳能力而被球迷称为“弹簧人”。弹跳过程是身体肌肉、骨骼关节等部位一系列相关动作的过程，屈膝是其中的一个关键动作。如图所示，人屈膝下蹲时，膝关节弯曲的角度为θ，设此时大、小腿部的肌群对膝关节的作用力F的方向水平向后，且大腿骨、小腿骨对膝关节的作用力大致相等，那么脚掌所受地面竖直向上的弹力约为(　　)
A．tan
C．
解析：A　受力如图所示，设大腿骨和小腿骨对膝关节的作用力大小为F1，已知它们之间的夹角为θ，F即为它们的合力的大小，作出平行四边形如图所示，有F1cos ，则脚掌对地面竖直向下的压力为FN＝F1sin ，由牛顿第三定律可知脚掌所受地面竖直向上的弹力为FN′＝·tan 。故选A。
9．(2026·天津市一中月考)图(a)、(b)、(c)分别为细绳拉质量为M的重物Q的简化装置，轻杆OA为可绕O点且垂直于纸面的光滑轴转动的杆，AB为轻绳，重物Q平衡时角度关系如图所示，轻杆OA在图(a)、(b)、(c)中受力分别为F1、F2、F3的大小关系正确的是(　　)
图(a)
图(b)　　　　　图(c)
A．F1＞F2＝F3 B．F1＝F2＞F3
C．F1＞F2＞F3 D．F1＝F2＜F3
解析：B　轻杆OA为可绕O点且垂直于纸面的光滑轴转动的杆，所以杆的弹力沿杆，对图甲有F1＝2Mg cos 30°＝Mg，对图乙有F2＝Mg，对图丙有F3＝Mg cos 30°＝Mg，故B正确，A、C、D错误。
图甲
图乙　　　　　图丙
10．(2024·湖北卷，6)如图所示，两拖船P、Q拉着无动力货船S一起在静水中沿图中虚线方向匀速前进，两根水平缆绳与虚线的夹角均保持为30°。假设水对三艘船在水平方向的作用力大小均为f，方向与船的运动方向相反，则每艘拖船发动机提供的动力大小为(　　)
A．f B．f
C．2f D．3f
解析：B　设缆绳对货船S的拉力为T，对货船S，有2T cos 30°＝f，解得T＝，对拖船P，设沿速度方向动力分量为Fx，垂直速度方向动力分量为Fy，则有Fx＝f＋T cos 30°＝f，Fy＝T sin 30°＝f，每艘拖船提供的动力设为F，则F＝f，B正确。
11．(10分)(2024·新课标卷，24节选)将重物从高层楼房的窗外运到地面时，为安全起见，要求下降过程中重物与楼墙保持一定的距离。如图，一种简单的操作方法是一人在高处控制一端系在重物上的绳子P，另一人在地面控制另一根一端系在重物上的绳子Q，二人配合可使重物缓慢竖直下降。若重物的质量m＝42 kg，重力加速度大小g＝10 m/s2。当P绳与竖直方向的夹角α＝37°时，Q绳与竖直方向的夹角β＝53°。(sin 37°＝0.6)求此时P、Q绳中拉力的大小。
解析：由题意可知重物下降过程中受力平衡，设此时P绳中拉力的大小为FP、Q绳中拉力的大小为FQ，则
在竖直方向上有FPcos α＝FQcos β＋mg
在水平方向上有FPsin α＝FQsin β
联立并代入数据解得FP＝1200 N、FQ＝900 N。
答案：1200 N　900 N
[培优创新练]
12．(10分)(2026·北京大学附中月考)如图所示为一侧耳朵佩戴口罩的示意图，一侧的口罩带是由直线AB、弧线BCD和直线DE组成的。假若口罩带可认为是一段劲度系数为k的弹性轻绳，在佩戴好口罩后弹性轻绳被拉长了x，此时AB段与水平方向的夹角为37°，DE段与水平方向的夹角为53°，弹性绳涉及到的受力均在同一平面内，不计摩擦，已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。求耳朵受到口罩带的作用力。
解析：耳朵分别受到AB、ED段口罩带的拉力FAB、FED，且
FAB＝ FED ＝kx
将两力正交分解如图所示
FABx＝FAB·cos 37°
FABy＝FAB·sin 37°
FEDx＝ FED·cos 53°
FEDy＝ FED·sin 53°
水平方向合力Fx＝ FABx＋FEDx
竖直方向合力Fy＝ FABy＋FEDy
解得Fx＝kx
耳朵受到口罩的作用力F合＝kx，方向与x轴负方向成45°角。
答案：kx，方向与x轴负方向成45°角

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