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湘教版数学八年级上册培优精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.1.3.1用平方差公式进行因式分解第1章因式分解湘教版数学八年级上册1.3.1用平方差公式进行因式分解同步练习题知识点核心：平方差公式因式分解是整式乘法平方差公式的逆运算，公式为$$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$$。适用条件：多项式为二项式、两项符号相反、两项均为完全平方式。其中$$a$$、$$b$$可以是单项式、多项式，解题需遵循“先提公因式，再套公式，分解要彻底”的原则。一、选择题（每题4分，共20分）1.下列多项式可以用平方差公式分解因式的是（）A. $$x^2+y^2$$ B. $$x^2-y^2$$ C. $$-x^2-y^2$$ D. $$x^2-2y$$2.分解因式$$4x^2-25$$的结果正确的是（）A. $$(4x+5)(4x-5)$$ B. $$(2x+5)(2x-5)$$ C. $$(2x-5)^2$$ D. $$4(x+5)(x-5)$$3.多项式$$-9+m^2$$因式分解的结果是（）A. $$(m+3)(m-3)$$ B. $$(3+m)(3-m)$$ C. $$(m-9)(m+9)$$ D. $$-(m+3)(m-3)$$二、填空题（每题4分，共20分）4.因式分解：$$x^2-16=$$________。5.因式分解：$$9a^2-4b^2=$$________。6.若$$x^2-k^2=(x+6)(x-6)$$，则$$k=$$________。三、解答题（共60分）7.用平方差公式分解下列因式（每题10分）（1）$$1-x^2$$（2）$$25m^2-36n^2$$（3）$$(x+2)^2-(x-1)^2$$8.综合分解题（15分）：先提公因式再用公式分解$$2x^2-32$$。9.求值应用题（15分）：利用因式分解简便计算$$101^2-99^2$$。参考答案及解析选择题：1.B（满足二项式、异号、平方形式三大条件）；2.B（$$4x^2=(2x)^2，25=5^2$$，套用平方差公式）；3.A（整理为$$m^2-9=m^2-3^2$$，再分解）。填空题：4.$$(x+4)(x-4)$$；5.$$(3a+2b)(3a-2b)$$；6.$$\pm6$$。解答题：7.（1）原式=$$(1+x)(1-x)$$；（2）原式=$$(5m+6n)(5m-6n)$$；（3）原式=$$[(x+2)+(x-1)][(x+2)-(x-1)]=(2x+1)\times3=3(2x+1)$$。8.原式=$$2(x^2-16)=2(x+4)(x-4)$$，注意优先提取公因式，再套用公式分解彻底。9.原式=$$(101+99)(101-99)=200\times2=400$$，利用平方差公式实现整数简便运算。练习小结：平方差公式因式分解四步法：1.判形式：是否为异号二项平方差；2.提公因式：有公因式先优先提取；3.套公式：找准整体$$a$$和$$b$$；4.查彻底：分解后无平方差形式、无公因式残留。学习目标
1.探索并运用平方差公式进行因式分解，体会转化
思想．（重点）
2.会综合运用提公因式法和平方差公式对多项式进
行因式分解．
3.
用平方差公式进行因式分解
想一想：多项式 x2 - y2 有什么特点？你能将它因式分解吗？
是 x，y 两数的平方差的形式
)
)(
(
y
x
y
x
-
+
=
2
2
y
x
-
)
)(
(
2
2
y
x
y
x
y
x
-
+
=
-
整式乘法
因式分解
两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积.
平方差公式：
1
像上面那样，把乘法公式从右到左使用，就可以把某些形式的多项式因式分解，这种因式分解的方法叫作公式法.
x －25＝ ＝ .
在平方差公式中，将 y 用 5 代入得到等式：
(x＋5)(x－5)＝ ＝ .
x －5
x －25
把这个等式从右到左使用，就可以把多项式
x －25因式分解：
x －5
(x＋5)(x－5)
知识要点
(5x)2 - (2y)2
典例精析
例1 把多项式 25x －4y 因式分解.
= (5x+2y)(5x-2y).
x
x
y
y
+
(
)
(
-
)
x2 - y2 =
解：原式 =
5x
2y
5x
5x
2y
2y
2y
分析 由 25x ＝(5x) 和 4y ＝(2y) 可知，
√
×
×
辨一辨：下列多项式能否用平方差公式来因式分解？为什么？
√
√
★符合平方差的形式的多项式才能用平方差公式进行因式分解，即能写成： ( )2 - ( )2的形式.
（1）a2 + b2
（2） - a2 - b2
- ( a2 + b2 )
y2 - x2
（3） - x2 + y2
（4）x2 - 25y2
( x + 5y )( x - 5y )
（5）m2 - 1
( m + 1 )( m - 1 )
方法总结：公式中的 x、y 无论表示数、单项式、还是多项式，只要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式因式分解.
x
x
y
y
+
(
)
(
-
)
x2 - y2 =
把多项式 (x＋y) －(x－y) 因式分解.
解：原式＝
[(x＋y)＋(x－y)][(x＋y)－(x－y)]
＝2x·2y＝4xy.
做一做
例2 把多项式 x4－y4 因式分解.
解： x4－y4＝( x2 )2－( y2 )2
＝( x2＋y2 )(x2－y2 )
＝( x2＋y2 )( x＋y )(x－y ).
因式分解后，一定要检查是否还有能继续分解的因式，若有，则需继续分解.
分解因式：
(1) (a＋b)2－4a2； (2) 9(m＋n)2－(m－n)2.
针对训练
＝(2m＋4n)(4m＋2n)
解：(1) 原式＝(a＋b－2a)(a＋b＋2a)
＝(b－a)(3a＋b).
(2) 原式＝(3m＋3n－m＋n)(3m＋3n＋m－n )
＝4(m＋2n)(2m＋n)．
若用平方差公式分解后的结果中还有公因式，一定要继续提公因式分解
例3 把多项式 x5－x3y 因式分解.
分析：多项式 x5－x3y 的各项有公因式 x3，故应先提公因式，然后运用公式法进行因式分解.
解：x5－x3y ＝x3(x2－y )
＝x3( x＋y )(x－y).
方法总结：因式分解前应先分析多项式的特点，一般先提公因式，再套用公式．注意因式分解必须进行到每一个多项式都不能再分解为止.
例4 把多项式 x4 － 9 因式分解.
解： x4－9＝( x2 )2－32
＝( x2＋3 )( x2－3 )
＝( x2＋3 )[ x2－( )2 ]
＝( x2＋3 )( x＋ )( x－ ).
方法总结：在进行因式分解时，必须进行到每一个因式都不能分解为止.
做一做：用简便方法计算：
(1) 6.12－3.92； (2) 0.122－0.882.
解：(1) 原式＝( 6.1＋3.9 )( 6.1－3.9 )
＝10×2.2＝22.
(2) 原式＝( 0.12＋0.88 )( 0.12－0.88 )
＝1×(－0.76 )＝－0.76.
方法总结：较为复杂的有理数运算，可以运用因式分解对其进行变形，使运算得以简化.
例6 试说明：当 n 为整数时，多项式 (2n + 1)2 - (2n - 1)2 一定能被 8 整除．
即多项式 (2n + 1)2 - (2n - 1)2 一定能被 8 整除．
解：原式 = (2n + 1 + 2n - 1)(2n + 1 - 2n + 1) = 4n 2 = 8n.
因为 n 为整数，
所以8n 一定能被 8 整除，
方法总结：说明整除问题的基本思路，就是将代数式化为整式的乘积的形式，然后分析能被哪些数或式子整除．
例7 已知 x2 - y2 ＝ - 2，x ＋ y ＝ 1，求 x - y，x，y 的值．
所以 x - y＝ - 2 ②.
解：因为 x2 - y2＝( x ＋ y )( x - y )＝ - 2，
x ＋ y ＝ 1 ①，
联立 ①② 组成二元一次方程组，
解得
方法总结：在与 x2 - y2，x±y 有关的求代数式或未知数的值的问题中，通常需先因式分解，然后整体代入或联立组成方程组求值.
1. 下列多项式：； ；
；； ；
.能用平方差公式因式分解的有
( )
C
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
返回
返回
4
2．将(2x)n－81因式分解后得(4x2＋9)(2x＋3)·(2x－3)，则n＝________．
3.因式分解： ___________________
____.
4. 下面是明明同学把多项式
分解因式的具体步骤：
第一步
第二步
第三步
第四步
（1）事实上，明明的解法是错误的，造成错误的原因是
__________________；
公因式没有提取完
（2）请给出这个问题的正确解法.
【解】原式 .
返回
【解】原式＝(x－y)a2－(x－y)＝(x－y)(a2－1)
＝(x－y)(a＋1)(a－1)．
5. 把下列多项式因式分解：
(1)(x－y)a2－x＋y; 　　　
(2)18(a－b)2－50(a＋b)2.
【解】原式＝2[9(a－b)2－25(a＋b)2]＝2[3(a－b)＋5(a＋b)][3(a－b)－5(a＋b)]＝2(3a－3b＋5a＋5b)(3a－3b－5a－5b)＝2(8a＋2b)(－2a－8b)＝－8(4a＋b)(a＋4b)．
返回
返回
6. ［长沙市北雅中学期末］若, ,则
的值为( )
A
A. 12 B. 4 C. 6 D.
7. 可以被10和20之间某两个整数整除，则这两个数
是( )
A
A. 17，15 B. 17，16 C. 15，16 D. 13，14
返回
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b>c>a
8．[宜宾市模拟]设a＝73×1 412，b＝9322－4802，c＝5152－1912，则数a，b，c的大小关系是__________．
【点拨】b＝9322－4802＝(932＋480)×(932－480)＝1 412×452，c＝5152－1912＝(515＋191)(515－191)＝706×324＝1 412×162.因为73<162<452，所以b>c>a.
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9. 利用因式分解计算：
(1)3.14×5.52－3.14×4.52；


(2)123 456 7892－123 456 788×123 456 790.

【解】原式＝3.14×(5.52－4.52)＝3.14×(5.5＋4.5)×(5.5－4.5)＝3.14×10×1＝31.4.
【解】原式＝123 456 7892－(123 456 789－1)×(123 456 789＋1)＝123 456 7892－(123 456 7892－1)＝1.
平方差公式分解因式
公式
a2 - b2 = ( a + b )( a - b )
步骤
一提：公因式；
二套：公式；
三查：多项式的因式分解有没有分解到不能再分解

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