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湘教版数学八年级上册培优精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.1.3.2利用完全平方公式进行因式分解第1章因式分解湘教版数学八年级上册1.3.2利用完全平方公式进行因式分解同步练习题知识点核心：完全平方公式因式分解是整式乘法完全平方公式的逆运算，两个核心公式：$$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$$、$$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$$。适用条件：多项式为二次三项式，首尾两项是同号完全平方项，中间项是首尾两项平方根乘积的2倍。解题原则：先提公因式，再套公式，最终分解彻底。一、选择题（每题4分，共20分）1.下列多项式属于完全平方式的是（）A. $$x^2+2x-1$$ B. $$x^2-4x+4$$ C. $$x^2+2xy-y^2$$ D. $$x^2+4x+2$$2.分解因式$$a^2-10a+25$$的结果正确的是（）A. $$(a-5)^2$$ B. $$(a+5)^2$$ C. $$(a-5)(a+5)$$ D. $$a(a-10)+25$$3.若多项式$$x^2+kx+9$$是完全平方式，则$$k$$的值为（）A. 6 B. -6 C. $$\pm6$$ D. 9二、填空题（每题4分，共20分）4.因式分解：$$x^2+8x+16=$$________。5.因式分解：$$4m^2-12mn+9n^2=$$________。6.补齐完全平方式：$$x^2-\_\_\_\_+36=(x-6)^2$$。三、解答题（共60分）7.用完全平方公式分解下列因式（每题10分）（1）$$x^2-2x+1$$（2）$$9a^2+12a+4$$（3）$$(x-y)^2+4(x-y)+4$$8.综合分解题（15分）：先提公因式再用公式分解$$2x^2-8x+8$$。9.求值应用题（15分）：已知$$x+y=4$$，利用因式分解求$$x^2+2xy+y^2$$的值。参考答案及解析选择题：1.B（首尾平方同号，中间项为2倍乘积，符合完全平方式特征）；2.A（匹配$$a^2-2ab+b^2$$公式）；3.C（中间项可正可负，$$k=\pm2\times1\times3=\pm6$$）。填空题：4.$$(x+4)^2$$；5.$$(2m-3n)^2$$；6.$$12x$$。解答题：7.（1）原式=$$(x-1)^2$$；（2）原式=$$(3a+2)^2$$；（3）设$$t=x-y$$，原式=$$t^2+4t+4=(t+2)^2=(x-y+2)^2$$。8.原式=$$2(x^2-4x+4)=2(x-2)^2$$，先提取公因式，再套用完全平方公式，分解彻底。9.原式因式分解得$$(x+y)^2$$，代入$$x+y=4$$，得原式=$$4^2=16$$。练习小结：完全平方公式因式分解四步法：1.看项数：必须是二次三项式；2.判首尾：首尾项为同号完全平方数；3.验中间：中间项为首尾平方根乘积的2倍；4.先提后套：有公因式先提取，最终保证分解彻底，无剩余因式。学习目标
1.理解并掌握用完全平方公式分解因式；（重点）
2.灵活应用各种方法分解因式，并能利用因式分解
进行计算．
3.
用完全平方公式分解因式
1
请说出完全平方公式.
说一说
完全平方公式1： ，
完全平方公式2： .
(x＋y) = x ＋2xy＋y
(x－y) = x －2xy＋y
例如：在完全平方公式 1 中，将 y 用 2 代入得到等式
把这个等式从右到左使用，就可以把多项式
x ＋4x＋4 因式分解： x ＋4x＋4 = .
(x＋2) = .
(x＋2)
x ＋4x＋4
简记口诀：
首平方，尾平方，首尾两倍在中央.
凡具备这些特点的三项式，就是完全平方式，将它写成完全平方的形式，便实现了因式分解.
2
x
y
+ y2
±
= (x ± y)
x2
首2
+ 尾2
±2×首×尾
(首±尾)2
两个数的平方和加上 (或减去) 这两个数积的 2 倍，等于这两个数的和 (或差) 的平方.
例1 把多项式 9x2－6x＋1 因式分解：
分析：9x2 = (3x)2， 1 = 1 ，2·3x·1 = 6x，
因此 9x2－6x＋1 符合完全平方式 2 右边的形式，于是从右到左使用完全平方公式 2，就可把 9x2－6x＋1 因式分解.
解： 9x2－6x＋1
= (3x－1)2.
= (3x)2－2 · 3x · 1 + 12
典例精析
例2 把下列多项式因式分解：
(1) －4x2＋12xy－9y2；
解：(1) －4x2＋12xy－9y2
＝－(4x －12xy＋9y )
＝－[(2x) －2·2x·3y＋(3y) ]
＝－(2x－3y) .
分析：(1)中首项有负号，一般先利用添括号法则，将其变形为 -(4x2－12xy＋9y2)，然后再利用公式因式分解.
(2) x5＋2x3y＋xy2.
(2) x5＋2x3y＋xy2
＝x(x4＋2x y＋y )
＝x[(x ) ＋2·x ·y＋y ]
＝x(x ＋y) .
分析：(2) 中有公因式 x，应先提出公因式，再进一步因式分解；
例3 把多项式 x4－2x2＋1 因式分解.
解： x4－2x2＋1
＝(x ) －2·x ·1＋1
＝(x －1)
＝[(x＋1)(x－1)]
＝(x＋1) (x－1) .
做一做
可以利用完全平方公式把多项式 (x＋y) －4(x＋y)＋4 因式分解吗？试一试.
分析：将 x＋y 看成一个整体，如 x＋y = m，则原式化为 m2 - 4m + 4.
解：(x＋y) －4(x＋y)＋4
＝(x＋y) －2·(x＋y)·2＋2
＝(x＋y－2) .
例4 利用完全平方公式简便计算：
(1) 1002 - 2×100×99 + 99 ；
(2) 342 + 34×32 + 162.
解：(1) 原式 = (100 - 99)
(2) 原式 = (34 + 16)2
本题利用完全平方公式分解因式，可以简化计算，
= 1.
= 2500.
例5 已知 x2 - 4x + y2 - 10y + 29＝0，求 x2y2 + 2xy + 1 的值.
＝ 112 ＝ 121.
解：由题可知 x2 - 4x + y2 - 10y + 29
因为 (x - 2)2 ≥ 0，(y - 5)2 ≥ 0，
所以 x - 2＝0，y - 5＝0，
所以 x＝2，y＝5.
所以 x2y2 + 2xy + 1 ＝ ( xy + 1 )2
几个非负式的和为 0，则这几个非负式都为 0
＝ x2 - 4x +4+ y2 - 10y + 25
＝ (x - 2)2 + (y - 5)2
＝0，
方法总结：此类问题一般情况是通过配方将原式转化为非负式的和的形式，然后利用非负式的性质解决问题．
1. ［2025东营月考］若 能用完全平方公式
进行因式分解，则常数 的值是( )
D
A. 或5 B. 5 C. 8 D. 8或
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2. ［2025日照月考］下列多项式： ；
；； ；
， 其中能用公式法分解因式的是( )
B
A. ①③④⑤ B. ②④⑤ C. ②③④ D. ②③④⑤
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3．因式分解：
(1)(x＋2)(x＋4)＋1＝____________．
(2)(a－3b)2－4(a－3b)c＋4c2＝_______________________.
4．[成都市中考]多项式4x2＋1加上一个单项式后，能成为一个多项式的平方，那么加上的单项式可以是____________________(填一个即可)．
(x＋3)2
(a－3b－2c)2
4x(答案不唯一)
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5．因式分解：
(1)－16＋8a－a2；　　　　
(2)x4－8x2y2＋16y4.
【解】原式＝－(16－8a＋a2)＝－(4－a)2.
【解】原式＝(x2－4y2)2＝(x＋2y)2(x－2y)2.
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B
【解】原式＝－3a(x2－2xy＋y2)＝－3a(x－y)2.
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(3)2a2＋4ab＋2b2－8c2.
【解】原式＝2(a2＋2ab＋b2)－8c2＝2(a＋b)2－8c2＝2[(a＋b)2－(2c)2]＝2(a＋b＋2c)(a＋b－2c)．
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8. 如果a＋b＝3，ab＝1，那么a3b＋2a2b2＋ab3的值为(　　)
A．0 B．1 C．4 D．9
D
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9. 若P＝2m2＋m，Q＝m2－3m－4，则P与Q的大小关系为(　　)
A．P≥Q B．P>Q C．P＝Q D．PA
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10．利用因式分解计算：1.222＋2.44×2.78＋2.782＝________.
16
11．已知两块边长都为a的大正方形，两块边长都为b的小正方形和五块长、宽分别是a，b的小长方形(a>b)，按如图所示的方式正好不重叠地拼成一个大长方形．已知图中阴影部分四个正方形的面积之和为240，每个小长方形的面积为12，则拼成的大长方形的周长为________．
72
利用完全平方公式因式分解
公式
a2±2ab＋b2 = (a±b)2
特点
（1）要求多项式有三项；
（2）其中两项是某数或式的平方和，另一项则是这两数或式的乘积的 2 倍，符号可正可负.

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