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湘教版数学八年级上册培优精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.2.5.1可化为一元一次方程的分式方程的解法第2章分式湘教版数学八年级上册2.5.1可化为一元一次方程的分式方程的解法同步练习题核心知识点梳理1.分式方程定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。2.解题核心思想：转化思想，将分式方程通过去分母转化为熟悉的一元一次方程求解。3.标准解题五步步骤：①找最简公分母；②方程两边同乘最简公分母，去分母化为整式方程；③解一元一次方程；④必须检验（关键步骤）；⑤写出方程的解或无解。4.增根概念：去分母过程中产生的、使原分式方程分母为0的根，叫做增根，增根必须舍去。5.检验方法：将整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母≠0，是原方程的解；若=0，是增根，原方程无解。一、选择题（每题4分，共24分）1.下列方程属于分式方程的是（）A. $$\dfrac{x}{2}+1=0$$ B. $$\dfrac{1}{x}+2=0$$ C. $$2x+3=1$$ D. $$\dfrac{x}{3}+\dfrac{x}{2}=1$$2.解分式方程$$\dfrac{1}{x-1}=\dfrac{2}{x}$$，其最简公分母是（）A. $$x-1$$ B. $$x$$ C. $$x(x-1)$$ D. $$x^2-x$$3.解分式方程$$\dfrac{2}{x+1}=\dfrac{3}{x}$$，去分母正确的是（）A. $$2x=3(x+1)$$ B. $$2x=3x+1$$ C. $$2(x+1)=3x$$ D. $$2x=3$$4.分式方程$$\dfrac{1}{x-2}+3=\dfrac{x-1}{x-2}$$的增根为（）A. $$x=0$$ B. $$x=1$$ C. $$x=2$$ D. $$x=-2$$5.方程$$\dfrac{x}{x-1}=1$$的解的情况是（）A. $$x=1$$ B. $$x=0$$ C.无解D.无数解6.解方程$$\dfrac{3}{x}=\dfrac{2}{x-2}$$的解为（）A. $$x=2$$ B. $$x=4$$ C. $$x=6$$ D. $$x=-6$$二、填空题（每题4分，共24分）7.分式方程解题必须进行________，防止出现增根。8.方程$$\dfrac{1}{x}=\dfrac{2}{x+3}$$的解是________。9.若$$x=3$$是方程$$\dfrac{a}{x-1}=1$$的解，则$$a=$$________。10.分式方程$$\dfrac{2}{x+1}=\dfrac{1}{x}$$的最简公分母为________。11.方程$$\dfrac{1}{x-3}+2=\dfrac{x}{x-3}$$的增根是________。12.解方程$$\dfrac{x-1}{x}=0$$，得$$x=$$________。三、解答题（共52分）13.（16分）解下列基础分式方程：（1）$$\dfrac{2}{x}=\dfrac{3}{x+1}$$（2）$$\dfrac{1}{x-2}=\dfrac{1}{2x}$$14.（18分）解含整式项的分式方程：（1）$$\dfrac{1}{x-1}+1=\dfrac{x}{x+1}$$（2）$$\dfrac{3}{x-2}+2=\dfrac{x}{x-2}$$15.（18分）易错无解题型：解方程$$\dfrac{x}{x-1}-1=\dfrac{3}{(x-1)(x+2)}$$参考答案及详细解析一、选择题1.B（分母含未知数的方程为分式方程）；2.C（分母为$$x-1、x$$，最简公分母$$x(x-1)$$）；3.A（两边同乘$$x(x+1)$$得：$$2x=3(x+1)$$）；4.C（令分母$$x-2=0$$，得增根$$x=2$$）；5.C（去分母得$$x=x-1$$，化简$$0=-1$$，矛盾，无解）；6.C（交叉相乘$$3(x-2)=2x$$，解得$$x=6$$，检验成立）。二、填空题7.检验；8. $$x=3$$；9. $$2$$（代入$$x=3$$，$$\dfrac{a}{2}=1$$，得$$a=2$$）；10. $$x(x+1)$$；11. $$x=3$$；12. $$1$$（分子为0且分母不为0）。三、解答题13.解：（1）两边同乘$$x(x+1)$$得：$$2(x+1)=3x$$，展开化简：$$2x+2=3x$$，解得$$x=2$$，检验：$$x=2$$时，$$x(x+1)\neq0$$，故原方程解为$$x=2$$。（2）两边同乘$$2x(x-2)$$得：$$2x=x-2$$，解得$$x=-2$$，检验成立，原方程解为$$x=-2$$。14.解：（1）两边同乘$$(x-1)(x+1)$$：$$x+1+(x-1)(x+1)=x(x-1)$$，化简：$$x+1+x^2-1=x^2-x$$，得$$2x=0$$，$$x=0$$，检验成立。（2）两边同乘$$x-2$$：$$3+2(x-2)=x$$，化简得$$2x-1=x$$，$$x=1$$，检验成立。15.解：两边同乘$$(x-1)(x+2)$$去分母：$$x(x+2)-(x-1)(x+2)=3$$，展开化简：$$x^2+2x-x^2-x+2=3$$，解得$$x=1$$，检验：$$x=1$$时，最简公分母为0，是增根，原分式方程无解。本节易错小结1.解分式方程必须检验，这是分式方程解题的得分关键点，不可省略；2.方程中的整式项去分母时也要乘最简公分母，极易漏乘出错；3.去分母时，分子是多项式需要加括号，避免符号错误；4.求出整式方程的解后，若解使分母为0，即为增根，原方程无解。学习目标
1.理解分式方程的概念；
2.掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法；
3.掌握检验分式方程的解的方法.（难点）
定义：
像这样，分母中含未知数的方程叫作分式方程.
分式方程的概念
1
知识要点
判一判 下列方程中，哪些是分式方程？哪些是整式方程？
整式方程
分式方程
方法总结：判断一个方程是否为分式方程，主要是看分母中是否含有未知数(注意：π 不是未知数)．
（2）怎样去分母？
（3）在方程两边乘什么样的式子才能把每一个分母
都约去？
（4）这样做的依据是什么？
解分式方程最关键的问题是什么？
（1）如何把它转化为整式方程呢？
如何去分母
你能试着解这个分式方程吗？
分式方程的解法
2
由于最简公分母为 x，于是将方程两边同乘 x，得
方程左边的值为 ，右边的值也是4，从而左边的值＝右边的值，
9 600 - 7 200 = 4x，
解得 x = 600.
x = 600 是原分式方程的解吗？
检验：将 x 用 600 代入原分式方程中，
因此 x = 600 是原分式方程的解.
解分式方程的基本思路：是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同时乘最简公分母. 这也是解分式方程的一般方法.
归纳总结
例1 解方程：
解 ：由于最简公分母为 x(x - 2)，于是将方程两边同乘 x(x - 2)，得
解得 x = -3.
检验：把 x 用 -3 代入原方程，方程左边的值为
因此， x = -3 是原分式方程的解.
典例精析
5x - 3(x - 2) = 0，
右边的值也是0，
从而左边的值＝右边的值，
解：由于最简公分母为 (x - 2)(x + 2)，于得将方程两边同乘 (x - 2)(x + 2)，得
x + 2 = 4，
解得 x = 2.
x = 2 是原分式方程的解吗？
例2 解方程： .
检验：将 x 用 2 代入原分式方程，方程左边的值为 ，
不存在这种数，因此 x = 2 不是原分式方程的解，从而原分式方程无解.
典例精析
想一想：
上面两个分式方程中，为什么
去分母后所得整式方程的解就是原分式方程的解，
而 去分母后所得整式方程的解却不是原分式方程的解呢？
真相揭秘：分式两边同乘不为 0 的式子，所得整式方程的解与分式方程的解相同.
我们再来观察去分母的过程：
9 600 - 7 200 = 4x
两边同乘 x
当x=600时，x≠0
真相揭秘：分式两边同乘了等于 0 的式子，所得整式方程的解使分母为 0，这个整式方程的解就不是原分式方程的解.
x + 2 = 4
两边同乘(x-2)(x+2)
当x=2时，(x-2)(x+2)=0
解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程的分母为 0，所以分式方程的解必须检验．
怎样检验？
这个整式方程的解是不是原分式方程的解呢？
分式方程解的检验——必不可少的步骤
检验方法：把所求出的未知数的值代入最简公分母中，如果它使最简公分母的值不等于 0，那么它是原分式方程的一个解；如果它使最简公分母的值为 0，那么它不是原分式方程的解.
例3 解方程：
解：由于最简公分母为 3x - 2，于是将方程两边同乘 3x - 2，得
x + (-2) = 5(3x - 2)，
解得 x = .
经检验，x = 是原分式方程的解.
简记为：“一化二解三检验”.
第一步，求出最简公分母，将方程两边同乘最简公分母，把分式方程化为一元一次方程；
第二步，解所得到的一元一次方程；
第三步，检验一元一次方程的解是否为原分式方程的解.
解可化为一元一次方程的分式方程的步骤如下：
归纳总结
用框图总结为：
可化为一元一次方程的分式方程
一元一次方程
方程两边同乘最简公分母
求解
x = a
检验
x = a 是分式
方程的解
x = a 不是分式
方程的解
当x = a时
最简公分母是
否为零？
否
是
1. 下列关于的式子：； ；
；； .是分式方程的有( )
A
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
2. 解分式方程 的步骤：①方
程两边同时乘最简公分母 ;②得整式方程
; ③解得x＝1；④故x＝1是原方程的解．
其中有误的一步为(　　)
B
A. ① B. ② C. ③ D. ④
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3. 如图，点, 在数轴上，它们所表示的数
分别是,,且点到原点的距离是点 到原点的距离的2倍，
则 ____.
4.已知分式 ，为常数满足下表中的信息，则
的值为___.
的取值 4 16
分式的值 不存在 0 0.1
【点拨】因为当时，分式 无意义，所以
，所以.因为当 时，分式
，所以，所以.所以 ，
，解得，经检验， 是分式方程
的解.所以 .
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（2） ;
原方程化为 ，方程两边同乘
，得 ，解得
.检验:当时，，所以 不是
原分式方程的解.所以原分式方程无解.
5. 解下列方程：
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【解】方程两边同乘x(x－1)，得5x－3(x－1)＝x＋5，解得x＝2.检验：把x＝2代入x(x－1)＝2≠0，即x＝2是原分式方程的解．
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A
D
返回
分式
方程
误区
(1)去分母时，原方程的整式部分漏乘；
步骤
(去分母法)
一化(分式方程转化为整式方程)；
二解(整式方程)；
三检验(把解代入到最简公分母，看是否为零)
(2)去分母后，分子是多项式时，没有添括号 (因分数线有括号的作用)；
(3)忘记检验.
定义
分母中含未知数的方程叫作分式方程

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