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湘教版数学八年级上册培优精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.3.1.1二次根式的概念及性质第3章二次根式湘教版数学八年级下册3.1.1二次根式的概念及性质同步练习题一、核心知识点精讲1.二次根式的定义形如$$\sqrt{a}$$（$$a\geq0$$）的式子叫做二次根式。其中：①根指数必须是2（可省略不写）；②被开方数a必须是非负数（整式、分式均可）；③二次根式是一个非负数，即$$\sqrt{a}\geq0(a\geq0)$$。2.二次根式有意义的条件单独二次根式$$\sqrt{a}$$：$$a\geq0$$；分式型二次根式$$\dfrac{1}{\sqrt{a}}$$：$$a>0$$（分母不为0）。3.二次根式两大核心性质（必考）性质一：$$(\sqrt{a})^2=a\ \ (a\geq0)$$（先开方、后平方，结果等于本身）性质二：$$\sqrt{a^2}=|a|= \begin{cases} a & (a\geq0) \\ -a & (a<0) \end{cases}$$（先平方、后开方，结果为绝对值）4.双重非负性（考试高频考点）二次根式$$\sqrt{a}$$同时满足：①被开方数$$a\geq0$$；②根式结果$$\sqrt{a}\geq0$$。常见题型：几个非负数和为0，则每一项均为0。二、选择题（每题4分，共24分）1.下列式子一定是二次根式的是（）A. $$\sqrt{-2}$$ B. $$\sqrt{x}$$ C. $$\sqrt{3}$$ D. $$\sqrt[3]{5}$$2.二次根式$$\sqrt{x-3}$$有意义，则x的取值范围是（）A. $$x>3$$ B. $$x\geq3$$ C. $$x<3$$ D. $$x\leq3$$3.下列计算正确的是（）A. $$(\sqrt{5})^2=5$$ B. $$\sqrt{(-5)^2}=-5$$ C. $$(\sqrt{-5})^2=-5$$ D. $$\sqrt{-4}=-2$$4.化简$$\sqrt{(2-\pi)^2}$$的结果是（）A. $$2-\pi$$ B. $$\pi-2$$ C. $$\pm(2-\pi)$$ D. 25.若$$\sqrt{a+2}+(b-1)^2=0$$，则$$a+b$$的值为（）A. -1 B. 1 C. 3 D. -36.式子$$\dfrac{\sqrt{x+1}}{x-2}$$有意义的x的取值范围是（）A. $$x\geq-1$$ B. $$x\neq2$$ C. $$x\geq-1且x\neq2$$ D. $$x>-1且x\neq2$$三、填空题（每题4分，共24分）7.若$$\sqrt{2x-4}$$有意义，则x的最小整数值为________。8.计算：$$(\sqrt{7})^2=$$________；$$\sqrt{(-6)^2}=$$________。9.化简：$$\sqrt{(x-1)^2}(x\geq1)=$$________。10.已知$$\sqrt{x-2}+\sqrt{2-x}$$有意义，则$$x=$$________。11.若$$\sqrt{m^2}=-m$$，则m的取值范围是________。12.计算：$$(\sqrt{0.3})^2=$$________。四、解答题（共52分）13.（16分）基础计算化简：（1）$$(\sqrt{13})^2$$（2）$$\sqrt{(-\dfrac{1}{3})^2}$$14.（18分）求取值范围：（1）$$\sqrt{5-x}$$（2）$$\dfrac{1}{\sqrt{x+4}}$$（3）$$\sqrt{x^2+1}$$15.（18分）综合求值：已知实数x、y满足$$\sqrt{x-3}+(y+2)^2=0$$，求$$x+y$$的值。五、参考答案与详细解析一、选择题1.C（二次根式被开方数非负，B取值不确定，A无意义，D是三次根式）；2.B（$$x-3\geq0$$，解得$$x\geq3$$）；3.A（B结果应为6，C被开方数不能为负，D无意义）；4.B（$$\sqrt{a^2}=|a|$$，$$2-\pi<0$$，绝对值为$$\pi-2$$）；5.A（双重非负性：$$a+2=0，b-1=0$$，得$$a=-2，b=1$$，$$a+b=-1$$）；6.C（需满足$$x+1\geq0$$且$$x-2\neq0$$）。二、填空题7. $$2$$（$$2x-4\geq0$$，$$x\geq2$$）；8. $$7$$，$$6$$；9. $$x-1$$（$$x\geq1$$，绝对值直接去符号）；10. $$2$$（$$x-2\geq0$$且$$2-x\geq0$$，仅$$x=2$$）；11. $$m\leq0$$（根号结果为相反数，说明原数非正）；12. $$0.3$$。三、解答题13.解：（1）原式$$=13$$；（2）原式$$=\left|-\dfrac{1}{3}\right|=\dfrac{1}{3}$$。14.解：（1）由$$5-x\geq0$$，得$$x\leq5$$；（2）由$$x+4>0$$，得$$x>-4$$；（3）$$x^2\geq0$$，故$$x^2+1\geq1>0$$，x取全体实数。15.解：∵ $$\sqrt{x-3}\geq0，(y+2)^2\geq0$$，且两者和为0，∴ $$x-3=0，y+2=0$$，解得：$$x=3，y=-2$$，∴ $$x+y=3+(-2)=1$$。本节易错必记1. $$(\sqrt{a})^2$$和$$\sqrt{a^2}$$极易混淆：前者先开方后平方，必须a≥0；后者先平方后开方，a可取任意实数，结果为绝对值。2.含二次根式的分式有意义，需同时满足被开方数非负、分母不为0。3.二次根式、平方、绝对值均为非负数，非负数和为0，每一项必为0。学习目标
1.了解二次根式的定义；
2.理解二次根式在实数范围内有意义的条件；
3.掌握二次根式的两条重要性质．（重点、难点）
(1) 2，3，5的算术平方根分别是怎样表示的
思考
二次根式的概念及有意义的条件
1
2，3，5 的算术平方根分别为
(2) 用运载火箭发射航天飞船时，火箭必须达到一定的速度 (称为第一宇宙速度)，才能克服地球的引力，将飞船送入环地球运行的轨道，第一宇宙速度 v 与地球半径 R 之间存在如下关系：v = gR，其中 g 为重力加速度. 若已知地球的半径 R，则第一宇宙速度 v 是多少？(用带有根号的式子表示).
因为速度一定大于 0，所以第一宇宙速度 v＝.
(3) 比较 (1)(2) 的结果，它们在表达形式上有什么共同特征？
与 都是形如 的式子.
我们知道：每一个正实数 a 有且只有两个平方根，分别为 和 ，其中 称为 a 的算术平方根. 同时，在实数范围内，负实数没有平方根，
因此，只有当被开方数是非负实数时，二次根式才在实数范围内有意义.
一般地，形如 的式子叫作二次根式，根号下的数叫作被开方数.
知识要点
二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平方根.对于任意一个二次根式 ，我们知道：
（1）a 为被开方数或式，为保证其有意义，可知 a≥0；
（2） 表示一个数或式的算术平方根，可知 ≥0.
二次根式的被开方数(或式)非负
二次根式的值非负
二次根式的双重非负性
归纳总结
例1 当 x 是怎样的实数时, 在实数范围内有意义
解：由 x - 1≥0，得
x≥1.
当 x≥1 时， 在实数范围内有意义.
【变式题】当 x 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
解：由题意得 x - 1＞0，
所以 x＞1.
典例精析
解：因为被开方数需大于或等于零，
所以 3 + x≥0，所以 x≥-3.
因为分母不能等于零，
所以 x - 1≠0，所以 x≠1.
所以 x≥-3 且 x≠1.
要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方式≥0，列不等式求解即可.若式子为分式，应同时考虑分母不为零.
归纳
(2)多个二次根式相加：如 有意义的条件：
(1)单个二次根式：如 有意义的条件：A≥0；
(3)二次根式作为分式的分母：如 有意义的条件：
A＞0；
(4)二次根式与分式的和：如 有意义的条件：
A≥0且B≠0.
归纳总结
对于非负实数a，由于 是 a 的一个平方根，因此
＝a (a≥0).
即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身.
注意：不要忽略 a≥0 这一限制条件.这是使二次根式 有意义的前提条件.
（a≥0）的性质
2
例2 计算：
解：
(2)可以用到幂的哪条基本性质呢？
积的乘方：
(ab)2 = a2b2
典例精析
的性质
2
做一做
填空：
(1) ＝ ； (2) ＝ ；
(3) ＝ ； (4) ＝ .
由于 a 的平方等于 a ，因此 a 是 a 的一个平方根，当 a≥0 时，根据算术平方根的意义，有 = a，由此得出： = a ( a≥0).
2
1.2
2
1.2
由于 －a 的平方等于 a ，因此 －a 是 a 的一个平方根，当 a＜0 时，－a＞0，根据算术平方根的意义，可以得到： = = －a ( a＜0).
a (a≥0)，
a (a＜0).
综上可得：
即任意一个实数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值.
例3 计算：
解：
，而3.14＜π，要注意 a 的正负性.
注意
例4 计算：
(1) ；
(2) .
解：(1) ＝|3－π|＝π－3.
(2) ＝||＝.
例5 实数 a、b 在数轴上的对应点如图所示，请你化简：
解：由数轴可知 a＜0，b＞0，a - b＜0，
所以原式= | a | - | b | + | a - b |
= - a - b - (a - b)
= -2a.
a
b
1. 已知下列各式：，，，， ，
，, ,其中二次根式有( )
C
A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个
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2
返回
C
返回
4. 若，则 ( )
D
A. B. C. 6 D.
返回
0
6. 当x取何值时，下列各式在实数范围内有意义？
（1） ；
【解】要使有意义，则必须有 .
因为 恒大于零，
所以取任意实数.所以取任意实数， 都有意义.
（2） ；
因为要使有意义，则有且 ，
解得，所以当时， 有意义.
（3） .
由题意，得且，即 ，
故或 ，
解得或.所以当或时, 有意义.
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2.5
27
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9. 若，则 的值可以是( )
C
A. 2 B. 3 C. D. 8
返回
二次根式
二次根式的概念
二次根式的表示
二次根式有意义的条件
被开方数≥0
→
性质
应用

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