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湘教版数学八年级上册培优精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.3.1.2二次根式的化简第3章二次根式湘教版数学八年级下册3.1.2二次根式的化简同步练习题一、核心知识点精讲1.最简二次根式的定义（化简最终标准）满足以下两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：①被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；②被开方数中不含分母（分母中也不含二次根式）。2.二次根式化简两大核心公式积的算术平方根：$$\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\ \ (a\geq0,b\geq0)$$商的算术平方根：$$\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\ \ (a\geq0,b>0)$$3.通用化简步骤①分拆：把被开方数拆成「平方数/式」和「剩余数/式」的乘积；②开方：将平方因式开方移出根号；③去分母：被开方数含分母时，分子分母同乘式子化为整数分母，再化简；④整理：最终结果必须是最简二次根式。4.重要化简规律①$$\sqrt{a^2}=|a|$$，化简含字母根式必须考虑符号；②根号外的负号不能随意移入根号内；③小数先化分数、带分数先化假分数再化简。二、选择题（每题4分，共24分）1.下列二次根式中，属于最简二次根式的是（）A. $$\sqrt{8}$$ B. $$\sqrt{12}$$ C. $$\sqrt{15}$$ D. $$\sqrt{\dfrac{1}{2}}$$2.化简$$\sqrt{(-4)^2\times3}$$的结果是（）A. $$-4\sqrt{3}$$ B. $$4\sqrt{3}$$ C. $$\sqrt{48}$$ D. $$12$$3.若$$\sqrt{x^2-4x+4}=2-x$$，则x的取值范围是（）A. $$x\geq2$$ B. $$x\leq2$$ C.$$x=2$$ D.全体实数4.化简$$\sqrt{\dfrac{4}{9}}$$的结果是（）A. $$\dfrac{2}{3}$$ B. $$\pm\dfrac{2}{3}$$ C. $$\dfrac{4}{9}$$ D. $$\dfrac{\sqrt{2}}{3}$$5.化简$$\sqrt{27a^3}(a\geq0)$$的结果是（）A. $$3a\sqrt{3a}$$ B. $$9a\sqrt{3a}$$ C. $$3\sqrt{3a}$$ D. $$3a\sqrt{3}$$6.下列化简正确的是（）A. $$\sqrt{16}=\pm4$$ B. $$\sqrt{-9}=-3$$ C. $$\sqrt{(-5)^2}=5$$ D. $$\sqrt{0.2}=0.1\sqrt{2}$$三、填空题（每题4分，共24分）7.化简：$$\sqrt{50}=$$________。8.化简：$$\sqrt{\dfrac{3}{16}}=$$________。9.若$$a\leq0$$，化简$$\sqrt{a^2}=$$________。10.化简$$\sqrt{18x^2}(x\geq0)=$$________。11.二次根式$$\sqrt{48}$$化为最简二次根式为________。12.化简$$\sqrt{(3-x)^2}(x\gt3)=$$________。四、解答题（共52分）13.（16分）基础整数根式化简：（1）$$\sqrt{72}$$（2）$$\sqrt{125}$$14.（18分）分数、小数根式化简：（1）$$\sqrt{\dfrac{27}{4}}$$（2）$$\sqrt{0.48}$$（3）$$\sqrt{2\dfrac{1}{4}}$$15.（18分）含字母条件型化简：已知$$2\lt x\lt5$$，化简$$\sqrt{(x-2)^2}+\sqrt{(x-5)^2}$$。五、参考答案与详细解析一、选择题1.C（A可化为$$2\sqrt{2}$$，B可化为$$2\sqrt{3}$$，D含分母，均非最简）；2.B（原式$$=\sqrt{16\times3}=4\sqrt{3}$$，算术平方根为非负数）；3.B（原式$$=|x-2|=2-x$$，说明$$x-2\leq0$$，即$$x\leq2$$）；4.A（$$\sqrt{\dfrac{4}{9}}=\dfrac{\sqrt{4}}{\sqrt{9}}=\dfrac{2}{3}$$，算术平方根唯一非负）；5.A（原式$$=\sqrt{9a^2\cdot3a}=3a\sqrt{3a}$$）；6.C（A算术平方根为4，B无意义，D$$\sqrt{0.2}=\dfrac{\sqrt{5}}{5}$$）。二、填空题7. $$5\sqrt{2}$$（$$\sqrt{25\times2}=5\sqrt{2}$$）；8. $$\dfrac{\sqrt{3}}{4}$$；9. $$-a$$（$$a\leq0$$，绝对值去符号变相反数）；10. $$3\sqrt{2}x$$；11. $$4\sqrt{3}$$；12. $$x-3$$（$$x\gt3$$，$$3-x\lt0$$，绝对值化简为$$x-3$$）。三、解答题13.解：（1）原式$$=\sqrt{36\times2}=6\sqrt{2}$$；（2）原式$$=\sqrt{25\times5}=5\sqrt{5}$$。14.解：（1）原式$$=\dfrac{\sqrt{27}}{\sqrt{4}}=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$$；（2）原式$$=\sqrt{\dfrac{48}{100}}=\dfrac{\sqrt{16\times3}}{10}=\dfrac{4\sqrt{3}}{10}=\dfrac{2\sqrt{3}}{5}$$；（3）原式$$=\sqrt{\dfrac{9}{4}}=\dfrac{3}{2}$$。15.解：∵ $$2\lt x\lt5$$，∴ $$x-2\gt0，x-5\lt0$$，原式$$=|x-2|+|x-5|=(x-2)+(5-x)=3$$。本节易错必记1.算术平方根结果恒为非负数，化简后不能出现负号；2.含字母根式化简必须看取值范围，结合绝对值性质去根号；3.小数、带分数必须先化为假分数，再进行根式化简；4.最简二次根式两大标准缺一不可：无开得尽方因式、无分母。学习目标
1.能准确利用积的算术平方根的性质进行化简；
2.能准确将二次根式计算的结果用最简二次根式表
示出来.
3.
1. 的性质：
＝a (a≥0).
2. 的性质：
＝a (a≥0).
思考： 的值为多少？
（1）
＝ ，
＝ ；
＝ ，
＝ .
6
6
12
12
（2）当 a≥0，b≥0 时，猜想 和
二次根式的化简
思考
的关系，并说明理由.
猜想： ＝ .
1
一般地，当 a≥0，b≥0 时，由于
验证发现
要点归纳
(a≥0，b≥0).
＝，
＝ .
因此
＝ .
积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积.
例1 化简下列二次根式．
典例精析
(1)； (2) ； (2) .
解：(1) ＝＝×＝3.
(2) ＝＝×＝2.
(3) ＝＝×＝×＝6.
化简二次根式时，最后结果要求被开方数中不含开得尽方的因数.
例2 计算：
解：
为什么是﹣x 不是 x
化简二次根式时，最后结果要求被开方数中不含开得尽方的因式.
今后在化简二次根式时，可以直接把根号下的每一个平方因子去掉平方号以后移到根号外
(注意：从根号下直接移到根号外的数必须是非负数).
归纳总结
例3 化简下列二次根式．
化简二次根式时，最后结果要求被开方数不含分母.
解：(1)
从前面的例题可以看出，二次根式经过化简后的结果，具有以下特点：
（1） 被开方数中不含开得尽方的因数（或因式）；
（2） 被开方数不含分母.
我们把满足上述两个条件的二次根式，叫作最简二次根式.
最简二次根式
2
(m > 0) 是最简二次根式吗 如果不是，你能把它化简吗？
解: 不是最简二次根式. 它含有开得尽方的因式 m2 .
议一议
例4 化简：
解：① 原式 =
② 原式 =
③ 原式 =
返回
B
2. 若,则 的取值范围是
( )
B
A. B. C. D.
返回
返回
3.已知，，那么用含有， 的式子可以表
示为_____.
4. 化简：
（1） ;
【解】 .
（2） ;
.
（3） ；
.
（4） .
.
返回
返回
5. 下列各式中：，， ，
， .最简二次根式有( )
B
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
5
返回
返回
C
9. 若，，都是整数，且 ，
，，则下列关于，， 的大小
关系，正确的是( )
A
A. B.
C. D.
返回
0≤x≤2
返回
积的算术平方根
→
化简
→
最简二次根式
→
（1）被开方数中不含开的尽方的因数（或因式）；
（2）被开方数不含分母
↓

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