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湘教版数学八年级上册培优精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.3.2.1二次根式的乘法第3章二次根式湘教版数学八年级下册3.2.1二次根式的乘法同步练习题一、核心知识点精讲1.二次根式乘法法则（核心公式）$$\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab}\ \ (a\geq0,b\geq0)$$文字表述：两个非负数的算术平方根的积，等于这两个数积的算术平方根。重要前提：被开方数$$a、b$$必须均为非负数，公式才成立。2.乘法法则逆用（根式化简核心）$$\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\ \ (a\geq0,b\geq0)$$作用：将复杂被开方数拆分，拆分出完全平方数，实现二次根式化简，是根式化简的核心依据。3.带系数二次根式乘法法则若有系数：$$m\sqrt{a}\cdot n\sqrt{b}=mn\sqrt{ab}\ \ (a\geq0,b\geq0)$$运算规则：系数与系数相乘，被开方数与被开方数相乘，最后化简为最简二次根式。4.二次根式乘法通用解题步骤①判范围：确认所有被开方数非负，保证式子有意义；②分相乘：系数相乘、被开方数分别相乘；③巧拆分：将乘积后的被开方数拆分为「完全平方数×剩余数」；④化最简：开出平方因式，整理结果为最简二次根式。5.常用结论与易错点①乘法运算结果必须化为最简二次根式，不可保留可开方因数；②切勿错误使用$$\sqrt{a+b}=\sqrt{a}+\sqrt{b}$$，根式无加法拆分性质；③负数不能直接开方相乘，必须保证被开方数全程非负。二、选择题（每题4分，共24分）1.计算$$\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}$$的结果是（）A. $$\sqrt{5}$$ B. $$\sqrt{6}$$ C. $$5$$ D. $$6$$2.下列计算正确的是（）A. $$\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}=3$$ B. $$\sqrt{2}\cdot\sqrt{4}=\sqrt{6}$$ C. $$\sqrt{5}\cdot\sqrt{2}=7$$ D. $$\sqrt{-2}\cdot\sqrt{-3}=\sqrt{6}$$3.计算$$2\sqrt{3}\cdot3\sqrt{2}$$的结果是（）A. $$5\sqrt{5}$$ B. $$6\sqrt{6}$$ C. $$6\sqrt{5}$$ D. $$5\sqrt{6}$$4.化简$$\sqrt{12}\cdot\sqrt{\dfrac{1}{3}}$$的结果是（）A. 2 B. 3 C. 4 D. $$\sqrt{3}$$5.若$$\sqrt{x-1}\cdot\sqrt{x+1}=\sqrt{x^2-1}$$成立，则x的取值范围是（）A. $$x\geq1$$ B. $$x\geq-1$$ C. $$-1\leq x\leq1$$ D.全体实数6.计算$$\sqrt{8}\cdot\sqrt{\dfrac{1}{2}}$$的结果是（）A. 4 B. 2 C. $$\sqrt{4}$$ D. 8三、填空题（每题4分，共24分）7.计算：$$\sqrt{5}\cdot\sqrt{20}=$$________。8.计算：$$4\sqrt{2}\cdot\dfrac{1}{2}\sqrt{6}=$$________。9.化简：$$\sqrt{27}\cdot\sqrt{\dfrac{1}{3}}=$$________。10.若$$\sqrt{a}\cdot\sqrt{8}=\sqrt{40}$$，则$$a=$$________。11.计算：$$\sqrt{1.5}\cdot\sqrt{\dfrac{8}{3}}=$$________。12.化简：$$\sqrt{x}\cdot\sqrt{4x}(x\geq0)=$$________。四、解答题（共52分）13.（16分）基础根式乘法计算：（1）$$\sqrt{6}\cdot\sqrt{24}$$（2）$$\sqrt{18}\cdot\sqrt{\dfrac{2}{9}}$$14.（18分）带系数根式乘法运算：（1）$$3\sqrt{5}\cdot2\sqrt{10}$$（2）$$\dfrac{1}{2}\sqrt{12}\cdot4\sqrt{\dfrac{1}{3}}$$（3）$$-2\sqrt{3}\cdot3\sqrt{6}$$15.（18分）化简求值：先化简$$\sqrt{12x}\cdot\sqrt{\dfrac{3}{4}x}(x\geq0)$$，再代入$$x=4$$求值。五、参考答案与详细解析一、选择题1.B（根据乘法法则：$$\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}=\sqrt{2\times3}=\sqrt{6}$$）；2.A（B：$$\sqrt{2}\cdot\sqrt{4}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$$，C：$$\sqrt{10}$$，D：负数不能开平方，无意义）；3.B（系数相乘$$2\times3=6$$，根式相乘$$\sqrt{3\times2}=\sqrt{6}$$，结果$$6\sqrt{6}$$）；4.A（原式$$=\sqrt{12\times\dfrac{1}{3}}=\sqrt{4}=2$$）；5.A（需满足$$x-1\geq0$$且$$x+1\geq0$$，取交集$$x\geq1$$）；6.B（原式$$=\sqrt{8\times\dfrac{1}{2}}=\sqrt{4}=2$$）。二、填空题7. $$10$$（原式$$=\sqrt{5\times20}=\sqrt{100}=10$$）；8. $$4\sqrt{3}$$（$$4\times\dfrac{1}{2}\times\sqrt{2\times6}=2\sqrt{12}=4\sqrt{3}$$）；9. $$3$$（原式$$=\sqrt{27\times\dfrac{1}{3}}=\sqrt{9}=3$$）；10. $$5$$（$$\sqrt{8a}=\sqrt{40}$$，得$$8a=40$$，$$a=5$$）；11. $$2$$（原式$$=\sqrt{\dfrac{3}{2}\times\dfrac{8}{3}}=\sqrt{4}=2$$）；12. $$2x$$（原式$$=\sqrt{4x^2}=2x(x\geq0)$$）。三、解答题13.解：（1）原式$$=\sqrt{6\times24}=\sqrt{144}=12$$；（2）原式$$=\sqrt{18\times\dfrac{2}{9}}=\sqrt{4}=2$$。14.解：（1）原式$$=6\sqrt{5\times10}=6\sqrt{50}=6\times5\sqrt{2}=30\sqrt{2}$$；（2）原式$$=2\sqrt{12\times\dfrac{1}{3}}=2\sqrt{4}=2\times2=4$$；（3）原式$$=-6\sqrt{3\times6}=-6\sqrt{18}=-6\times3\sqrt{2}=-18\sqrt{2}$$。15.解：原式$$=\sqrt{12x\cdot\dfrac{3}{4}x}=\sqrt{9x^2}=3x(x\geq0)$$，将$$x=4$$代入，原式$$=3\times4=12$$。本节易错必记1.二次根式乘法法则仅适用于被开方数非负，负数根式无意义，不能相乘；2.带系数乘法务必系数、根式分开计算，最后统一化简；3.乘积结果必须彻底化简，不能保留未开方的完全平方因数；4.严禁误用根式加法拆分，$$\sqrt{a+b}\neq\sqrt{a}+\sqrt{b}$$，只有乘法可拆分。学习目标
1.掌握二次根式的乘法法则，能熟练地应用它进行二次根式的乘法运算；
2.灵活应用和逆用二次根式的乘法法则
3.熟练地将二次根式化简．（重点、难点）
（a≥0，b≥0），
二次根式的乘法法则
（a≥0，b≥0），
二次根式的乘法
1
积的算术平方根的性质是什么？
例1 计算：
解：(1)
(2)
典例精析
议一议：在化简 时，小明是这样进行的：
解：
假如你是他的数学老师，你认为他做对了吗？为什么？如果不对，请改正过来！
答：不对.被开方数的两个因数是负数，不能直接套用积的算术平方根的性质.
正确解法：
在使用上述积的算术平方根的性质进行计算时，一定要注意前提条件即被开方数的每个因数都必须为非负数.对于不能直接用的，一定要先进行适当转化.
要点提醒
例2 计算：
根号里面的数相乘
根号外面的数相乘
解：(1)
系数与系数相乘
根号与根号相乘
解：
二次根式的乘法法则的推广：
①多个二次根式相乘时此法则也适用，即
②当二次根号外有因数(式)时，可以类比单项式乘单 项式的法则计算，即根号外的因数(式)的积作为根号外的因数(式)，被开方数(式)的积作为被开方数(式)，即
归纳总结
例3 比较大小(一题多解)：
解：方法一：
因为 ， ，
又 20＜27，
所以 ，即 .
方法二：
因为 ，
又 20＜27，
所以 ，即 .
解：因为 ，
又 52＜54，
所以 ，
所以 ，即
比较两个二次根式大小的方法：可转化为比较两个被开方数的大小，即将根号外的正数平方后移到根号内，计算出被开方数后，再比较被开方数的大小，
被开方数大的，其算术平方根也大.也可以采用平方法.
归纳
两个负数比较大小，绝对值大的反而小
议一议
小玲和小婷两名同学在计算 时，做法分别如下：
＝
＝
你更喜欢哪种做法？
方法（1）：计算简洁和可以快速得出结果.
方法（2）：更注重计算的准确性，尤其是在复杂运算场景下，可能更合适.
例4 已知一张长方形图片的长和宽分别是 cm
和 cm，求这张长方形图片的面积.
解：
答：这张长方形图片的面积
为 21 cm2.
D
2.若是整数，则整数 的值是_______.
3. 若一个无理数与 的积是一个有理数，
写出 的一个值是__________________.
3或12
（答案不唯一）
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＜
5. 计算：
（1） ；
【解】原式 .
（2） ；
原式 .
（3） ；
原式 .
（4） .
原式 .
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6. 如图，数轴上有，，，， 五点，
根据图中各点表示的数，则表示数 的点会落在
( )
B
A. 点和之间 B. 点和 之间
C. 点和之间 D. 点和 之间
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7. 庐山云雾茶历史悠久，是中国名茶系列之
一.某品牌庐山云雾茶的包装是圆柱形铁盒，若其内部底面半
径为，深，则其容积为________
（结果保留根号和 ）.
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8. 下列式子中与 相等的是( )
D
A. B.
C. D.
9.将1，，，按如下方式排列，若规定 表示第
排从左向右第个数，则与 表示的两个数之积是
_____.
二次根式的乘法
法则
性质
拓展法则

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