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湘教版数学八年级上册培优精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.3.2.2二次根式的除法第3章二次根式湘教版数学八年级下册3.2.2二次根式的除法同步练习题一、核心知识点精讲1.二次根式除法法则（核心公式）$$\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\dfrac{a}{b}}\ \ (a\geq0,b>0)$$文字表述：两个非负数的算术平方根的商，等于这两个数商的算术平方根。取值前提：被开方数$$a\geq0$$，分母根式$$\sqrt{b}$$有意义且不为0，故$$b>0$$。2.除法法则逆用（化简核心）$$\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\ \ (a\geq0,b>0)$$作用：将分式型被开方数拆分，实现分子、分母分开开方，是化简含分数根式的核心依据。3.带系数二次根式除法法则$$\dfrac{m\sqrt{a}}{n\sqrt{b}}=\dfrac{m}{n}\sqrt{\dfrac{a}{b}}\ \ (a\geq0,b>0,n\neq0)$$运算规则：系数与系数相除，被开方数与被开方数相除，最后化简为最简二次根式。4.分母有理化（本节重难点）目的：消除分母中的二次根式，使结果符合最简二次根式要求。①单项分母有理化：$$\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\dfrac{\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}}{\sqrt{b}\cdot\sqrt{b}}=\dfrac{\sqrt{ab}}{b}$$②二次根式运算最终结果：分母不含根式，被开方数不含分母、不含可开方因式。5.标准解题步骤①定范围：保证被开方数非负、分母不为0；②分开除：系数相除、根式相除；③用法则：统一转化为商的算术平方根；④有理化：处理分母根式，彻底化简为最简二次根式。6.重要易错结论①根式无减法、除法拆分：$$\sqrt{a-b}\neq\sqrt{a}-\sqrt{b}$$，$$\sqrt{\dfrac{a}{b}}\neq\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$$（不满足取值范围时不成立）；②除法结果必须分母无根号，严禁保留分母含根式的结果；③区分$$b\geq0$$和$$b>0$$，除数根式不能为0。二、选择题（每题4分，共24分）1.计算$$\dfrac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}}$$的结果是（）A. 2 B. 3 C. 4 D.$$\sqrt{4}$$2.下列计算正确的是（）A. $$\dfrac{\sqrt{8}}{\sqrt{2}}=2$$ B. $$\sqrt{\dfrac{4}{9}}=\dfrac{4}{9}$$ C. $$\dfrac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}}=3$$ D. $$\sqrt{\dfrac{-4}{-9}}=\dfrac{-2}{-3}$$3.式子$$\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x-2}}=\sqrt{\dfrac{x}{x-2}}$$成立的x取值范围是（）A. $$x\geq0$$ B. $$x>2$$ C. $$x\geq2$$ D.全体实数4.化简$$\dfrac{2\sqrt{6}}{\sqrt{2}}$$的结果是（）A. $$2\sqrt{3}$$ B. $$\sqrt{3}$$ C. $$3\sqrt{2}$$ D. $$2\sqrt{12}$$5.分母有理化$$\dfrac{1}{\sqrt{5}}$$的结果是（）A. $$\sqrt{5}$$ B. $$\dfrac{\sqrt{5}}{5}$$ C. $$\dfrac{1}{5}$$ D. $$\dfrac{5}{\sqrt{5}}$$6.计算$$\sqrt{\dfrac{2}{3}}\div\sqrt{\dfrac{1}{6}}$$的结果是（）A. 2 B. $$2\sqrt{2}$$ C. 4 D.$$\sqrt{2}$$三、填空题（每题4分，共24分）7.计算：$$\dfrac{\sqrt{27}}{\sqrt{3}}=$$________。8.化简：$$\sqrt{\dfrac{16}{25}}=$$________。9.计算：$$\dfrac{4\sqrt{10}}{2\sqrt{2}}=$$________。10.分母有理化：$$\dfrac{2}{\sqrt{3}}=$$________。11.化简：$$\sqrt{\dfrac{8}{9}}=$$________。12.若$$\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{4}}=\dfrac{3}{2}$$，则$$x=$$________。四、解答题（共52分）13.（16分）基础根式除法计算：（1）$$\dfrac{\sqrt{72}}{\sqrt{8}}$$（2）$$\sqrt{\dfrac{27}{4}}\div\sqrt{\dfrac{3}{16}}$$14.（18分）带系数根式除法、有理化运算：（1）$$6\sqrt{12}\div2\sqrt{3}$$（2）$$\dfrac{3\sqrt{5}}{\sqrt{15}}$$（3）$$\dfrac{4}{\sqrt{8}}$$15.（18分）化简求值：先化简$$\sqrt{\dfrac{2x}{y}}\div\sqrt{\dfrac{x}{2y^3}}(x>0,y>0)$$，再代入$$y=2$$求值。五、参考答案与详细解析一、选择题1.A（原式$$=\sqrt{\dfrac{12}{3}}=\sqrt{4}=2$$）；2.A（B：$$\sqrt{\dfrac{4}{9}}=\dfrac{2}{3}$$，C：$$\sqrt{2}$$，D：被开方数不为负，结果为正$$\dfrac{2}{3}$$）；3.B（需满足$$x\geq0$$且$$x-2>0$$，得$$x>2$$）；4.A（原式$$=2\sqrt{\dfrac{6}{2}}=2\sqrt{3}$$）；5.B（分子分母同乘$$\sqrt{5}$$，得$$\dfrac{\sqrt{5}}{5}$$）；6.B（原式$$=\sqrt{\dfrac{2}{3}\times6}=\sqrt{4}=2$$修正：$$\sqrt{\dfrac{2}{3}\div\dfrac{1}{6}}=\sqrt{4}=2$$，结果为A）。二、填空题7. $$3$$（$$\sqrt{\dfrac{27}{3}}=\sqrt{9}=3$$）；8. $$\dfrac{4}{5}$$；9. $$2\sqrt{5}$$（$$2\sqrt{\dfrac{10}{2}}=2\sqrt{5}$$）；10. $$\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$$；11. $$\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$$；12. $$9$$（$$\dfrac{\sqrt{x}}{2}=\dfrac{3}{2}$$，得$$\sqrt{x}=3$$，$$x=9$$）。三、解答题13.解：（1）原式$$=\sqrt{\dfrac{72}{8}}=\sqrt{9}=3$$；（2）原式$$=\sqrt{\dfrac{27}{4}\times\dfrac{16}{3}}=\sqrt{36}=6$$。14.解：（1）原式$$=3\sqrt{\dfrac{12}{3}}=3\sqrt{4}=3\times2=6$$；（2）原式$$=3\sqrt{\dfrac{5}{15}}=3\sqrt{\dfrac{1}{3}}=\sqrt{3}$$；（3）原式$$=\dfrac{4\sqrt{8}}{8}=\dfrac{4\times2\sqrt{2}}{8}=\sqrt{2}$$。15.解：原式$$=\sqrt{\dfrac{2x}{y}\cdot\dfrac{2y^3}{x}}=\sqrt{4y^2}=2y(x>0,y>0)$$，代入$$y=2$$，原式$$=2\times2=4$$。本节易错必记1.除法法则成立条件：分子非负，分母严格大于0，取值范围比乘法更严格；2.运算结果必须分母有理化，分母绝对不能带根号，这是扣分重灾区；3.带系数除法，切记系数、根式分开除，不要混算；4.分式根式化简，先除法变乘法，再约分开方，步骤更清晰；5.区分最简要求：被开方数无分母、无平方因数，分母无根式。学习目标
1.理解二次根式的除法法则及商的算术平方根的性质.掌握最简二次根式的特点.
2.合理简洁地进行二次根式的除法运算.
3.
1.计算下列各式：
___÷___=____;
(1) = _____;
___÷___=____;
___÷___=____.
(2) = _____;
(3) = _____;
2
3
4
5
6
7
观察两者有什么关系？
二次根式的除法
1
观察三组式子的结果，我们得到下面三个等式：
(1)
(2)
(3)
思考 通过上述二次根式除法运算结果，联想到二次根式乘法的运算法则，你能说出 的结果吗？
特殊
一般
一般地，如果 a > 0，则
＝＝＝1，
因此， (a > 0).
＝
设 a > 0，b≥0，则
＝＝＝＝ .
探究证明
与 互为倒数.
二次根式的除法法则:
文字叙述：
商的算术平方根，等于被除数的算术平方根除以除式的算术平方根.
当二次根式根号外的因数(式)不为 1 时，可类比单项式除以单项式法则，易得
知识要点
例1 化简下列二次根式．
解：
从 变形到
是为了去掉分母中的根号.
化简二次根式时，最后结果要求分母中不含有二次根式.
典例精析
例2 化简：
解:
还有其他解法吗
补充解法：
解：
先运用商的算术平方根的性质，再运用积的平方根性质
我们可以运用它来进行二次根式的解题和化简.
语言表述：各因式的算术平方根的商，等于商的算术平方根.
我们知道，把积的算术平方根的性质反过来就得到二次根式的乘法法则.
类似的，把二次根式的商的算术平方根的性质反过来，就得到二次根式的除法法则:
例3 计算：
典例精析
例7 电视塔越高，从塔顶发射出的电磁波传播得越远，从而能接收到电视节目信号的区域就越广. 已知电视塔高 h (km)与电视节目信号的传播半径 r (km)之间满足
(其中 R 是地球半径). 现有两座塔高分别为
h1 = 600 m， h2 = 450 m 的电视塔，
问它们的传播半径之比等于多少？
二次根式除法的应用
2
因为
解：设两座电视塔的传播半径分别为 r1，r2，
所以
返回
B
返回
B
返回
B
返回
1
返回
返回
返回
返回
D
返回
12. 幻方是一种中国传统游戏，它是将从1到n的自然数排成纵横各为n个数的正方形，使在同一行、同一列和同一对角线上的几个数的和都相等．类比幻方，我们给出如图所示的方格，要使方格中横向、纵向及对角线方向上的实数相乘的结果都相等，则A，B，C，D之积为________．
20
商的算术平方根
→
计算与化简
→
↓
最简二次根式
→
↓
（逆用）

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