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湘教版数学八年级上册培优精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.3.3.2二次根式的混合运算第3章二次根式湘教版数学八年级下册3.3.2二次根式的混合运算同步练习题一、核心知识点精讲1.二次根式混合运算顺序（必考）与实数四则运算顺序完全一致：先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内。同级运算从左到右依次进行。注意：运算全程遵循二次根式乘除、化简、合并规则，最终结果必须是最简二次根式。2.核心运算公式（1）整式乘法公式完全适用（本节重难点、高频考点）平方差公式：$$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$$完全平方公式：$$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$$（2）根式基础公式乘除：$$\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab}，\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\dfrac{a}{b}}(a\geq0,b>0)$$加减：仅同类二次根式可合并，$$a\sqrt{m}\pm b\sqrt{m}=(a\pm b)\sqrt{m}$$3.分母有理化进阶（混合运算必用）（1）单项分母：$$\dfrac{a}{\sqrt{b}}=\dfrac{a\sqrt{b}}{b}$$（2）两项分母（共轭根式有理化）：利用平方差公式去根号$$\dfrac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\dfrac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{a-b}，\dfrac{1}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}=\dfrac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{a-b}$$4.标准解题步骤①观结构：判断是否可用乘法公式简化运算；②按序算：先乘方、再乘除、后加减，优先算括号；③及时化：每一步运算结果尽量化简，避免大数、复杂根式；④并同类：合并所有同类二次根式；⑤终整理：分母无根号、无未开方因式，结果最简。5.高频易错点①乱用运算律：根式无分配律，$$\sqrt{a\pm b}\neq\sqrt{a}\pm\sqrt{b}$$；②完全平方公式漏写中间项$$2ab$$；③分母两项根式有理化时，分母符号、平方差计算出错；④混合运算最后忘记合并同类根式、忘记化简。二、选择题（每题4分，共24分）1.计算$$(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)$$的结果是（）A. 2 B. 3 C. 4 D. $$2\sqrt{3}$$2.下列计算正确的是（）A. $$\sqrt{2}+\sqrt{6}=\sqrt{8}$$ B. $$\sqrt{8}\div2=\sqrt{4}=2$$ C. $$(2\sqrt{2})^2=8$$ D. $$\sqrt{3}\cdot\sqrt{2}=5$$3.计算$$(\sqrt{2}+1)^2$$的结果是（）A. 3 B. $$3+2\sqrt{2}$$ C. $$2+\sqrt{2}$$ D. 44.化简$$\dfrac{2}{\sqrt{3}-1}$$的结果是（）A. $$\sqrt{3}+1$$ B. $$\sqrt{3}-1$$ C. $$2\sqrt{3}-1$$ D. $$\sqrt{3}$$5.计算$$\sqrt{12}\times\sqrt{3}-\sqrt{8}$$的结果是（）A. $$6-2\sqrt{2}$$ B. $$6-\sqrt{2}$$ C. $$4\sqrt{2}$$ D. 36.已知$$a=1+\sqrt{2}$$，则$$a^2-2a$$的值为（）A. 0 B. 1 C. 2 D. 3三、填空题（每题4分，共24分）7.计算：$$\sqrt{2}(\sqrt{2}-\sqrt{3})=$$________。8.计算：$$(2\sqrt{3}-\sqrt{2})^2=$$________。9.化简：$$\dfrac{4}{\sqrt{5}+1}=$$________。10.计算：$$\sqrt{24}\div\sqrt{3}+\sqrt{\dfrac{1}{2}}=$$________。11. $$(\sqrt{5}+2)^{2024}(\sqrt{5}-2)^{2024}=$$________。12.若$$x=\sqrt{3}+1$$，则$$x^2=$$________。四、解答题（共52分）13.（16分）基础混合运算：（1）$$\sqrt{18}-\sqrt{8}+\sqrt{\dfrac{1}{2}}\times\sqrt{6}$$（2）$$\sqrt{27}\div\sqrt{3}+(\sqrt{2}-1)^0$$14.（18分）公式型简便运算：（1）$$(2\sqrt{3}+\sqrt{6})(2\sqrt{3}-\sqrt{6})$$（2）$$(3\sqrt{2}-2\sqrt{3})^2$$（3）$$(\sqrt{5}+\sqrt{2})(\sqrt{5}-\sqrt{2})-\sqrt{18}$$15.（18分）化简求值：先化简$$(a-\sqrt{3})^2-(a+\sqrt{3})(a-\sqrt{3})$$，再代入$$a=\sqrt{2}+1$$求值。五、参考答案与详细解析一、选择题1.A（平方差公式：原式$$=3-1=2$$）；2.C（A非同类不能合并；B$$\sqrt{8}\div2=\sqrt{2}$$；D$$\sqrt{6}$$）；3.B（完全平方：原式$$=2+2\sqrt{2}+1=3+2\sqrt{2}$$）；4.A（分母有理化：原式$$=\dfrac{2(\sqrt{3}+1)}{2}=\sqrt{3}+1$$）；5.A（原式$$=\sqrt{36}-2\sqrt{2}=6-2\sqrt{2}$$）；6.B（原式$$=(a-1)^2-1=(\sqrt{2})^2-1=2-1=1$$）。二、填空题7. $$2-\sqrt{6}$$（乘法分配律展开计算）；8. $$14-4\sqrt{6}$$（$$12-4\sqrt{6}+2$$）；9. $$\sqrt{5}-1$$（有理化：$$\dfrac{4(\sqrt{5}-1)}{4}$$）；10. $$2\sqrt{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{5\sqrt{2}}{2}$$；11. $$1$$（积的乘方逆用，平方差得1，$$1^{2024}=1$$）；12. $$4+2\sqrt{3}$$（完全平方公式展开）。三、解答题13.解：（1）原式$$=3\sqrt{2}-2\sqrt{2}+\sqrt{3}=\sqrt{2}+\sqrt{3}$$；（2）原式$$=\sqrt{9}+1=3+1=4$$。14.解：（1）原式$$=(2\sqrt{3})^2-(\sqrt{6})^2=12-6=6$$；（2）原式$$=(3\sqrt{2})^2-2\times3\sqrt{2}\times2\sqrt{3}+(2\sqrt{3})^2=18-12\sqrt{6}+12=30-12\sqrt{6}$$；（3）原式$$=5-2-3\sqrt{2}=3-3\sqrt{2}$$。15.解：原式$$=a^2-2\sqrt{3}a+3-(a^2-3)=a^2-2\sqrt{3}a+3-a^2+3=6-2\sqrt{3}a$$，代入$$a=\sqrt{2}+1$$，原式$$=6-2\sqrt{3}(\sqrt{2}+1)=6-2\sqrt{6}-2\sqrt{3}$$。本节易错必记1.混合运算优先使用乘法公式简化计算，减少繁琐步骤；2.两项根式分母有理化，必须利用共轭根式，牢记平方差去根号；3.完全平方公式展开切勿漏中间交叉项，是最易扣分点；4.乘方、乘除、加减分步运算，每步及时化简，不堆积复杂根式；5.化简求值题先化简式子、再代值，严禁直接代入硬算。学习目标
1.掌握二次根式的混合运算及其应用；
2.掌握乘法公式在二次根式混合运算中的作用．
3.
问题1 单项式与多项式、多项式与多项式的乘法法则分别是什么
问题2 多项式与单项式的除法法则是什么
m(a + b + c) = ma + mb + mc；
(m + n)(a + b) = ma + mb + na + nb
(ma + mb + mc)÷m = a + b + c (m≠0)
分配律
单（多）×多
转化
前面两个问题的思路是：
思考 若把字母 a，b，c，m 都用二次根式代替(每个同学任选一组)，然后对比归纳，你们发现了什么？
单×单
二次根式的加、减、乘、除混合运算与整式运算一样，体现在：运算律、运算顺序、乘法法则仍然适用.
引例：甲、乙两个城市间计划修建一条城际铁路， 其中有一段路基的横断面设计为上底宽 ，下底宽 ，高 的梯形，这段路基长 500 m，那么这段路基的土石方 (路基的土石方即路基的体积)为多少立方米呢？
二次根式的混合运算
1
解：路基的土石方等于路基横断面面积乘以路基的长度，所以这段路基的土石方为：
答：这段路基的土石方为
从上面的解答过程可以看到，二次根式的混合运算是根据实数的运算律进行的.
例1 计算：
典例精析
例2 计算：
(1)
(2)
解：(1) 由平方差公式得
＝9×2－5＝13.
(2) 由完全平方公式得
=
=
=.
可以利用乘法公式，对某些二次根式的乘法进行简便运算.
二次根式的混合运算，一般先将二次根式转化为最简二次根式，再灵活运用乘法公式等知识来简化计算.
总结归纳
例3 计算：
.
解：
＝
＝
＝
例4 计算：
(1) ；
＝
＝
＝
＝
解：(1) 原式
分子与分母同乘
，然后利用平方差公式把分母中的根号去掉.
(2)
=
=
(2) 原式
=
= .
3. 计算:
解:
分母形如 的式子，将分子、分母同乘
，构造平方差公式，可使分母不含根号.
归纳
B
2. 从“，， ， ”中选择一种运算符号，填入算式“
”中的“ ”内，使其运算结果最大，
则应选择的运算符号是( )
C
A. B. C. D.
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3．[张家界市期末]如图，矩形内有两个
相邻的正方形，其面积分别为2和8，则图中
阴影部分的面积为___.
2
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D
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7.已知，则 化简
的结果为_________.
（2） ；
原式 .
返回
二次根式的混合运算
乘除法则
加减法则
乘除公式

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