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湘教版数学八年级上册培优精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.4.1.2三角形的高、中线和角平分线第4章三角形湘教版数学八年级下册4.1.2三角形的高、中线和角平分线同步讲义与练习本节核心考点：掌握三角形三条重要线段（高、中线、角平分线）的定义、画法与性质；利用中线求边长、周长、面积；利用角平分线求角度；区分不同三角形高线的位置，是几何入门核心基础考点。一、核心知识点精讲1.三角形的高定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形这条边上的高。核心性质：①每个三角形都有三条高；②三条高所在直线交于一点，这个点叫做三角形的垂心。不同三角形高的位置（必考区分）：①锐角三角形：三条高全部在三角形内部；②直角三角形：两条直角边互为高，第三条高在三角形内部（斜边上的高）；③钝角三角形：钝角所对边上的高在内部，另外两条高在三角形外部（需延长对边作图）。重要结论：三角形的高是线段，不是直线、射线。2.三角形的中线定义：连接三角形一个顶点和它对边中点的线段，叫做三角形这条边上的中线。核心性质：①每个三角形有三条中线，都在三角形内部；②三条中线交于一点，叫做三角形的重心；③中线等分面积：三角形的一条中线将三角形分成面积相等的两个小三角形（考试超级高频）；④重心性质：重心到顶点的距离是到对边中点距离的2倍。3.三角形的角平分线定义：三角形一个内角的平分线与对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段，叫做三角形的角平分线。核心性质：①每个三角形有三条角平分线，全部在三角形内部；②三条角平分线交于一点，叫做三角形的内心；③角平分线上的点到角两边的距离相等。4.三大线段易错辨析（必考判断）1.高、中线、角平分线都是线段，不是直线、射线；2.只有钝角三角形有高在外部，锐角、直角三角形高均不外漏；3.中线只平分面积，不平分角度；角平分线只平分角度，不平分边长和面积。二、选择题（每题4分，共24分）1.下列关于三角形高的说法正确的是（）A.三角形的高是直线B.任意三角形都有三条高C.钝角三角形没有高D.直角三角形只有一条高2.三角形的中线是（）A.直线B.射线C.线段D.垂线3.能把三角形分成两个面积相等的三角形的线段是（）A.高B.中线C.角平分线D.任意线段4.钝角三角形的高在三角形内部的有（）A. 0条B. 1条C. 2条D. 3条5.三角形的三条角平分线的交点是（）A.重心B.垂心C.内心D.中点6.在△ABC中，AD是BC边上的中线，若△ABC面积为20，则△ABD的面积为（）A. 5 B. 10 C. 15 D. 20三、填空题（每题4分，共24分）7.直角三角形的两条________互为高。8.三角形三条中线的交点叫做________。9.已知AD是△ABC的中线，BC=8，则BD=________。10.锐角三角形的三条高都在三角形________。11.若AE是△ABC的角平分线，∠BAC=80°，则∠BAE=________°。12.三角形的三条高所在直线的交点叫做________。四、解答题（共52分）13.（16分）基础概念解答：（1）简述锐角、直角、钝角三角形高线的位置区别；（2）说明三角形中线的核心作用。14.（18分）中线周长与面积计算：在△ABC中，AD是BC边上的中线，AB=7，AC=5，△ABD周长为18，求△ACD的周长。15.（18分）角度计算：在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，∠B=30°，∠C=70°，求∠CAE与∠CAD的度数。五、参考答案与详细解析一、选择题1.B（三角形都有三条高；高是线段；直角三角形两条直角边为高）；2.C（三角形的高、中线、角平分线均为线段）；3.B（中线等分三角形面积，是固定性质）；4.B（钝角三角形仅钝角对边的高在内部，另外两条在外部）；5.C（角平分线交点为内心，中线交点为重心，高线交点为垂心）；6.B（中线平分面积，20÷2=10）。二、填空题7.直角边8.重心9. 4（中线平分对边，BD=BC÷2=4）10.内部11. 40（角平分线平分内角，80°÷2=40°）12.垂心三、解答题13.解：（1）锐角三角形三条高全部在三角形内部；直角三角形两条直角边为高，一条高在内部；钝角三角形一条高在内部，两条高在三角形外部。（2）①平分对边边长；②将三角形分成面积相等的两个小三角形，常用于面积计算与转化。14.解：∵AD是BC中线，∴BD=CD，△ABD周长=AB+BD+AD=18，AB=7，∴BD+AD=11，△ACD周长=AC+CD+AD=AC+BD+AD=5+11=16。答：△ACD周长为18。15.解：∵∠B=30°，∠C=70°，∴∠BAC=180°-30°-70°=80°，∵AE平分∠BAC，∴∠CAE=80°÷2=40°，∵AD是高，∴∠ADC=90°，在△ADC中，∠CAD=180°-90°-70°=20°。答：∠CAE=40°，∠CAD=20°。本节易错必记1.高、中线、角平分线都是线段，考试选择题高频挖坑；2.钝角三角形有两条高在外部，画图题极易漏画、错画；3.中线只平分面积、平分边长，不平分角度；角平分线只平分角度；4.直角三角形高线不要误以为只有一条，实际共三条；5.重心、垂心、内心名称严禁混淆，对应不同线段交点。学习目标
1.了解三角形的高、角平分线与中线的概念
2.会用工具正确画出三角形的高、角平分线与中线；
3.学会用数学知识解决实际问题，发展应用和自
主探究意识，并培养动手实践能力.
问题1 什么是三角形的高？怎样画三角形的高？
定义 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫作三角形的高线，简称三角形的高.
问题2 由三角形的高你能得到什么结论？
∠AHB = ∠AHC = 90°
A
B
C
H
垂足
注意：标明垂直记号和垂足的字母.
高
三角形的高
1
② AH⊥BC，垂足为 H；
③ 点 H 在 BC 上，且∠AHB = 90° (或∠AHC = 90°).
① AH 是△ABC 的高；
A
B
C
H
高的描述方法（如图）：有三种
(1) 你能画出这个三角形的三条高吗
(2) 这三条高之间有怎样的位置关系
(3) 锐角三角形的三条高是在三角形
的内部还是外部
锐角三角形的三条高交于同一点.
锐角三角形的三条高都在三角形的内部.
锐角三角形的三条高
如图所示.
O
A
B
C
D
E
F
合作探究
直角边 BC 上的高是 ；
直角边 AB 上的高是 .
(2) 斜边 AC 上的高是 ；
直角三角形的三条高
A
B
C
(1) 画出直角三角形的三条高；
AB
CB
它们有怎样的位置关系
D
直角三角形的三条高交于直角顶点.
BD
钝角三角形的三条高
(1) 你能画出钝角三角形的三条
高吗？
A
B
C
D
E
F
(2) AC 边上的高是哪条线段？
AB 边上的高是哪条线段？
BC 边上的高是哪条线段？
BF
CE
AD
A
B
C
D
F
(3) 钝角三角形的三条高相交
吗？
(4) 它们所在的直线交于一点
吗？这点位于何处？
O
E
钝角三角形的三条高不相交.
钝角三角形的三条高所在直线交于一点，并且这个点在三角形外部.
例1 作△ABC 的边 AB 上的高，下列作法中，正确的是(　　)
方法总结：三角形任意一边上的高必须满足：(1) 过该边所对的顶点；(2) 垂直于该边，且垂足必须在该边或在该边的延长线上.
D
典例精析
例2 如图所示，在△ABC 中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC 于点 D，且 AD＝4，若点 P 在边 AC 上移动，则 BP 的最小值为 ．
方法总结：首先判定△ABC 为锐角三角形，得出 BP 最小等于 AC 边上的高；然后利用面积相等作为桥梁(可不求面积)去求这条高．此法通常称为“等面积法”．
_____
在一张纸上画出一个一个三角形并剪下来，将它的一个角对折，使其两边重合.
折痕 AD 所在的射线即为∠BAC 的平分线.
A
B
C
D
三角形的角平分线
2
思考：在一张薄纸上任意画一个三角形，你能通过折纸的方法得到它吗
三角形的角平分线的定义：
在三角形中，一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫作三角形的角平分线.
1
2
A
B
C
D
注意：“三角形的角平分线”是线段，不是射线.
∠1 =∠2 = ∠BAC
每人准备锐角三角形、钝角三角形和直角三角形纸片
各一个.
(1) 你能分别画出这三个三角形的三条角平分线吗
(2) 你能用折纸的办法得到它们吗
(3) 在每个三角形中，这三条角平分线之间有怎样的
位置关系
做一做
观察直角三角形、钝角三角形的三条角平分线，你又有什么发现？
三角形的三条角平分线交于同一点.
例3 如图，CD 平分∠ACB，DE∥BC，∠AED = 80°，求∠ECD 的度数.
解：∵ CD 平分∠ACB，
又 DE∥BC，
∴∠ACB =∠AED = 80°.
∴∠ECD = 40°.
∴∠ECD =∠BCD = ∠ACB.
A
B
C
E
D
典例精析
定义：
在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫作三角形的中线.
A
B
C
想一想：由三角形的中线能得到什么结论？
BE = CE = BC
E
如图，BE = CE，则线段 AE 是△ABC 的 BC 边上的中线．
三角形的中线
3
画一画：如图，画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条中线，并观察它们中线的交点有什么规律？
画图发现
三角形的三条中线交于三角形内部一点，这一点我们称为三角形的重心.
A
B
C
A
B
C
A
B
C
D
E
F
D
D
E
F
E
F
O
O
O
例4 如图，AD 是△ABC 的中线， AE 是△ABC 的高.
（1）图中共有几个三角形？请分别列举出来；
解：图中有 6 个三角形，
它们分别是：
△ABD，
△ADE，
△AEC，
△ABE，
△ADC，
△ABC.
（2）其中哪些三角形的面积相等？
解：因为 AD 是△ABC 的中线，
所以 BD = DC.
因为 AE 是△ABC 的高，也是△ABD 和△ADC 的高，
因此 S△ABD = S△ADC .
所以 S△ABD = BD AE，
S△ADC = DC AE，
总结：三角形的中线把三角形分成面相等的两个部分.
解：∵AD 是△ABC 的中线，∴CD = BD.
∵△ABC 的周长为 35 cm，BC = 11 cm，
∴AC + AB = 35 - 11 = 24 (cm).
又∵△ABD 与△ACD 的周长差为 3 cm，
∴AB - AC = 3 cm.
∴AB = 13.5 cm，AC = 10.5 cm.
例5 如图，△ABC 中，AB > AC，AD 是 BC 边上的中线，若△ABC 的周长为 35 cm，BC = 11 cm，且△ABD 与△ACD 的周长差为 3 cm，求 AB 与 AC 的长.
A
C
D
B
三角形的 重要线段 概念 图形 表示法
三角形 的高线 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线,顶点和垂足之间的线段 ∵AD是△ABC的高，
∴AD⊥BC，
∠ADB=∠ADC=90°.
三角形的 角平分线 三角形一个内角的平分线与它的对边相交,这个角的顶点与交点之间的线段 ∵AD是△ABC的角平分线，
∴ ∠1=∠2= ∠BAC
三角形 的中线 三角形中,连接一个顶点和它对边中点的线段 ∵ AD是△ABC的边BC上的中线，
∴ BD=CD= BC.
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
(
1
(
2
返回
1．用三角板画△ABC的边AB上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是(　　)
C
返回
2．中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了说明三角形面积公式的出入相补法．如图，在△ABC中，分别取AB，AC的中点D，E，连接DE，过点A作AF⊥DE，垂足为F，将△ABC分割后拼接成长方形BCHG.若DE＝10，AF＝6，则△ABC的面积是________．
120
D
返回
（第4题）
4.如图，在中，是 的平
分线，是的平分线，若
的度数为 ，则 的度数为
____.
【点拨】因为是 的平分线，
是的平分线，所以, 所以
.
返回
5.如图，在中，是高， 平分
， ， ，求
的度数.
【解】因为是高，所以 .所以
.
因为 ，所以 .
因为平分， ，所以
，
所以 .
返回
返回
A
返回
7．如图，△ABC中，AD为中线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，AB＝8，AC＝6，DF＝5，则DE＝________．
8．如图，在△ABC中，已知点D是边BC上一点，E，F分别是AD，CE的中点，且 S△ABC＝4，则△BEF的面积是________．
1
返回
9．[张家界市期末]如图，在△ABC中，AB＞AC，AD交边BC于点D.设△ABC的重心为M，若点M在线段AD上，则下列结论正确的是(　　)
A．∠BAD＝∠CAD
B．AM＝DM
C．△ABD的周长等于△ACD的周长
D．△ABD的面积等于△ACD的面积
D
返回
10．如图，在直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，点D沿CB自点C向点B运动(点D与点C，B不重合)，作BE⊥AD于点E，CF⊥AD交AD的延长线于点F，在点D的运动过程中，BE＋CF的值(　　)
A．逐渐变小 B．逐渐变大
C．不变 D．无法确定
B
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11. 如图，在中， ,
, ,若四边形
的面积为28,则 的面积为
( )
A
A. 60 B. 56 C. 70 D. 48
三角形的重要线段
高
注意钝角三角形两短边上高的画法
中线
会把原三角形的面积平分
一边上的中线把原三角形分成两个三角形，这两个三角形的周长差等于原三角形其余两边的差
角平分线
是线段，不是射线

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