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湘教版数学八年级上册培优精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.4.1.3三角形内角和与外角第4章三角形湘教版数学八年级下册4.1.3三角形内角和与外角同步讲义与练习本节核心考点：三角形内角和定理、直角三角形两锐角互余、三角形外角的性质与推论、角度计算、内外角综合推导，是几何角度计算的核心必考题型。一、核心知识点精讲1.三角形内角和定理定理：三角形的三个内角的和等于180°。公式：在△ABC中，$$\angle A+\angle B+\angle C=180^\circ$$。用途：已知三角形两个角度，求第三个角度；已知角度关系，列方程求角度。2.重要推论（高频秒杀结论）推论1：直角三角形两锐角互余直角三角形的两个锐角相加等于$$90^\circ$$。推论2：有两个角互余的三角形是直角三角形可用于快速判定直角三角形。3.三角形的外角定义三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。关键点：①每个三角形共有6个外角（3对相等外角）；②每个顶点处有2个外角，互为对顶角，角度相等；③三角形的一个外角与相邻内角互为补角（和为180°）。4.三角形外角核心性质（考试重中之重）性质1：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。性质2：三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角。5.三角形外角和定理三角形的外角和为360°。6.本节通用解题方法①普通三角形求角：直接用内角和180°；②直角三角形求角：优先用两锐角互余；③出现外角：优先用“外角=不相邻两内角和”快速倒角；④角度比例、倍数问题：设未知数，利用内角和列方程求解。二、选择题（每题4分，共24分）1.任意三角形的内角和为（）A. 90°B. 180°C. 270°D. 360°2.在△ABC中，∠A=40°，∠B=60°，则∠C的度数为（）A. 60°B. 70°C. 80°D. 90°3.直角三角形的一个锐角为35°，则另一个锐角为（）A. 35°B. 55°C. 65°D. 45°4.关于三角形外角说法正确的是（）A.外角一定大于相邻内角B.外角等于任意两个内角和C.外角等于与它不相邻的两个内角和D.三角形只有3个外角5.三角形的一个外角是120°，与它相邻的内角是（）A. 60°B. 80°C. 90°D. 120°6.在△ABC中，∠A:∠B:∠C=1:2:3，则△ABC是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形三、填空题（每题4分，共24分）7.三角形内角和等于______°，三角形外角和等于______°。8.在△ABC中，∠A=25°，∠B=55°，则∠C=______°。9.直角三角形两锐角________。10.三角形的一个外角________任意一个与它不相邻的内角（填“大于”“小于”或“等于”）。11.已知三角形一个外角为105°，其中一个不相邻内角为40°，则另一个不相邻内角为______°。12.等腰三角形的一个内角为80°，则另外两个内角为____________。四、解答题（共52分）13.（16分）基础角度计算：（1）在△ABC中，∠A=50°，∠B=∠C，求∠B、∠C的度数；（2）直角三角形一个锐角为28°，求另一个锐角的度数。14.（18分）外角性质应用：如图，在△ABC中，∠B=35°，∠C=45°，点D在BC延长线上，求∠CAD的度数。15.（18分）方程思想求角度：在△ABC中，∠A=2∠B，∠C=∠B+30°，求△ABC三个内角的度数。五、参考答案与详细解析一、选择题1.B（三角形内角和固定180°）；2.C（$$180^\circ-40^\circ-60^\circ=80^\circ$$）；3.B（直角三角形两锐角互余，$$90^\circ-35^\circ=55^\circ$$）；4.C（外角核心性质：等于不相邻两内角和）；5.A（内外角互补，$$180^\circ-120^\circ=60^\circ$$）；6.B（设角度为$$x,2x,3x$$，$$6x=180^\circ$$，$$x=30^\circ$$，最大角90°，为直角三角形）。二、填空题7. 180；3608. 100（$$180^\circ-25^\circ-55^\circ=100^\circ$$）9.互余（和为90°）10.大于11. 65（$$105^\circ-40^\circ=65^\circ$$）12. 50°、50°或80°、20°（分类讨论：80°为顶角或底角）三、解答题13.解：（1）∵$$\angle A+\angle B+\angle C=180^\circ$$，$$\angle A=50^\circ$$，$$\angle B=\angle C$$，∴$$\angle B=\angle C=\dfrac{180^\circ-50^\circ}{2}=65^\circ$$；（2）直角三角形两锐角互余，另一个锐角$$=90^\circ-28^\circ=62^\circ$$。14.解：∵∠CAD是△ABC的外角，∴$$\angle CAD=\angle B+\angle C=35^\circ+45^\circ=80^\circ$$。答：∠CAD的度数为80°。15.解：设$$\angle B=x$$，则$$\angle A=2x$$，$$\angle C=x+30^\circ$$，由内角和定理得：$$2x+x+x+30^\circ=180^\circ$$，解得：$$4x=150^\circ，x=37.5^\circ$$，∴$$\angle A=75^\circ，\angle B=37.5^\circ，\angle C=67.5^\circ$$。本节易错必记1.外角只能等于不相邻两个内角和，严禁加相邻内角；2.钝角三角形的外角可能小于相邻内角，不要误以为外角一定更大；3.等腰三角形角度问题必须分类讨论，防止漏解；4.角度比例题型优先设未知数，用内角和列方程，解题最稳妥；5.区分：内角和180°，外角和360°，不要混淆。学习目标
1.通过操作活动，发现三角形的内角和是 180°；
2.会利用三角形的内角和求三角形中未知角的度数；
3.了解三角形的外角及其性质.
思考： 任意三角形的内角和都是180° 吗？为什么？
折叠
锐角三角形
测量
40°
68°
72°
40°＋68°＋72°＝180°
（请同学们运用学科工具——量角器测量演示）
还有其他的方法吗？
三角形的三个内角拼到一起恰好构成一个平角.
观测的结果不一定可靠，还需要通过数学知识来证明.从上面的操作过程，你能发现证明的思路吗？
还有其他的拼接方法吗？
探究：在纸上任意画一个三角形，将它的内角撕下来拼合在一起.
三角形的内角和定理的证明
1
三角形内角的和等于 180°.
求证：∠A +∠B +∠C = 180°.
已知：△ABC .
证法1：过点 A 作 l∥BC，
则∠B =∠1，∠C =∠2
(两直线平行，内错角相等).
∵∠1 +∠2 +∠BAC = 180°，
∴∠B +∠C +∠BAC = 180°.
1
2
验证结论
证法2：延长 BC 到 D，过点 C 作 CE∥BA，
则∠A =∠1
(两直线平行，内错角相等)，
∠B =∠2
(两直线平行，同位角相等).
又∵∠1 +∠2 +∠ACB = 180°，
∴∠A +∠B +∠ACB = 180°.
C
B
A
E
D
1
2
C
B
A
E
D
F
证法3：过 D 作 DE∥AC，DF∥AB.
∴∠C = ∠EDB，∠B = ∠FDC
(两直线平行，同位角相等)，
∠A +∠AED = 180°，
∠EDF +∠AED = 180°
(两直线平行，同旁内角相补).
∴∠A = ∠EDF.
∵∠EDB +∠EDF +∠FDC = 180°，
∴∠C +∠A +∠B = 180°.
想一想：同学们还有其他的证法吗？
思考：多种方法证明三角形内角和等于 180° 的核心是什么？
借助平行线“移角”的功能，将三个角转化到一个平角上.
C
A
B
1
2
3
4
5
l
A
C
B
1
2
3
4
5
l
P
6
m
A
B
C
D
E
例1 在△ABC 中， ∠A 的度数是∠B 的 3 倍，∠C 比∠B 大 15°，求∠A，∠B，∠C 的度数.
解：设∠B 为 x°，则∠A 为 (3x)°，∠C 为 (x + 15)°， 从而
3x + x + (x + 15)＝180，
解得 x＝33.
所以 3x＝99，x + 15＝48.
答：∠A，∠B，∠C 的度数分别为 99°，33°，48°.
几何问题借助方程来解， 这是一个重要的数学思想.
典例精析
一个三角形的三个内角中，最多有几个直角？最多有几个钝角？
因为三角形的内角和等于 180°，因此最多有一个直角或一个钝角.
说一说
1.三个角都是锐角的三角形叫作锐角三角形；
锐角三角形
3.有一个角是钝角的三角形叫作钝角三角形.
钝角三角形
2.有一个角是直角的三角形叫作直角三角形，
直角三角形
直角边
直角边
斜边
A
B
C
直角三角形 ABC 可以写成 Rt△ABC；
两条直角边相等的直角三角形叫作等腰直角三角形.
定义
如图，把△ABC 的一边 BC 延长，可得到∠ACD.像这样，把三角形的一边与另一边的延长线所组成的角叫作三角形的外角.
∠ACD 是△ABC 的一个外角
C
B
A
D
三角形的外角的概念
2
A
B
C
画一画 画出△ABC 的所有外角，共有几个呢
每一个三角形都有 6 个外角．
每一个顶点相对应的外角都有 2 个，且这 2 个角为对顶角.
三角形的外角应具备的条件：
① 角的顶点是三角形的顶点；
② 角的一边是三角形的一边；
③ 另一边是三角形中一边的延长线.
∠ACD 是△ABC 的一个外角，
C
B
A
D
每一个三角形都有 6 个外角．
归纳总结
三角形的外角
A
C
B
D
相邻的内角
不相邻的内角
问题1 如图，△ABC 的外角∠BCD 与其相邻的内角
∠ACB 有什么关系？
∠BCD 与∠ACB 互补.
三角形的外角的性质
3
问题2 如图，△ABC 的外角∠BCD 与其不相邻的两内角 (∠A，∠B ) 有什么关系？
三角形的外角
A
C
B
D
相邻的内角
不相邻的内角
∵∠A +∠B +∠ACB = 180°，∠BCD +∠ACB = 180°，
∴∠BCD =∠A +∠B.
你能用作平行线的方法证明此结论吗？
三角形内角和定理的推论
A
B
C
D
(
(
(
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
应用格式：
因为∠ACD 是△ABC 的一个外角，
所以∠ACD =∠A +∠B.
知识要点
例2 如图，已知 AD 是∠ABC 的角平分线，
∠ADB = 98°，∠C = 70°，求∠B 的度数.
解 因为∠ADB =∠C + ∠CAD，
所以∠CAD =∠ADB－∠C = 98°－70° = 28°.
又∠BAD =∠CAD，
所以∠BAD = 28°.
因此，∠B = 180°－∠ADB－∠BAD = 54°.
如图①，试比较∠2 、∠1的大小；
如图②，试比较∠3 、∠2、 ∠1的大小.
图①
图②
解：因为∠2 =∠1 +∠B，
所以∠2＞∠1.
解：因为∠2 =∠1 +∠B，
∠3 =∠2 +∠D，
所以∠3＞∠2＞∠1.
拓展探究
三角形的外角大于与它不相邻的内角.
A
B
C
D
(
(
1
2
3
A
B
C
D
(
(
(
1
2
E
由三角形的内角和定理易得
∠A +∠B =∠C +∠D.
归纳总结
A
B
C
D
由三角形的外角和定理易得
∠BDC = ∠A +∠B +∠C.
“8”字形
“燕尾蝶”形
返回
1．如图，点E，D分别在AB，AC上，若∠B＝30°，∠C＝55°，则∠1＋∠2的度数为(　　)
A．85° B．80° C．75° D．70°
A
返回
2．如图，∠A＝70°，BP，CP分别平分∠ABC和∠ACB，则∠P的度数是(　　)
A．125° B．115° C．110° D．120°
A
返回
3.如图，在△ABC中，∠B＝20°，∠BAC＝4∠C，AD平分∠BAC，交BC于点D，则∠BAD的度数是________．
64°
4. 在△ABC中，∠ABC＝∠C，BD是AC边上的高，∠ABD＝30°，则∠C的度数是多少？
【解】第一种情况：当BD在△ABC内部时，如图①.在△ABC中，因为BD是AC边上的高(已知)，所以∠ADB＝90°(垂直的定义)．又因为∠ABD＝30°(已知)，所以∠A＝180°－∠ADB－∠ABD＝180°－90°－30°＝60°.又因为∠A＋∠ABC＋∠C＝180°(三角形的内角和定理)，所以∠ABC＋∠C＝120°.又因为∠ABC＝∠C，所以∠C＝60°.
返回
第二种情况：当BD在△ABC外部时，如图②.在Rt△ABD中，因为∠ABD＝30°(已知)，∠D＝90°，所以∠BAD＝60°.易知∠BAD＝∠ABC＋∠C，所以∠ABC＋∠C＝60°.又因为∠ABC＝∠C，所以∠C＝30°.
综上所述，∠C的度数为30°或60°.
5．下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，其中不能判断三角形形状的是(　　)
C
返回
返回
6．[北京市海淀区模拟]在△ABC中，∠A?∠B?∠C＝1?2?3，则△ABC(　　)
A．是锐角三角形　 B．是直角三角形
C．是钝角三角形　 D．不存在
B
7．已知在△ABC中，∠A－∠B＝20°，∠B－∠C＝35°，则△ABC按角分类为________三角形．
锐角
返回
8．将一副直角三角板按如图所示的方式放置，使两直角边重合，则∠α的度数为(　　)
A．75° B．105° C．135° D．165°
D
返回
9．如图，把三角形纸片ABC沿DE所在直线折叠，当点A落在四边形BCDE的外部时，点A′是点A的对应点，则∠A与∠1，∠2之间的数量关系是(　　)
A．2∠A＝∠1－∠2 B．∠A＝2(∠1－∠2)
C．2∠A＝∠2－∠1 D．∠A＝∠1－∠2
A
返回
10.一块板材如图所示，测得 ， ，
，根据需要为 ，师傅说板材不符合要
求且只能改动，则可将 ______（选填“增加”或“减少”）
___ .
减少
5
11. 如图，，， 分别是
三边延长线上的点，
，则 的
度数为( )
A
A. B. C. D.
返回
12. 如图，两面镜子
，的夹角为 ，当光线经过镜子后
反射，，.若 ，
则 的度数是( )
A
A. B. C. D.
三角形
三角形内角和定理
三角形外角的性质
锐角三角形
直角三角形
钝角三角形
三个内角的和为180°
↑
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和
↓

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