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湘教版数学八年级上册培优精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.4.2.3定理，推论第4章三角形湘教版数学八年级下册4.2.3定理、推论同步讲义与练习本节核心考点：区分公理、定理、推论的概念与关系，掌握定理、推论的证明方法，熟记几何常用定理与推论，能运用定理推论完成几何推理证明，是几何证明题的核心答题依据。一、核心知识点精讲1.公理（基本事实）定义：经过人们长期实践检验、不需要证明而且公认正确的真命题，叫做公理（也叫基本事实）。核心特点：无需证明、直接使用、是所有推理的原始依据。常用公理举例：①两点确定一条直线；②两点之间，线段最短；③过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。2.定理定义：经过推理证明为正确的真命题，叫做定理。核心特点：①定理一定是真命题；②定理必须经过严谨证明，不能直接默认成立；③定理可以作为后续几何推理、证明、计算的合法依据。常用定理举例：对顶角相等、三角形内角和为180°、三角形三边关系等。3.推论定义：由一个公理或定理直接推导出来的真命题，叫做推论。核心特点：①推论依附于定理/公理，推导过程简单、直接；②无需复杂证明，可直接当作定理使用；③用于简化做题步骤，快速解题。经典定理与对应推论（本节必考）定理：三角形内角和为180°推论1：直角三角形的两个锐角互余；推论2：有两个角互余的三角形是直角三角形；推论3：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和；推论4：三角形的外角大于任意一个与它不相邻的内角。4.公理、定理、推论、命题关系梳理1.所有公理、定理、推论都是真命题；2.真命题不一定是定理，只有经过证明且常用的真命题才是定理；3.推论是定理的“附属结论”，和定理具有同等使用效力；4.假命题不属于公理、定理、推论。5.本节核心解题规则①几何证明中，公理、定理、推论可直接写为推理依据；②陌生真命题未被证明前，不能直接作为依据；③推论不用重复证明，可直接套用解题。二、选择题（每题4分，共24分）1.下列关于公理的说法正确的是（）A.公理需要推理证明B.公理是公认正确无需证明的真命题C.公理不一定是真命题D.公理不可以作为推理依据2.下列属于定理的是（）A. x＋2＝5 B.对顶角相等C.今天是晴天D.请证明命题成立3.下列说法错误的是（）A.推论由定理或公理推导得出B.推论可直接作为推理依据C.推论需要复杂证明才能使用D.推论是真命题4.直角三角形两锐角互余是三角形内角和定理的（）A.公理B.推论C.定义D.假命题5.下列关系正确的是（）A.定理不一定是真命题B.公理需要证明C.推论都是真命题D.真命题都是定理6.可直接作为几何推理依据的是（）A.个人猜测B.公理、定理、推论C.模糊结论D.主观经验三、填空题（每题4分，共24分）7.无需证明、公认正确的真命题叫做________。8.经过推理证明正确的真命题叫做________。9.由公理或定理直接推出的真命题叫做________。10.三角形内角和定理的推论：直角三角形的两个锐角________。11.公理、定理、推论都属于________命题（填“真”或“假”）。12.三角形的外角________与它不相邻的两个内角的和。四、解答题（共52分）13.（16分）概念辨析：区分下列内容属于公理、定理、推论还是普通命题：（1）两点之间线段最短；（2）对顶角相等；（3）直角三角形两锐角互余；（4）相等的角是对顶角。14.（18分）定理推论应用证明：利用“三角形内角和为180°”，证明推论：直角三角形的两个锐角互余。15.（18分）综合推理证明：利用三角形内角和定理，证明推论：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。五、参考答案与详细解析一、选择题1.B（公理定义：无需证明、公认正确的真命题，可直接作为推理依据）；2.B（对顶角相等是经过证明的经典几何定理，其余均不符合定理定义）；3.C（推论由定理/公理直接推导，无需复杂证明，可直接使用）；4.B（直角三角形两锐角互余是三角形内角和定理的核心推论）；5.C（公理、定理、推论均为真命题；真命题不一定是定理）；6.B（几何推理合法依据仅限：公理、定理、推论、已知条件、定义）。二、填空题7.公理8.定理9.推论10.互余11.真12.等于三、解答题13.解：（1）两点之间线段最短：公理；（2）对顶角相等：定理；（3）直角三角形两锐角互余：推论；（4）相等的角是对顶角：普通假命题。14.证明：已知：在Rt△ABC中，∠C=90°。求证：∠A+∠B=90°。证明：∵∠A+∠B+∠C=180°（三角形内角和定理），又∵∠C=90°（已知），∴∠A+∠B=180° 90°=90°（等式的性质）。即直角三角形的两个锐角互余。15.证明：已知：△ABC中，点D在BC的延长线上，∠ACD为△ABC的外角。求证：∠ACD=∠A+∠B。证明：∵∠A+∠B+∠ACB=180°（三角形内角和定理），∴∠A+∠B=180° ∠ACB（等式的性质）。又∵∠ACD+∠ACB=180°（平角的定义），∴∠ACD=180° ∠ACB（等式的性质）。∴∠ACD=∠A+∠B（等量代换）。即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。本节易错必记1.公理不用证明，定理必须证明，推论由定理直接推出、可直接用；2.所有公理、定理、推论都是真命题，但真命题不一定是定理；3.几何证明写依据时，区分清楚定理和推论，不要混淆概念；4.推论是重要解题捷径，熟练掌握可大幅简化角度计算和证明步骤；5.未证明的普通真命题，不能作为几何推理的依据。学习目标
1.理解定理、推论的概念；（重点）
2.掌握三角形外角和定理的证明，并能进行简单的运用.
3.了解逆定理和互逆定理的概念.（重点）
定理、推论
1
知识要点
经过证明为真的命题叫作定理.
例如：“三角形的内角和等于180°”称为“三角形的内角和定理”.
利用某个定理直接推导出的真命题叫作这个定理的推论.
知识要点
例如：利用“三角形的内角和定理”可直接推出“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”，于是可将这一结论称为“三角形的内角和定理的推论”，通常将该推论简称为“三角形外角定理”.
探究：如图，在△ABC 中，已知∠BAC = 80°，
∠ABC = 60°，∠BCA = 40°，∠ACE，∠CBD，∠BAF 是△ABC 的三个外角，问：这三个外角的和等于多少度？由此你能猜测出什么结论？
A
B
C
D
F
E
80°
60°
40°
解：因为∠ACE = 180°－40° = 140°，∠CBD = 180°－60° = 120°，
∠BAF = 180°－80° = 100°，
所以∠ACE +∠CBD +∠BAF =
140° + 120° + 100° = 360°.
猜测：三角形的三个外角之和等于 360°.
已知：如图，∠BAF，∠CBD 和∠ACE 分别是△ABC 的三个外角.
求证：∠BAF +∠CBD +∠ACE = 360°.
证明猜想
A
B
C
D
F
E
证明：如图：
所以 ∠BAF +∠CBD +∠ACE
= (180°－∠BAC) + (180°－∠ABC) + (180°－∠ACB)
= 540°－(∠BAC +∠ABC +∠ACB)
= 540°－180°
= 360°.
A
B
C
D
F
E
因为∠BAF = 180°－∠BAC，∠CBD = 180°－∠ABC，∠ACE = 180°－∠ACB，
推论：三角形的外角和等于 360°.
判一判：命题“两直线平行，同位角相等”是真命题吗？写出它的逆命题并判断真假.
解：原命题是真命题.
它的逆命题是“同位角相等，两直线平行”
逆命题是真命题.
总结：如果一个定理的逆命题被证明是真命题，那么就称它为原定理的逆定理，并将这两个定理称为互逆定理.
平行线的性质定理1
平行线的判定定理1
判断一个定理是否有逆定理，应写出这个定理的逆命题，再分析是否为真命题，若是真命题，则它就是原定理的逆定理；若逆命题是假命题，则原定理没有逆定理．
知识要点
已知：如图，在△ABC 中，∠B =∠C， AE 是外角∠CAD 的平分线.
求证：AE∥BC.
例1 证明：在一个三角形中有两个角相等，则与第三个角相邻的外角平分线平行于第三个角的对边.
分析：对于文字证明题，一般先画出图形，再写出已知、求证，然后进行证明.
典例精析
证明：根据“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”可得，
∠CAD =∠B +∠C.
又∠B =∠C，
于是∠CAD = 2∠B.
由于 AE 是∠CAD 的平分线，
因此∠CAD = 2∠DAE，
从而 2∠B = 2∠DAE，
即∠B =∠DAE.
所以 AE∥BC (同位角相等，两直线平行).
1．下列说法错误的是(　　)
A．命题不一定是定理，定理一定是命题
B．定理不可能是假命题
C．真命题是定理
D．如果真命题的正确性是经过推理证实的，这样得到的真命题就是定理
C
2. 有下列描述：①过点作直线 ；②两直线平行，同
旁内角互补；③垂直于同一直线的两条直线互相垂直.其中是
定理的有( )
B
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
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返回
3．三角形内角和定理的推论是_______________________________________________.
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和
返回
4．定理“两条直线被第三条直线所截，如果这两条直线平行，那么同位角相等”的逆定理是________________________________________________________________________________________________．
两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行
返回
5．如图，AB⊥BC，DC⊥BC，∠1＝∠2，求证：BE∥CF.现有下列步骤：①因为∠2＝∠1；
②所以∠ABC＝∠BCD＝90°；③所以BE∥CF；④因为AB⊥BC，DC⊥BC；⑤所以∠EBC＝∠FCB.则正确的顺序是__________________．(填序号)
④②①⑤③
6．[北京市东城区期末]我们已经通过剪拼的方法，知道“三角形的内角和等于180°”，但这种实验得到的结论仍需要严格的证明，小明同学利用所学的平行线的相关知识，采用两种方法，通过添加辅助线进行证明，请你选择其中一种方法完成证明．
已知：如图， ，
求证： .
___________________________
方法一： 证明：如图，过点 作 . _____________________________ 方法二：
证明：如图，过点 作
，延长到点 .
_______________________________________
续表
【证明】（任选其一即可）方法一：如图①，
过点作，所以 ，
.
又因为 ，所
以 .
方法二：如图②，过点作 ，
延长到点 ，
所以， .
又因为 ，
所以 .
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7. 证明：两条平行线被第三条直线所截，一组内错角的平分线互相平行．
【解】已知：如图，AB∥CD，EF交AB于点E，交CD于点F，EM平分∠BEF，FN平分∠EFC.
求证：EM∥FN.
证明：因为AB∥CD(已知)，
所以∠BEF＝∠EFC(两直线平行，内错角相等)．
因为EM平分∠BEF，FN平分∠EFC(已知)，
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8.（1）如图， ，数学课上，老师请同
学们根据图形的特征添加一个关于角的条件，
使得 ，并证明.
小丽添加的条件： .
两直线平行，同位角相等
请你帮小丽将下面的证明过程补充完整.
证明：因为 （已知），
所以 _______（________________________）.
因为 （已知），
所以 ____（_______________________
___），
所以 _______（_________________
_______）.
所以 （等量代换）.
同旁内角互补，两直线平行
两直线平行，内错角相等
（2）如图，请你从; 平分
; 中任选两个作为条件，
另一个作为结论，组成一个真命题，并加以
证明.
②
证明：因为,所以, .又因为
,
所以,即平分 .
条件：______，结论：____.（填序号）
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逆定理
推论
证明
↓
举反例
基本事实
少数
假命题
真命题
→
命题

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