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湘教版数学八年级上册培优精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.4.4.2尺规作图（2）第4章三角形湘教版数学八年级下册4.4第2课时尺规作图（2）同步讲义与练习本节核心考点：熟练掌握两类核心尺规作图：已知两边及其夹角作三角形（SAS）、已知两角及其夹边作三角形（ASA），对应全等判定定理理解作图原理，规范书写标准作图步骤、保留作图痕迹，掌握三角形作图唯一性，是几何作图高频必考题型。一、核心知识点精讲1.课时衔接回顾上一课时学习了基础尺规作图：作一个角等于已知角、已知三边作三角形（SSS）。本课时基于这两个基础作图，结合SAS、ASA全等判定，完成两类三角形作图，所有作图均遵循无刻度直尺+圆规作图规则，必须保留作图痕迹。核心规律：满足全等判定条件（SAS、ASA），作出的三角形唯一确定。2.基础作图一：已知两边及其夹角作三角形（SAS作图）对应定理：全等三角形判定定理——SAS（边角边）已知：两条线段m、n，一个角∠α求作：△ABC，使AB=m，AC=n，∠BAC=∠α标准满分作图步骤：1.作射线AB，在射线AB上截取线段AB=m；2.以点A为顶点，AB为一边，作∠BAC=∠α；3.在射线AC上截取线段AC=n；4.连接BC。则△ABC即为所求作的三角形。作图原理：两边及其夹角对应相等（SAS），所作三角形唯一确定，与已知条件构成的三角形全等。关键注意点：夹角必须是两条已知边的公共角，边角位置不能错位，避免做成SSA错误图形。3.基础作图二：已知两角及其夹边作三角形（ASA作图）对应定理：全等三角形判定定理——ASA（角边角）已知：两个角∠α、∠β，一条线段m求作：△ABC，使AB=m，∠A=∠α，∠B=∠β标准满分作图步骤：1.作线段AB=m；2.以点A为顶点，AB为一边，作∠DAB=∠α；3.以点B为顶点，BA为一边，作∠EBA=∠β；4.射线AD、BE交于点C。则△ABC即为所求作的三角形。作图原理：两角及其夹边对应相等（ASA），两角的射线交点唯一，三角形大小、形状唯一。关键注意点：两个已知角必须是夹边两端的角，严格对应ASA边角位置关系。4.三大三角形作图方法汇总（必考背诵）1. SSS作图：已知三边作三角形，依托边边边全等判定；2. SAS作图：已知两边夹角作三角形，依托边角边全等判定；3. ASA作图：已知两角夹边作三角形，依托角边角全等判定；重要结论：SSS、SAS、ASA条件下，三角形作图唯一；SSA、AAA条件无法作出唯一三角形，不能用于尺规作图判定。5.通用作图规范（延续上课时）①仅限无刻度直尺、圆规作图，禁止使用刻度尺、量角器；②所有画弧、交点痕迹必须完整保留，严禁擦除；③步骤清晰有序，收尾必须书写：∴××即为所求；④线条平整规范，无重复涂改，交点清晰准确。二、选择题（每题4分，共24分）1.已知两边及其夹角作三角形的作图依据是（）A. SSS B. SAS C. ASA D. AAS2.已知两角及其夹边作三角形，得到的三角形（）A.唯一确定B.形状不确定C.大小不确定D.不唯一3. SAS尺规作图中，关键是保证角的位置是（）A.任意角B.两边的夹角C.一边的对角D.直角4.下列条件不能作出唯一三角形的是（）A. SSS B. SAS C. ASA D. SSA5. ASA尺规作图的核心是（）A.两角夹一边B.两边夹一角C.三边对应相等D.两角一对边6.尺规作图作三角形的基础工具是（）A.刻度尺、圆规B.无刻度直尺、圆规C.量角器、直尺D.三角板、圆规三、填空题（每题4分，共24分）7.已知两边夹角作三角形的判定依据是________。8.已知两角夹边作三角形的判定依据是________。9. SAS、ASA、SSS条件下，所作三角形都是________的。10.尺规作图必须保留________，否则考试扣分。11. SAS作图严禁将夹角做成________，避免作图错误。12. ASA作图中，两个已知角分别在________的两端。四、解答题（共52分）13.（26分）SAS规范作图题：已知：线段a、b，∠β，求作△ABC，使AB=a，AC=b，∠BAC=∠β。（保留作图痕迹，书写完整作图步骤）14.（26分）ASA规范作图题：已知：线段c，∠α、∠γ，求作△ABC，使AB=c，∠A=∠α，∠B=∠γ。（保留作图痕迹，书写完整作图步骤）五、参考答案与详细解析一、选择题1.B（两边及其夹角对应相等，依据SAS判定）；2.A（ASA判定可确定唯一三角形）；3.B（SAS核心是夹角，对角为无效条件）；4.D（SSA无法判定全等，不能作出唯一三角形）；5.A（ASA定义：两角及其夹边）；6.B（尺规作图标准工具：无刻度直尺+圆规）。二、填空题7. SAS（边角边）8. ASA（角边角）9.唯一确定10.作图痕迹（圆弧、交点）11.一边的对角12.夹边三、解答题13. SAS作图标准步骤：①作射线AB，在射线上截取AB=a；②以点A为顶点，AB为一边，作∠BAC=∠β；③在射线AC上截取AC=b；④连接BC；∴△ABC即为所求作的三角形。14. ASA作图标准步骤：①作线段AB=c；②以点A为顶点，AB为一边，作∠DAB=∠α；③以点B为顶点，BA为一边，作∠EBA=∠γ；④射线AD与射线BE交于点C；∴△ABC即为所求作的三角形。本节易错必记1. SAS作图必须找准夹角，切勿画成一边对角（SSA），属于根本性错误；2. ASA作图两角必须在夹边两侧，边角位置对应准确，不能错位；3.所有作图圆弧、交点痕迹不可省略，无痕迹直接扣分；4.严格区分三种作图依据：三边SSS、两边夹角SAS、两角夹边ASA；5.作图收尾必须写总结语句，步骤完整、逻辑清晰，杜绝跳步。本节核心背诵口诀两边夹角用SAS，先边后角再截边；两角夹边用ASA，先定底边再画角；SSA、AAA不唯一，作图坚决不能用；痕迹保留步骤全，规范作图稳得分。学习目标
1.在给出两角及其夹边，两角及其一组角对边的条件下，能够利用尺规作三角形.
2.理解用尺规“过直线外一点作这条直线的平行线”的作图思路，掌握作图步骤.
3.
如图，已知∠α，∠β 和线段 a .
求作△ABC，使∠ABC=∠α，∠ACB=∠β，BC = a.
已知两角及其夹边作三角形
例1 已知两角及其夹边作三角形.
1
A
作法：
(1) 作线段 BC = a；
α
β
E
D
C
B
思考：这里用了哪些作图方法
则△ABC 为所求作的三角形.
(2) 在 BC 的同侧，分别作
∠DBC =∠α， ∠ECB =∠β，BD 与 CE 相交于点 A.
议一议
上述例题中作出的△ABC 唯一吗？试说明理由.
A
α
β
E
D
C
B
作出的△ABC 唯一.
理由如下：
因为作图过程中，确定了BC = a，
∠ABC =∠α，∠ACB =∠β，
符合三角形全等判定的角边角条件，满足该条件的三角形都全等，即形状和大小都一样，所以△ABC 是唯一的.
做一做
(1) 如图，已知∠α，∠β 和线段 a.
求作△ABC，使∠ABC =∠a，
∠ACB =∠β，AB = a.
(2) 你根据 (1) 作出的△ABC 与其他同学
作出的三角形能完全重合吗？为什么？
α
β
a
做一做
(1) 如图，已知∠α，∠β 和线段 a.
求作△ABC，使∠ABC =∠a，
∠ACB =∠β，AB = a.
α
β
a
作法：
(1) 作线段 AB = a；
则△ABC 为所求作的三角形.
(2) 在 AB 的同侧，分别作∠ABD =∠α， ∠BAE = 180°－∠β－∠α，
BD 与 AE 相交于点 C.
C
α
E
D
A
B
C
α
E
D
A
B
理由如下：根据三角形全等判定定理中的角角边.
在作出的△ABC 中，都有∠ABC =∠α，∠ACB =∠β，AB = a. 两角和其中角的对边分别相等的两个三角形全等.
所以△ABC 是唯一的.
(2) 你根据 (1) 作出的△ABC 与其他同学
作出的三角形能完全重合吗？为什么？
能完全重合.
例2 过直线外一点作这条直线的平行线.
如图，已知直线 AB，点 P 不在 AB 上.
求作过点 P 且与直线 AB 平行的直线.
分析 受利用平移三角板画平行线的启发，可先过直线外一点 P 画一条直线与直线 AB 相交，构造出∠α，再以点 P 为顶点作∠α 的同位角，使它等于∠α，最后根据“同位角相等，两直线平行”.
可知：在点 P 处所作的角的另一边所在直线即为所求作的平行线.
A
B
P
过直线外一点作直线的平行线
2
(1) 如图，过点 P 作直线 EF，与直
线 AB 相交于点 M；
A
B
P
M
E
F
(2) 以点 M 为圆心，以小于 MP 的长度为半径画圆弧，交 MB 于点 G，交 MF 于点 H；
(3) 以点 P 为圆心，以 MG (或MH )的长为半径画圆弧，交 PF 于点 C；
(4) 以点 C 为圆心，以 HG 的长为半径画圆弧，与前弧交于点 D；
C
D
作法与示范：
H
G
(5) 连接 PD，则直线 PD 为所求作的平行线.
1．[永州市期末]如图①，已知线
段，，求作，使 ，
，张丽的作法如图
②，则下列说法中一定正确的是( )
A
A. 作 的依据为“角边角”
B. 弧是以 的长为半径画的
C. 弧是以点为圆心， 的长为半径画的
D. 弧是以 的长为半径画的
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2. 如图是在某地发现的一块三角形陶瓷碎片的一部分．现打算复制一块完整的陶瓷片，请你根据提供的信息用尺规作一个完整的三角形陶瓷片．(不写作法，保留作图痕迹)
【解】如图所示，△ABC即所求．
3. 数学课上，李老师给出这样一道题：
如图①，已知直线及外一点 ，作直线
某学习小组根据“内错角相等，两直线平行”作图.如图②，过
点作直线交直线于点，作 .作法步骤如下：
①以点为圆心，以任意长为半径作弧，交直线于点 ，交
直线于点 ；
，使得，且经过点 （不写作法，保留作图痕迹）.
②以点为圆心，以 长为半径作弧，交于点 ；
③以点为圆心，以 长为半径作弧，
交前面的弧于点 ；
④过点，作直线，则直线 即为所求.
则该学习小组在作图过程中作法错误的步骤是( )
A. ① B. ② C. ③ D. ④
B
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4.如图所示的是 .
（1）过点作直线，使得 （用尺规作图，保留作
图痕迹，不写作法）；
【解】如图，直线 即为所求.
（2）在（1）的图形中，取的中点，连接.若 的
面积为4,，则直线与 间的距离为___.
【点拨】如图,因为为的中点， 的面积为4,所以
.设直线与间的距离为 ，则
.因为，所以 .
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5.[三明市期末]如果两点到一条直线的距离相等，则称
该直线为“两点的等距线”.
（1）已知线段及点，如图①.过点作点， 的一条等
距线（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）.
【解】如图所示，等距线, 即为所求.若等距线经过线
段 的中点，如图①.
若等距线 ，如图②.
（2）如图②，已知，，， 是正方形网格中的三个
格点.
①在该网格中，过点用无刻度的直尺画出点， 的所有等
距线.
如图③，等距线， 即为所求.
②在该网格中，是否存在异于点的格点，使得 与
的面积相等？若存在，在图③中依次用，， ，
标识这些格点；若不存在，请说明理由.
如图④，，，，， 为所求.
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尺规作图
过直线外一点作直线的平行线
已知两角及夹边作三角形

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