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湘教版数学八年级上册培优精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.4.5.1等腰三角形的性质第4章三角形湘教版数学八年级下册4.5.1等腰三角形的性质同步讲义与练习本节核心考点：掌握等腰三角形的定义、两大核心性质，熟练运用等边对等角、三线合一进行角度计算、线段证明，理解等腰三角形的轴对称性，规避分类讨论易错点，是几何计算与证明的高频基础考点。一、核心知识点精讲1.等腰三角形的定义定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。各部分名称：①相等的两条边叫做腰；②另一条边叫做底边；③两腰的夹角叫做顶角；④腰与底边的夹角叫做底角。特殊说明：等边三角形是特殊的等腰三角形（三条边都相等）。2.等腰三角形性质一：等边对等角（必考）性质内容：等腰三角形的两底角相等。几何语言：∵ AB=AC（已知），∴ ∠B=∠C（等边对等角）。适用场景：已知等腰三角形边长相等，推导角度相等，用于角度计算、角度证明。核心前提：在同一个三角形中，等边对等角，跨三角形不成立。3.等腰三角形性质二：三线合一（本节重难点、超高频考点）性质内容：等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。通俗理解：一条线段，身兼三职！在等腰三角形中，只要满足其中一个条件，就可以推出另外两个条件。几何语言（三组满分模板）：已知AB=AC：1.若AD平分∠BAC（顶角平分线），则AD⊥BC、BD=DC；2.若BD=DC（底边中线），则AD⊥BC、AD平分∠BAC；3.若AD⊥BC（底边的高），则BD=DC、AD平分∠BAC。致命易错点：三线合一仅针对顶角和底边，腰上的高、中线、角平分线不重合！4.等腰三角形的轴对称性等腰三角形是轴对称图形，对称轴为：顶角平分线所在直线（底边中线、底边高所在直线），三条线重合，对称轴唯一。5.等腰三角形角度计算核心规律1.内角和180°：顶角+2×底角=180°；2.底角一定是锐角（不可能为直角、钝角）；3.顶角可以是锐角、直角、钝角；4.题型必做：分类讨论（已知一个角，求另外两角，需分顶角、底角两种情况）。6.解题核心思路遇等腰、找等边→用等边对等角算角度→遇底边垂线/中线/角平分线→直接用三线合一推垂直、平分、等角。二、选择题（每题4分，共24分）1.等腰三角形的两底角关系是（）A.互余B.互补C.相等D.不确定2.等腰三角形“三线合一”中的三线不包括（）A.顶角平分线B.底边上的高C.腰上的中线D.底边上的中线3.等腰三角形的对称轴是（）A.底边B.腰C.顶角平分线所在直线D.三角形的高4.已知等腰三角形一个内角为70°，则底角不可能是（）A. 70°B. 55°C. 40°D.无错误选项5.下列说法正确的是（）A.等腰三角形一定是锐角三角形B.等腰三角形两腰相等C.等腰三角形三线合一适用于所有高线D.底角可以是钝角6.在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，则下列结论错误的是（）A. BD=CD B. ∠BAD=∠CAD C. ∠B=∠C D. AD=BC三、填空题（每题4分，共24分）7.等腰三角形________、________、________互相重合，简称三线合一。8.等腰三角形中，等边对________。9.等腰三角形的底角一定是________角。10.若等腰三角形顶角为80°，则底角为________°。11.若等腰三角形一个底角为50°，则顶角为________°。12.等腰三角形是________图形，有________条对称轴。四、解答题（共52分）13.（16分）基础角度计算：已知在△ABC中，AB=AC，顶角∠A=40°，求底角∠B、∠C的度数。14.（18分）三线合一基础证明：已知AB=AC，AD平分∠BAC，求证：AD⊥BC，BD=CD。15.（18分）分类讨论综合题：已知等腰三角形有一个内角为100°，求其余两个内角的度数。五、参考答案与详细解析一、选择题1.C（等腰三角形核心性质：两底角相等，等边对等角）；2.C（三线合一仅限底边中线、底边高、顶角平分线，不含腰上线段）；3.C（对称轴是直线，为顶角平分线所在直线）；4.C（70°可为顶角，底角55°；70°可为底角，另一底角70°，无40°底角情况）；5.B（等腰三角形定义：两腰相等）；6.D（三线合一可推出平分、垂直，无法推出AD=BC）。二、填空题7.顶角平分线；底边上的中线；底边上的高8.等角9.锐10. 5011. 8012.轴对称；1三、解答题13.解：∵ AB=AC（已知），∴ ∠B=∠C（等边对等角）∵ ∠A+∠B+∠C=180°，∠A=40°∴ ∠B=∠C=(180° 40°)÷2=70°答：∠B=70°，∠C=70°。14.证明：∵ AB=AC，AD平分∠BAC∴ AD⊥BC，BD=CD（等腰三角形三线合一）。15.解：分类讨论：①若100°为底角：两个底角和为200°＞180°，不符合三角形内角和，舍去；②若100°为顶角：剩余两底角相等，底角=(180° 100°)÷2=40°。答：其余两个内角均为40°。本节易错必记（考试高频扣分点）1.最大陷阱：三线合一只针对底边和顶角，腰上的高、中线不重合，乱用直接扣分；2.角度计算必须分类讨论：已知锐角需分顶角、底角两种情况，钝角、直角只能是顶角；3.底角绝对不能≥90°，否则违反三角形内角和定理；4.等边对等角必须在同一个三角形内使用；5.对称轴是直线，不是线段、射线，答题注意表述。本节核心背诵口诀等腰三角形两腰等，等边对等角要记清；顶角平分底边中，高线合一功能精；底角永远是锐角，钝角只在顶角生；角度计算分类算，不重不漏得满分。学习目标
1.理解并掌握等腰三角形的性质；(重点)
2.经历等腰三角形的性质的探究过程
3.能初步运用等腰三角形的性质解决有关问题.
等腰三角形
剪一剪：把一张长方形的纸按图中的红线对折，并剪下蓝色部分（一个直角三角形），再把得到的直角三角形展开，得到的三角形有什么特点？
等腰三角形的性质
1
A
B
C
AB = AC
等腰三角形
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视频：等腰三角形的剪裁
折一折：△ABC 是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？
A
C
D
B
折痕所在的直线是它的对称轴.
等腰三角形是轴对称图形.
找一找：把剪出的等腰三角形 ABC 沿折痕对折，找出其中重合的线段和角.
重合的线段 重合的角
　
A
C
B
D
AB 与 AC
BD 与 CD
AD 与 AD
∠B 与∠C
∠BAD 与∠CAD
∠ADB 与∠ADC
猜一猜：由这些重合的角，你能发现等腰三角形的性质吗？说一说你的猜想.
思考：在等腰△ABC 中，已知 AB = AC，AD 是∠ABC 的中线，则∠B =∠C 吗 ∠BAD =∠CAD 吗 AD 是△ABC 的高线吗？
解：如图，由于 AD 是等腰△ABC 的底边 BC 上的中线，则 BD = CD.
在△ABD 和△ACD 中，
A
B
C
D
因此∠B=∠C，∠BAD=∠CAD，∠ADB=∠ADC=90°.
即 AD 是△ABC 的顶角∠BAC 的平分线，
是底边 BC 上的高线.
所以△ABD≌△ACD (边边边).
AB = AC，
BD = CD，
AD = AD，
由此得到等腰三角形的性质定理：
等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线所在的直线.
等腰三角形的两底角相等(简称“等边对等角”).
等腰三角形底边上的高、中线及顶角平分线重合(简称“三线合一”).
知识要点
画出任意一个等腰三角形的底角平分线、这个底角所对的腰上的中线和高，看看它们是否重合？
不重合！
三线合一
为什么不一样
“三线合一”的操作
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例1 如图，在△ABC 中，AB = AC，D 为 AB 的中点，点 E 在 AC 上，且 BE = BC = AE.
(1) 求证：ED丄AB；
(2) 求△ABC 各角的度数.
解：(1) 因为 BE = AE，D 为 AB 的中点，
所以 ED 是等腰△EAB 的边 AB 上的中线，
从而ED丄AB (三线合一)
A
B
C
D
E
1
2
典例精析
(2) 因为 AB = AC，BE = BC = AE，
所以∠ABC =∠C，∠C =∠1，∠A =∠2(等边对等角).
于是∠1 =∠A +∠2 = 2∠A，
从而∠ABC =∠C =∠1 = 2∠A.
又∠A +∠ABC +∠C = 180°，
于是∠A + 2∠A + 2∠A = 180°，
从而∠A = 36°，
因此∠A，∠ABC，∠C 的度数分别为36°，72°，72°.
A
B
C
D
E
1
2
(2) 求△ABC 各角的度数.
A
B
C
D
例2 如图，在△ABC 中，AB = AC，点 D 在 AC 上，且 BD = BC = AD，求 △ABC 各角的度数.
分析：(1) 找出图中所有的相等角；
(2) 找出图中有几个等腰三角形；
∠A =∠ABD，
∠C =∠BDC =∠ABC.
△ABC，
△ABD，
△BCD.
A
B
C
D
x
⌒
2x
⌒
2x
⌒
⌒
2x
(3) 观察∠BDC与∠A、∠ABD的关系，∠ABC、∠C 呢？
∠BDC = ∠A +∠ABD = 2∠A = 2∠ABD，
∠ABC =∠BDC = 2∠A，
∠C =∠BDC = 2∠A.
(4) 设∠A = x°，请把 △ABC 的内角和用含 x
的式子表示出来.
∵∠A +∠ABC +∠C = 180°，
∴ x + 2x + 2x = 180°.
解：∵AB = AC，BD = BC =AD，
∴∠ABC =∠C =∠BDC，∠A =∠ABD.
设∠A = x，则∠BDC =∠A +∠ABD = 2x，
从而∠ABC =∠C =∠BDC = 2x.
于是在 △ABC 中，有
∠A +∠ABC +∠C = x + 2x + 2x = 180°，
解得 x = 36°.
∴∠A = 36°，∠ABC =∠C = 72°.
在含多个等腰三角形的图形中求角时，常常利用方程思想，通过内角、外角之间的关系列方程求解.
归纳
A
B
C
D
x
⌒
2x
⌒
2x
⌒
⌒
2x
例3 等腰三角形的一个内角是 50°，求这个三角形的底角的度数.
解：当 50° 的角是底角时，三角形的底角就是 50°；当 50° 的角是顶角时，由于两底角相等，根据三角形的内角和定理易得底角是 65°.
方法总结：等腰三角形的两个底角相等，已知一个内角为锐角时，则这个角可能是底角也可能是顶角，要分两种情况讨论．
思考：建筑工人在盖房子时，将一块等腰三角板放在梁上，从顶点系一重物，如果系重物的绳子正好经过三角板的底边中点，就说房梁是水平的，你知道为什么吗
1. 在中，已知 ，若
是等腰三角形，则 为( )
D
A. B.
C. 或 D. 或 或
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2．如图，B，C两点分别在直线a，b上，且a∥b，BA＝BC，AB⊥a，若∠1＝115°，则∠BCA的度数等于________．
25°
3. 如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别在AC，AB边上，且BC＝BD，AD＝DE＝EB，则∠A的度数为________．
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45°
4.［上海金山区期末］如图，已知在
中，为边 上一点，
.
（1）求证： ；
【证明】因为，所以 ，
.因为 ，
所以 .
（2）过点作的平行线交 的延长线
于点，若，求证： 平分
.
因为，所以 .因为
，所以， .所以
.所以平分 .
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5. “一亭幽绝费平章，峡
口清风赠晚凉.前度桃花斗红紫，今来枫叶
染丹黄.饶将春色输秋色，迎过朝阳送夕阳.
此地四时可乘兴，待谁招鹤共翱翔？”其中
“一亭”指的是一座具有悠久历史的古典园林建筑——“爱晚
亭”.如图，“爱晚亭”的顶端可看作等腰三角形 ，
，是边上的一点.下列条件不能说明 是
的角平分线的是( )
A.
B.
C.
D. 与 的周长相等
√
6．如图，在△ABC中，点E是边AB上一点，连接CE，BE＝CE，过点E作ED⊥BC于点D.若△ACE的周长为20，BD＝3，则△ABC的周长为________．
26
等腰三角形的性质
等边对等角
三线合一
注意是指同一个三角形中
注意是指顶角的平分线,底边上的高和中线才有这一性质.而腰上高和中线与底角的平分线不具有这一性质.
推论
等边三角形三个内角相等，且均等于 60°

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