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湘教版数学八年级上册培优精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.4.6.1线段垂直平分线的性质和判定第4章三角形湘教版数学八年级下册4.6.1线段垂直平分线的性质和判定同步讲义与练习本节核心考点：掌握线段垂直平分线的定义、性质定理与判定定理，熟练运用定理证明线段相等、判定垂直平分线，理解垂直平分线上的点到线段两端距离相等的核心结论，掌握几何经典“垂直平分线模型”，是几何证明、最值题型的基础必考知识点。一、核心知识点精讲1.线段垂直平分线的定义定义：垂直且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）。双重条件（缺一不可）：关键说明：线段的垂直平分线是直线，不是射线、不是线段，一条线段有且只有一条垂直平分线。2.线段垂直平分线的性质定理（必考）性质定理：线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等。几何语言（满分模板）：∵直线l是线段AB的垂直平分线，点P在直线l上∴ PA = PB（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）核心作用：快速证线段相等，无需证明全等，简化几何步骤！适用场景：题干出现垂直平分线，直接秒得两条线段相等。3.线段垂直平分线的判定定理（逆定理）判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。几何语言（满分模板）：∵ PA = PB∴点P在AB的垂直平分线上（到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上）核心作用：由线段相等，证点在垂直平分线上。4.性质与判定互逆关系（必背）性质：点在垂直平分线上→距离相等（线→边等）判定：距离相等→点在垂直平分线上（边等→线）5.重要推论：两点定中垂线若两点P、Q均满足PA=PB、QA=QB，则直线PQ是线段AB的垂直平分线。原理：两点确定一条直线，两个满足条件的点连线，即为垂直平分线。6.高频几何模型：垂直平分线周长模型已知：直线l垂直平分AB，点P在l上，△PCB周长=PC+CB+PB∵ PA=PB，∴△PCB周长=PC+CB+PA=AC+BC核心结论：利用垂直平分线性质等量代换，转化三角形周长，是期末填空、选择压轴高频题型。二、选择题（每题4分，共24分）1.线段垂直平分线是一条（）A.线段B.射线C.直线D.曲线2.若点P在线段AB的垂直平分线上，则一定成立的是（）A. PA=PB B. PA⊥PB C. OA=OB D. PO⊥AB3.已知PA=PB，则可以判定（）A. AB平分PA B.点P在AB的垂直平分线上C. P在AB中点上D. PA⊥AB4.下列条件不能判定直线是线段垂直平分线的是（）A.垂直且平分线段B.线上任意点到线段两端距离相等C.只垂直不平分D.两点都满足到端点距离相等5.线段AB的垂直平分线有几条（）A. 1条B. 2条C. 3条D.无数条6.利用垂直平分线性质可以直接证明（）A.角相等B.线段相等C.两线平行D.三角形全等三、填空题（每题4分，共24分）7.线段垂直平分线上的点到线段两端点的________相等。8.到线段两端点距离相等的点，在这条线段的________上。9.线段的垂直平分线必须满足________且________线段。10.线段的垂直平分线是________（直线/线段/射线）。11.证明点在垂直平分线上的依据是________定理。12.垂直平分线题型常通过________转化周长、线段长度。四、解答题（共52分）13.（16分）基础性质证明：已知：直线MN垂直平分线段AB，点P在MN上，求证：PA=PB。14.（18分）判定定理应用：已知：在△ABC中，AB=AC，求证：点A在BC的垂直平分线上。15.（18分）周长经典模型计算：已知：DE是AB的垂直平分线，AC=10cm，BC=6cm，求△BCE的周长。五、参考答案与详细解析一、选择题1.C（垂直平分线定义为直线）；2.A（垂直平分线核心性质：点在线上，距两端相等）；3.B（距离相等，判定点在垂直平分线上）；4.C（必须同时满足垂直+平分，缺一不可）；5.A（一条线段有且仅有一条垂直平分线）；6.B（性质直接证线段相等，简化全等步骤）。二、填空题7.距离8.垂直平分线9.垂直；平分10.直线11.垂直平分线判定12.线段等量代换三、解答题13.证明：∵直线MN是线段AB的垂直平分线，点P在MN上（已知）∴ PA=PB（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）。14.证明：∵ AB=AC（已知）∴点A在BC的垂直平分线上（到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上）。15.解：∵ DE是AB的垂直平分线（已知）∴ AE=BE（垂直平分线性质）△BCE周长= BE + EC + BC等量代换得：周长= AE + EC + BC = AC + BC代入数值：周长= 10 + 6 = 16(cm)答：△BCE的周长为16cm。本节易错必记（高频扣分点）1.致命易错：垂直平分线是直线，做题填空、判断极易选错；2.性质与判定依据不能写混：点在线上→用性质；距等→用判定；3.判定垂直平分线必须同时满足垂直、平分，只垂直不平分不是中垂线；4.周长模型核心是等线段替换，是考试最常考的应用题型；5.单个点距离相等只能证点在中垂线上，不能直接证直线是中垂线，需要两个点。本节核心背诵口诀中垂线上任意点，线段两端距离等；距离相等定点线，判定定理要认准；垂直平分两条件，直线属性记在心；周长替换秒解题，不用全等更省心。几何定理极简总结性质：点在线上 距两端相等判定：距两端相等 点在线上应用：证边相等、转化周长、定点位置学习目标
1.理解线段垂直平分线的概念；
2.掌握线段垂直平分线的性质定理及逆定理；
3.能运用线段的垂直平分线的有关知识进行证明
或计算.
某区政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区 A、B、C 之间修建一个购物中心，试问该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等？
A
B
C
观察：已知点 P 与点 P′ 关于直线 l 对称，如果将线段 PP′ 沿直线 l 折叠，那么点 P 与点 P′ 重合，PD = P′D，∠1 =∠2 = 90°，即直线 l 既平分线段 PP′，又垂直于线段 PP′.
l
D
2
1
(P′)
线段垂直平分线的性质
1
P
P′
垂直并且平分一条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线.(或中垂线)
由上可知：线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴.
知识要点
l
P
P′
直线 l 就是线段 PP' 的垂直平分线.
如图，直线 l 垂直平分线段 AB，P1，P2，P3，…是 l 上的点，请你量一量线段 P1A，P1B，P2A，P2B，P3A，P3B 的长，你能发现什么？请猜想点 P1，P2，P3，… 到点 A 与点 B 的距离之间的数量关系．
A
B
l
P1
P2
P3
P1A ____P1B
P2A ____ P2B
P3A ____ P3B
＝
＝
＝
探究发现
P
A
B
D
l
于是∠ADP =∠BDP = 90°.
在△PAD 和△PBD 中，
设 D 是线段 AB 的中点，根据线段的垂直平分线的定义可知，点 D 在直线 l 上，并且 PD⊥AB，
所以△PAD≌△PBD (边角边).
因此 PA＝PB.
AD＝BD，
∠ADP＝∠BDP，
PD＝PD，
当点 P 在线段 AB 上时，
结论还成立吗
线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.
线段垂直平分线的性质定理：
知识要点
例1 如图，在 △ABC 中，AB＝AC＝20 cm，DE 垂直平分 AB，垂足为 E，交 AC 于 D，若△DBC 的周长为 35 cm，则 BC 的长为 (　　)
A．5 cm
B．10 cm
C．15 cm
D．17.5 cm
C
A
B
C
D
E
典例精析
解析：∵ DE 垂直平分 AB，∴ AD＝BD.
又∵△DBC 的周长为 BC＋BD＋DC ＝ 35 cm，
∴ BC＋AD＋DC＝ 35 cm.
∵ AC＝AD＋DC＝20 cm，
∴ BC＝35－20＝15 (cm). 故选 C.
方法归纳：利用线段垂直平分线的性质，实现线段之间的转化，从而求出未知线段的长．
A
B
C
D
E
说一说：线段垂直平分线的性质定理的条件是什么？结论是什么？它的逆命题是什么
线段垂直平分线的判定
2
条件是：一个点在一条线段的垂直平分线上.
结论是：这个点到这条线段两端的距离相等.
它的逆命题是：如果一个点到一条线段两端的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上.
这个逆命题是真命题吗
下面来证明上述逆命题是真命题，
如图，当点 M 不在线段 AB 上时，连接 MA，
MB，由于 MA = MB，则△MAB 是等腰三角形.
取 AB 的中点 D，连接 MD，则 MD 是△MAB 的底边 AB 上的中线，也是 AB 上的高线.
M
A
B
D
因此，直线 MD 是线段 AB 的垂直平分线，从而点 M 在线段 AB 的垂直平分线上.
当点 M 在线段 AB 上时，则 M 就是 AB 的中点，因而点 M 在 AB 的垂直平分线上.
推理论证
到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.
线段垂直平分线的性质定理的逆定理：
应用格式：
因为 PA = PB，
所以点 P 在 AB 的垂直平分线上．
P
A
B
作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上.
知识要点
例2 如图，在△ABC 中，AB，BC 的垂直平分线相交于点 O，连接 OA，OB，OC.
求证：点 O 在 AC 的垂直平分线上.
证明：因为点O在线段AB的垂直平分线上，
所以OA = OB(线段垂直平分线的性质定理).
同理 OB = OC.
于是OA = OC.
所以点 O 在 AC 的垂直平分线上
(线段垂直平分线的性质定理的逆定理).
结论：三角形三边垂直平分线交于一点，这一点到三角形三个顶点的距离相等.
现在你能想到方法确定导入里购物中心的位置，使它到三个小区的距离相等吗？
1. 如图，等腰三角形中， ，
.线段的垂直平分线交于 ，交
于，连接，则 ( )
B
A. B. C. D.
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2．如图，△ABC中，∠A＝45°，AB的垂直平分线交AC于点E，BC的垂直平分线交AC于点F，点D，G分别是垂足，若AE＝6，EF＝8，FC＝10，则△ABC的面积是________．
72
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3．如图，在△ABC中，DE，DF分别为BC，AB边的垂直平分线，连接AD，CD.
(1)若∠B＝40°，求∠ACD的度数；
【解】连接BD并延长，交AC于H，如图．
因为DE，DF分别为BC，AB边的垂直平分线，所以DA＝DB，DC＝DB，所以∠DAB＝∠DBA，∠DCB＝∠DBC，所以∠ADH＝∠DAB＋∠DBA＝2∠DBA，∠CDH＝∠DCB＋∠DBC＝2∠DBC，所以∠ADC＝2∠ABC＝80°.
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(2)判断∠B与∠ACD之间的数量关系，并说明理由．
【解】∠ABC＋∠ACD＝90°，理由如下：
因为∠ACD＋∠CAD＋∠ADC＝180°，所以2∠ACD＋2∠ABC＝180°，所以∠ACD＋∠ABC＝90°.
4．游戏时，3名同学分别站在△ABC三个顶点的位置上、要求在他们中间放一个凳子，谁先坐到凳子上谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放置的最适当的位置是在△ABC的(　　)
A．三边的垂直平分线的交点
B．三条角平分线的交点
C．三条高所在直线的交点
D．三条中线的交点
A
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5. 风筝又称“纸鸢”“风鸢”“纸鹞”
等，起源于中国东周春秋时期，距今已有2 000
多年的历史，如图是一款风筝骨架的简化图，
已知，， ，
，制作这个风筝需要的布料至少为
_______ .
2 700
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线段的垂直平分线的性质和判定
性质
到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上
内容
判定
内容
作用
线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
作用
见垂直平分线，得线段相等
判断一个点是否在线段的垂直平分线上

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