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湘教版数学八年级上册培优精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.4.6.2作垂直平分线和角平分线第4章三角形湘教版数学八年级下册4.6.2作垂直平分线和角平分线同步讲义与练习本节核心考点：熟练掌握两大必考尺规作图——作线段的垂直平分线、作角的平分线，熟记标准作图步骤、作图原理，严格保留作图痕迹，能利用作图解决找点、平分、对称相关基础几何问题，是中考基础作图必考题型。一、核心知识点精讲1.本节作图核心工具与通用规范工具：仅限无刻度直尺、圆规，禁止刻度尺、量角器。硬性要求：所有作图圆弧、交点痕迹必须保留，不得擦除；作图结尾必须书写总结语句，步骤有序、线条清晰。核心原理：两类作图均依托SSS全等与距离相等定点的几何性质，作图精准、结果唯一。2.尺规作图一：作线段的垂直平分线（中垂线）已知：线段AB求作：线段AB的垂直平分线标准满分作图步骤：1.分别以点A、B为圆心，大于AB一半长为半径画弧；2.两弧在线段AB上下方各交于一个点，记为M、N；3.作直线MN。则直线MN即为线段AB的垂直平分线。关键细节：半径必须大于线段一半长度，否则两弧无交点，无法作图。作图原理：由作图可知MA=MB、NA=NB，根据中垂线判定定理，两点确定一条直线，直线MN为AB的垂直平分线。衍生作用：该作图可直接找出线段中点，无需测量。3.尺规作图二：作角的平分线（角平分线作图）已知：∠AOB求作：∠AOB的平分线标准满分作图步骤：1.以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点C、D；2.分别以C、D为圆心，大于CD一半长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点E；3.作射线OE。则射线OE即为∠AOB的角平分线。作图原理：通过截取OC=OD、CE=DE、OE公共边，证△OCE≌△ODE（SSS），得对应角相等，即OE平分∠AOB。核心性质延伸：角平分线上的点到角两边的距离相等（后续课时重点）。4.两大作图核心对比与易错点1.线段垂直平分线：最终作直线，平分线段且垂直，有两个上下交点；2.角平分线：最终作射线，仅平分角度，无垂直关系，交点在角内部；3.两次画弧半径均需大于对应线段一半，是作图成功的关键。5.常见作图应用场景1.作线段中垂线：找线段中点、构造等腰三角形、对称找点；2.作角平分线：平分任意角、构造等角、结合平行线出等腰三角形。二、选择题（每题4分，共24分）1.作线段垂直平分线用到的核心判定依据是（）A.等角对等边B.到线段两端距离相等的点在中垂线上C.三线合一D.平行线性质2.作角平分线的作图原理是（）A. SSS全等B. SAS全等C. ASA全等D. AAS全等3.作线段垂直平分线时，画弧半径需满足（）A.小于AB一半B.大于AB一半C.任意长度D.等于AB长度4.角平分线作图最终得到的是一条（）A.直线B.射线C.线段D.曲线5.下列关于中垂线作图说法正确的是（）A.只需画一侧圆弧B.无需保留作图痕迹C.可同时得到线段中点D.可用量角器辅助6.尺规作图的唯一工具是（）A.刻度尺、圆规B.无刻度直尺、圆规C.三角板、圆规D.量角器、直尺三、填空题（每题4分，共24分）7.作线段垂直平分线时，需分别以线段两端点为圆心，________线段一半的长度为半径画弧。8.角平分线作图的原理是________判定三角形全等。9.线段垂直平分线是一条________，角平分线是一条________。10.尺规作图必须完整保留________，否则考试扣分。11.作角平分线时，两弧交点必须在角的________。12.线段垂直平分线可以精准找出线段的________。四、解答题（共52分）13.（26分）基础作图：尺规作线段AB的垂直平分线。（保留作图痕迹，书写完整步骤）14.（26分）基础作图：尺规作∠AOB的角平分线。（保留作图痕迹，书写完整步骤）五、参考答案与详细解析一、选择题1.B（中垂线作图依托距离相等定点的判定定理）；2.A（截取三边相等，SSS证全等得到等角）；3.B（半径大于线段一半，才能相交出交点）；4.B（角平分线是从顶点出发的射线）；5.C（中垂线与线段交点即为线段中点）；6.B（尺规作图标准工具：无刻度直尺+圆规）。二、填空题7.大于8. SSS9.直线；射线10.作图痕迹（圆弧、交点）11.内部12.中点三、解答题13.作图步骤：①分别以点A、B为圆心，大于$\frac{1}{2}AB$的长为半径画弧，两弧在线段AB上下方分别交于两点；②连接上下两个交点，作直线；∴所作直线即为线段AB的垂直平分线。14.作图步骤：①以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点C、D；②分别以C、D为圆心，大于$\frac{1}{2}CD$的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点E；③作射线OE；∴射线OE即为∠AOB的平分线。本节易错必记（高频扣分点）1.画弧半径必须大于线段一半，半径过小无交点，是最基础错误；2.中垂线是直线、角平分线是射线，线条类型严禁混淆；3.作图痕迹必须全部保留，圆弧、交点不可擦拭，无痕迹直接扣分；4.角平分线交点必须在角内部，不可在外部；5.严禁使用量角器、刻度尺作图，违背尺规作图规则。本节核心背诵口诀中垂线作两端弧，半径过半交点出；两点连线成直线，垂直平分中点露；角分先画顶点弧，再取交点向内筑；射线一出平分角，SSS理记牢固；痕迹不擦步骤全，尺规作图稳得分。第四章尺规作图终极汇总1.基础作图：作等角、作三边三角形、作SAS/ASA三角形；2.进阶作图：作线段垂直平分线、作角平分线；3.通用核心：所有尺规作图原理均为SSS全等，必须保留作图痕迹，步骤完整。学习目标
1.掌握线段垂直平分线、过点作垂线及角平分线的尺规作图方法，理解其几何性质.
2.能根据已知底边和高线，通过作垂线或垂直平分线定位顶点
3.综合运用几何作图解决实际问题
线段垂直平分线的尺规作图
1
已知线段 AB，如果要作线段 AB 的垂直平分线，可以怎样作？根据是什么？
说一说
根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理可知，若能找出到线段 AB 两端距离相等的两个点，则这两点确定的直线就是线段 AB 的垂直平分线.
例1 作一条线段的垂直平分线.
如图，已知线段 AB.
求作线段 AB 的垂直平分线.
作法：
① 分别以点 A，B 为圆心， 以相同长度(大于 AB 的长)为半径画弧， 两弧相交于点 C 和点 D；
② 过点 C，D 作直线 CD，则直线 CD 就是线段 AB 的垂直平分线.
典例精析
·
B
C
D
·
A
也可用此法作
线段的中点.
E
例2 如图，已知点 A、点 B 以及直线 l. 用尺规作图的方法在直线 l 上求作一点 P，使 PA＝PB (保留作图痕迹，不要求写出作法).
解：如图所示.
M
N
A
B
l
P
典例精析
引例 如图，A，B 是路边两个新建小区，要在公路边增设一个公共汽车站，使两个小区到车站的路程一样长，该公共汽车站应建在什么地方？
A
B
分析：增设的公共汽车站要满足到两个小区的路程一样长，应在线段 AB 的垂直平分线上，又要在公路边上，所以 AB 的垂直平分线与公路的交点便是.
公共汽车站
若能找到直线 l 上的一条线段 AB，使 AB 的垂直平分线经过点 P，则该垂直平分线就是所求作的直线.
由于点 P 与已知直线 l 的位置关系有两种，于是需分情况来作图.
如何用尺规过一点 P 作已知直线 l 的垂线呢？
思考
① 以点 P 为圆心，以任意长为半径画圆弧，交直线 l 于点A，B.
(1) 点 P 在直线 l 上时.
② 分别以 A，B 为圆心，以相同长度(大于 AB 的长)为半径画弧，两弧交于点 C.
③ 过点 C，P 作直线 CP，则直线 CP 为所求作的直线.
A
B
C
l
这一步的目的是什么？
·
P
(2) 当点 P 在直线 l 外时.
① 以点 P 为圆心，以大于点 P 到直线 l 的距离的长度为半径画弧，交直线 l 于点 A，B；
② 分别以 A，B 为圆心，以相同长度(大
于 AB 的长)为半径画弧，两弧相交于点 C；
③ 过点 C，P 作直线 CP，
则直线 CP 为所求作的直线.
·
P
A
B
C
l
问题：第一步的目的是什么？画弧的半径为什么要大于 P 到 l 的距离？
如图，已知线段 a，h．
求作△ABC，使 AB = AC，且 BC = a，高 AD = h．
思考：
① 所作的图形是什么？满足哪些条件？
② 根据条件，你认为先作出等腰三角形的哪部分？
③ 如何作底边上的高？底边上的高在什么线上？
底边 BC = a
底边的垂直平分线
·
·
·
·
h
a
例3 已知底边及底边上的高线作等腰三角形.
(1) 作线段 BC＝a；
(2) 作线段 BC 的垂直平分线 MN 交 BC 于点 D；
(3) 在射线 DM (或 DN) 上截取线段 DA，使
DA = h；
(4) 连接 AB，AC，
则△ABC 为所求作的三角形.
作法：
A
D
C
B
N
M
·
·
·
·
h
a
思考：本题应用了哪几种基本作图法？
分析：由于等腰三角形的顶角平分线也是底边上的垂直平分线，故先以∠AOB 的顶点 O 为顶点，两腰分别在射线 OA，OB 上，构造等腰△ODE，然后过点 O 作底边 DE 的垂直平分线 OC，则射线 OC 就是∠AOB 的平分线.
如图，已知∠AOB，求作∠AOB 的平分线.
A
B
O
例4 求作一个角的平分线.
角平分线的尺规作图
2
(2) 分别以 D、E 为圆心，以相同长度(大于 DE 的长)为半径画弧，在∠AOB 内两弧交于点 C；
A
B
O
(1) 以点 O 为圆心，以任意长为半径画圆弧，分别与 OA，OB 交于点 D、E，连接 DE；
1
2
(3) 作射线 OC，
D
E
C
作法：　　　
说一说：为什么 OC 是∠AOB 的平分线？
则 OC 为所求的∠AOB 的平分线.
1. 如图，已知 ，用尺规在
上确定一点，使 ，则下列
四种不同的作图方法中正确的是( )
B
A. B. C. D.
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2．[湘潭市模拟] 如图，在 中，按
以下步骤作图：①分别以， 为圆心，以大
于 的长为半径作弧，两弧相交于两点
，；②作直线交于点，连接 .
若， ，则 ( )
B
A. B. C. D.
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3．[北京市西城区期末]已知：如图，∠BAC＝45°.
求作：线段,使得 .
作法：①分别以点和点为圆心，大于 的长为半径作弧，
两弧分别交于点和点 ;
②作直线,交于点 ;
③连接，线段 即为所求作的线段.
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）.
【解】如图.
（2）求证： .
【证明】因为是线段 的垂直平分线，
所以 ,
所以 .
因为 ,
所以 ,
所以 .
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4. 如图，下列是四种用无刻度直尺和圆规
作角平分线的方法，其中不正确的个数是( )
A
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
5．如图，已知四边形ABCD，AB＝AD，在DC边上求作一点P，使得△ABP≌△ADP.(保留作图痕迹，不要求写作法)
【解】如图所示，点P即为所求．
（第4题）
6. 如图，在四边形中， ,
,.按下列步骤作图：①以点 为
圆心，适当长度为半径画弧，分别交,
于,两点；②分别以点, 为圆心，以大于
A
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
的长为半径画弧，两弧交于点;③连接并延长交 于
点 .
则 的长是( )
7. 如图，已知线段和线段 ,某个等腰三角形底边
长为,底边上的高为 .
（1）请用直尺、圆规作出等腰三角
形，不写作法，保留作
图痕迹；
【解】如图, 即为所求.
（2）当与 满足什么数量关系时，这个等腰三角形的底角
是 .
当与满足 时，这个等腰三
角形的底角是 .因为 垂直平分
,所以 ,
.
因为 ,所以 ,
所以,即 .
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方法与步骤
线段垂直平分线的作法
点在直线上
过一点作已知直线的垂线
点在直线外
应用作图
作角平分线
已知底边及底边上的高作等腰三角形

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