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湘教版数学八年级上册培优精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.4.5.2等腰三角形的判定第4章三角形湘教版数学八年级下册4.5.2等腰三角形的判定同步讲义与练习本节核心考点：掌握等腰三角形的两大判定方法，重点熟记等角对等边核心定理，区分等腰三角形的性质与判定的互逆关系，能熟练完成角度推边长、几何证明题型，是几何推理题高频必考内容。一、核心知识点精讲1.判定与性质的互逆关系（核心逻辑）上一节学习等腰三角形性质：由边相等→推出角相等（等边对等角）。本节学习等腰三角形判定：由角相等→推出边相等（等角对等边）。二者互为逆定理，是考试最易混淆的知识点，必须严格区分。2.等腰三角形判定定理（核心必考）判定定理：等角对等边定理内容：在一个三角形中，如果两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，这个三角形是等腰三角形。几何语言（满分模板）：∵ ∠B = ∠C（已知/已证）∴ AB = AC（等角对等边）∴△ABC是等腰三角形关键前提：必须是同一个三角形中，等角对等边，跨三角形不成立。3.等腰三角形两种判定方法（全覆盖）方法一：定义法（边判定）有两条边相等的三角形是等腰三角形。适用于题干直接给出边长、线段相等的题型。方法二：定理法（角判定）有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）。适用于角度计算、平行推导等题型，是考试主流考法。4.性质与判定精准区分（秒杀辨析）性质：边→角（已知等腰，得角相等）判定：角→边（证出角等，得等腰）答题写依据绝对不能混用，写错直接扣分！5.常见出题隐藏条件（解题突破口）1.平行线条件：两直线平行，内错角、同位角相等，可推导三角形两角相等；2.角平分线条件：角平分线分出两个相等角，可构造等角；3.对顶角、公共角、余角补角相等，均可转化为三角形内角相等。6.经典二级结论（快速解题）平行+角平分线→等腰三角形（考试超级高频模型）原理：平行得等角+角平分得等角→三角形两角相等→等角对等边。二、选择题（每题4分，共24分）1.等腰三角形判定的核心定理是（）A.等边对等角B.等角对等边C.三线合一D.轴对称性质2.在△ABC中，∠A=∠B=50°，则△ABC是（）A.等边三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.无法判断3.下列说法正确的是（）A.等边对等角是判定定理B.等角对等边是性质定理C.两角相等可判定等腰三角形D.任意三角形都可等角对等边4.已知△ABC中，∠1=∠2，则可推出（）A.对应两边相等B.三边相等C.直角三角形D.无法推导5. “平行+角平分线”模型最终可判定（）A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.全等三角形6.不能判定三角形为等腰三角形的是（）A.两角相等B.两边相等C.三角都相等D.任意两角互补三、填空题（每题4分，共24分）7.等腰三角形判定定理：在同一三角形中，等角对________。8.性质是边推角，判定是________推________。9.有两条边相等的三角形是________三角形。10.平行+________可构造等腰三角形模型。11.在△ABC中，∠A=70°，∠B=70°，则相等的边是________。12.等角对等边的使用前提是________。四、解答题（共52分）13.（16分）基础证明题：已知：在△ABC中，∠B=∠C，求证：AB=AC。14.（18分）经典模型题（平行+角平分线）：已知：AD平分∠BAC，AD∥BC，求证：△ABC是等腰三角形。15.（18分）综合计算题：已知：在△ABC中，∠A=40°，∠B=70°，判断△ABC的形状，并说明理由。五、参考答案与详细解析一、选择题1.B（等腰三角形判定核心：等角对等边）；2.B（两角相等，等角对等边，为等腰三角形）；3.C（两角相等可判定等腰三角形；等边对等角是性质，等角对等边是判定）；4.A（同一三角形两角相等，对应两边相等）；5.B（平行+角平分线必出等腰三角形，经典必考模型）；6.D（两角互补无法判定等腰三角形）。二、填空题7.等边8.角；边9.等腰10.角平分线11. AC、BC12.在同一个三角形中三、解答题13.证明：∵ ∠B=∠C（已知）∴ AB=AC（等角对等边）14.证明：∵ AD∥BC（已知）∴ ∠BAD=∠B，∠CAD=∠C（两直线平行，内错角相等）∵ AD平分∠BAC（已知）∴ ∠BAD=∠CAD（角平分线定义）∴ ∠B=∠C（等量代换）∴ AB=AC（等角对等边）∴△ABC是等腰三角形。15.解：△ABC是等腰三角形，理由如下：∵ ∠A+∠B+∠C=180°（三角形内角和定理）∴ ∠C=180° ∠A ∠B=180° 40° 70°=70°∴ ∠B=∠C=70°∴ AB=AC（等角对等边）∴△ABC是等腰三角形。本节易错必记（高频扣分点）1.最大易错点：严格区分性质与判定：等边对等角（性质）、等角对等边（判定），写依据绝对不能混用；2.等角对等边必须在同一个三角形中使用，跨三角形无效；3.证明等腰三角形优先找两角相等，是最常用、最便捷的方法；4. “平行+角平分线=等腰三角形”模型必须熟练掌握，考试必考；5.角度计算后判定形状，必须先算角、再证边、最后下结论，步骤不能缺。本节核心背诵口诀边对等角是性质，角对等边是判定；同三角内才可用，跨图相等不成立；平行搭配角平分，等腰三角必成型；先判角来再判边，步骤规范不丢分。等腰三角形性质与判定终极对比总结性质（已知等腰）：两边相等→两角相等、三线合一、轴对称；判定（证明等腰）：两边相等或两角相等→等腰三角形。学习目标
1.掌握等腰三角形的判定方法；（重点）
2.会运用等腰三角形的判定定理进行相关证明和计算.
3.
A
B
C
如图，位于海上 B、C 两处的两艘救生船接到 A 处遇险船只的报警，当时测得 ∠B =∠C. 如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能同时赶到出事地点（不考虑风浪因素）？
等腰三角形的判定
1
探究：任意画∠EBC，在线段 BC 的同侧，以 C 为顶点作∠FCB，使∠FCB =∠EBC，BE 与 CF 交于点A，得到△ABC，如图所示.
用圆规量一量 AB 和 AC，它们相等吗？由此，你能发现什么
A
F
E
C
B
猜想：可以发现 AB = AC，从而△ABC 是等腰三角形.
以过点 A 的一条直线为折痕对折，使得射线 AC 与射线 AB 重合，折痕与 BC 的交点记作 D，则 AD 为∠BAC 的平分线.
A
B
C
D
推理证明
如图，在∠ABC 中，∠B =∠C，
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD，
所以△ABD≌△ACD (角角边).
从而 AB = AC，因此△ABC 是等腰三角形
所以 AC = AB ( )，
即△ABC 为等腰三角形.
因为∠B =∠C ( )，
等腰三角形的判定方法
有两个角相等的三角形是等腰三角形
（简称“等角对等边”）.
已知
等角对等边
在△ABC 中，
应用格式：
B
C
A
(
(
知识要点
A
B
C
D
2
1
因为∠1 =∠2， 所以 BD = DC
(等角对等边).
因为∠1 =∠2， 所以 DC = BC
A
B
C
D
2
1
(等角对等边).
错，因为两角都不是在同一个三角形中.
辨一辨：如图，下列推理正确吗
例1 如图，在△ABC 中，AB = AC，点 D，E 分别是 AB，AC 上的点，且 DE∥BC.
求证：△ADE 为等腰三角形.
证明：因为 AB = AC，
所以∠B =∠C (等边对等角).
又因为 DE∥BC，
所以∠ADE =∠B，∠AED =∠C.
因此∠ADE =∠AED.
于是△ADE 为等腰三角形(等角对等边).
典例精析
证明：∵ AD∥BC，
∴∠ADB =∠DBC.
∵ BD 平分∠ABC，
∴∠ABD =∠DBC.
∴∠ABD =∠ADB，
∴ AB = AD.
例2 已知：如图，AD∥BC，BD 平分∠ABC.
求证：AB = AD.
B
A
D
C
总结：角平分线 + 平行线，可得等腰三角形.
例3 求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形.
已知：如图，∠CAE 是△ABC 的外角，∠1 =∠2，AD∥BC.
求证：AB = AC.
分析 要证明 AB = AC，可先证明∠B =∠C. 因为∠1 =∠2，所以应想办法找出∠B，∠C与∠1，∠2 的关系.
A
B
C
D
E
1
2
证明：因为 AD∥BC，
所以∠1 =∠B (两直线平行，同位角相等)，
∠2 =∠C (两直线平行，内错角相等).
又因为∠1 =∠2，
所以∠B =∠C.
因此 AB = AC (等角对等边).
A
B
C
D
E
1
2
例4 如图，在△ABC 中，AB = AC，∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点O. 过 O 作 EF∥BC 交 AB 于 E，交 AC 于 F. 探究 EF、BE、CF 之间的关系.
解：EF = BE + CF. 理由如下：∵ EF∥BC，
∴∠EOB =∠CBO，∠FOC =∠BCO.
∵ BO、CO 分别平分∠ABC、∠ACB，
∴∠CBO＝∠ABO，∠BCO＝∠ACO，
∴∠EOB＝∠ABO，∠FOC＝∠ACO，
∴BE＝OE，CF＝OF，
∴ EF＝OE + OF＝BE + CF.
A
B
C
O
E
F
若 AB≠AC，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗？结论还成立吗？
1. 下列条件中，可以判定 是等腰三
角形的是( )
D
A. B.
C. 三角形的一个角为 D. ，
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2．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分
∠ABC交AC于D，CE平分∠ACB交BD于E，图中
等腰三角形的个数是(　　)
A．3 B．4 C．5 D．6
C
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所以∠ABD＝∠EBC＝∠ACE＝∠ECB＝36°，所以△EBC是等腰三角形．因为∠ABD＝∠A＝36°，所以△ABD是等腰三角形．因为∠CED＝∠ECB＋∠EBC＝72°，且∠CDE＝∠ABD＋∠A＝72°，所以∠CED＝∠CDE＝∠ACB＝72°，所以△EDC和△BCD是等腰三角形．综上所述，共有5个等腰三角形．故选C.
3. 母题教材P136习题 如图，一艘海轮位
于灯塔的南偏东 方向的 处，它以每
小时40海里的速度向正北方向航行，2小时
后到达位于灯塔的北偏东 方向的 处，
则处与灯塔 的距离为________海里．
80
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返回
4．如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，点E，F分别在BA，BC的延长线上，∠ABC，∠ACF与∠EAC的平分线相交于点D.以下结论：①AD∥BC；②∠ACB＝2∠ADB；③△ABD和△ACD都是等腰三角形．其中正确的结论有________个．
3
5.如图，在中，，点在 的
延长线上，于点，交于点 ，
若，，则 的长度为____.
10
（第5题）
【点拨】因为，所以 .因为
，所以 ，所以
， ，所以
.因为 ，所以
，所以.因为 ，
所以 ，所以
.
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6．如图，在△ABC中，∠A＝∠BCA，∠ABC＝100°，D是AC的中点，延长BC至点E，使CE＝CD，连接BD和DE，则∠BDE的大小为________°.
110
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7.【追本溯源】题（1）来自于课本中的习题，
请你完成解答，提炼方法并完成题（2）.
（1）如图①，在中，平分，交于点 ，过
点作的平行线，交于点，请判断 的形状，并
说明理由.
【解】是等腰三角形，理由如下：因为平分 ，
所以 .
因为，所以，所以 ，
所以 是等腰三角形.
【方法应用】
（2）如图②，在平行四边形 中，
平分，交边于点，过点
作交的延长线于点，交于点 .
①图中一定是等腰三角形的有( )
B
A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个
②已知，，求 的长.
同（1）理得 .所以 .
因为，所以 .因
为，所以 ，
所以，所以 .因为，
所以 .因为，所以 ，
所以 .因为 ，所以 .
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等腰(边)三角形的判定
等腰三角形的判定
等角对等边
(注意是指同一个三角形中)
等边三角形的判定
1. 三个角都相等的三角形是等边三角形；
2. 有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形

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