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湘教版数学八年级上册培优精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.4.5.3等边三角形的性质和判定第4章三角形湘教版数学八年级下册4.5.3等边三角形的性质和判定同步讲义与练习本节核心考点：掌握等边三角形的定义、专属性质与三种判定方法，理清等腰三角形与等边三角形的从属关系，熟练进行角度计算与几何证明，掌握含60°等腰三角形必为等边的核心结论，是几何基础题型与综合大题高频考点。一、核心知识点精讲1.等边三角形的定义定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形（也叫正三角形）。从属关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，拥有等腰三角形的一切性质，同时具备自身独有的特殊性质。2.等边三角形的性质（必考）性质1：三边相等若△ABC是等边三角形，则AB=BC=AC。性质2：三角相等且均为60°（核心）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°。几何语言：∵△ABC是等边三角形，∴ ∠A=∠B=∠C=60°。性质3：超强三线合一等边三角形每条边上的中线、高线、对角平分线都互相重合，三条线全部重合统一，比等腰三角形三线合一更全面。性质4：轴对称性等边三角形是轴对称图形，共有3条对称轴（每条边上的高/中线/角平分线所在直线）。3.等边三角形三大判定定理（全覆盖）判定一：定义法（边判定）三条边都相等的三角形是等边三角形。判定二：角判定三个角都相等的三角形是等边三角形（三角均为60°）。判定三：边角混合判定（最高频、秒杀结论）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。核心解读：只要三角形满足「等腰+一个60°角」，直接判定等边，无需推导其余角度。4.等腰与等边三角形性质、判定对比1.等腰：两边等、两角等，对称轴1条，角度不一定60°；2.等边：三边等、三角均60°，对称轴3条，是特殊等腰；3.判定区别：等腰看两边/两角相等；等边看三边、三角、等腰+60°。5.解题万能突破口1.题干出现60°+等腰→直接秒判等边三角形；2.等边三角形所有边角均相等，可随意转化边、角条件；3.等边三角形内角固定60°，是角度计算、全等证明的隐藏条件。二、选择题（每题4分，共24分）1.等边三角形的每个内角的度数是（）A. 45°B. 60°C. 90°D. 120°2.下列关于等边三角形说法正确的是（）A.只有两条边相等B.只有一个角是60°C.有3条对称轴D.不是等腰三角形3.能判定一个三角形为等边三角形的是（）A.两个角相等B.有一个角为60°的等腰三角形C.一条边相等D.一个角为60°的直角三角形4.等边三角形的对称轴数量是（）A. 1条B. 2条C. 3条D.无数条5.下列说法错误的是（）A.等边三角形一定是等腰三角形B.等腰三角形一定是等边三角形C.三角相等的三角形是等边三角形D.三边相等的三角形是等边三角形6.等腰三角形中，顶角为60°，则该三角形是（）A.等腰直角三角形B.等边三角形C.普通等腰三角形D.无法判断三、填空题（每题4分，共24分）7.等边三角形的三个内角都等于________°。8. ________是特殊的等腰三角形。9.有一个角是________°的等腰三角形是等边三角形。10.等边三角形有________条对称轴，每条对称轴都满足________合一。11.三个角都________的三角形是等边三角形。12.等边三角形三边________，三角________。四、解答题（共52分）13.（16分）基础证明：已知：在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，求证：△ABC是等边三角形。14.（18分）性质应用计算：已知△ABC是等边三角形，D为BC边上一点，求∠A、∠B、∠C的度数，并说明理由。15.（18分）综合判定证明：已知：△ABC中，AB=BC，∠B=60°，求证：△ABC为等边三角形。五、参考答案与详细解析一、选择题1.B（等边三角形三内角均为60°）；2.C（等边三角形3条对称轴，属于特殊等腰三角形，三边三角均相等）；3.B（60°的等腰三角形必为等边三角形，核心判定定理）；4.C（三条对称轴，对应三条边上的三线合一线）；5.B（等腰三角形不一定是等边三角形，等边一定是等腰）；6.B（等腰+60°顶角，直接判定等边三角形）。二、填空题7. 608.等边三角形9. 6010. 3；三线11.相等12.相等；相等三、解答题13.证明：∵ AB=AC（已知），∴△ABC是等腰三角形。又∵ ∠A=60°（已知）∴△ABC是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）。14.解：∵△ABC是等边三角形（已知）∴ ∠A=∠B=∠C=60°（等边三角形的三个内角都等于60°）。答：三个内角均为60°。15.证明：∵ AB=BC（已知），∴△ABC是等腰三角形。∵ ∠B=60°（已知）∴△ABC是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）。本节易错必记（高频扣分点）1.核心从属关系：等边 等腰，等边一定等腰，等腰不一定等边；2.判定等边最快结论：等腰+60°=等边，无需多余计算；3.等腰1条对称轴，等边3条对称轴，做题极易混淆；4.等边三角形三线合一适用于三条边、三个角，区别于普通等腰；5.三个角相等必然都是60°，可直接判定等边三角形。本节核心背诵口诀三边相等等边形，三角六十要记清；等腰若带六十度，直接判定等边形；三线合一三边占，三条对称轴分明；等边属于等腰类，等腰未必是等边。等腰、等边三角形终极汇总等腰三角形：两边等、两角等，1条对称轴，局部三线合一；等边三角形：三边等、三角60°，3条对称轴，全面三线合一；秒杀判定：两边等→等腰；等腰+60°→等边；三边等/三角等→等边。学习目标
1.探索等边三角形的性质和判定；
2.能运用等边三角形的性质和判定进行计算和证明.
3.
类比探究
A
B
C
A
B
C
问题1 等边三角形的三个内角之间有什么关系？
等腰三角形
AB = AC
∠B =∠C
等边三角形
AB = AC = BC
AB = AC
∠B =∠C
AC = BC
∠A =∠B
1
等边三角形的性质
等边三角形的性质定理：等边三角形的各角等于 60°.
A
B
C
推理证明
如图，△ABC 是等边三角形，则 AB = AC = BC.
由于 AB＝AC，则根据等腰三角形的性质定理得，
∠B＝∠C.
同理，由于AC＝BC，因此∠A＝∠B，
从而∠A＝∠B＝∠C.
根据三角形内角和定理得，
∠A+∠B+∠C＝180°，
因此∠A＝∠B＝∠C＝60°.
A
B
C
A
B
C
问题2 等边三角形有“三线合一”的性质吗？等边三角形有几条对称轴？
结论：等边三角形每条边上的中线，高和所对角的平分线都“三线合一”.
顶角的平分线、底边上的高、
底边的中线
三线合一
一条对称轴
三条对称轴
图形 等腰三角形
性 质
每一边上的中线、高和这一边所对的角的平分线互相重合
3 条对称轴
等边三角形
1 条对称轴
两个底角相等
底边上的中线、高和顶角的平分线互相重合
且都是 60°
两条边相等
三条边都相等
知识要点
三个角都相等，
例1 如图，△ABC 是等边三角形，E 是 AC 上一点，D 是 BC 延长线上一点，连接 BE，DE，若∠ABE＝40°，BE＝DE，求∠CED 的度数．
解：∵△ABC 是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°.
∵∠ABE＝40°，
∴∠EBC＝∠ABC－∠ABE＝60°－40°＝20°.
∵ BE＝DE，
∴∠D＝∠EBC＝20°.
∴∠CED＝∠ACB－∠D＝40°.
A
B
C
D
E
方法总结：等边三角形是特殊的三角形，它的三个内角都是 60°，这个性质常应用在求三角形角度的问题上，一般需结合“等边对等角”、三角形的内角和与外角的性质等知识求解.
方法总结
2
等边三角形的判定
说一说
由上可知，等边三角形的三个角相等，其逆命题成立吗？
逆命题成立. 如图，在△ABC 中，由于∠A =∠B，则 AC = BC.
同理可由∠B =∠C 得 AB = AC.
于是AB = AC = BC.
因此△ABC 是等边三角形.
A
B
C
等边三角形的判定定理1：
三个角都相等的三角形是等边三角形.
知识要点
有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形吗
思考
如图，在△ABC 中，AB＝AC.
情形1 设∠A＝60°.
根据三角形内角和定理得
∠B+∠C＝180°－∠A=180°－60°＝120°.
由于AB＝AC，因此∠B＝∠C＝60°
于是△ABC 是等边三角形.
情形2 设∠B＝60°.
由于AB＝AC，因此∠C＝∠B＝60°，
从而∠A＝180°－∠B－∠C=180°－60°－60°＝60°
因此△ABC 是等边三角形.
A
B
C
情形3 设∠C＝60°.
与情形2 类似，
同理可证△ABC 是等边三角形.
A
B
C
等边三角形的判定定理2：
有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形.
例2 如图，在等边三角形 ABC 中，DE∥BC.
求证：△ADE 是等边三角形.
A
C
B
D
E
证明：
∵△ABC 是等边三角形，
∴∠A =∠B =∠C.
∵ DE∥BC，
∴∠ADE =∠B，∠AED =∠C.
∴∠A =∠ADE =∠AED.
∴△ADE 是等边三角形.
想一想：本题还有其他证法吗？
例3 等边△ABC 中，点 P 在△ABC 内，点 Q 在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，问△APQ 是什么形状的三角形？试证明你的结论．
解：△APQ 为等边三角形．证明如下：
∵△ABC 为等边三角形，∴ AB＝AC，∠BAC＝60°.
∵ BP＝CQ，∠ABP＝∠ACQ，
∴△ABP≌△ACQ (SAS).
∴ AP＝AQ，∠BAP＝∠CAQ.
∵∠BAC＝∠BAP＋∠PAC＝60°，
∴∠PAQ＝∠CAQ＋∠PAC＝60°.
∴△APQ 是等边三角形.
B
C
Q
A
P
方法总结：判定一个三角形是等边三角形有以下方法：一是证明三角形三条边相等；二是证明三角形三个内角相等 (或两个内角等于 60°)；三是先证明三角形是等腰三角形，再证明有一个内角等于 60°.
方法总结
1. 如图，直线 ，等边
三角形的两个顶点， 分别落在直
线，上，若 ，则
的度数是( )
B
A. B. C. D.
返回
105°
返回
3．如图，已知等边三角形ABC的高为7 cm，P为△ABC内一点，PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，则PD＋PE＋PF＝________.
返回
4．如图，在等边三角形ABC的边AC上任取一点D，以CD为边向外作等边三角形CDE，连接BD，AE.求证：
(1)△BCD≌△ACE；
【解】因为△ABC和△CDE都是等边三角形，所以BC＝AC，DC＝EC，∠BCD＝∠DCE＝60°.所以△BCD≌△ACE(SAS)．
返回
(2)∠ABD＝∠AED.
【证明】因为△BCD≌△ACE，所以∠BDC＝∠AEC.
因为∠BDC＝∠BAC＋∠ABD，∠AEC＝∠DEC＋∠AED，
所以∠BAC＋∠ABD＝∠DEC＋∠AED.
因为△ABC和△CDE都是等边三角形，
所以∠BAC＝∠DEC＝60°，所以∠ABD＝∠AED.
5.将含 角的直角三角板和直尺按如图
所示的方式放置，已知 ，点
，表示的刻度分别为， ，则
线段的长为(　　)
A．2 cm B．3 cm C．4 cm D．5 cm
A
6.如图，已知等边三角形的高为,为 内一
点，于点,于点,于点 ,则
______.
2.5
7. 如图，在等边三角形中， ,点
在上，且,点是 上一动点，
连接,将线段绕点逆时针旋转 得
到线段,若使点恰好落在 上，则线段
的长是________．
6
【点拨】如图，点D恰好落在BC上．因为△ABC是等边三角形，所以∠A＝∠C＝60°，所以∠COD＋∠ODC＝180°－∠C＝120°.因为将线段OP绕点O逆时针旋转60°得到线段OD，
等边
三角形
定义
底 = 腰
特殊性
性质
特殊性
边
三边相等
角
三个角都等于 60°
轴对称性
轴对称图形，每条边上都具有“三线合一”性质
判定
特殊性
三边法
三角法
等腰三角形+60°角

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