资源简介

1．通过实验，了解曲线运动，知道物体做曲线运动的条件。
2．会用运动的合成与分解的方法分析平抛运动。体会将复杂运动分解为简单运动的物理思想。能分析生产生活中的抛体运动。
3．会用线速度、角速度、周期描述匀速圆周运动。知道匀速圆周运动向心加速度的大小和方向。
4．能用牛顿第二定律分析匀速圆周运动的向心力。了解生产生活中的离心现象及其产生的原因。
5．实验5　探究平抛运动的特点
6．实验6　探究向心力大小与半径、角速度、质量的关系
曲线运动 曲线运动条件及运动的合成与分解 2025年：湖南卷·T2；黑吉辽内蒙古卷·T6 2023年：辽宁卷·T1
平抛运动 2025年：云南卷·T3；湖北卷·T6 2024年：湖北卷·T3；江西卷·T8；安徽卷·T7；浙江1月选考·T8
斜抛运动 2024年：山东卷·T12；江苏卷·T4 2023年：湖南卷·T2
圆周运动 2025年：福建卷·T5；河北卷·T5；安徽卷·T6；山东卷·T4；江苏卷·T4；广东卷·T8；山东卷·T10；重庆卷·T3 2024年：黑吉辽卷·T2；江西卷·T14；广东卷·T5 2023年：全国甲卷·T4；江苏卷·T13；湖北卷·T14
实验：探究平抛运动的特点 2024年：河北卷·T11 2023年：浙江6月选考·T16；北京卷·T11
实验：探究向心力大小与半径、角速度、质量的关系 2025年：北京卷·T16 2024年：海南卷·T14 2023年：浙江1月选考·T16
1．复习时应了解曲线运动，注重提炼生活中的曲线运动和圆周运动。掌握抛体运动和圆周运动的规律，熟悉平抛运动模型和圆周运动模型的特点、处理方法和解题技巧，是本章的重点。
2．复习中应注意本章所涉及的运动的合成与分解法、正交分解法、假设法等科学思维方法在处理曲线运动问题中的应用。
第1讲　曲线运动　运动的合成与分解
目标 要求 　 　 1.理解物体做曲线运动的条件，掌握曲线运动的特点。2.会用运动的合成与分解处理小船渡河、关联速度等问题。3.理解运动的合成与分解是处理曲线运动的一种重要思想方法。
一、曲线运动
1．速度方向
质点在某一点的速度方向，沿曲线上该点的切线方向。
2．运动性质
做曲线运动的物体，速度的方向时刻改变，故曲线运动一定是变速运动，即必然具有加速度。
3．曲线运动的条件
(1)运动学角度：物体的加速度方向跟速度方向不在同一条直线上。
(2)动力学角度：物体所受合外力的方向跟速度方向不在同一条直线上。
二、运动的合成与分解
1．合运动与分运动概念
(1)运动的合成：已知分运动求合运动。
(2)运动的分解：已知合运动求分运动。
2．遵循的法则
位移、速度、加速度都是矢量，故它们的合成与分解都遵循矢量运算法则。
3．运动分解的原则
根据运动的效果分解，也可采用正交分解法。
4．合运动与分运动的关系
(1)等时性：合运动和分运动经历的时间相等，即同时开始、同时进行、同时停止。
(2)独立性：一个物体同时参与几个分运动，各分运动相互独立，不受其他分运动的影响。
(3)等效性：各分运动的规律叠加起来与合运动的规律有完全相同的效果。
1．判断正误
(1)做曲线运动的物体速度大小一定发生变化。(×)
(2)做曲线运动的物体受到的合力一定是变力。(×)
(3)做曲线运动的物体的位移一定小于路程。(√)
(4)只要两个分运动为直线运动，合运动一定是直线运动。(×)
(5)做曲线运动的物体所受合力方向与速度方向有时可以在同一直线上。(×)
2．(人教版教材原题改编)在演示“做曲线运动的条件”的实验中，有一个在水平桌面上向右做直线运动的小钢球，第一次在其运动路线的正前方放置条形磁铁，第二次在其运动路线的旁边放置条形磁铁，如图所示，虚线表示小钢球的运动轨迹。观察实验现象，以下叙述正确的是(　　)
A．第一次实验中，小钢球的运动是匀速直线运动
B．第二次实验中，小钢球的运动类似平抛运动，其运动轨迹是一条抛物线
C．该实验说明做曲线运动的物体的速度方向沿轨迹的切线方向
D．该实验说明物体做曲线运动的条件是物体受到的合力的方向与速度方向不在同一直线上
解析：D　第一次实验中，小钢球受到沿初速度方向的磁铁的吸引力作用，做直线运动，并且随着距离的减小，吸引力变大，加速度变大，故小钢球做非匀变速直线运动，选项A错误；第二次实验中，小钢球所受的磁铁的吸引力方向总是指向磁铁，是变力，故小钢球的运动不是类平抛运动，其运动轨迹也不是一条抛物线，选项B错误；该实验说明物体做曲线运动的条件是物体受到的合力的方向与速度方向不在同一直线上，但是不能说明做曲线运动的物体的速度方向沿轨迹的切线方向，选项C错误，D正确。
3．(人教版教材原题改编)如图所示，竖直放置的两端封闭的玻璃管中注满清水，内有一个红蜡块能在水中匀速上浮。在红蜡块从玻璃管的下端匀速上浮的同时，使玻璃管以速度v水平向右匀速运动。红蜡块由管口上升到顶端，所需时间为t，相对地面的位移为L，则下列说法正确的是(　　)
A．v增大时，L减小 B．v增大时，L增大
C．v增大时，t减小 D．v增大时，t增大
解析：B　由合运动与分运动的等时性知，红蜡块沿玻璃管上升的高度和速度不变，运动时间不变，玻璃管匀速运动的速度越大，则合速度越大，合位移越大，选项B正确。
考点一　曲线运动的条件与轨迹
　2025年9月17日国际大学生体育联合会足球世界杯在辽宁大连开幕。如图所示，曲线表示足球(视为质点)在空中飞行的轨迹，其中一条虚线是轨迹的切线。下列表示足球在飞行过程中所受重力和空气阻力的示意图，正确的是(　　)
　
解析：C　由题意知足球重力方向竖直向下，阻力方向与速度方向相反，速度方向沿轨迹的切线方向，故C正确。
　(2025·四川眉山期末)如图所示，这是物体做匀变速曲线运动的轨迹示意图。已知物体在B点的加速度方向与速度方向垂直，则下列说法中正确的是(　　)
A．C点的速率小于B点的速率
B．A点的加速度比C点的加速度大
C．C点的速率大于B点的速率
D．从A点到C点加速度与速度的夹角先增大后减小，速率是先减小后增大
解析：C　物体做匀变速曲线运动，B点到C点的加速度方向与速度方向夹角小于90°，所以C点的速率比B点的速率大，故A错误，C正确；物体做匀变速曲线运动，则加速度大小和方向不变，所以物体经过C点时的加速度与A点的相同，故B错误；物体运动到B点时速度方向与加速度方向恰好互相垂直，则有A点速度与加速度方向夹角大于90°，C点的加速度方向与速度方向夹角小于90°，加速度与速度的夹角一直减小，故D错误。
曲线运动中速度方向、合力方向与运动轨迹之间的关系：
(1)速度方向与运动轨迹相切。
(2)合力方向指向曲线的“凹”侧。
(3)运动轨迹一定夹在速度方向和合力方向之间。
考点二　运动的合成与分解
考向1　合运动与分运动的关系
　(多选)(人教版教材原题改编)跳伞运动是人们普遍喜欢的观赏性体育项目，如图所示，当运动员从直升机上由静止跳下后，在下落过程中将会受到水平风力的影响，下列说法中正确的是(　　)
A．风力越大，运动员下落时间越长，运动员可完成更多的动作
B．风力越大，运动员着地速度越大，有可能对运动员造成伤害
C．运动员下落时间与风力无关
D．运动员着地速度与风力无关
解析：BC　运动员同时参与两个分运动：竖直向下的运动和水平方向沿风力的运动。两个分运动具有独立性、等时性，竖直分运动不受风力影响，所以运动员下落时间由竖直分运动决定，与风力无关，风力越大，落地时的水平分速度越大，合速度越大，有可能对运动员造成伤害，故B、C正确，A、D错误。
合运动和分运动的关系
(1)等时性：各个分运动与合运动总是同时开始、同时进行、同时结束，经历时间相等(不同时的运动不能合成)。
(2)独立性：一个物体同时参与几个分运动时，各分运动独立进行，互不影响。
(3)等效性：各分运动叠加起来与合运动有完全相同的效果。
(4)同一性：各分运动与合运动是指同一物体参与的分运动和实际发生的运动，不能是几个不同物体发生的不同运动。
考向2　合运动的轨迹
　(2025·广东广州模拟)无人机灯光表演给喜庆的节日氛围增添了几许惊艳。在一次无人机表演中，若分别以水平向右、竖直向上为x轴、y轴的正方向，某架参演的无人机在x、y方向的v-t图像分别如图甲、乙所示，则在0～t2时间内，该无人机的运动轨迹为(　　)
图甲　　　　　　　图乙
　
解析：A　由图可知，在0～t1时间内无人机竖直方向做匀速直线运动，水平方向向右做匀减速直线运动，可知在0～t1时间内无人机受到的合外力方向水平向左，根据合外力指向轨迹凹处，可知0～t1时间内无人机运动的轨迹向左弯曲；在t1～t2时间内无人机竖直方向向上做匀减速直线运动，水平方向做匀速直线运动，可知在t1～t2时间内无人机的合外力竖直向下，根据合外力指向轨迹凹处，可知在t1～t2时间内无人机运动的轨迹向下弯曲。故选A。
考向3　两互成角度运动的合运动性质的判断
　质点Q在xOy平面内运动，其在x轴方向和y轴方向的分运动图像如图甲和图乙所示，下列说法正确的是(　　)
图甲　　　　　　　图乙
A．质点Q做匀变速直线运动，初速度为12 m/s
B．质点Q做匀变速曲线运动，加速度为5 m/s2
C．质点Q做匀变速直线运动，2 s末的速度为20 m/s
D．质点Q做匀变速曲线运动，2 s内的位移为45 m
解析：C　根据匀变速直线运动位移公式x＝v0t＋at2，可得at＋v0，根据题图甲可得＝k1t＋v0x，所以质点在x轴上的分运动是匀变速直线运动，可得初速度v0x＝6 m/s，加速度ax＝2k1＝2× m/s2＝3 m/s2。根据题图乙可知，质点在y轴上的分运动是匀变速直线运动，初速度v0y＝8 m/s，加速度ay＝k2＝ m/s2＝4 m/s2，因为，可知质点的初速度和加速度在同一条直线上，所以质点做匀变速直线运动，初速度为v0＝＝10 m/s，加速度为a＝＝5 m/s2，故A、B、D错误；质点做匀变速直线运动，2 s末的速度为v＝v0＋at＝(10＋5×2)m/s＝20 m/s，故C正确。,
归纳总结
(1)合加速度(或合力)：
(2)合加速度(或合力)与速度方向：
考点三　小船渡河问题
考向1　水流速度不变的渡河问题
　(多选)(2025·山东师大附中期中)一船在静水中的速度是10 m/s，要渡过宽为240 m、水流速度为8 m/s的河流，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6。则下列说法中正确的是(　　)
A．此船过河的最短时间是30 s
B．船垂直到达正对岸的实际航行速度是6 m/s
C．船头的指向与上游河岸的夹角为53°船可以垂直到达正对岸
D．此船可以垂直到达正对岸
解析：BD　当船头垂直河岸时，渡河时间最短，则有tmin＝ s＝24 s，故A错误；由于v船>v水，所以此船可以垂直到达正对岸；当船垂直到达正对岸时，合速度方向垂直于河岸，则实际航行速度为v合＝ m/s＝6 m/s，此时船头的指向与上游河岸的夹角满足cos θ＝＝0.8，可得θ＝37°，故BD正确，C错误。
思路点拨
(1)渡河时间只与垂直河岸的船的分速度有关，与水流速度无关。
(2)正确区分分运动和合运动，船的航行方向也就是船头指向，是分运动方向，船的运动方向也就是船的实际运动方向，是合运动方向。
　(2026·河南濮阳一中开学考)一小船在静水中的速度为3 m/s，它在一条河宽为150 m、流速为5 m/s的河流中渡河，则下列说法正确的是(　　)
A．小船渡河时间不少于60 s
B．小船以最短时间渡河时，它沿水流方向的位移大小为150 m
C．小船以最短位移渡河时，位移大小为250 m
D．小船以最短位移渡河时，用时为60 s
解析：C　当船在静水中的速度垂直于河岸时渡河时间最短tmin＝ s＝50 s，故A错误；船以最短时间50 s渡河时沿河岸的位移x＝v水tmin＝5×50 m＝250 m，即它沿水流方向的位移大小为250 m，故B错误；因为水流速度大于船在静水中的速度，所以船不能垂直渡河，如图所示，当合速度与船在静水中的速度方向垂直时，设合速度与水流速度的夹角为θ，此时渡河位移最短，则sin θ＝，则渡河的最短位移x＝ m＝250 m，故C正确；若船以最短位移渡河，则用时t＝＝62.5 s，故D错误。
考向2　水流速度变化的渡河问题
　(多选)船在静水中的速度与时间的关系如图甲所示，河水的流速与船离河岸的距离的变化关系如图乙所示，则(　　)
图甲 图乙
A．船渡河的最短时间是60 s
B．要使船以最短时间渡河，船在行驶过程中，船头必须始终与河岸垂直
C．船在河水中航行的轨迹是一条直线
D．船在河水中的最大速度是5 m/s
解析：BD　当船头与河岸垂直时，渡河时间最短，由题图乙可知河宽为d＝300 m，则t＝＝100 s，A错误，B正确；由于随水流方向的分速度不断变化，故合速度的大小和方向也不断变化，船做曲线运动，C错误；当河水的流速取最大值4 m/s时，合速度最大，船在河水中的最大速度是v＝ m/s＝5 m/s，D正确。
[归纳总结]　(1)如图所示，当船头方向垂直于河岸时，渡河时间最短，最短时间tmin＝。
(2)如果v船＞v水，当船头方向与上游夹角θ满足v船cos θ＝v水时，合速度垂直于河岸，渡河位移最短，等于河宽d。
(3)如图所示，如果v船＜v水，当船头方向(即v船方向)与合速度方向垂直时，渡河位移最短，等于。
考点四　关联速度问题
考向1　绳端速度分解模型
　(2025·黑吉辽内蒙古卷，6)如图，趣味运动会的“聚力建高塔”活动中，两长度相等的细绳一端系在同一塔块上，两名同学分别握住绳的另一端，保持手在同一水平面以相同速率 v相向运动。为使塔块沿竖直方向匀速下落，则v(　　)
A．一直减小 B．一直增大
C．先减小后增大 D．先增大后减小
解析：B　设塔块匀速下落的速度为v0，细绳与水平方向的夹角为α，将塔块的速度沿细绳、垂直于细绳的方向分解，则沿细绳方向的速度为v1＝v0sin α，将手的速度沿细绳、垂直于细绳的方向分解，则沿细绳方向的速度为v2＝v cos α，又v1＝v2，整理得v＝v0tan α，由于两人相向运动的过程中，细绳与水平方向的夹角α逐渐增大，v0保持不变，所以v一直增大，B正确，A、C、D错误。
(1)问题特点：与绳(杆)相连的物体运动方向与绳(杆)不在一条直线上。
(2)思路与方法：物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和平行于绳(杆)两个分速度。
考向2　杆端速度分解模型
　(2025·湖南邵阳二中期中)甲、乙两光滑小球(均可视为质点)用铰链与轻直杆连接，乙球处于光滑水平地面上，甲球套在光滑的竖直杆上，初始时轻杆竖直，杆长为4 m。无初速度释放，使得乙球沿水平地面向右滑动，当乙球距离起点3 m时，甲球的速度为v1，乙球的速度为v2，如图所示，下列说法正确的是(　　)
A．v1∶v2＝∶3
B．v1∶v2＝3∶7
C．甲球即将落地时，乙球的速度与甲球的速度大小相等
D．甲球即将落地时，乙球的速度达到最大
解析：B　设当乙球距离起点3 m时，轻杆与竖直方向的夹角为θ，则v1在沿杆方向的分量为v1杆＝v1cos θ，v2在沿杆方向的分量为v2杆＝v2sin θ，而v1杆＝v2杆，由题意有cos θ＝，sin θ＝，解得，选项A错误，B正确；甲球即将落地时，有θ＝90°，此时甲球的速度达到最大，而乙球的速度为零，选项C、D错误。
[归纳总结]　常见的模型
情景图示 分解图示 定量结论
vB＝vAcos θ
vAcos θ＝v0
vAcos α＝vBcos β
(注：A沿斜面下滑) vBsin α＝vAcos α
思路点拨：如图所示，沿杆方向的分速度大小相等，即vAcos θ＝vBsin θ。
限时规范训练(19)　曲线运动　运动的合成与分解
(建议用时：40分钟　满分：66分)
(选择题1～7题每题5分，8～11题每题6分，12题7分，共66分)
[基础巩固练]
1．(2023·辽宁卷，1)某同学在练习投篮，篮球在空中的运动轨迹如图中虚线所示，篮球所受合力F的示意图可能正确的是(　　)
解析：A　篮球做曲线运动，所受合外力指向运动轨迹的凹侧，故A正确。
2．翻滚过山车是大型游乐园里比较刺激的一种娱乐项目。如图所示，翻滚过山车(可看成质点)从高处冲下，过M点时速度方向如图所示，在圆形轨道内经过A、B、C三点。下列说法正确的是(　　)
A．过山车做匀速运动
B．过山车做变速运动
C．过山车受到的合力等于零
D．过山车经过A、C两点时的速度方向相同
解析：B　过山车做曲线运动，其速度方向时刻变化，速度是矢量，故过山车的速度是变化的，即过山车做变速运动，A错误，B正确；过山车做变速运动，即运动状态时刻变化，因此其所受合力一定不为零，C错误；过山车经过A点时速度方向竖直向上，经过C点时速度方向竖直向下，D错误。
3．(2026·北京四中高三开学考)各种大型的货运站中少不了旋臂式起重机，如图所示，该起重机的旋臂保持不动，可沿旋臂“行走”的天车有两个功能，一是吊着货物沿竖直方向运动，二是吊着货物沿旋臂水平运动。现天车吊着货物正在沿水平方向向右匀速行驶，同时又启动天车上的起吊电动机，使货物竖直向上做匀加速运动，此时，我们站在地面上观察到货物运动的轨迹可能是(　　)
解析：B　货物在水平方向上做匀速直线运动，在竖直方向上做匀加速直线运动，根据平行四边形定则，知合速度的方向与合加速度的方向不在同一条直线上，轨迹为曲线，货物的加速度竖直向上，因为加速度的方向大致指向轨迹的凹向，可知B项可能是货物的运动轨迹。故选B。
4．(2025·陕西宝鸡三模)一杂技演员通过传感器将其斜向上的运动速度转化为水平向前的速度vx及竖直向上的速度vy，若它们与运动时间t的关系图像如图甲、乙所示。则下列说法正确的是(　　)
图甲　 图乙
A．演员在t1时刻处于超重状态
B．演员在0～t2这段时间内沿直线飞行
C．演员在t2时刻上升至最高点
D．演员在t2～t3时间内做匀变速曲线运动
解析：D　演员在t1时刻竖直向上的速度减小，则加速度向下，处于失重状态，A错误；演员在0～t2这段时间内水平方向做匀加速运动；竖直方向做匀减速运动，则合初速度和合加速度一定不共线，则合运动为曲线运动，B错误；演员在0～t3时间内的竖直速度一直不为零，可知t2时刻还没有上升至最高点，C错误；演员在t2～t3时间内水平方向做匀减速运动，竖直方向做匀速运动，可知合运动为匀变速曲线运动，即演员做匀变速曲线运动，D正确。
5．(2026·昆明一中联考)如图所示，人在岸上拉船靠岸，当轻绳与水平面的夹角为θ时，船的速度大小为v，此时人对绳的拉力大小为F，设船受到的阻力恒定不变，以下说法正确的是(　　)
A．此时，人拉绳的速度为
B．若人拉绳的速度保持不变，船可以匀速靠岸
C．若人对绳的拉力保持不变，船可以匀速靠岸
D．此时，人对绳的拉力的功率为Fv cos θ
解析：D　人拉绳的速度为v绳＝v cos θ，选项A错误；根据v＝，若人拉绳的速度保持不变，由于夹角变大，则船速度增大，选项B错误；若人对绳的拉力保持不变，由于夹角变化，拉力水平分力变化，则船合力不可能始终为零，船不会匀速靠岸，故C错误；此时，人对绳的拉力功率为P＝Fv绳＝Fv cos θ，故D正确。故选D。
6．(2025·北京市东城区一模)一质量为m的物块在光滑水平面上以速度v0做匀速直线运动。某时刻开始受到与水平面平行的恒力F的作用，之后其速度大小先减小后增大，最小值为。下列图中初速度v0与恒力F夹角正确的是(　　)
解析：D　根据题意物块的速度先减小后增大，可知恒力与速度v0的夹角大于90°，将初速度沿平行F方向和垂直F方向分解，垂直F方向的分速度不变，如图所示，根据几何关系有cos θ＝，可得θ＝60°，则力的方向与初速度方向夹角为60°＋90°＝150°，故选D。
7．(2025·四川剑州中学月考)一轻杆两端分别固定质量为mA和mB的两个小球A和B(可视为质点)，将其放在一个光滑球形容器中，从位置1开始下滑，如图所示，当轻杆到达位置2时，球A与球形容器球心等高，其速度大小为v1，已知此时轻杆与水平方向夹角为θ＝30°，B球的速度大小为v2，则(　　)
A．v2＝v1 B．v2＝2v1
C．v2＝v1 D．v2＝v1
解析：C　球A与球形容器球心等高，速度v1方向竖直向下，速度分解如图所示，有v11＝v1sin 30°＝v1，球B此时速度方向与杆的夹角为α＝60°，因此v21＝v2cos 60°＝v2，沿杆方向两球速度相等，即v21＝v11，解得v2＝v1，C正确。
[能力提升练]
8．(多选)光滑水平面上一运动质点以速度v0通过点O，如图所示，与此同时给质点加上沿x轴正方向的恒力Fx和沿y轴正方向的恒力Fy，则(　　)
A．因为有Fx，质点一定做曲线运动
B．如果FyC．如果Fy＝Fx tan α，质点做直线运动
D．如果Fx>，质点向x轴一侧做曲线运动
解析：CD　如果Fx、Fy二力的合力沿v0方向，即Fy＝Fx tan α，则质点做直线运动，A错误，C正确；若Fx>，则合力方向在v0与x轴正方向之间，则质点向x轴一侧弯曲而做曲线运动，若Fx<，则合力方向在v0与y轴正方向之间，所以质点必向y轴一侧弯曲而做曲线运动，因不知α的大小，所以只凭Fx、Fy的大小不能确定F合是偏向x轴还是y轴，B错误，D正确。
9．(2025·湖南卷，2)如图，物块以某一初速度滑上足够长的固定光滑斜面，物块的水平位移、竖直位移、水平速度、竖直速度分别用x、y、vx、vy表示。物块向上运动过程中，下列图像可能正确的是(　　)
解析：C　设斜面倾角为θ，物块的初速度为v0，加速度大小为a，则水平方向上由速度位移公式有(v0cos θ)2－vx2＝2ax cos θ，变形得vx＝，则vx-x图像是抛物线的一部分，A、B错误；同理竖直方向上有(v0sin θ)2－vy2＝2ay sin θ，变形得vy＝，则vy-y图像是抛物线的一部分，C正确，D错误。
10．(多选)我国少数民族运动会上，设有跑马射箭项目(如图甲所示)，运动员需骑马在直线跑道上奔驰，在指定位置弯弓放箭，射击侧方的固定靶标。如图乙所示，假设无风的天气运动员骑马沿直线跑道奔驰的速度大小与静止时射出弓箭的速度大小相等，弓箭放出时指向固定标靶的速度已知为v，且与直线跑道的夹角为30°，直线跑道到固定靶标的最短距离为d，下列说法正确的是(　　)
图甲　 图乙
A．运动员射出的弓箭速度的方向与直线跑道的夹角为45°
B．运动员骑马沿直线跑道奔驰的速度大小与静止时射出弓箭的速度大小均为v
C．射出的弓箭发生的位移为d
D．射出的弓箭运动的时间为
解析：BD　运动员静止时射出的弓箭速度与骑马沿直线跑道奔驰的速度的合速度为v，且两个分速度的大小相等，由速度合成的平行四边形是菱形，结合几何关系可得运动员静止时射出的弓箭速度的方向与合速度v的夹角为30°，与直线跑道的夹角为60°，故A错误；由几何关系可得2v0cos 30°＝v，可得运动员骑马沿直线跑道奔驰的速度大小与静止时射出弓箭的速度大小均为v0＝v，故B正确；射出的弓箭发生的位移为x＝＝2d，故C错误；射出的弓箭运动的时间为t＝，D正确。
11．(多选)在光滑的水平面内建立如图所示的直角坐标系，长为L的光滑轻质硬细杆AB的两个端点分别被约束在x轴和y轴上，现让杆的A端沿x轴正方向以速度v0匀速运动，已知P点为杆的中点，某时刻杆AB与x轴的夹角为θ。下列说法正确的是(　　)
A．此时，杆B端的速度大小为
B．此时，杆B端的速度大小为v0tan θ
C．P点的运动轨迹是圆的一部分
D．此时，P点的运动速度大小为
解析：ACD　如图甲，根据运动的合成与分解，结合矢量合成法则及三角函数，则有vB sin θ＝v0cos θ，得vB＝，故A正确，B错误；设P点坐标为(x，y)，则A、B点的坐标分别为(2x，0)、(0，2y)，AB长度一定，设为L，根据勾股定理，则有(2x)2＋(2y)2＝L2，解得x2＋y2＝，因此P点的运动轨迹是圆的一部分，半径为，故C正确；画出P点的运动轨迹，如图乙，速度v与杆的夹角α＝2θ－90°，由于杆不可以伸长，故P点的速度沿着杆方向的分速度与A点速度沿着杆方向的分速度相等，则v cos α＝v0cos θ，即v cos (2θ－90°)＝v0cos θ，得v＝，故D正确。
图甲　　　　　　　　图乙
[培优创新练]
12．(多选)(2024·安徽卷，9)一倾角为30°足够大的光滑斜面固定于水平地面上，在斜面上建立Oxy直角坐标系，如图(1)所示。从t＝0开始，将一可视为质点的物块从O点由静止释放，同时对物块施加沿x轴正方向的力F1和F2，其大小与时间t的关系如图(2)所示。已知物块的质量为1.2 kg，重力加速度g取10 m/s2，不计空气阻力。则(　　)
图(1)　 图(2)
A．物块始终做匀变速曲线运动
B．t＝1 s时，物块的y坐标值为2.5 m
C．t＝1 s时，物块的加速度大小为5 m/s2
D．t＝2 s时，物块的速度大小为10 m/s
解析：BD　由题图(1)知，x方向合力为变力，故物块所受合力为变力，物块做变加速运动，A错误；y方向，由牛顿第二定律得mg sin 30°＝ma，解得a＝5 m/s2，t＝1 s时，物块的y坐标值为y＝at2＝2.5 m，B正确；由题图(2)知，t＝1 s时x方向合力为6 N，加速度为a＝＝5 m/s2，将两个方向的加速度合成可知，此时物块的加速度大小为5 m/s2，C错误；t＝2 s内，x方向，根据动量定理得×(2＋4)×2 N·s＋×2×6 N·s＝mvx，解得vx＝10 m/s，y方向，vy＝at＝10 m/s，故t＝2 s时，物块的速度为v＝ m/s，D正确。(共70张PPT)
第四章 曲线运动
1．通过实验，了解曲线运动，知道物体做曲线运动的条件。
2．会用运动的合成与分解的方法分析平抛运动。体会将复杂运动分解为简单运动的物理思想。能分析生产生活中的抛体运动。
3．会用线速度、角速度、周期描述匀速圆周运动。知道匀速圆周运动向心加速度的大小和方向。
4．能用牛顿第二定律分析匀速圆周运动的向心力。了解生产生活中的离心现象及其产生的原因。
5．实验5　探究平抛运动的特点
6．实验6　探究向心力大小与半径、角速度、质量的关系
曲线运动 曲线运动条件及运动的合成与分解 2025年：湖南卷·T2；黑吉辽内蒙古卷·T6
2023年：辽宁卷·T1
平抛运动 2025年：云南卷·T3；湖北卷·T6
2024年：湖北卷·T3；江西卷·T8；安徽卷·T7；浙江1月选考·T8
斜抛运动 2024年：山东卷·T12；江苏卷·T4
2023年：湖南卷·T2
圆周运动 2025年：福建卷·T5；河北卷·T5；安徽卷·T6；山东卷·T4；江苏卷·T4；广东卷·T8；山东卷·T10；重庆卷·T3
2024年：黑吉辽卷·T2；江西卷·T14；广东卷·T5
2023年：全国甲卷·T4；江苏卷·T13；湖北卷·T14
实验：探究平抛运动的特点 2024年：河北卷·T11
2023年：浙江6月选考·T16；北京卷·T11
实验：探究向心力大小与半径、角速度、质量的关系 2025年：北京卷·T16
2024年：海南卷·T14
2023年：浙江1月选考·T16
1．复习时应了解曲线运动，注重提炼生活中的曲线运动和圆周运动。掌握抛体运动和圆周运动的规律，熟悉平抛运动模型和圆周运动模型的特点、处理方法和解题技巧，是本章的重点。
2．复习中应注意本章所涉及的运动的合成与分解法、正交分解法、假设法等科学思维方法在处理曲线运动问题中的应用。
第1讲　曲线运动　运动的合成与分解
1.理解物体做曲线运动的条件，掌握曲线运动的特点。
2.会用运动的合成与分解处理小船渡河、关联速度等问题。3.理解运动的合成与分解是处理曲线运动的一种重要思想方法。
目标
要求
1
强基础 固本增分
2
研考点 精准突破
3
限时规范训练
栏
目
导
引
强基础
固本增分
一、曲线运动
1．速度方向
质点在某一点的速度方向，沿曲线上该点的____方向。
2．运动性质
做曲线运动的物体，速度的____时刻改变，故曲线运动一定是____运动，即必然具有加速度。
3．曲线运动的条件
(1)运动学角度：物体的______方向跟速度方向不在同一条直线上。
(2)动力学角度：物体所受______的方向跟速度方向不在同一条直线上。
切线
方向
变速
加速度
合外力
二、运动的合成与分解
1．合运动与分运动概念
(1)运动的合成：已知______求合运动。
(2)运动的分解：已知______求分运动。
2．遵循的法则
位移、速度、加速度都是矢量，故它们的合成与分解都遵循____________。
3．运动分解的原则
根据运动的____分解，也可采用正交分解法。
分运动
合运动
矢量运算法则
效果
4．合运动与分运动的关系
(1)等时性：合运动和分运动经历的____相等，即同时开始、同时进行、同时停止。
(2)独立性：一个物体同时参与几个分运动，各分运动________，不受其他分运动的影响。
(3)等效性：各分运动的规律叠加起来与合运动的规律有完全相同的____。
时间
相互独立
效果
1．判断正误
(1)做曲线运动的物体速度大小一定发生变化。( )
(2)做曲线运动的物体受到的合力一定是变力。( )
(3)做曲线运动的物体的位移一定小于路程。( )
(4)只要两个分运动为直线运动，合运动一定是直线运动。( )
(5)做曲线运动的物体所受合力方向与速度方向有时可以在同一直线上。
( )
×
√
×
×
×
2．(人教版教材原题改编)在演示“做曲线运动的条件”的实验中，有一个在水平桌面上向右做直线运动的小钢球，第一次在其运动路线的正前方放置条形磁铁，第二次在其运动路线的旁边放置条形磁铁，如图所示，虚线表示小钢球的运动轨迹。观察实验现象，以下叙述正确的是
(　　)
A．第一次实验中，小钢球的运动是匀速直线运动
B．第二次实验中，小钢球的运动类似平抛运动，
其运动轨迹是一条抛物线
C．该实验说明做曲线运动的物体的速度方向沿轨迹的切线方向
D．该实验说明物体做曲线运动的条件是物体受到的合力的方向与速度方向不在同一直线上
D
解析：D　第一次实验中，小钢球受到沿初速度方向的磁铁的吸引力作用，做直线运动，并且随着距离的减小，吸引力变大，加速度变大，故小钢球做非匀变速直线运动，选项A错误；第二次实验中，小钢球所受的磁铁的吸引力方向总是指向磁铁，是变力，故小钢球的运动不是类平抛运动，其运动轨迹也不是一条抛物线，选项B错误；该实验说明物体做曲线运动的条件是物体受到的合力的方向与速度方向不在同一直线上，但是不能说明做曲线运动的物体的速度方向沿轨迹的切线方向，选项C错误，D正确。
3．(人教版教材原题改编)如图所示，竖直放置的两端封闭的玻璃管中注满清水，内有一个红蜡块能在水中匀速上浮。在红蜡块从玻璃管的下端匀速上浮的同时，使玻璃管以速度v水平向右匀速运动。红蜡块由管口上升到顶端，所需时间为t，相对地面的位移为L，则下列说法正确的是
(　　)
A．v增大时，L减小 B．v增大时，L增大
C．v增大时，t减小 D．v增大时，t增大
解析：B　由合运动与分运动的等时性知，红蜡块沿玻璃管上升的高度和速度不变，运动时间不变，玻璃管匀速运动的速度越大，则合速度越大，合位移越大，选项B正确。
B
研考点
精准突破
考点一　曲线运动的条件与轨迹
2025年9月17日国际大学生体育联合会足球世界杯在辽宁大连开幕。如图所示，曲线表示足球(视为质点)在空中飞行的轨迹，其中一条虚线是轨迹的切线。下列表示足球在飞行过程中所受重力和空气阻力的示意图，正确的是(　　)
C　
解析：C　由题意知足球重力方向竖直向下，阻力方向与速度方向相反，速度方向沿轨迹的切线方向，故C正确。
曲线运动中速度方向、合力方向与运动轨迹之间的关系：
(1)速度方向与运动轨迹相切。
(2)合力方向指向曲线的“凹”侧。
(3)运动轨迹一定夹在速度方向和合力方向之间。
C　
(2025·四川眉山期末)如图所示，这是物体做匀变
速曲线运动的轨迹示意图。已知物体在B点的加速度方向
与速度方向垂直，则下列说法中正确的是(　　)
A．C点的速率小于B点的速率
B．A点的加速度比C点的加速度大
C．C点的速率大于B点的速率
D．从A点到C点加速度与速度的夹角先增大后减小，速率是先减小后增大
解析：C　物体做匀变速曲线运动，B点到C点的加速度方向与速度方向夹角小于90°，所以C点的速率比B点的速率大，故A错误，C正确；物体做匀变速曲线运动，则加速度大小和方向不变，所以物体经过C点时的加速度与A点的相同，故B错误；物体运动到B点时速度方向与加速度方向恰好互相垂直，则有A点速度与加速度方向夹角大于90°，C点的加速度方向与速度方向夹角小于90°，加速度与速度的夹角一直减小，故D错误。
考点二　运动的合成与分解
考向1　合运动与分运动的关系
(多选)(人教版教材原题改编)跳伞运动是人们普遍
喜欢的观赏性体育项目，如图所示，当运动员从直升机上
由静止跳下后，在下落过程中将会受到水平风力的影响，
下列说法中正确的是(　　)
A．风力越大，运动员下落时间越长，运动员可完成更多的动作
B．风力越大，运动员着地速度越大，有可能对运动员造成伤害
C．运动员下落时间与风力无关
D．运动员着地速度与风力无关
BC
解析：BC　运动员同时参与两个分运动：竖直向下的运动和水平方向沿风力的运动。两个分运动具有独立性、等时性，竖直分运动不受风力影响，所以运动员下落时间由竖直分运动决定，与风力无关，风力越大，落地时的水平分速度越大，合速度越大，有可能对运动员造成伤害，故B、C正确，A、D错误。
合运动和分运动的关系
(1)等时性：各个分运动与合运动总是同时开始、同时进行、同时结束，经历时间相等(不同时的运动不能合成)。
(2)独立性：一个物体同时参与几个分运动时，各分运动独立进行，互不影响。
(3)等效性：各分运动叠加起来与合运动有完全相同的效果。
(4)同一性：各分运动与合运动是指同一物体参与的分运动和实际发生的运动，不能是几个不同物体发生的不同运动。
考向2　合运动的轨迹
(2025·广东广州模拟)无人机灯光表演给喜庆的节日氛围增添了几许惊艳。在一次无人机表演中，若分别以水平向右、竖直向上为x轴、y轴的正方向，某架参演的无人机在x、y方向的v-t图像分别如图甲、乙所示，则在0～t2时间内，该无人机的运动轨迹为(　　)
图甲　　　　图乙
A
解析：A　由图可知，在0～t1时间内无人机竖直方向做匀速直线运动，水平方向向右做匀减速直线运动，可知在0～t1时间内无人机受到的合外力方向水平向左，根据合外力指向轨迹凹处，可知0～t1时间内无人机运动的轨迹向左弯曲；在t1～t2时间内无人机竖直方向向上做匀减速直线运动，水平方向做匀速直线运动，可知在t1～t2时间内无人机的合外力竖直向下，根据合外力指向轨迹凹处，可知在t1～t2时间内无人机运动的轨迹向下弯曲。故选A。
图甲　　　　图乙
考向3　两互成角度运动的合运动性质的判断
质点Q在xOy平面内运动，其在x轴方向和y轴方向的分运动图像如图甲和图乙所示，下列说法正确的是(　　)
A．质点Q做匀变速直线运动，初速度为12 m/s
B．质点Q做匀变速曲线运动，加速度为5 m/s2
C．质点Q做匀变速直线运动，2 s末的速度为20 m/s
D．质点Q做匀变速曲线运动，2 s内的位移为45 m
图甲　　　　图乙
C
解析：C　根据匀变速直线运动位移公式x＝v0t＋at2，可得at＋v0，根据题图甲可得＝k1t＋v0x，所以质点在x轴上的分运动是匀变速直线运动，可得初速度v0x＝6 m/s，加速度ax＝
图甲　　　　图乙
2k1＝2× m/s2＝3 m/s2。根据题图乙可知，质点在y轴上的分运动是匀变速直线运动，初速度v0y＝8 m/s，加速度ay＝k2＝ m/s2＝4 m/s2，因为，可知质点的初速度和加速度在同一条直线上，所以质点做匀变速直线运动，初速度为v0＝＝10 m/s，加速度为a＝＝5 m/s2，故A、B、D错误；质点做匀变速直线运动，2 s末的速度为v＝v0＋at＝(10＋5×2)m/s＝20 m/s，故C正确。
归纳总结
(1)合加速度(或合力)：
(2)合加速度(或合力)与速度方向：
考点三　小船渡河问题
考向1　水流速度不变的渡河问题
(多选)(2025·山东师大附中期中)一船在静水中的速度是10 m/s，要渡过宽为240 m、水流速度为8 m/s的河流，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6。则下列说法中正确的是(　　)
A．此船过河的最短时间是30 s
B．船垂直到达正对岸的实际航行速度是6 m/s
C．船头的指向与上游河岸的夹角为53°船可以垂直到达正对岸
D．此船可以垂直到达正对岸
BD
解析：BD　当船头垂直河岸时，渡河时间最短，则有tmin＝ s＝24 s，故A错误；由于v船>v水，所以此船可以垂直到达正对岸；当船垂直到达正对岸时，合速度方向垂直于河岸，则实际航行速度为v合＝ m/s＝6 m/s，此时船头的指向与上游河岸的夹角满足cos θ＝＝0.8，可得θ＝37°，故BD正确，C错误。
思路点拨
(1)渡河时间只与垂直河岸的船的分速度有关，与水流速度无关。
(2)正确区分分运动和合运动，船的航行方向也就是船头指向，是分运动方向，船的运动方向也就是船的实际运动方向，是合运动方向。
(2026·河南濮阳一中开学考)一小船在静水中的速度为3 m/s，它在一条河宽为150 m、流速为5 m/s的河流中渡河，则下列说法正确的是
(　　)
A．小船渡河时间不少于60 s
B．小船以最短时间渡河时，它沿水流方向的位移大小为150 m
C．小船以最短位移渡河时，位移大小为250 m
D．小船以最短位移渡河时，用时为60 s
C
解析：C　当船在静水中的速度垂直于河岸时渡河时
间最短tmin＝ s＝50 s，故A错误；船以最短时
间50 s渡河时沿河岸的位移x＝v水tmin＝5×50 m＝250 m，即它沿水流方向的位移大小为250 m，故B错误；因为水流速度大于船在静水中的速度，所以船不能垂直渡河，如图所示，当合速度与船在静水中的速度方向垂直时，设合速度与水流速度的夹角为θ，此时渡河位移最短，则sin θ＝，则渡河的最短位移x＝ m＝250 m，故C正确；若船以最短位移渡河，则用时t＝＝62.5 s，故D错误。
考向2　水流速度变化的渡河问题
(多选)船在静水中的速度与时间的关系如图甲所示，河水的流速与船离河岸的距离的变化关系如图乙所示，则(　　)
A．船渡河的最短时间是60 s
B．要使船以最短时间渡河，船在行驶
过程中，船头必须始终与河岸垂直
C．船在河水中航行的轨迹是一条直线
D．船在河水中的最大速度是5 m/s
图甲 图乙
BD
解析：BD　当船头与河岸垂直时，渡河时间最短，由题图乙可知河宽为d＝300 m，则t＝＝100 s，A错误，B正确；由于随水流方向的分速度不断变化，故合速度的大小和方向也不断变化，船做曲线运动，C错误；当河水的流速取最大值4 m/s时，合速度最大，船在河水中的最大速度是v＝ m/s＝5 m/s，D正确。
图甲 图乙
[归纳总结]　(1)如图所示，当船头方向垂直于河岸时，渡河时间最短，最短时间tmin＝。
(2)如果v船＞v水，当船头方向与上游夹角θ满足v船cos θ＝v水时，合速度垂直于河岸，渡河位移最短，等于河宽d。
(3)如图所示，如果v船＜v水，当船头方向(即v船方向)与合速度方向垂直时，渡河位移最短，等于。
考点四　关联速度问题
考向1　绳端速度分解模型
(2025·黑吉辽内蒙古卷，6)如图，趣味运动会的“聚力建高塔”活动中，两长度相等的细绳一端系在同一塔块上，两名同学分别握住绳的另一端，保持手在同一水平面以相同速率 v相向运动。为使塔块沿竖直方向匀速下落，则v(　　)
A．一直减小
B．一直增大
C．先减小后增大
D．先增大后减小
B
解析：B　设塔块匀速下落的速度为v0，细绳与水平方向的夹角为α，将塔块的速度沿细绳、垂直于细绳的方向分解，则沿细绳方向的速度为v1＝v0sin α，将手的速度沿细绳、垂直于细绳的方向分解，则沿细绳方向的速度为v2＝v cos α，又v1＝v2，整理得v＝v0tan α，由于两人相向运动的过程中，细绳与水平方向的夹角α逐渐增大，v0保持不变，所以v一直增大，B正确，A、C、D错误。
(1)问题特点：与绳(杆)相连的物体运动方向与绳(杆)不在一条直线上。
(2)思路与方法：物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和平行于绳(杆)两个分速度。
考向2　杆端速度分解模型
(2025·湖南邵阳二中期中)甲、乙两光滑小球(均可视为质点)用铰链与轻直杆连接，乙球处于光滑水平地面上，甲球套在光滑的竖直杆上，初始时轻杆竖直，杆长为4 m。无初速度释放，使得乙球沿水平地面向右滑动，当乙球距离起点3 m时，甲球的速度为v1，乙球的速度为v2，如图所示，下列说法正确的是(　　)
A．v1∶v2＝∶3
B．v1∶v2＝3∶7
C．甲球即将落地时，乙球的速度与甲球的速度大小相等
D．甲球即将落地时，乙球的速度达到最大
B
解析：B　设当乙球距离起点3 m时，轻杆与竖直方向的夹角为θ，则v1在沿杆方向的分量为v1杆＝v1cos θ，v2在沿杆方向的分量为v2杆＝v2sin θ，而v1杆＝v2杆，由题意有cos θ＝，sin θ＝，解得，选项A错误，B正确；甲球即将落地时，有θ＝90°，此时甲球的速度达到最大，而乙球的速度为零，选项C、D错误。
思路点拨：如图所示，沿杆方向的分速度大小相等，即vAcos θ＝vBsin θ。
[归纳总结]　常见的模型
情景图示 分解图示 定量结论
vB＝vAcos θ
vAcos θ＝v0
情景图示 分解图示 定量结论
vAcos α＝vBcos β
(注：A沿斜面下滑) vBsin α＝vAcos α
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1
2
限时规范
训练(19)　曲线运动　运动的合成与分解
(建议用时：40分钟　满分：66分)
(选择题1～7题每题5分，8～11题每题6分，12题7分，共66分)
[基础巩固练]
1．(2023·辽宁卷，1)某同学在练习投篮，篮球在空中的
运动轨迹如图中虚线所示，篮球所受合力F的示意图可能
正确的是(　　)
A
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2
解析：A　篮球做曲线运动，所受合外力指向运动轨迹的凹侧，故A正确。
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2．翻滚过山车是大型游乐园里比较刺激的一种娱乐项目。如图所示，翻滚过山车(可看成质点)从高处冲下，过M点时速度方向如图所示，在圆形轨道内经过A、B、C三点。下列说法正确的是(　　)
A．过山车做匀速运动
B．过山车做变速运动
C．过山车受到的合力等于零
D．过山车经过A、C两点时的速度方向相同
B
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解析：B　过山车做曲线运动，其速度方向时刻变化，速度是矢量，故过山车的速度是变化的，即过山车做变速运动，A错误，B正确；过山车做变速运动，即运动状态时刻变化，因此其所受合力一定不为零，C错误；过山车经过A点时速度方向竖直向上，经过C点时速度方向竖直向下，D错误。
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3．(2026·北京四中高三开学考)各种大型的货运站中少不了旋臂式起重机，如图所示，该起重机的旋臂保持不动，可沿旋臂“行走”的天车有两个功能，一是吊着货物沿竖直方向运动，二是吊着货物沿旋臂水平运动。现天车吊着货物正在沿水平方向向右匀速行驶，同时又启动天车上的起吊电动机，使货物竖直向上做匀加速运动，此时，我们站在地面上观察到货物运动的轨迹可能是(　　)
B
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解析：B　货物在水平方向上做匀速直线运动，在竖直方向上做匀加速直线运动，根据平行四边形定则，知合速度的方向与合加速度的方向不在同一条直线上，轨迹为曲线，货物的加速度竖直向上，因为加速度的方向大致指向轨迹的凹向，可知B项可能是货物的运动轨迹。故选B。
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4．(2025·陕西宝鸡三模)一杂技演员通过传感器将其斜向上的运动速度转化为水平向前的速度vx及竖直向上的速度vy，若它们与运动时间t的关系图像如图甲、乙所示。则下列说法正确的是(　　)
A．演员在t1时刻处于超重状态
B．演员在0～t2这段时间内沿直线飞行
C．演员在t2时刻上升至最高点
D．演员在t2～t3时间内做匀变速曲线运动
图甲　 图乙
D
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1
解析：D　演员在t1时刻竖直向上的速度减小，则加速度向下，处于失重状态，A错误；演员在0～t2这段时间内水平方向做匀加速运动；竖直方向做匀减速运动，则合初速度和合加速度一定不共线，则合运动为曲线运动，B错误；演员在0～t3时间内的竖直速度一直不为零，可知t2时刻还没有上升至最高点，C错误；演员在t2～t3时间内水平方向做匀减速运动，竖直方向做匀速运动，可知合运动为匀变速曲线运动，即演员做匀变速曲线运动，D正确。
图甲　 图乙
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5．(2026·昆明一中联考)如图所示，人在岸上拉船靠岸，当轻绳与水平面的夹角为θ时，船的速度大小为v，此时人对绳的拉力大小为F，设船受到的阻力恒定不变，以下说法正确的是(　　)
A．此时，人拉绳的速度为
B．若人拉绳的速度保持不变，船可以匀速靠岸
C．若人对绳的拉力保持不变，船可以匀速靠岸
D．此时，人对绳的拉力的功率为Fv cos θ
D
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解析：D　人拉绳的速度为v绳＝v cos θ，选项A错误；根据v＝，若人拉绳的速度保持不变，由于夹角变大，则船速度增大，选项B错误；若人对绳的拉力保持不变，由于夹角变化，拉力水平分力变化，则船合力不可能始终为零，船不会匀速靠岸，故C错误；此时，人对绳的拉力功率为P＝Fv绳＝Fv cos θ，故D正确。故选D。
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6．(2025·北京市东城区一模)一质量为m的物块在光滑水平面上以速度v0做匀速直线运动。某时刻开始受到与水平面平行的恒力F的作用，之后其速度大小先减小后增大，最小值为。下列图中初速度v0与恒力F夹角正确的是(　　)
D
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解析：D　根据题意物块的速度先减小后增大，可知恒力与速度v0的夹角大于90°，将初速度沿平行F方向和垂直F方向分解，垂直F方向的分速度不变，如图所示，根据几何关系有cos θ＝，可得θ＝60°，则力的方向与初速度方向夹角为60°＋90°＝150°，故选D。
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7．(2025·四川剑州中学月考)一轻杆两端分别固定质量为mA和mB的两个小球A和B(可视为质点)，将其放在一个光滑球形容器中，从位置1开始下滑，如图所示，当轻杆到达位置2时，球A与球形容器球心等高，其速度大小为v1，已知此时轻杆与水平方向夹角为θ＝30°，B球的速度大小为v2，则(　　)
A．v2＝v1 B．v2＝2v1
C．v2＝v1 D．v2＝v1
C　
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2
解析：C　球A与球形容器球心等高，速度v1方向竖直向下，速度分解如图所示，有v11＝v1sin 30°＝v1，球B此时速度方向与杆的夹角为α＝60°，因此v21＝v2cos 60°＝v2，沿杆方向两球速度相等，即v21＝v11，解得v2＝v1，C正确。
8
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1
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2
[能力提升练]
8．(多选)光滑水平面上一运动质点以速度v0通过点O，如图所示，与此同时给质点加上沿x轴正方向的恒力Fx和沿y轴正方向的恒力Fy，则(　　)
A．因为有Fx，质点一定做曲线运动
B．如果FyC．如果Fy＝Fx tan α，质点做直线运动
D．如果Fx>，质点向x轴一侧做曲线运动
CD
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解析：CD　如果Fx、Fy二力的合力沿v0方向，即Fy＝Fx tan α，则质点做直线运动，A错误，C正确；若Fx>，则合力方向在v0与x轴正方向之间，则质点向x轴一侧弯曲而做曲线运动，若Fx<，则合力方向在v0与y轴正方向之间，所以质点必向y轴一侧弯曲而做曲线运动，因不知α的大小，所以只凭Fx、Fy的大小不能确定F合是偏向x轴还是y轴，B错误，D正确。
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9．(2025·湖南卷，2)如图，物块以某一初速度滑上足够长的固定光滑斜面，物块的水平位移、竖直位移、水平速度、竖直速度分别用x、y、vx、vy表示。物块向上运动过程中，下列图像可能正确的是(　　)
C
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解析：C　设斜面倾角为θ，物块的初速度为v0，加速度大小为a，则水平方向上由速度位移公式有(v0cos θ)2－vx2＝2ax cos θ，变形得vx＝，则vx-x图像是抛物线的一部分，A、B错误；同理竖直方向上有(v0sin θ)2－vy2＝2ay sin θ，变形得vy＝，则vy-y图像是抛物线的一部分，C正确，D错误。
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10．(多选)我国少数民族运动会上，设有跑马射箭项目(如图甲所示)，运动员需骑马在直线跑道上奔驰，在指定位置弯弓放箭，射击侧方的固定靶标。如图乙所示，假设无风的天气运动员骑马沿直线跑道奔驰的速度大小与静止时射出弓箭的速度大小相等，弓箭放出时指向固定标靶的速度已知为v，且与直线跑道的夹角为30°，直线跑道到固定靶标的最短距离为d，下列说法正确的是(　　)
图甲　 图乙
BD
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A．运动员射出的弓箭速度的方向与直线跑道的夹角为45°
B．运动员骑马沿直线跑道奔驰的速度大小与静止时射出弓箭的速度大小均为v
C．射出的弓箭发生的位移为d
D．射出的弓箭运动的时间为
图甲　 图乙
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解析：BD　运动员静止时射出的弓箭速度与骑马沿直线跑道奔驰的速度的合速度为v，且两个分速度的大小相等，由速度合成的平行四边形是菱形，结合几何关系可得运动员静止时射出的弓箭速度的方向与合速度v的夹角为30°，与直线跑道的夹角为60°，故A错误；由几何关系可得2v0cos 30°＝v，可得运动员骑马沿直线跑道奔驰的速度大小与静止时射出弓箭的速度大小均为v0＝v，故B正确；射出的弓箭发生的位移为x＝＝2d，故C错误；射出的弓箭运动的时间为t＝，D正确。
图甲　 图乙
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11．(多选)在光滑的水平面内建立如图所示的直角坐标系，长为L的光滑轻质硬细杆AB的两个端点分别被约束在x轴和y轴上，现让杆的A端沿x轴正方向以速度v0匀速运动，已知P点为杆的中点，某时刻杆AB与x轴的夹角为θ。下列说法正确的是(　　)
A．此时，杆B端的速度大小为
B．此时，杆B端的速度大小为v0tan θ
C．P点的运动轨迹是圆的一部分
D．此时，P点的运动速度大小为
ACD
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解析：ACD　如图甲，根据运动的合成与分解，结合矢量合成法则及三角函数，则有vB sin θ＝v0cos θ，得vB＝，故A正确，B错误；设P点坐标为(x，y)，则A、B点的坐标分别为(2x，0)、(0，2y)，AB长度一定，设为L，根据勾股定理，则有(2x)2＋
图甲　　　　图乙
(2y)2＝L2，解得x2＋y2＝，因此P点的运动轨迹是圆的一部分，半径为，故C正确；画出P点的运动轨迹，如图乙，速度v与杆的夹角α＝2θ－90°，由于杆不可以伸长，故P点的速度沿着杆方向的分速度与A点速度沿着杆方向的分速度相等，则v cos α＝v0cos θ，即v cos (2θ－90°)＝v0cos θ，得v＝，故D正确。
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[培优创新练]
12．(多选)(2024·安徽卷，9)一倾角为30°足够大的光滑斜面固定于水平地面上，在斜面上建立Oxy直角坐标系，如图(1)所示。从t＝0开始，将一可视为质点的物块从O点由静止释放，同时对物块施加沿x轴正方向的力F1和F2，其大小与时间t的关系如图(2)所示。已知物块的质量为1.2 kg，重力加速度g取10 m/s2，不计空气阻力。则(　　)
A．物块始终做匀变速曲线运动
B．t＝1 s时，物块的y坐标值为2.5 m
C．t＝1 s时，物块的加速度大小为5 m/s2
D．t＝2 s时，物块的速度大小为10 m/s
图(1)　 图(2)
BD
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解析：BD　由题图(1)知，x方向合力为变力，故物块所受合力为变力，物块做变加速运动，A错误；y方向，由牛顿第二定律得mg sin 30°＝ma，解得a＝5 m/s2，t＝1 s时，物块的y坐标值为y＝at2＝2.5 m，B正确；由题图(2)知，t＝1 s时x方向合力为6 N，加速度为a＝＝5 m/s2，将两个方向的加速度合成可知，此时物块的加速度大小为5 m/s2，C错误；t＝2 s内，x方向，根据动量定理得×(2＋4)×2 N·s＋×2×6 N·s＝mvx，解得vx＝10 m/s，y方向，vy＝at＝
10 m/s，故t＝2 s时，物块的速度为v＝
m/s，D正确。
图(1)　 图(2)
第1讲　曲线运动　运动的合成与分解
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(建议用时：40分钟　满分：66分)
(选择题1～7题每题5分，8～11题每题6分，12题7分，共66分)
[基础巩固练]
1．(2023·辽宁卷，1)某同学在练习投篮，篮球在空中的运动轨迹如图中虚线所示，篮球所受合力F的示意图可能正确的是(　　)
解析：A　篮球做曲线运动，所受合外力指向运动轨迹的凹侧，故A正确。
2．翻滚过山车是大型游乐园里比较刺激的一种娱乐项目。如图所示，翻滚过山车(可看成质点)从高处冲下，过M点时速度方向如图所示，在圆形轨道内经过A、B、C三点。下列说法正确的是(　　)
A．过山车做匀速运动
B．过山车做变速运动
C．过山车受到的合力等于零
D．过山车经过A、C两点时的速度方向相同
解析：B　过山车做曲线运动，其速度方向时刻变化，速度是矢量，故过山车的速度是变化的，即过山车做变速运动，A错误，B正确；过山车做变速运动，即运动状态时刻变化，因此其所受合力一定不为零，C错误；过山车经过A点时速度方向竖直向上，经过C点时速度方向竖直向下，D错误。
3．(2026·北京四中高三开学考)各种大型的货运站中少不了旋臂式起重机，如图所示，该起重机的旋臂保持不动，可沿旋臂“行走”的天车有两个功能，一是吊着货物沿竖直方向运动，二是吊着货物沿旋臂水平运动。现天车吊着货物正在沿水平方向向右匀速行驶，同时又启动天车上的起吊电动机，使货物竖直向上做匀加速运动，此时，我们站在地面上观察到货物运动的轨迹可能是(　　)
解析：B　货物在水平方向上做匀速直线运动，在竖直方向上做匀加速直线运动，根据平行四边形定则，知合速度的方向与合加速度的方向不在同一条直线上，轨迹为曲线，货物的加速度竖直向上，因为加速度的方向大致指向轨迹的凹向，可知B项可能是货物的运动轨迹。故选B。
4．(2025·陕西宝鸡三模)一杂技演员通过传感器将其斜向上的运动速度转化为水平向前的速度vx及竖直向上的速度vy，若它们与运动时间t的关系图像如图甲、乙所示。则下列说法正确的是(　　)
图甲　 图乙
A．演员在t1时刻处于超重状态
B．演员在0～t2这段时间内沿直线飞行
C．演员在t2时刻上升至最高点
D．演员在t2～t3时间内做匀变速曲线运动
解析：D　演员在t1时刻竖直向上的速度减小，则加速度向下，处于失重状态，A错误；演员在0～t2这段时间内水平方向做匀加速运动；竖直方向做匀减速运动，则合初速度和合加速度一定不共线，则合运动为曲线运动，B错误；演员在0～t3时间内的竖直速度一直不为零，可知t2时刻还没有上升至最高点，C错误；演员在t2～t3时间内水平方向做匀减速运动，竖直方向做匀速运动，可知合运动为匀变速曲线运动，即演员做匀变速曲线运动，D正确。
5．(2026·昆明一中联考)如图所示，人在岸上拉船靠岸，当轻绳与水平面的夹角为θ时，船的速度大小为v，此时人对绳的拉力大小为F，设船受到的阻力恒定不变，以下说法正确的是(　　)
A．此时，人拉绳的速度为
B．若人拉绳的速度保持不变，船可以匀速靠岸
C．若人对绳的拉力保持不变，船可以匀速靠岸
D．此时，人对绳的拉力的功率为Fv cos θ
解析：D　人拉绳的速度为v绳＝v cos θ，选项A错误；根据v＝，若人拉绳的速度保持不变，由于夹角变大，则船速度增大，选项B错误；若人对绳的拉力保持不变，由于夹角变化，拉力水平分力变化，则船合力不可能始终为零，船不会匀速靠岸，故C错误；此时，人对绳的拉力功率为P＝Fv绳＝Fv cos θ，故D正确。故选D。
6．(2025·北京市东城区一模)一质量为m的物块在光滑水平面上以速度v0做匀速直线运动。某时刻开始受到与水平面平行的恒力F的作用，之后其速度大小先减小后增大，最小值为。下列图中初速度v0与恒力F夹角正确的是(　　)
解析：D　根据题意物块的速度先减小后增大，可知恒力与速度v0的夹角大于90°，将初速度沿平行F方向和垂直F方向分解，垂直F方向的分速度不变，如图所示，根据几何关系有cos θ＝，可得θ＝60°，则力的方向与初速度方向夹角为60°＋90°＝150°，故选D。
7．(2025·四川剑州中学月考)一轻杆两端分别固定质量为mA和mB的两个小球A和B(可视为质点)，将其放在一个光滑球形容器中，从位置1开始下滑，如图所示，当轻杆到达位置2时，球A与球形容器球心等高，其速度大小为v1，已知此时轻杆与水平方向夹角为θ＝30°，B球的速度大小为v2，则(　　)
A．v2＝v1 B．v2＝2v1
C．v2＝v1 D．v2＝v1
解析：C　球A与球形容器球心等高，速度v1方向竖直向下，速度分解如图所示，有v11＝v1sin 30°＝v1，球B此时速度方向与杆的夹角为α＝60°，因此v21＝v2cos 60°＝v2，沿杆方向两球速度相等，即v21＝v11，解得v2＝v1，C正确。
[能力提升练]
8．(多选)光滑水平面上一运动质点以速度v0通过点O，如图所示，与此同时给质点加上沿x轴正方向的恒力Fx和沿y轴正方向的恒力Fy，则(　　)
A．因为有Fx，质点一定做曲线运动
B．如果FyC．如果Fy＝Fx tan α，质点做直线运动
D．如果Fx>，质点向x轴一侧做曲线运动
解析：CD　如果Fx、Fy二力的合力沿v0方向，即Fy＝Fx tan α，则质点做直线运动，A错误，C正确；若Fx>，则合力方向在v0与x轴正方向之间，则质点向x轴一侧弯曲而做曲线运动，若Fx<，则合力方向在v0与y轴正方向之间，所以质点必向y轴一侧弯曲而做曲线运动，因不知α的大小，所以只凭Fx、Fy的大小不能确定F合是偏向x轴还是y轴，B错误，D正确。
9．(2025·湖南卷，2)如图，物块以某一初速度滑上足够长的固定光滑斜面，物块的水平位移、竖直位移、水平速度、竖直速度分别用x、y、vx、vy表示。物块向上运动过程中，下列图像可能正确的是(　　)
解析：C　设斜面倾角为θ，物块的初速度为v0，加速度大小为a，则水平方向上由速度位移公式有(v0cos θ)2－vx2＝2ax cos θ，变形得vx＝，则vx-x图像是抛物线的一部分，A、B错误；同理竖直方向上有(v0sin θ)2－vy2＝2ay sin θ，变形得vy＝，则vy-y图像是抛物线的一部分，C正确，D错误。
10．(多选)我国少数民族运动会上，设有跑马射箭项目(如图甲所示)，运动员需骑马在直线跑道上奔驰，在指定位置弯弓放箭，射击侧方的固定靶标。如图乙所示，假设无风的天气运动员骑马沿直线跑道奔驰的速度大小与静止时射出弓箭的速度大小相等，弓箭放出时指向固定标靶的速度已知为v，且与直线跑道的夹角为30°，直线跑道到固定靶标的最短距离为d，下列说法正确的是(　　)
图甲　 图乙
A．运动员射出的弓箭速度的方向与直线跑道的夹角为45°
B．运动员骑马沿直线跑道奔驰的速度大小与静止时射出弓箭的速度大小均为v
C．射出的弓箭发生的位移为d
D．射出的弓箭运动的时间为
解析：BD　运动员静止时射出的弓箭速度与骑马沿直线跑道奔驰的速度的合速度为v，且两个分速度的大小相等，由速度合成的平行四边形是菱形，结合几何关系可得运动员静止时射出的弓箭速度的方向与合速度v的夹角为30°，与直线跑道的夹角为60°，故A错误；由几何关系可得2v0cos 30°＝v，可得运动员骑马沿直线跑道奔驰的速度大小与静止时射出弓箭的速度大小均为v0＝v，故B正确；射出的弓箭发生的位移为x＝＝2d，故C错误；射出的弓箭运动的时间为t＝，D正确。
11．(多选)在光滑的水平面内建立如图所示的直角坐标系，长为L的光滑轻质硬细杆AB的两个端点分别被约束在x轴和y轴上，现让杆的A端沿x轴正方向以速度v0匀速运动，已知P点为杆的中点，某时刻杆AB与x轴的夹角为θ。下列说法正确的是(　　)
A．此时，杆B端的速度大小为
B．此时，杆B端的速度大小为v0tan θ
C．P点的运动轨迹是圆的一部分
D．此时，P点的运动速度大小为
解析：ACD　如图甲，根据运动的合成与分解，结合矢量合成法则及三角函数，则有vB sin θ＝v0cos θ，得vB＝，故A正确，B错误；设P点坐标为(x，y)，则A、B点的坐标分别为(2x，0)、(0，2y)，AB长度一定，设为L，根据勾股定理，则有(2x)2＋(2y)2＝L2，解得x2＋y2＝，因此P点的运动轨迹是圆的一部分，半径为，故C正确；画出P点的运动轨迹，如图乙，速度v与杆的夹角α＝2θ－90°，由于杆不可以伸长，故P点的速度沿着杆方向的分速度与A点速度沿着杆方向的分速度相等，则v cos α＝v0cos θ，即v cos (2θ－90°)＝v0cos θ，得v＝，故D正确。
图甲　　　　　　　　图乙
[培优创新练]
12．(多选)(2024·安徽卷，9)一倾角为30°足够大的光滑斜面固定于水平地面上，在斜面上建立Oxy直角坐标系，如图(1)所示。从t＝0开始，将一可视为质点的物块从O点由静止释放，同时对物块施加沿x轴正方向的力F1和F2，其大小与时间t的关系如图(2)所示。已知物块的质量为1.2 kg，重力加速度g取10 m/s2，不计空气阻力。则(　　)
图(1)　 图(2)
A．物块始终做匀变速曲线运动
B．t＝1 s时，物块的y坐标值为2.5 m
C．t＝1 s时，物块的加速度大小为5 m/s2
D．t＝2 s时，物块的速度大小为10 m/s
解析：BD　由题图(1)知，x方向合力为变力，故物块所受合力为变力，物块做变加速运动，A错误；y方向，由牛顿第二定律得mg sin 30°＝ma，解得a＝5 m/s2，t＝1 s时，物块的y坐标值为y＝at2＝2.5 m，B正确；由题图(2)知，t＝1 s时x方向合力为6 N，加速度为a＝＝5 m/s2，将两个方向的加速度合成可知，此时物块的加速度大小为5 m/s2，C错误；t＝2 s内，x方向，根据动量定理得×(2＋4)×2 N·s＋×2×6 N·s＝mvx，解得vx＝10 m/s，y方向，vy＝at＝10 m/s，故t＝2 s时，物块的速度为v＝ m/s，D正确。

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