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(共74张PPT)
第2讲　抛体运动
1.掌握平抛运动的规律，学会处理斜面或圆弧面约束下的平抛运动问题。2.学会运用运动的合成与分解处理斜抛运动问题。3.会处理平抛运动中的临界、极值问题。
目标
要求
1
强基础 固本增分
2
研考点 精准突破
3
限时规范训练
栏
目
导
引
强基础
固本增分
一、平抛运动
1．定义：以一定的初速度沿水平方向抛出的物体只在_____作用下的运动。
2．性质：平抛运动是加速度为g的______曲线运动，其运动轨迹是______。
3．研究方法：化曲为直
(1)水平方向：________运动；
(2)竖直方向：________运动。
重力
匀变速
抛物线
匀速直线
自由落体
4．基本规律：以抛出点为坐标原点，水平初速度v0方向为x轴正方向，竖直向下的方向为y轴正方向，建立如图所示的坐标系，在该坐标系下，对任一时刻t，有：
(1)位移：分位移x＝___，y＝_______；
合位移x合＝＝_____________________tan φ＝_____，φ为合位移与x轴的夹角。
(2)速度：分速度vx＝___，vy＝___；
合速度v＝，tan θ＝_____，θ为合速度v与x轴的夹角。
v0t
v0
gt
二、斜抛运动
1．定义：将物体以初速度v0________或斜向下方抛出，物体只在____作用下的运动。
2．性质：斜抛运动是加速度为g的______曲线运动，运动轨迹是______。
3．研究方法：运动的合成与分解
(1)水平方向：____直线运动。
(2)竖直方向：______直线运动。
斜向上方
重力
匀变速
抛物线
匀速
匀变速
1．判断正误
(1)以一定的初速度水平抛出的物体的运动是平抛运动。( )
(2)平抛运动的轨迹是抛物线，速度方向时刻变化，加速度方向也可能时刻变化。( )
(3)从同一高度做平抛运动的物体初速度越大，落地时速度越大。( )
(4)平抛运动的时间由高度决定。( )
(5)斜抛运动是匀变速曲线运动。( )
×
√
×
√
√
2．(2024·江苏卷，4)喷泉a、b形成如图所示的形状，不计空气阻力，则喷泉a、b的(　　)
A．加速度相同
B．初速度相同
C．最高点的速度相同
D．在空中的时间相同
A
解析：A　不计空气阻力，喷泉喷出的水在空中只受重力作用，加速度均为重力加速度，A正确；设喷泉喷出的水竖直方向的分速度为vy，水平方向的分速度为vx，最高点的高度为h，根据对称性可知在空中运动的时间t＝2，则tb>ta，D错误；最高点的速度等于水平方向的分速度vx＝，由于水平方向的位移大小关系未知，故无法判断最高点的速度大小关系，根据速度的合成可知，无法判断初速度的大小，B、C错误。
3．(人教版教材原题改编)如图，在跨越河流表演中，一人骑车以v0＝25 m/s的速度水平冲出平台，恰好跨越宽度为d＝25 m的河流落在河对岸平台上，不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2，则两平台的高度差h为
(　　)
A．0.5 m B．5 m
C．10 m D．20 m
解析：B　水平方向d＝v0t，竖直方向h＝gt2，代入数据得h＝5 m，B正确。
B
研考点
精准突破
考点一　平抛运动的基本规律
考向1　单物体平抛问题
(2024·湖北卷，3)如图所示，有五片荷叶伸出荷塘水面，一只青蛙要从高处荷叶跳到低处荷叶上，设低处荷叶a、b、c、d和青蛙在同一竖直平面内，a、b高度相同，c、d高度相同，a、b分别在c、d正上方。将青蛙的跳跃视为平抛运动，若以最小的初速度完成
跳跃，则它应跳到(　　)
A．荷叶a B．荷叶b
C．荷叶c D．荷叶d
C　
解析：C　青蛙做平抛运动，竖直方向有h＝gt2，水平位移设为x，则初速度v＝，若以最小的初速度完成跳跃，即v最小，则应该使x最小、h最大，故青蛙应跳到荷叶c上，C正确。
归纳总结
(1)飞行时间取决于下落高度h。
(2)水平位移由初速度v0和下落高度h共同决定。
(3)速度改变量Δv：
在任意相等时间间隔Δt内，Δv＝gΔt相同。
ACD
考向2　多物体平抛运动
(多选)如图所示，x轴在水平地面上，y轴沿竖直方向。图中画出了从y轴上不同位置沿x轴正方向水平抛出的三个小球a、b和c的运动轨迹。小球a从(0，2L)处抛出，落在(2L，0)处；小球b、c从(0，L)处抛出，分别落在(2L，0)和(L，0)处。不计空气阻力，下列说法正确的是(　　)
A．b和c的运动时间相同
B．a的运动时间是b的两倍
C．a和b的加速度相同
D．b的初速度是c的两倍
解析：ACD　b、c抛出时的高度相同，且小于a抛出时的高度，根据h＝gt2可知b、c的运动时间相同，a的运动时间是b的运动时间的倍，A正确，B错误；由于a和b都做平抛运动，只受竖直方向的重力作用，故a和b的加速度相同，C正确；b、c的运动时间相同，b的水平位移是c的水平位移的两倍，则b的初速度是c的两倍，D正确。
考向3　平抛运动推论的应用
(多选)(2025·辽宁朝阳高三质检)投壶是古代士大夫所做的一种投射游戏。《礼记传》中提到：“投壶，射之细也。宴饮有射以乐宾，以习容而讲艺也。”若甲、乙两人站在距壶相同水平距离处沿水平方向各投出一支完全相同的箭，箭尖插入同一个壶中时与水平面的夹角分别为53°和37°，忽略空气阻力、箭长、壶的高度、壶口大小等因素的影响，下列说法正确的是(　　)
A．甲所投箭的初速度大小比乙的大
B．甲所投箭的位置比乙所投箭的位置高
C．甲、乙所投的箭在空中运动的时间相等
D．此运动过程中，甲所投箭的速度的变化量比乙大
图甲　　 图乙
BD
解析：BD　设箭抛出点离壶口的竖直高度为h，
水平距离为x，箭尖插入壶中时与水平面的夹角
为θ。箭在空中做平抛运动，根据平抛运动的推
论，速度的反向延长线过水平位移的中点，可知tan θ＝，x相同，θ越大，h越大，则可知甲所投箭的位置比乙的高，根据h＝gt2可知，甲所投的箭在空中运动的时间比乙的长，故B正确，C错误；x相等，甲所投的箭在空中运动的时间比乙的长，由x＝v0t，可知，则甲所投箭的初速度大小比乙的小，故A错误；速度变化量Δv＝gt，甲所投的箭在空中运动的时间比乙的长，则甲所投箭的速度变化量比乙的大，故D正确。
图甲　　 图乙
归纳总结
(1)做平抛运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，即xB＝，如图所示。
(2)做平抛运动的物体在任意时刻任意位置处，有tan θ＝2tan α。
考向4　类平抛运动
(多选)(2025·江西临川一中质检)一足够大且光滑的矩形斜面，倾角为θ，高为h，现有一小球在A处沿平行于底边的初速度v0滑上斜面，最后从B处离开斜面。已知重力加速度大小为g。下列说法正确的是(　　)
A．小球的运动轨迹为抛物线
B．小球的加速度大小为g sin θ
C．小球从A处到达B处所用的时间为
D．小球从A处到达B处的位移大小为
ABC
解析：ABC　小球受重力和支持力两个力作用，合力沿斜面向下，与初速度方向垂直，小球做类平抛运动，其运动轨迹为抛物线，故A正确；根据牛顿第二定律有mg sin θ＝ma，解得a＝g sin θ，故B正确；由几何关系得，小球沿加速度方向上的位移为y0＝，根据匀变速直线运动位移与时间的关系有y0＝at2，解得t＝，故C正确；小球沿初速度方向的位移为x0＝v0t＝，则小球从A处到达B处的
位移大小为x＝＝ ，故D错误。
求解方法
(1)常规分解法：将类平抛运动沿初速度方向和垂直于初速度方向(即沿合外力的方向)分解。
(2)特殊分解法：过抛出点建立适当的直角坐标系，将加速度a分解为ax、ay，初速度v0分解为vx、vy。
考点二　有约束条件的平抛运动模型
考向1　斜面约束的平抛运动
(多选)如图所示，固定斜面PO、QO与水平面MN的夹角均为45°，现由PO斜面上的A点分别以v1、v2先后沿水平方向抛出两个小球(可视为质点)，不计空气阻力，其中以v1抛出的小球恰能垂直于QO落于C点，飞行时间为t，以v2抛出的小球落在PO斜面上的B点，且B、C在同一水平面上，则(　　)
A．落于B点的小球飞行时间为t
B．v2＝gt
C．落于C点的小球的水平位移为gt2
D．A点距水平面MN的高度为gt2
ACD
解析：ACD　落于C点的小球速度方向垂直于QO，则两分速度大小相等，即v1＝gt，得出水平位移x＝v1t＝gt2，C正确；落于B点的小球分解位移如图所示，其中，B、C在同一水平面上，故两小球飞行时间都为t，由图可得tan45°＝，所以v2＝，A正确，B错误；设C点距水平面MN的高度为h，由几何关系知x＝2h＋v2t，可得h＝gt2，故A点距水平面MN的高度H＝h＋gt2，D正确。
关键信息
(1)小球恰能垂直于QO落于C点，则此时小球的两分速度大小相等。
(2)两小球的落点B、C在同一水平面上，则飞行时间相等。
(3)两小球的水平分位移的差值与B、C两点的距离相等。
[拓展]　在[例5]中，若落在PO斜面上的小球，沿水平方向飞出的速度变为原来的一半，则小球在空中飞行时间变为原来的多少倍？
提示：由[例5]可得t＝，可知t∝v2，故在空中飞行时间变为原来的。
考向2　曲面约束的平抛运动
如图所示，一小球从一半圆轨道左端A点正上方某处开始做平抛运动(小球可视为质点)，飞行过程中恰好与半圆轨道相切于B点，O为半圆轨道圆心，半圆轨道半径为R，OB与水平方向的夹角为60°，重力加速度为g，不计空气阻力，则小球抛出时的初速度为(　　)
A. B.
C．
A
解析：A　小球飞行过程中恰好与半圆轨道相切于B点，可知小球运动到B点时速度方向与水平方向的夹角为30°，设位移方向与水平方向的夹角为θ，则tan θ＝，由tan θ＝，可得竖直方向的位移y＝R，而vy2＝2gy，tan 30°＝，联立解得v0＝，选项A正确，B、C、D错误。
(1)灵活运用平抛运动的位移和速度分解方法。
(2)曲面约束类平抛运动要灵活应用平抛运动的推论。
如图所示，半径为R的半球形碗固定于水平面上，碗口水平，O点为碗的圆心，A、B为水平直径的两个端点。将一弹性小球(可视为质点)从A点沿AB方向以初速度v1水平抛出，小球与碗内壁碰撞一次后恰好经过B点；若将该小球从离O点R处的C点以初速度v2水平抛出，小球与碗内壁碰撞一次后恰好返回C点。假设小球与碗内壁碰撞前后瞬间小球的切向速度不变，沿半径方向的速度等大反向，则v2与v1的比值为(　　)
A．2
C．
B
解析：B　小球从A点以初速度v1向右平抛，反弹后经过B点，由对称性知小球与碗内壁的碰撞点应在碗的最低点，由平抛运动的规律有R＝v1t1，R＝gt12，解得v1＝；小球从C点以初速度v2向右平抛，要使小球能反弹回C点，小球必须垂直打在圆弧上，如图所示，设碰撞点为D，连接OD，即为平抛轨迹过D点的切线，过D点作DE⊥AB于E，则O为小球平抛水平位移的中点，有ED＝gt22，CO＝OE＝v2t2，
在Rt△ODE中，有(ED)2＋(OE)2＝R2，解得v2＝
，可得，故选B。
[归纳总结]　常见约束类型示例
运动情景 物理量分析
vy＝gt，tan θ＝→t＝
tan θ＝→t＝
tan θ＝→t＝
运动情景 物理量分析
x＝v0t，y＝gt2→tan θ＝→t＝
落到斜面上时合速度与水平方向的夹角为φ，tan φ＝＝2tan θ，α＝φ－θ
在半圆内的平抛运动，h＝
考点三　斜抛运动
(多选)(2024·江西卷，8)一条河流某处存在高度差，小鱼从低处向上跃出水面，冲到高处。如图所示，以小鱼跃出水面处为坐标原点，x轴沿水平方向，建立坐标系，小鱼的初速度为v0，末速度v沿x轴正方向。在此过程中，小鱼可视为质点且只受重力作用。关于小鱼的水平位置x、竖直位置y、水平方向分速度vx和竖直方向分速度vy与时间t的关系，下列图像可能正确的是(　　)
AD
解析：AD　小鱼做斜抛运动，在水平方向不受力，vx＝vx0不变，x＝vx·t，故A正确，C错误。在竖直方向，y＝vy0t－gt2，vy＝vy0－gt，则y-t图像应为开口向下的抛物线，vy-t图像应为斜向右下的直线，故B错误，D正确。
(1)斜上抛运动从抛出点到最高点的运动，可逆过程分析为平抛运动。
(2)分析完整的斜上抛运动，可根据对称性求解。
[归纳总结]　斜抛运动的射高和射程
(1)斜抛运动的飞行时间：t＝。
(2)射高：h＝。
(3)射程：s＝v0cosθ·t＝，对于给定的v0，当θ＝45°时，射程达到最大值，smax＝。
(2025·辽宁本溪一模)如图所示，一球门高1.8 m，宽3 m。在某次比赛中，一同学在球门前2.0 m处的O点将球射向球门，球在运动的最高点恰好击中球门横梁中点P。足球经过横梁反弹后，垂直CD的速度分量大小变为原来的，平行CD的速度分量不变，落在Q点。已知BO垂直AB，球的质量为0.4 kg，重力加速度g取10 m/s2，不计空气阻力，则下列说法正确的是(　　)
A．球在O点的初速度大小为 m/s
B．在Q点落地时的速度大小为2.5 m/s
C．落地点Q与门线AB的距离为1.5 m
D．足球由O运动到P点的时间大于由P运动到Q点的时间
C
解析：C　从O点到P点，根据平抛运动的逆向思维有vy2＝2gh，h＝ m＝vxt，联立解得vx＝ m/s，vy＝6 m/s，则足球在O点的初速度大小为v0＝ m/s，故A错误；足
球经过横梁反弹后，垂直CD的速度分量大小变为原来的倍，平行CD的速度分量不变，设碰时速度与CD夹角为θ，根据几何关系tan θ＝，
则有v⊥＝＝m/s，v∥＝vx cos θ＝m/s，vx′＝ m/s，落地竖直方向有h＝gt2，vy＝gt，则足球在Q点落地时的速度大小为v′＝ m/s，故B错误；反弹后速度
垂直CD的分速度大小为2.5 m/s，下落时间为0.6 s，
则落地点Q与门线AB的距离为x⊥＝v⊥t＝2.5×0.6 m
＝1.5 m，故C正确；竖直方向根据对称性可知，足
球由O点运动到P点的时间等于由P运动到Q点的时间，故D错误。
素养拓展　抛体运动中的临界极值问题
1．临界点的确定
(1)若题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼，明显表明题述的过程中存在着临界点。
(2)若题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，表明题述的过程中存在着“起止点”，而这些“起止点”往往就是临界点。
(3)若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明题述的过程中存在着极值点，这些极值点也往往是临界点。
2．求解平抛运动临界问题的一般思路
(1)找出临界状态对应的临界条件。
(2)分解速度或位移。
(3)若有必要，画出临界轨迹。
(2025·湖北卷，6)某网球运动员两次击球时，击球点离网的水平距离均为L，离地高度分别为、L，网球离开球拍瞬间的速度大小相等，方向分别斜向上、斜向下，且与水平方向夹角均为θ。击球后网球均刚好直接掠过球网，运动轨迹平面与球网垂直，忽略空气阻力，tan θ的值为
(　　)
A．
C．
C
解析：C　根据题意可画出示意图如图所示，设球网的高度为h，对于斜向下击出的网球：在水平方向有L＝v0t1cos θ，竖直方向有L－h＝v0t1sin θ＋gt12；对于斜向上击出的网球：在水平方向有L＝v0t2cos θ，竖直方向有－h＝－v0t2sin θ＋gt22；联立可得t1＝t2，2v0t1sin θ＝，结合L＝v0t1cos θ，可得tan θ＝，故C正确，A、B、D错误。
(经典高考题)一带有乒乓球发射机的乒乓球台如图所示。水平台面的长和宽分别为L1和L2，中间球网高度为h。发射机安装于台面左侧边缘的中点，能以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓球，发射点距台面高度为3h。不计空气的作用，重力加速度大小为g。若乒乓球的发射速率v在某范围内，通过选择合适的方向，就能使乒乓球落到球网右侧台面上，则v的取值范围是(　　)
A．C．D
[思维导引]　解此题的关键是正确判断如图所示的临界关系
最大水平位移为 擦网而过对应最小发射速度
解析：D　乒乓球做平抛运动，落到右侧台面上时经历的时间t1满足3h＝gt12；当v取最大值时其水平位移最大，落点应在右侧台面的台角处，有vmaxt1＝ ，解得vmax＝；当v取最小值时其水平位移最小，发射方向沿正前方且恰好擦网而过，此时有3h－h＝＝vmint2，解得vmin＝，D正确。
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2
限时规范
训练(20)　抛体运动
(建议用时：40分钟　满分：70分)
(选择题1～7题每题5分，8～10题每题6分，12题7分，共60分)
[基础巩固练]
1．(2026·重庆一中高三开学考)如图所示，投出去的标枪做曲线运动，忽略空气阻力，关于标枪在空中的运动说法正确的是(　　)
A．标枪升到最高点时速度为零
B．标枪的加速度是变化的
C．标枪在相同时间内速度变化量相同
D．标枪的运动是变加速曲线运动
C
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1
2
解析：C　标枪出手后做斜抛运动，水平方向做匀速直线运动，竖直方向做竖直上抛运动，故标枪升到最高点时竖直方向速度为零，但水平方向速度不为零，故最高点时速度不为零，故A错误；忽略空气阻力，标枪出手后只受重力，加速度为重力加速度不变，故B错误；标枪出手后只受重力，标枪的加速度恒定，根据Δv＝gΔt，在相同时间内速度变化量相同，故C正确；标枪的运动是加速度不变的曲线运动，是匀变速运动，故D错误。故选C。
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2．(2025·云南卷，3)如图所示，某同学将两颗鸟食从O点水平抛出，两只小鸟分别在空中的M点和N点同时接到鸟食。鸟食的运动视为平抛运动，两运动轨迹在同一竖直平面内，则(　　)
A．两颗鸟食同时抛出
B．在N点接到的鸟食后抛出
C．两颗鸟食平抛的初速度相同
D．在M点接到的鸟食平抛的初速度较大
D
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解析：D　由题图可知，两平抛运动的高度关系为hOMv0ON′，即v0OM>v0ON，在M点接到的鸟食平抛的初速度较大，C错误，D正确。
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3．(2024·浙江1月选考，8)如图所示，小明取山泉水时发现水平细水管到水平地面的距离为水桶高的两倍，在地面上平移水桶，水恰好从桶口中心无阻挡地落到桶底边沿A。已知桶高为h，直径为D，重力加速度为g，则水离开出水口的速度大小为(　　)
A． B．
C． D．D
C
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解析：C　由平抛运动规律得，水在桶中运动时间为t＝＝v0t，联立解得水离开出水口的速度大小为v0＝，C正确。
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4．(2025·江西九江二模)如图所示，某同学在同一位置先后水平抛出一物体，第一次落在甲点，第二次落在乙点，不计空气阻力，则(　　)
A．抛出时速度关系v1>v2
B．抛出后加速度关系a1>a2
C．抛出后位移关系s1>s2
D．抛出后时间关系t1>t2
D
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1
解析：D　物体做平抛运动，竖直方向有h＝gt2，由于h1>h2，可得t1>t2，水平方向有x＝v0t，由于x1h2，则无法确定抛出后的位移大小关系，故C错误。故选D。
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5．(2025·湖北重点中学高三联考)将小球从斜面上的A点以不同速度抛出，第一次水平抛出速度大小为v1；第二次垂直斜面抛出速度大小为v2，运动过程中不计空气阻力，最终小球都落在斜面上的B点，运动轨迹如图甲、乙所示。已知斜面倾角为45°，两次运动时间分别是t1、t2，则
(　　)
A． B.
C. D.
图甲 图乙
B
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解析：B　水平方向x＝v1t1＝v2cos 45°t2，竖直方向y＝gt12＝－v2sin 45°t2＋gt22，同时满足tan 45°＝，联立解得＝1，故选B。
图甲 图乙
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6．如图所示，在竖直平面内有一曲面，曲面满足的数学关系式为y＝x2(x＞0)，在y轴上有一点P，坐标为(0，6 m)。从P点将一可看成质点的小球水平抛出，初速度为1 m/s。则小球第一次打在曲面上的时间为(不计空气阻力，g取10 m/s2)(　　)
A．1 s B． s
C． s D． s
A
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解析：A　设小球经过时间t打在曲面上M点，M点坐标为(x1，y1)，小球水平抛出后做平抛运动，在水平方向上，有x1＝v0t，在竖直方向上，有6 m－y1＝gt2，又小球打在曲面上，则满足数学关系式y1＝x12，代入数据联立解得t＝1 s，故A正确，B、C、D错误。
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2
7．(2026·安徽县中联盟高三开学考)晓强在练习投篮。篮球出手瞬间的速度与水平方向的夹角为α＝37°，结果篮球刚好垂直地击中篮板(竖直)，击中篮板点到地面的距离为H＝3.2 m，篮球与篮板碰后瞬间的速度变为碰前的，篮球的落地点到篮板的水平距离为x＝4.0 m，重力加速度为g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6。忽略空气的阻力及篮球大小。则篮球出手瞬间的速度大小为(　　)
A． m/s B． m/s
C．5 m/s D．4 m/s
A
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2
解析：A　由分析可知篮球与篮板碰后将做平抛运动，下落的高度为H＝3.2 m，水平位移为x＝4.0 m。设其下落时间为t，根据竖直方向自由落体运动的位移公式有H＝gt2，解得t＝＝ s＝0.8 s，水平方向做匀速直线运动，设篮球与篮板碰后瞬间的速度为v，则有v＝ m/s＝5 m/s，已知篮球与篮板碰后瞬间的速度变为碰前的， 设篮球与篮板碰前瞬间的速度为vx，则有vx＝v，解得篮球与篮板碰前瞬间的速度为vx＝×5 m/s＝ m/s，篮球出手后做的是斜抛运动，篮球垂直击中篮板，说明此时速度方向水平，竖直分速度为零。设篮球出手的速度为v0，则有v0cos 37°＝vx＝ m/s，解得篮球出手的速度为v0＝ m/s，故选A。
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[能力提升练]
8．(2026·福州高三第一次质检)如图甲，一同学练习投篮。以篮球(视为质点)抛出时刻为计时起点，篮球的水平初速度为vx，竖直分位移为y， -t图像如图乙所示(图中b、t1均已知)。不计空气阻力，则篮球(　　)
A．在t1时刻运动到最高点
B．在竖直方向的加速度大小为
C．抛出时的初速度大小为
D．上升的最大高度等于图乙中图线与
坐标轴围成的面积
图甲　　　　　　图乙
C
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解析：C　不计空气阻力，竖直方向上，篮球做竖直上抛运动，则有y＝vyt－gt2，可得gt，由图乙可知vy＝b，，可得篮球在竖直方向的加速度大小为g＝，篮
图甲　　　　图乙
球抛出时的初速度大小为v0＝，故B错误，C正确；篮球运动最高点的时刻为t＝，故A错误；上升的最大高度为hm＝，图乙中图线与坐标轴围成的面积为S＝bt1，故D错误。故选C。
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9．(2025·四川绵阳高三诊断)如图所示，一竖直圆弧形槽固定于水平地面上，O为圆心，AB为沿水平方向的直径。若在A点以初速度v1沿AB方向平抛一小球，小球将击中槽壁上的最低点D；若A点小球抛出的同时，在C点以初速度v2沿BA方向平抛的另一相同质量的小球也能击中D点，已知∠COD＝60°，且不计空气阻力，则(　　)
A．两小球同时落到D点
B．两小球初速度大小之比为∶3
C．两小球落到D点时的速度方向与OD线夹角相等
D．两小球落到D点时的瞬时速率之比为∶1
B
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解析：B　由于A、C两点到D点的竖直高度不同，两
球在空中运动时间不同，又两小球同时抛出，故两小
球不会同时落到D点，选项A错误；设圆弧形槽半径为
R，对从A点抛出的小球，R＝v1tA，R＝gtA2，则v1＝
，对从C点抛出的小球，R sin 60°＝v2tC，R－R cos 60°＝gtC2，则v2＝，则v1∶v2＝∶3，选项B正确；设在D点速度方向与OD线
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夹角为θ，竖直分速度为vy，水平分速度为v0，则tan θ＝，由v1∶v2＝∶3和vy1∶vy2＝tA∶tC＝∶1知tan θ1≠tan θ2，选项C错误；设从A、C两点抛出的小球落到D点时的瞬时速率分别为vA、vC，vA＝＝ ＝ ，则vA∶vC＝
∶，选项D错误。
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10．如图所示，运动员将网球在边界A处正上方B点水平向右击出，恰好过网的上边沿上的C点落在D点，不计空气阻力，已知AB＝h1，网高h2＝h1，A点与球网之间的垂直距离为x，重力加速度为g。下列说法正确的是(　　)
A．落点D与网之间的垂直距离为x
B．网球的初速度大小为x
C．若击球高度低于h1，球不可能落在对方界内
D．若保持击球高度不变，球的初速度v0只要不大于，球一定落在对方界内
C
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解析：C　因为h1－h2＝h1，由h＝gt2可
知，，由x＝v0t可知，其中x1
为B、D两点间的水平距离，则落点D与网之间的垂直距离x2＝x，选项A错误；球从B到D的过程中，由h1＝x＝v0t1得v0＝x ，选项B错误；降低击球高度(仍大于h2)，同时调整初速度的大小，会有一临界高度h′，此时球刚好过网又刚好压界，有h′－h2＝，h′＝
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，又h2＝h1，联立解得h′＝h1，
若击球高度小于该临界高度，球不可能落
到对方界内，选项C正确；若保持击球高度不变，要想球落在对方界内，既不能出界，又能过网，根据h1＝gt12，得t1＝ ，则球的最大初速度v0max＝，由h1－h2＝gt22，得t2＝，则球的最小初速度v0min＝，选项D错误。
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11．(10分)(2025·河北邢台二中模拟)如图所示，水平屋顶高H＝5 m，围墙(厚度不计)高h＝3.2 m，围墙到房子的水平距离L＝3 m，围墙外空地宽x＝10 m。为使小球从屋顶水平飞出落在围墙外的空地上，重力加速度g取10 m/s2，求：
(1)小球离开屋顶时的速度v0的大小范围；
(2)小球落在空地上的最小速度。
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解析：(1)设小球恰好落到空地的右侧边缘时的水平初速度为v01，则小球的水平位移L＋x＝v01t1
小球的竖直位移H＝gt12
联立解得v01＝13 m/s
设小球恰好越过围墙边缘时的水平初速度为v02，则小球的水平位移L＝v02t2
小球的竖直位移H－h＝ gt22
解得v02＝5 m/s
故小球抛出时的速度大小范围为5 m/s≤v0≤13 m/s。
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(2)小球落在空地上，下落高度一定，落地时的竖直分速度一定，当小球恰好越过围墙的边缘落在空地上时，落地速度最小。竖直方向有vy2＝2gH
又vmin＝
解得vmin＝5 m/s。
答案：(1)5 m/s≤v0≤13 m/s　(2)5 m/s
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[培优创新练]
12．(多选)(2024·山东卷，12)如图所示，工程队向峡谷对岸平台抛射重物，初速度v0大小为20 m/s，与水平方向的夹角为30°，抛出点P和落点Q的连线与水平方向夹角为30°，重力加速度大小取10 m/s2，忽略空气阻力。重物在此运动过程中，下列说法正确的是(　　)
A．运动时间为2 s
B．落地速度与水平方向夹角为60°
C．重物离PQ连线的最远距离为10 m
D．轨迹最高点与落点的高度差为45 m
BD
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解析：BD　对重物从P运动到Q的过程，水平方向上有x＝v0t cos 30°，竖直方向上有y＝y＝－v0t sin 30°gt2，由几何关系有＝tan 30°，联立解得重物的运动时间t＝4 s，A错误；结合A项分析可知，重物落地时的水平分速度vx＝v0cos 30°，竖直分速度vy＝－v0sin 30°＋gt，则tan θ＝所以重物的落地
速度与水平方向夹角为60°，B正确；对重物从P运动到Q的过程，垂直于PQ连线方向有2ghmcos 30°＝(v0sin 60°)2，解得重物离PQ连线的最远距离hm＝10 m，C错误；结合B项分析，竖直方向上有2gym＝vy2，联立解得重物轨迹最高点与落点的高度差ym＝45 m，D正确。
第2讲　抛体运动
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目标 要求 　 　 1.掌握平抛运动的规律，学会处理斜面或圆弧面约束下的平抛运动问题。2.学会运用运动的合成与分解处理斜抛运动问题。3.会处理平抛运动中的临界、极值问题。
一、平抛运动
1．定义：以一定的初速度沿水平方向抛出的物体只在_重力作用下的运动。
2．性质：平抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，其运动轨迹是抛物线。
3．研究方法：化曲为直
(1)水平方向：匀速直线运动；
(2)竖直方向：自由落体运动。
4．基本规律：以抛出点为坐标原点，水平初速度v0方向为x轴正方向，竖直向下的方向为y轴正方向，建立如图所示的坐标系，在该坐标系下，对任一时刻t，有：
(1)位移：分位移x＝v0t，y＝；
合位移x合＝＝，tan φ＝，φ为合位移与x轴的夹角。
(2)速度：分速度vx＝v0，vy＝gt；
合速度v＝，tan θ＝，θ为合速度v与x轴的夹角。
二、斜抛运动
1．定义：将物体以初速度v0斜向上方或斜向下方抛出，物体只在重力作用下的运动。
2．性质：斜抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线。
3．研究方法：运动的合成与分解
(1)水平方向：匀速直线运动。
(2)竖直方向：匀变速直线运动。
1．判断正误
(1)以一定的初速度水平抛出的物体的运动是平抛运动。(×)
(2)平抛运动的轨迹是抛物线，速度方向时刻变化，加速度方向也可能时刻变化。(×)
(3)从同一高度做平抛运动的物体初速度越大，落地时速度越大。(√)
(4)平抛运动的时间由高度决定。(√)
(5)斜抛运动是匀变速曲线运动。(√)
2．(2024·江苏卷，4)喷泉a、b形成如图所示的形状，不计空气阻力，则喷泉a、b的(　　)
A．加速度相同
B．初速度相同
C．最高点的速度相同
D．在空中的时间相同
解析：A　不计空气阻力，喷泉喷出的水在空中只受重力作用，加速度均为重力加速度，A正确；设喷泉喷出的水竖直方向的分速度为vy，水平方向的分速度为vx，最高点的高度为h，根据对称性可知在空中运动的时间t＝2，则tb>ta，D错误；最高点的速度等于水平方向的分速度vx＝，由于水平方向的位移大小关系未知，故无法判断最高点的速度大小关系，根据速度的合成可知，无法判断初速度的大小，B、C错误。
3．(人教版教材原题改编)如图，在跨越河流表演中，一人骑车以v0＝25 m/s的速度水平冲出平台，恰好跨越宽度为d＝25 m的河流落在河对岸平台上，不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2，则两平台的高度差h为(　　)
A．0.5 m B．5 m
C．10 m D．20 m
解析：B　水平方向d＝v0t，竖直方向h＝gt2，代入数据得h＝5 m，B正确。
考点一　平抛运动的基本规律
考向1　单物体平抛问题
　(2024·湖北卷，3)如图所示，有五片荷叶伸出荷塘水面，一只青蛙要从高处荷叶跳到低处荷叶上，设低处荷叶a、b、c、d和青蛙在同一竖直平面内，a、b高度相同，c、d高度相同，a、b分别在c、d正上方。将青蛙的跳跃视为平抛运动，若以最小的初速度完成跳跃，则它应跳到(　　)
A．荷叶a B．荷叶b
C．荷叶c D．荷叶d
解析：C　青蛙做平抛运动，竖直方向有h＝gt2，水平位移设为x，则初速度v＝，若以最小的初速度完成跳跃，即v最小，则应该使x最小、h最大，故青蛙应跳到荷叶c上，C正确。
归纳总结
(1)飞行时间取决于下落高度h。
(2)水平位移由初速度v0和下落高度h共同决定。
(3)速度改变量Δv：
在任意相等时间间隔Δt内，Δv＝gΔt相同。
考向2　多物体平抛运动
　(多选)如图所示，x轴在水平地面上，y轴沿竖直方向。图中画出了从y轴上不同位置沿x轴正方向水平抛出的三个小球a、b和c的运动轨迹。小球a从(0，2L)处抛出，落在(2L，0)处；小球b、c从(0，L)处抛出，分别落在(2L，0)和(L，0)处。不计空气阻力，下列说法正确的是(　　)
A．b和c的运动时间相同
B．a的运动时间是b的两倍
C．a和b的加速度相同
D．b的初速度是c的两倍
解析：ACD　b、c抛出时的高度相同，且小于a抛出时的高度，根据h＝gt2可知b、c的运动时间相同，a的运动时间是b的运动时间的倍，A正确，B错误；由于a和b都做平抛运动，只受竖直方向的重力作用，故a和b的加速度相同，C正确；b、c的运动时间相同，b的水平位移是c的水平位移的两倍，则b的初速度是c的两倍，D正确。
考向3　平抛运动推论的应用
　(多选)(2025·辽宁朝阳高三质检)投壶是古代士大夫所做的一种投射游戏。《礼记传》中提到：“投壶，射之细也。宴饮有射以乐宾，以习容而讲艺也。”若甲、乙两人站在距壶相同水平距离处沿水平方向各投出一支完全相同的箭，箭尖插入同一个壶中时与水平面的夹角分别为53°和37°，忽略空气阻力、箭长、壶的高度、壶口大小等因素的影响，下列说法正确的是(　　)
图甲　　　　　图乙
A．甲所投箭的初速度大小比乙的大
B．甲所投箭的位置比乙所投箭的位置高
C．甲、乙所投的箭在空中运动的时间相等
D．此运动过程中，甲所投箭的速度的变化量比乙大
解析：BD　设箭抛出点离壶口的竖直高度为h，水平距离为x，箭尖插入壶中时与水平面的夹角为θ。箭在空中做平抛运动，根据平抛运动的推论，速度的反向延长线过水平位移的中点，可知tan θ＝，x相同，θ越大，h越大，则可知甲所投箭的位置比乙的高，根据h＝gt2可知，甲所投的箭在空中运动的时间比乙的长，故B正确，C错误；x相等，甲所投的箭在空中运动的时间比乙的长，由x＝v0t，可知，则甲所投箭的初速度大小比乙的小，故A错误；速度变化量Δv＝gt，甲所投的箭在空中运动的时间比乙的长，则甲所投箭的速度变化量比乙的大，故D正确。
归纳总结
(1)做平抛运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，即xB＝，如图所示。
(2)做平抛运动的物体在任意时刻任意位置处，有tan θ＝2tan α。
考向4　类平抛运动
　(多选)(2025·江西临川一中质检)一足够大且光滑的矩形斜面，倾角为θ，高为h，现有一小球在A处沿平行于底边的初速度v0滑上斜面，最后从B处离开斜面。已知重力加速度大小为g。下列说法正确的是(　　)
A．小球的运动轨迹为抛物线
B．小球的加速度大小为g sin θ
C．小球从A处到达B处所用的时间为
D．小球从A处到达B处的位移大小为
解析：ABC　小球受重力和支持力两个力作用，合力沿斜面向下，与初速度方向垂直，小球做类平抛运动，其运动轨迹为抛物线，故A正确；根据牛顿第二定律有mg sin θ＝ma，解得a＝g sin θ，故B正确；由几何关系得，小球沿加速度方向上的位移为y0＝，根据匀变速直线运动位移与时间的关系有y0＝at2，解得t＝，故C正确；小球沿初速度方向的位移为x0＝v0t＝，则小球从A处到达B处的位移大小为x＝＝ ，故D错误。
求解方法
(1)常规分解法：将类平抛运动沿初速度方向和垂直于初速度方向(即沿合外力的方向)分解。
(2)特殊分解法：过抛出点建立适当的直角坐标系，将加速度a分解为ax、ay，初速度v0分解为vx、vy。
考点二　有约束条件的平抛运动模型
考向1　斜面约束的平抛运动
　(多选)如图所示，固定斜面PO、QO与水平面MN的夹角均为45°，现由PO斜面上的A点分别以v1、v2先后沿水平方向抛出两个小球(可视为质点)，不计空气阻力，其中以v1抛出的小球恰能垂直于QO落于C点，飞行时间为t，以v2抛出的小球落在PO斜面上的B点，且B、C在同一水平面上，则(　　)
A．落于B点的小球飞行时间为t
B．v2＝gt
C．落于C点的小球的水平位移为gt2
D．A点距水平面MN的高度为gt2
解析：ACD　落于C点的小球速度方向垂直于QO，则两分速度大小相等，即v1＝gt，得出水平位移x＝v1t＝gt2，C正确；落于B点的小球分解位移如图所示，其中，B、C在同一水平面上，故两小球飞行时间都为t，由图可得tan45°＝，所以v2＝，A正确，B错误；设C点距水平面MN的高度为h，由几何关系知x＝2h＋v2t，可得h＝gt2，故A点距水平面MN的高度H＝h＋gt2，D正确。
关键信息
(1)小球恰能垂直于QO落于C点，则此时小球的两分速度大小相等。
(2)两小球的落点B、C在同一水平面上，则飞行时间相等。
(3)两小球的水平分位移的差值与B、C两点的距离相等。
[拓展]　在[例5]中，若落在PO斜面上的小球，沿水平方向飞出的速度变为原来的一半，则小球在空中飞行时间变为原来的多少倍？
提示：由[例5]可得t＝，可知t∝v2，故在空中飞行时间变为原来的。
考向2　曲面约束的平抛运动
　如图所示，一小球从一半圆轨道左端A点正上方某处开始做平抛运动(小球可视为质点)，飞行过程中恰好与半圆轨道相切于B点，O为半圆轨道圆心，半圆轨道半径为R，OB与水平方向的夹角为60°，重力加速度为g，不计空气阻力，则小球抛出时的初速度为(　　)
A. B.
C．
解析：A　小球飞行过程中恰好与半圆轨道相切于B点，可知小球运动到B点时速度方向与水平方向的夹角为30°，设位移方向与水平方向的夹角为θ，则tan θ＝，由tan θ＝，可得竖直方向的位移y＝R，而vy2＝2gy，tan 30°＝，联立解得v0＝，选项A正确，B、C、D错误。
(1)灵活运用平抛运动的位移和速度分解方法。
(2)曲面约束类平抛运动要灵活应用平抛运动的推论。
　如图所示，半径为R的半球形碗固定于水平面上，碗口水平，O点为碗的圆心，A、B为水平直径的两个端点。将一弹性小球(可视为质点)从A点沿AB方向以初速度v1水平抛出，小球与碗内壁碰撞一次后恰好经过B点；若将该小球从离O点R处的C点以初速度v2水平抛出，小球与碗内壁碰撞一次后恰好返回C点。假设小球与碗内壁碰撞前后瞬间小球的切向速度不变，沿半径方向的速度等大反向，则v2与v1的比值为(　　)
A．2 C．
解析：B　小球从A点以初速度v1向右平抛，反弹后经过B点，由对称性知小球与碗内壁的碰撞点应在碗的最低点，由平抛运动的规律有R＝v1t1，R＝gt12，解得v1＝；小球从C点以初速度v2向右平抛，要使小球能反弹回C点，小球必须垂直打在圆弧上，如图所示，设碰撞点为D，连接OD，即为平抛轨迹过D点的切线，过D点作DE⊥AB于E，则O为小球平抛水平位移的中点，有ED＝gt22，CO＝OE＝v2t2，在Rt△ODE中，有(ED)2＋(OE)2＝R2，解得v2＝，可得，故选B。
[归纳总结]　常见约束类型示例
运动情景 物理量分析
vy＝gt，tan θ＝→t＝
tan θ＝→t＝
tan θ＝→t＝
x＝v0t，y＝gt2→tan θ＝→t＝
落到斜面上时合速度与水平方向的夹角为φ，tan φ＝＝2tan θ，α＝φ－θ
在半圆内的平抛运动，h＝
考点三　斜抛运动
　(多选)(2024·江西卷，8)一条河流某处存在高度差，小鱼从低处向上跃出水面，冲到高处。如图所示，以小鱼跃出水面处为坐标原点，x轴沿水平方向，建立坐标系，小鱼的初速度为v0，末速度v沿x轴正方向。在此过程中，小鱼可视为质点且只受重力作用。关于小鱼的水平位置x、竖直位置y、水平方向分速度vx和竖直方向分速度vy与时间t的关系，下列图像可能正确的是(　　)
解析：AD　小鱼做斜抛运动，在水平方向不受力，vx＝vx0不变，x＝vx·t，故A正确，C错误。在竖直方向，y＝vy0t－gt2，vy＝vy0－gt，则y-t图像应为开口向下的抛物线，vy-t图像应为斜向右下的直线，故B错误，D正确。
(1)斜上抛运动从抛出点到最高点的运动，可逆过程分析为平抛运动。
(2)分析完整的斜上抛运动，可根据对称性求解。
[归纳总结]　斜抛运动的射高和射程
(1)斜抛运动的飞行时间：t＝。
(2)射高：h＝。
(3)射程：s＝v0cosθ·t＝，对于给定的v0，当θ＝45°时，射程达到最大值，smax＝。
　(2025·辽宁本溪一模)如图所示，一球门高1.8 m，宽3 m。在某次比赛中，一同学在球门前2.0 m处的O点将球射向球门，球在运动的最高点恰好击中球门横梁中点P。足球经过横梁反弹后，垂直CD的速度分量大小变为原来的，平行CD的速度分量不变，落在Q点。已知BO垂直AB，球的质量为0.4 kg，重力加速度g取10 m/s2，不计空气阻力，则下列说法正确的是(　　)
A．球在O点的初速度大小为 m/s
B．在Q点落地时的速度大小为2.5 m/s
C．落地点Q与门线AB的距离为1.5 m
D．足球由O运动到P点的时间大于由P运动到Q点的时间
解析：C　从O点到P点，根据平抛运动的逆向思维有vy2＝2gh，h＝ m＝vxt，联立解得vx＝ m/s，vy＝6 m/s，则足球在O点的初速度大小为v0＝ m/s，故A错误；足球经过横梁反弹后，垂直CD的速度分量大小变为原来的倍，平行CD的速度分量不变，设碰时速度与CD夹角为θ，根据几何关系tan θ＝，则有v⊥＝＝m/s，v∥＝vx cos θ＝m/s，vx′＝ m/s，落地竖直方向有h＝gt2，vy＝gt，则足球在Q点落地时的速度大小为v′＝ m/s，故B错误；反弹后速度垂直CD的分速度大小为2.5 m/s，下落时间为0.6 s，则落地点Q与门线AB的距离为x⊥＝v⊥t＝2.5×0.6 m＝1.5 m，故C正确；竖直方向根据对称性可知，足球由O点运动到P点的时间等于由P运动到Q点的时间，故D错误。
素养拓展　抛体运动中的临界极值问题
1．临界点的确定
(1)若题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼，明显表明题述的过程中存在着临界点。
(2)若题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，表明题述的过程中存在着“起止点”，而这些“起止点”往往就是临界点。
(3)若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明题述的过程中存在着极值点，这些极值点也往往是临界点。
2．求解平抛运动临界问题的一般思路
(1)找出临界状态对应的临界条件。
(2)分解速度或位移。
(3)若有必要，画出临界轨迹。
　(2025·湖北卷，6)某网球运动员两次击球时，击球点离网的水平距离均为L，离地高度分别为、L，网球离开球拍瞬间的速度大小相等，方向分别斜向上、斜向下，且与水平方向夹角均为θ。击球后网球均刚好直接掠过球网，运动轨迹平面与球网垂直，忽略空气阻力，tan θ的值为(　　)
A．
C．
解析：C　根据题意可画出示意图如图所示，设球网的高度为h，对于斜向下击出的网球：在水平方向有L＝v0t1cos θ，竖直方向有L－h＝v0t1sin θ＋gt12；对于斜向上击出的网球：在水平方向有L＝v0t2cos θ，竖直方向有－h＝－v0t2sin θ＋gt22；联立可得t1＝t2，2v0t1sin θ＝，结合L＝v0t1cos θ，可得tan θ＝，故C正确，A、B、D错误。
　(经典高考题)一带有乒乓球发射机的乒乓球台如图所示。水平台面的长和宽分别为L1和L2，中间球网高度为h。发射机安装于台面左侧边缘的中点，能以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓球，发射点距台面高度为3h。不计空气的作用，重力加速度大小为g。若乒乓球的发射速率v在某范围内，通过选择合适的方向，就能使乒乓球落到球网右侧台面上，则v的取值范围是(　　)
A．B．C．D．[思维导引]　解此题的关键是正确判断如图所示的临界关系
最大水平位移为
擦网而过对应最小发射速度
解析：D　乒乓球做平抛运动，落到右侧台面上时经历的时间t1满足3h＝gt12；当v取最大值时其水平位移最大，落点应在右侧台面的台角处，有vmaxt1＝ ，解得vmax＝；当v取最小值时其水平位移最小，发射方向沿正前方且恰好擦网而过，此时有3h－h＝＝vmint2，解得vmin＝，D正确。
限时规范训练(20)　抛体运动
(建议用时：40分钟　满分：70分)
(选择题1～7题每题5分，8～10题每题6分，12题7分，共60分)
[基础巩固练]
1．(2026·重庆一中高三开学考)如图所示，投出去的标枪做曲线运动，忽略空气阻力，关于标枪在空中的运动说法正确的是(　　)
A．标枪升到最高点时速度为零
B．标枪的加速度是变化的
C．标枪在相同时间内速度变化量相同
D．标枪的运动是变加速曲线运动
解析：C　标枪出手后做斜抛运动，水平方向做匀速直线运动，竖直方向做竖直上抛运动，故标枪升到最高点时竖直方向速度为零，但水平方向速度不为零，故最高点时速度不为零，故A错误；忽略空气阻力，标枪出手后只受重力，加速度为重力加速度不变，故B错误；标枪出手后只受重力，标枪的加速度恒定，根据Δv＝gΔt，在相同时间内速度变化量相同，故C正确；标枪的运动是加速度不变的曲线运动，是匀变速运动，故D错误。故选C。
2．(2025·云南卷，3)如图所示，某同学将两颗鸟食从O点水平抛出，两只小鸟分别在空中的M点和N点同时接到鸟食。鸟食的运动视为平抛运动，两运动轨迹在同一竖直平面内，则(　　)
A．两颗鸟食同时抛出
B．在N点接到的鸟食后抛出
C．两颗鸟食平抛的初速度相同
D．在M点接到的鸟食平抛的初速度较大
解析：D　由题图可知，两平抛运动的高度关系为hOMv0ON′，即v0OM>v0ON，在M点接到的鸟食平抛的初速度较大，C错误，D正确。
3．(2024·浙江1月选考，8)如图所示，小明取山泉水时发现水平细水管到水平地面的距离为水桶高的两倍，在地面上平移水桶，水恰好从桶口中心无阻挡地落到桶底边沿A。已知桶高为h，直径为D，重力加速度为g，则水离开出水口的速度大小为(　　)
A．
B．
C．
D．D
解析：C　由平抛运动规律得，水在桶中运动时间为t＝＝v0t，联立解得水离开出水口的速度大小为v0＝，C正确。
4．(2025·江西九江二模)如图所示，某同学在同一位置先后水平抛出一物体，第一次落在甲点，第二次落在乙点，不计空气阻力，则(　　)
A．抛出时速度关系v1>v2
B．抛出后加速度关系a1>a2
C．抛出后位移关系s1>s2
D．抛出后时间关系t1>t2
解析：D　物体做平抛运动，竖直方向有h＝gt2，由于h1>h2，可得t1>t2，水平方向有x＝v0t，由于x1h2，则无法确定抛出后的位移大小关系，故C错误。故选D。
5．(2025·湖北重点中学高三联考)将小球从斜面上的A点以不同速度抛出，第一次水平抛出速度大小为v1；第二次垂直斜面抛出速度大小为v2，运动过程中不计空气阻力，最终小球都落在斜面上的B点，运动轨迹如图甲、乙所示。已知斜面倾角为45°，两次运动时间分别是t1、t2，则(　　)
图甲 图乙
A． B.
C. D.
解析：B　水平方向x＝v1t1＝v2cos 45°t2，竖直方向y＝gt12＝－v2sin 45°t2＋gt22，同时满足tan 45°＝，联立解得＝1，故选B。
6．如图所示，在竖直平面内有一曲面，曲面满足的数学关系式为y＝x2(x＞0)，在y轴上有一点P，坐标为(0，6 m)。从P点将一可看成质点的小球水平抛出，初速度为1 m/s。则小球第一次打在曲面上的时间为(不计空气阻力，g取10 m/s2)(　　)
A．1 s B． s
C． s D． s
解析：A　设小球经过时间t打在曲面上M点，M点坐标为(x1，y1)，小球水平抛出后做平抛运动，在水平方向上，有x1＝v0t，在竖直方向上，有6 m－y1＝gt2，又小球打在曲面上，则满足数学关系式y1＝x12，代入数据联立解得t＝1 s，故A正确，B、C、D错误。
7．(2026·安徽县中联盟高三开学考)晓强在练习投篮。篮球出手瞬间的速度与水平方向的夹角为α＝37°，结果篮球刚好垂直地击中篮板(竖直)，击中篮板点到地面的距离为H＝3.2 m，篮球与篮板碰后瞬间的速度变为碰前的，篮球的落地点到篮板的水平距离为x＝4.0 m，重力加速度为g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6。忽略空气的阻力及篮球大小。则篮球出手瞬间的速度大小为(　　)
A． m/s B． m/s
C．5 m/s D．4 m/s
解析：A　由分析可知篮球与篮板碰后将做平抛运动，下落的高度为H＝3.2 m，水平位移为x＝4.0 m。设其下落时间为t，根据竖直方向自由落体运动的位移公式有H＝gt2，解得t＝ ＝ s＝0.8 s，水平方向做匀速直线运动，设篮球与篮板碰后瞬间的速度为v，则有v＝ m/s＝5 m/s，已知篮球与篮板碰后瞬间的速度变为碰前的， 设篮球与篮板碰前瞬间的速度为vx，则有vx＝v，解得篮球与篮板碰前瞬间的速度为vx＝×5 m/s＝ m/s，篮球出手后做的是斜抛运动，篮球垂直击中篮板，说明此时速度方向水平，竖直分速度为零。设篮球出手的速度为v0，则有v0cos 37°＝vx＝ m/s，解得篮球出手的速度为v0＝ m/s，故选A。
[能力提升练]
8．(2026·福州高三第一次质检)如图甲，一同学练习投篮。以篮球(视为质点)抛出时刻为计时起点，篮球的水平初速度为vx，竖直分位移为y， -t图像如图乙所示(图中b、t1均已知)。不计空气阻力，则篮球(　　)
图甲　　　　　　图乙
A．在t1时刻运动到最高点
B．在竖直方向的加速度大小为
C．抛出时的初速度大小为
D．上升的最大高度等于图乙中图线与坐标轴围成的面积
解析：C　不计空气阻力，竖直方向上，篮球做竖直上抛运动，则有y＝vyt－gt2，可得gt，由图乙可知vy＝b，，可得篮球在竖直方向的加速度大小为g＝，篮球抛出时的初速度大小为v0＝，故B错误，C正确；篮球运动最高点的时刻为t＝，故A错误；上升的最大高度为hm＝，图乙中图线与坐标轴围成的面积为S＝bt1，故D错误。故选C。
9．(2025·四川绵阳高三诊断)如图所示，一竖直圆弧形槽固定于水平地面上，O为圆心，AB为沿水平方向的直径。若在A点以初速度v1沿AB方向平抛一小球，小球将击中槽壁上的最低点D；若A点小球抛出的同时，在C点以初速度v2沿BA方向平抛的另一相同质量的小球也能击中D点，已知∠COD＝60°，且不计空气阻力，则(　　)
A．两小球同时落到D点
B．两小球初速度大小之比为∶3
C．两小球落到D点时的速度方向与OD线夹角相等
D．两小球落到D点时的瞬时速率之比为∶1
解析：B　由于A、C两点到D点的竖直高度不同，两球在空中运动时间不同，又两小球同时抛出，故两小球不会同时落到D点，选项A错误；设圆弧形槽半径为R，对从A点抛出的小球，R＝v1tA，R＝gtA2，则v1＝，对从C点抛出的小球，R sin 60°＝v2tC，R－R cos 60°＝gtC2，则v2＝，则v1∶v2＝∶3，选项B正确；设在D点速度方向与OD线夹角为θ，竖直分速度为vy，水平分速度为v0，则tan θ＝，由v1∶v2＝∶3和vy1∶vy2＝tA∶tC＝∶1知tan θ1≠tan θ2，选项C错误；设从A、C两点抛出的小球落到D点时的瞬时速率分别为vA、vC，vA＝＝ ＝ ，则vA∶vC＝∶，选项D错误。
10．如图所示，运动员将网球在边界A处正上方B点水平向右击出，恰好过网的上边沿上的C点落在D点，不计空气阻力，已知AB＝h1，网高h2＝h1，A点与球网之间的垂直距离为x，重力加速度为g。下列说法正确的是(　　)
A．落点D与网之间的垂直距离为x
B．网球的初速度大小为x
C．若击球高度低于h1，球不可能落在对方界内
D．若保持击球高度不变，球的初速度v0只要不大于，球一定落在对方界内
解析：C　因为h1－h2＝h1，由h＝gt2可知，，由x＝v0t可知，其中x1为B、D两点间的水平距离，则落点D与网之间的垂直距离x2＝x，选项A错误；球从B到D的过程中，由h1＝x＝v0t1得v0＝x ，选项B错误；降低击球高度(仍大于h2)，同时调整初速度的大小，会有一临界高度h′，此时球刚好过网又刚好压界，有h′－h2＝，h′＝，又h2＝h1，联立解得h′＝h1，若击球高度小于该临界高度，球不可能落到对方界内，选项C正确；若保持击球高度不变，要想球落在对方界内，既不能出界，又能过网，根据h1＝gt12，得t1＝ ，则球的最大初速度v0max＝，由h1－h2＝gt22，得t2＝，则球的最小初速度v0min＝，选项D错误。
11．(10分)(2025·河北邢台二中模拟)如图所示，水平屋顶高H＝5 m，围墙(厚度不计)高h＝3.2 m，围墙到房子的水平距离L＝3 m，围墙外空地宽x＝10 m。为使小球从屋顶水平飞出落在围墙外的空地上，重力加速度g取10 m/s2，求：
(1)小球离开屋顶时的速度v0的大小范围；
(2)小球落在空地上的最小速度。
解析：(1)设小球恰好落到空地的右侧边缘时的水平初速度为v01，则小球的水平位移
L＋x＝v01t1
小球的竖直位移H＝gt12
联立解得v01＝13 m/s
设小球恰好越过围墙边缘时的水平初速度为v02，则小球的水平位移L＝v02t2
小球的竖直位移H－h＝ gt22
解得v02＝5 m/s
故小球抛出时的速度大小范围为5 m/s≤v0≤13 m/s。
(2)小球落在空地上，下落高度一定，落地时的竖直分速度一定，当小球恰好越过围墙的边缘落在空地上时，落地速度最小。竖直方向有vy2＝2gH
又vmin＝
解得vmin＝5 m/s。
答案：(1)5 m/s≤v0≤13 m/s　(2)5 m/s
[培优创新练]
12．(多选)(2024·山东卷，12)如图所示，工程队向峡谷对岸平台抛射重物，初速度v0大小为20 m/s，与水平方向的夹角为30°，抛出点P和落点Q的连线与水平方向夹角为30°，重力加速度大小取10 m/s2，忽略空气阻力。重物在此运动过程中，下列说法正确的是(　　)
A．运动时间为2 s
B．落地速度与水平方向夹角为60°
C．重物离PQ连线的最远距离为10 m
D．轨迹最高点与落点的高度差为45 m
解析：BD　对重物从P运动到Q的过程，水平方向上有x＝v0t cos 30°，竖直方向上有y＝y＝－v0t sin 30°gt2，由几何关系有＝tan 30°，联立解得重物的运动时间t＝4 s，A错误；结合A项分析可知，重物落地时的水平分速度vx＝v0cos 30°，竖直分速度vy＝－v0sin 30°＋gt，则tan θ＝所以重物的落地速度与水平方向夹角为60°，B正确；对重物从P运动到Q的过程，垂直于PQ连线方向有2ghmcos 30°＝(v0sin 60°)2，解得重物离PQ连线的最远距离hm＝10 m，C错误；结合B项分析，竖直方向上有2gym＝vy2，联立解得重物轨迹最高点与落点的高度差ym＝45 m，D正确。限时规范训练(20)　抛体运动
(建议用时：40分钟　满分：70分)
(选择题1～7题每题5分，8～10题每题6分，12题7分，共60分)
[基础巩固练]
1．(2026·重庆一中高三开学考)如图所示，投出去的标枪做曲线运动，忽略空气阻力，关于标枪在空中的运动说法正确的是(　　)
A．标枪升到最高点时速度为零
B．标枪的加速度是变化的
C．标枪在相同时间内速度变化量相同
D．标枪的运动是变加速曲线运动
解析：C　标枪出手后做斜抛运动，水平方向做匀速直线运动，竖直方向做竖直上抛运动，故标枪升到最高点时竖直方向速度为零，但水平方向速度不为零，故最高点时速度不为零，故A错误；忽略空气阻力，标枪出手后只受重力，加速度为重力加速度不变，故B错误；标枪出手后只受重力，标枪的加速度恒定，根据Δv＝gΔt，在相同时间内速度变化量相同，故C正确；标枪的运动是加速度不变的曲线运动，是匀变速运动，故D错误。故选C。
2．(2025·云南卷，3)如图所示，某同学将两颗鸟食从O点水平抛出，两只小鸟分别在空中的M点和N点同时接到鸟食。鸟食的运动视为平抛运动，两运动轨迹在同一竖直平面内，则(　　)
A．两颗鸟食同时抛出
B．在N点接到的鸟食后抛出
C．两颗鸟食平抛的初速度相同
D．在M点接到的鸟食平抛的初速度较大
解析：D　由题图可知，两平抛运动的高度关系为hOMv0ON′，即v0OM>v0ON，在M点接到的鸟食平抛的初速度较大，C错误，D正确。
3．(2024·浙江1月选考，8)如图所示，小明取山泉水时发现水平细水管到水平地面的距离为水桶高的两倍，在地面上平移水桶，水恰好从桶口中心无阻挡地落到桶底边沿A。已知桶高为h，直径为D，重力加速度为g，则水离开出水口的速度大小为(　　)
A．
B．
C．
D．D
解析：C　由平抛运动规律得，水在桶中运动时间为t＝＝v0t，联立解得水离开出水口的速度大小为v0＝，C正确。
4．(2025·江西九江二模)如图所示，某同学在同一位置先后水平抛出一物体，第一次落在甲点，第二次落在乙点，不计空气阻力，则(　　)
A．抛出时速度关系v1>v2
B．抛出后加速度关系a1>a2
C．抛出后位移关系s1>s2
D．抛出后时间关系t1>t2
解析：D　物体做平抛运动，竖直方向有h＝gt2，由于h1>h2，可得t1>t2，水平方向有x＝v0t，由于x1h2，则无法确定抛出后的位移大小关系，故C错误。故选D。
5．(2025·湖北重点中学高三联考)将小球从斜面上的A点以不同速度抛出，第一次水平抛出速度大小为v1；第二次垂直斜面抛出速度大小为v2，运动过程中不计空气阻力，最终小球都落在斜面上的B点，运动轨迹如图甲、乙所示。已知斜面倾角为45°，两次运动时间分别是t1、t2，则(　　)
图甲 图乙
A． B.
C. D.
解析：B　水平方向x＝v1t1＝v2cos 45°t2，竖直方向y＝gt12＝－v2sin 45°t2＋gt22，同时满足tan 45°＝，联立解得＝1，故选B。
6．如图所示，在竖直平面内有一曲面，曲面满足的数学关系式为y＝x2(x＞0)，在y轴上有一点P，坐标为(0，6 m)。从P点将一可看成质点的小球水平抛出，初速度为1 m/s。则小球第一次打在曲面上的时间为(不计空气阻力，g取10 m/s2)(　　)
A．1 s B． s
C． s D． s
解析：A　设小球经过时间t打在曲面上M点，M点坐标为(x1，y1)，小球水平抛出后做平抛运动，在水平方向上，有x1＝v0t，在竖直方向上，有6 m－y1＝gt2，又小球打在曲面上，则满足数学关系式y1＝x12，代入数据联立解得t＝1 s，故A正确，B、C、D错误。
7．(2026·安徽县中联盟高三开学考)晓强在练习投篮。篮球出手瞬间的速度与水平方向的夹角为α＝37°，结果篮球刚好垂直地击中篮板(竖直)，击中篮板点到地面的距离为H＝3.2 m，篮球与篮板碰后瞬间的速度变为碰前的，篮球的落地点到篮板的水平距离为x＝4.0 m，重力加速度为g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6。忽略空气的阻力及篮球大小。则篮球出手瞬间的速度大小为(　　)
A． m/s B． m/s
C．5 m/s D．4 m/s
解析：A　由分析可知篮球与篮板碰后将做平抛运动，下落的高度为H＝3.2 m，水平位移为x＝4.0 m。设其下落时间为t，根据竖直方向自由落体运动的位移公式有H＝gt2，解得t＝ ＝ s＝0.8 s，水平方向做匀速直线运动，设篮球与篮板碰后瞬间的速度为v，则有v＝ m/s＝5 m/s，已知篮球与篮板碰后瞬间的速度变为碰前的， 设篮球与篮板碰前瞬间的速度为vx，则有vx＝v，解得篮球与篮板碰前瞬间的速度为vx＝×5 m/s＝ m/s，篮球出手后做的是斜抛运动，篮球垂直击中篮板，说明此时速度方向水平，竖直分速度为零。设篮球出手的速度为v0，则有v0cos 37°＝vx＝ m/s，解得篮球出手的速度为v0＝ m/s，故选A。
[能力提升练]
8．(2026·福州高三第一次质检)如图甲，一同学练习投篮。以篮球(视为质点)抛出时刻为计时起点，篮球的水平初速度为vx，竖直分位移为y， -t图像如图乙所示(图中b、t1均已知)。不计空气阻力，则篮球(　　)
图甲　　　　　　图乙
A．在t1时刻运动到最高点
B．在竖直方向的加速度大小为
C．抛出时的初速度大小为
D．上升的最大高度等于图乙中图线与坐标轴围成的面积
解析：C　不计空气阻力，竖直方向上，篮球做竖直上抛运动，则有y＝vyt－gt2，可得gt，由图乙可知vy＝b，，可得篮球在竖直方向的加速度大小为g＝，篮球抛出时的初速度大小为v0＝，故B错误，C正确；篮球运动最高点的时刻为t＝，故A错误；上升的最大高度为hm＝，图乙中图线与坐标轴围成的面积为S＝bt1，故D错误。故选C。
9．(2025·四川绵阳高三诊断)如图所示，一竖直圆弧形槽固定于水平地面上，O为圆心，AB为沿水平方向的直径。若在A点以初速度v1沿AB方向平抛一小球，小球将击中槽壁上的最低点D；若A点小球抛出的同时，在C点以初速度v2沿BA方向平抛的另一相同质量的小球也能击中D点，已知∠COD＝60°，且不计空气阻力，则(　　)
A．两小球同时落到D点
B．两小球初速度大小之比为∶3
C．两小球落到D点时的速度方向与OD线夹角相等
D．两小球落到D点时的瞬时速率之比为∶1
解析：B　由于A、C两点到D点的竖直高度不同，两球在空中运动时间不同，又两小球同时抛出，故两小球不会同时落到D点，选项A错误；设圆弧形槽半径为R，对从A点抛出的小球，R＝v1tA，R＝gtA2，则v1＝，对从C点抛出的小球，R sin 60°＝v2tC，R－R cos 60°＝gtC2，则v2＝，则v1∶v2＝∶3，选项B正确；设在D点速度方向与OD线夹角为θ，竖直分速度为vy，水平分速度为v0，则tan θ＝，由v1∶v2＝∶3和vy1∶vy2＝tA∶tC＝∶1知tan θ1≠tan θ2，选项C错误；设从A、C两点抛出的小球落到D点时的瞬时速率分别为vA、vC，vA＝＝ ＝ ，则vA∶vC＝∶，选项D错误。
10．如图所示，运动员将网球在边界A处正上方B点水平向右击出，恰好过网的上边沿上的C点落在D点，不计空气阻力，已知AB＝h1，网高h2＝h1，A点与球网之间的垂直距离为x，重力加速度为g。下列说法正确的是(　　)
A．落点D与网之间的垂直距离为x
B．网球的初速度大小为x
C．若击球高度低于h1，球不可能落在对方界内
D．若保持击球高度不变，球的初速度v0只要不大于，球一定落在对方界内
解析：C　因为h1－h2＝h1，由h＝gt2可知，，由x＝v0t可知，其中x1为B、D两点间的水平距离，则落点D与网之间的垂直距离x2＝x，选项A错误；球从B到D的过程中，由h1＝x＝v0t1得v0＝x ，选项B错误；降低击球高度(仍大于h2)，同时调整初速度的大小，会有一临界高度h′，此时球刚好过网又刚好压界，有h′－h2＝，h′＝，又h2＝h1，联立解得h′＝h1，若击球高度小于该临界高度，球不可能落到对方界内，选项C正确；若保持击球高度不变，要想球落在对方界内，既不能出界，又能过网，根据h1＝gt12，得t1＝ ，则球的最大初速度v0max＝，由h1－h2＝gt22，得t2＝，则球的最小初速度v0min＝，选项D错误。
11．(10分)(2025·河北邢台二中模拟)如图所示，水平屋顶高H＝5 m，围墙(厚度不计)高h＝3.2 m，围墙到房子的水平距离L＝3 m，围墙外空地宽x＝10 m。为使小球从屋顶水平飞出落在围墙外的空地上，重力加速度g取10 m/s2，求：
(1)小球离开屋顶时的速度v0的大小范围；
(2)小球落在空地上的最小速度。
解析：(1)设小球恰好落到空地的右侧边缘时的水平初速度为v01，则小球的水平位移
L＋x＝v01t1
小球的竖直位移H＝gt12
联立解得v01＝13 m/s
设小球恰好越过围墙边缘时的水平初速度为v02，则小球的水平位移L＝v02t2
小球的竖直位移H－h＝ gt22
解得v02＝5 m/s
故小球抛出时的速度大小范围为5 m/s≤v0≤13 m/s。
(2)小球落在空地上，下落高度一定，落地时的竖直分速度一定，当小球恰好越过围墙的边缘落在空地上时，落地速度最小。竖直方向有vy2＝2gH
又vmin＝
解得vmin＝5 m/s。
答案：(1)5 m/s≤v0≤13 m/s　(2)5 m/s
[培优创新练]
12．(多选)(2024·山东卷，12)如图所示，工程队向峡谷对岸平台抛射重物，初速度v0大小为20 m/s，与水平方向的夹角为30°，抛出点P和落点Q的连线与水平方向夹角为30°，重力加速度大小取10 m/s2，忽略空气阻力。重物在此运动过程中，下列说法正确的是(　　)
A．运动时间为2 s
B．落地速度与水平方向夹角为60°
C．重物离PQ连线的最远距离为10 m
D．轨迹最高点与落点的高度差为45 m
解析：BD　对重物从P运动到Q的过程，水平方向上有x＝v0t cos 30°，竖直方向上有y＝y＝－v0t sin 30°gt2，由几何关系有＝tan 30°，联立解得重物的运动时间t＝4 s，A错误；结合A项分析可知，重物落地时的水平分速度vx＝v0cos 30°，竖直分速度vy＝－v0sin 30°＋gt，则tan θ＝所以重物的落地速度与水平方向夹角为60°，B正确；对重物从P运动到Q的过程，垂直于PQ连线方向有2ghmcos 30°＝(v0sin 60°)2，解得重物离PQ连线的最远距离hm＝10 m，C错误；结合B项分析，竖直方向上有2gym＝vy2，联立解得重物轨迹最高点与落点的高度差ym＝45 m，D正确。

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