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湘教版数学八年级上册培优精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.5.1.2含30°角的直角三角形的性质及其应用第5章直角三角形5.1.2含30°角的直角三角形的性质及其应用练习题核心知识点：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半，该性质是线段长度计算、几何证明的核心依据。一、基础填空题1.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，斜边AB=12cm，则∠A所对的直角边BC=______cm。2.已知直角三角形一个锐角为30°，最短直角边长5cm，则该三角形的斜边长为______cm。3. Rt△ABC中，∠B=90°，∠C=30°，AC=8，则AB的长度为______。二、单项选择题4.下列关于含30°角直角三角形的说法正确的是（）A. 30°角所对的斜边是直角边的一半B. 60°角所对直角边是斜边的一半C. 30°角所对直角边是斜边的一半D.三条边长度比例为1:2:35.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=6，则AB边上的中线长为（）A. 6 B. 8 C. 12 D. 3三、解答计算题6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD⊥AB于点D，已知BD=3cm，求AB的长度。7.已知等腰三角形顶角为120°，腰长为10cm，求该三角形底边上的高和底边长。四、实际应用题8.一棵垂直于地面的大树，受台风影响折断，折断后树梢落地与地面成30°角，树梢落地点到树根的水平距离为6√3 m，求大树折断前的总高度。参考答案与解析1. 6解析：30°角对的直角边为斜边一半，12÷2=6cm。2. 10解析：30°角对应最短直角边，斜边=5×2=10cm。3. 4解析：∠C=30°，对边AB=1/2AC=4。4. C解析：紧扣核心性质，30°锐角所对直角边等于斜边一半。5. A解析：AB=2BC=12，直角三角形斜边中线等于斜边一半，中线长6。6.解：∠A=30°，∠B=60°，CD⊥AB，∠BCD=30°，BC=2BD=6cm，AB=2BC=12cm。答：AB长12cm。7.解：等腰三角形顶角120°，底角30°，底边上的高将三角形分为两个含30°的直角三角形，高=1/2×10=5cm，底边一半=5√3 cm，底边长10√3 cm。8.解：折断部分为斜边，水平距离6√3 m，30°角对的直角边（剩余树干）=6m，折断部分长度=12m，总高度=6+12=18m。答：大树原高18m。练习小结：解题关键是找准30°角对应的直角边，区分斜边与直角边，结合直角三角形斜边中线、等腰三角形性质综合解题，熟练掌握边长比例1:√3:2可快速解题。学习目标
1.理解和掌握含 30° 角的直角三角形的性质和应用；
2.通过定理的证明和应用，初步了解转化思想
3.培养逻辑思维能力、分析和解决问题的能力．
动手：用刻度尺测量含 30°角的直角三角形的斜边和短直角边，比较它们之间的数量关系.
含30°角的直角三角形的性质
结论：短直角边=斜边
A
B
C
D
如图，△ADC 是 △ABC 的轴对称图形，
因此 AB = AD， ∠BAD = 2×30° = 60°，
从而 △ABD 是一个等边三角形.
再由 AC⊥BD，
可得 BC = CD = BD = AB.
合作探究
证明：取线段 AB 的中点 D，连接 CD.
∵CD 为 Rt△ABC 斜边 AB 上的中线，
A
30°
B
C
D
∵∠BCA = 90°，且 ∠A = 30°，
∴∠B = 60°.
∴△CBD 为等边三角形.
证明方法：中线法
证法1
证明：在 △ABC 中，
∵∠ACB = 90°，∠BAC = 30°，
∴∠B = 60°．
延长 BC 到 D，使 BD = AB，连接 AD，
则△ABD 是等边三角形．
A
B
C
D
∴ BC = BD = AB．　　
30°
)
证明方法：倍长法
证法2
)
证明： 在 BA 上截取 BE = BC，连接 EC.
∵ ∠B = 60° ，BE = BC.
∴ △BCE 是等边三角形，
∴ ∠BEC = 60°，BE = EC.
∵ ∠A = 30°，
∴ ∠ECA = ∠BEC -∠A = 60° - 30°= 30°.
∴ AE = EC，
∴ AE = BE = BC，
∴ AB = AE + BE = 2BC.
E
A
B
C
∴BC = AB．　　
30°
证明方法：截半法
证法3
含30°角的直角三角形的性质
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
应用格式：
因为在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠A = 30°，　　
A
B
C
所以BC = AB．　　
)
30°
知识要点
(1) 直角三角形中 30° 角所对的直角边等于另一直角边的一半．
(2) 三角形中 30° 角所对的边等于最长边的一半.
(3) 直角三角形中最小的直角边是斜边的一半.
(4) 直角三角形的斜边是 30° 锐角所对直角边的 2 倍．
√
想一想
例1 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD 是斜边 AB 上的高，AD＝3 cm，则 AB 的长度是(　)
A．3 cm B．6 cm
C．9 cm D．12 cm
注意：运用含 30°角的直角三角形的性质求线段长时，要分清线段所在的直角三角形．
D
解析：在 Rt△ABC 中，∵CD 是斜边 AB 上的高，∴∠ADC＝90°， ∴∠ACD＝∠B＝30°. 在 Rt△ACD 中，AC＝2AD＝6 cm，在 Rt△ABC 中，AB＝2AC＝12 cm. ∴ AB 的长度是 12 cm.
典例精析
∵∠B = ∠ACB = 15° (已知)，
∴∠DAC = ∠B+∠ACB
= 15°+15° = 30°，
例2 已知：等腰三角形的底角为 15°，腰长为 20.
求腰上的高.
A
C
B
D
15°
15°
20
解：过 C 作 CD⊥BA 交 BA 的延长线于点 D.
)
)
∴CD = AC = ×20 = 10.
方法总结：在求三角形边长的一些问题中，可以构造含 30° 角的直角三角形来解决．
例3 在 A 岛周围 20 海里水域内有暗礁，一轮船由西向东航行到 O 处时，测得 A 岛在北偏东 60°的方向，且与轮船相距 30 海里，如图所示. 若该轮船继续保持由西向东的航向，会有触礁的危险吗？(已知≈1.732)
分析：如图，取轮船航向所在的直线为 OB .过点 A 作 AD⊥OB ，垂足为D. AD 的长为 A 岛到轮船航道的最短距离，若 AD 大于 20 海里，则轮船由西向东航行不会有触礁的危险.
典例精析
解：如图，取轮船航向所在的直线为OB.过点 A 作AD⊥OB，垂足为 D，连接 AO.
在 Rt△AOD中，AO = 30海里，∠AOD =3 0°，
于是 AD = AO = ×30=15 ≈25.98 (海里).
因为 AD ≈25.98 > 20，
所以轮船由西向东航行不会有触礁的危险.
(方法一) 解：如图，取线段 AB 的中点 D，连接 CD.
∵CD 是 Rt△ABC 斜边 AB 上的中线，
∴CD = AB = BD = BC，
即△BDC 为等边三角形．
∴∠B = 60°.
∵∠B +∠A = 90°，
∴∠A = 30°.
例4 如图，在 Rt△ABC 中，如果 BC = AB，求证∠A = 30° .
D
(方法二)如图，延长 BC 到 F，使 CF = BC，连接 AF
所以 BF = AB，
因此 BF = AB =AF，即△ABF 是等边三角形.
所以∠B = 60°，
因此∠CAB=90° -∠B = 30°.
因为 ∠BCA = 90°，BC = CF，
所以 AC 垂直平分 BF，于是 AB = AF
(线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等).
又 BC = AB，BC = CF = BF，
在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于 30°.
应用格式：
∵ 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，　
A
B
C
BC = AB．　　
)
30°
∴∠A = 30°
要点归纳
例5 如图所示，在四边形 ACBD 中，AD∥BC，AB⊥AC，且 AC ＝ BC，求∠DAC 的度数．
解：∵AB⊥AC，
∴∠CAB ＝ 90°.
∵AC ＝ BC，
∴∠CBA ＝ 30°.
∵AD∥BC，
∴∠BAD ＝ ∠CBA ＝30°．
∴∠DAC ＝ ∠CAB＋∠BAD ＝ 120°.
1. 在中，若，且，则 等
于( )
D
A. 2 B. 3 C. 9 D. 12
2．若等腰三角形的顶角为30°，腰长为8，则这个等腰三角形的面积为(　　)
A．8 B．16 C．24 D．32
B
返回
3．[北京市丰台区期末]如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，DE垂直平分AC.如果DE＝2，那么BC的长为________．
6
返回
4．[北师大附中模拟]某市在旧城改造中，计划在一块如
图所示的 空地上种植草皮以美化环境.已知
，， ，这种草皮每平方米
售价元，则购买这种草皮至少需要______元.（用含 的代数
式表示）
返回
5．如图，小明在A处看见前面山上有个气象站C，仰角为15°，沿AB行走4千米到达B处，此时小明看气象站C的仰角为30°.请你算出这个气象站离地面的高度CD是________．
2千米
返回
6.如图，一条船上午8时从海岛 出发，以15
海里/时的速度向正北方向航行，上午10时到
达海岛处，分别从，处观察灯塔 ，测得
， .
（1）求海岛到灯塔 的距离.
【解】由题意得 （海里）.
因为 ， ，
所以 .
所以.所以 海里.
所以海岛到灯塔 的距离为30海里.
（2）若这条船到达海岛 处后，继续向正北方
向航行，还要经过多长时间，该船与灯塔 的距
离最短？
如图，过点作于点 ，
所以 .根据垂线段最短，可知线段 的
长为该船与灯塔 的最短距离，
因为 ，
所以 .
因为海里，所以 海里.
因为 （时），
所以若继续向正北方向航行，还要经过1小时，该
船与灯塔 的距离最短.
返回
7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，BC＝4 cm，BD＝2 cm，则AD的长为(　　)
A．1 cm B．3 cm C．6 cm D．7 cm
C
返回
8．如图，在△ABC中，AC＝2AB＝12，∠ABC＝90°，点D是边BC上一动点，以AD为腰作等腰三角形ADE，使AE＝AD，∠DAE＝60°，连接BE，则BE的最小值为________．
3
返回
9. 如图，在中， ,
,以点为圆心， 长为半径
画弧，交边于点,再分别以点, 为
圆心，大于 的长为半径画弧，两弧
C
A. B.
C. D.
交于点,作射线交边于点,点为边 上的动点，连接
,若,则 的取值范围是( )
内容
在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半（反之亦成立）
使用要点
含 30°角的直角三角形的性质
找准 30° 的角所对的直角边，点明斜边
注意
前提条件：含30° 角的直角三角形中

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