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湘教版数学八年级上册培优精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.5.2.1勾股定理第5章直角三角形5.2.1勾股定理练习题核心知识点：在任意直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。若直角三角形的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，则满足公式：$$a^2+b^2=c^2$$。该定理是直角三角形边长计算、几何求值、实际应用的核心定理，仅适用于直角三角形。一、基础填空题1.在Rt△ABC中，∠C=90°，直角边a=3，b=4，则斜边c=______。2.已知Rt△ABC中，∠B=90°，AB=5，BC=12，则AC的长度为______。3.直角三角形两条直角边长分别为6和8，则该三角形斜边长为______，斜边上的高为______。二、单项选择题4.下列各组线段中，能构成直角三角形的是（）A. 2，3，4 B. 3，4，6 C. 5，12，13 D. 4，6，75.在直角三角形中，斜边为10，一条直角边为6，则另一条直角边为（）A. 7 B. 8 C. 9 D. 10三、基础解答题6.在Rt△ABC中，∠C=90°，已知斜边c=25，一条直角边a=15，求另一条直角边b的长度。7.已知直角三角形的两条直角边长分别为9和12，求该三角形的周长和面积。四、实际应用题8.一架梯子斜靠在竖直的墙壁上，梯子底端距离墙壁6米，梯子顶端距离地面8米。若梯子底端位置不动，将梯子顶端向上挪动2米，此时梯子底端距离墙壁多少米？参考答案与解析1. 5解析：根据勾股定理$$c^2=3^2+4^2=9+16=25$$，得c=5。2. 13解析：∠B=90°，AC为斜边，$$AC^2=5^2+12^2=169$$，AC=13。3. 10，4.8解析：斜边长$$\sqrt{6^2+8^2}=10$$；利用面积法，$$\frac{1}{2} \times 6 \times 8=\frac{1}{2} \times 10 \times h$$，解得高h=4.8。4. C解析：验证勾股定理，$$5^2+12^2=13^2$$，符合直角三角形边长关系。5. B解析：由$$b^2=c^2-a^2=10^2-6^2=64$$，得b=8。6.解：由勾股定理得$$b^2=c^2-a^2=25^2-15^2=625-225=400$$，b=20。答：另一条直角边长为20。7.解：斜边$$\sqrt{9^2+12^2}=15$$，周长=9+12+15=36，面积=$$\frac{1}{2} \times 9 \times 12=54$$。答：周长为36，面积为54。8.解：原梯子长度$$\sqrt{6^2+8^2}=10$$米。顶端上移2米后，顶端距地面10米，此时底端距墙$$\sqrt{10^2-10^2}=0$$米。答：梯子底端紧贴墙壁，距离墙壁0米。练习小结：运用勾股定理解题时，首先要找准直角，区分直角边与斜边，灵活运用公式变形$$a^2=c^2-b^2$$、$$b^2=c^2-a^2$$。实际问题中需先构建直角三角形模型，结合面积法、数形结合思想求解，牢记常见勾股数可快速解题。学习目标
1.经历勾股定理的探究过程，了解关于勾股定理的一
些文化历史背景
2.会用面积法来证明勾股定理，体会数形结合的思想.
3.会用勾股定理进行简单的计算 .（难点）
勾股定理的认识及验证
小优去朋友家做客，看到她朋友家用等腰三角形砖铺成的地面（如图）：
A
B
C
问题1 试问正方形 A、B、C 的面积之间有什么样的数量关系？
1
A
B
C
一直角边2
另一直角边2
斜边2
+
=
问题2 图中正方形 A、B、C 所围成的等腰直角三
角形三边之间有什么特殊关系？
问题3　在网格中一般的直角三角形，以它的三边为边长的三个正方形 A、B、C 是否也有类似的面积关系？观察下边两幅图(每个小正方形的面积为单位 1 )：
这两幅图中 A，B 的面积都好求，该怎样求C的面积呢？
方法一：割
方法二：补
方法三：拼
分割为四个直角三角形和一个小正方形.
补成大正方形，用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积.
将几个小块拼成若干个小正方形，图中两块红色（或绿色）可拼成一个小正方形.
根据前面求出的 C 的面积直接填出下表：
A 的面积 B 的面积 C 的面积
左图
右图
4
13
25
9
16
9
问题4 正方形 A、B、C 所围成的直角三角形三条边之间有怎样的特殊关系？
一直角边2
另一直角边2
斜边2
+
=
命题1 如果直角三角形的两条直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么 a2 + b2 = c2. 两直角边的平方和等于斜边的平方.
由上面的几个例子，我们猜想：
a
b
c
下面的动图形象的说明了命题 1 的正确性，让我们跟着以前的数学家们用拼图法来证明这一猜想.
a
b
b
c
a
b
c
a
证法1 让我们跟着我国汉代数学家赵爽拼图，再用所拼的图形证明命题吧.
a
b
c
∵S大正方形＝c2，
S小正方形＝(b - a)2，
∴S大正方形＝4S三角形＋S小正方形.
赵爽弦图
b-a
证明：
“赵爽弦图”表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲.因此，这个图案被选为 2002 年在北京召开的国际数学家大会的会徽.
证法2 毕达哥拉斯证法，请先用手中的四个全等的直角三角形按图示进行拼图，然后分析其面积关系后证明吧.
a
a
a
a
b
b
b
b
c
c
c
c
∴ a2 + b2 + 2ab = c2 + 2ab.
∴ a2 + b2 = c2.
证明：
∵ S大正方形 = (a + b)2 = a2 + b2 + 2ab，
S大正方形 = 4S直角三角形 + S小正方形
= 4× ab + c2
= c2 + 2ab，
a
a
b
b
c
c
∴a2 + b2 = c2.
证法3 美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”.
如图，图中的三个三角形都是直角三角形，
求证：a2 + b2 = c2.
a，b，c 为正数
直角三角形两直角边 a，b 的平方和，等于斜边 c 的平方.
a2 + b2 = c2.
公式变形：
勾股定理
a
b
c
要点归纳
利用勾股定理进行计算
2
例1 在△ABC 中，已知∠C=90°，BC=a，AC=b，AB=c.
(1) 若a = 1， b = 2，求 c.
(2) 若a = 15，c = 17，求 b.
解：(1) 根据勾股定理得，c = a + b = 1 + 2 = 5.
因为 c >0，所以 c = .
(2) 根据勾股定理得，b = c - a = 17 - 15 = 64.
因为 b > 0，所以 b = 8.
例2 如图，已知在等腰三角形 ABC 中，AB = AC =13，BC = 10，AD 是底边 BC 上的高线，求 AD 的长.
因此 AD = = = = 12.
故 AD 的长为 12 .
解 根据等腰三角形的性质定理得，AD也是底边 BC 上的中线，
因此 BD = BC = 5.
在Rt△ABD中，由勾股定理得，
AD + BD = AB ，
如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2 + b2 = c2，
那么这个三角形是直角三角形.
满足 a2 + b2 = c2 的三个正整数，称为勾股数.
勾股数
概念学习
3
常见勾股数：
3，4，5；5，12，13；6，8，10；7，24，25；8，15，17；9，40，41；10，24，26 等等.
勾股数拓展性质：
一组勾股数，都扩大相同倍数 k (k为正整数)，得到一组新数，这组数同样是勾股数.
返回
1．若a，b为直角三角形的两直角边，c为斜边，则下列选项中不能用来证明勾股定理的是(　　)
A
2．如图，在△ABD中，AC⊥BD于点C，点E为AC上一点，连接BE，DE，DE的延长线交AB于点F，已知DE＝AB，∠CAD＝45°.
(1)试说明：DF⊥AB.
【解】因为AC⊥BD，∠CAD＝45°，所以易得△ACD为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°.所以AC＝DC.又因为AB＝DE，所以AB2－AC2＝DE2－DC2，所以BC2＝EC2，所以BC＝EC，所以△ABC≌△DEC.所以∠BAC＝∠EDC.
又因为∠EDC＋∠CED＝90°，∠CED＝∠AEF，
所以∠AEF＋∠BAC＝90°，所以∠AFE＝90°，
所以DF⊥AB.
(2)利用图中阴影部分面积完成勾股定理的验证．已知：如图，在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，试说明：a2＋b2＝c2.
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3．在Rt△ABC中，斜边AB＝1，则AB2＋BC2＋AC2的值是(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
B
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4．[郴州市模拟]如图，在
中， ，分别以， 为圆心，大于
长为半径作弧，两弧相交于点， ，作
直线，与，分别交于点， ，连接
，若，，则 的周长
为( )
B
A. 13 B. 14 C. 15 D. 16
返回
返回
B
返回
返回
7．[成都市成华区模拟]如图，将腰
长为2的等腰直角三角形
放置于数轴上，直角边 与数
轴重合，直角顶点与重合，为的中点，以点 为圆
心，长为半径画弧，交数轴于点（在点右侧），则 点
表示的数为_______.
B
勾股定理
内容
在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，a，b 为直角边，c 为斜边，则有
a2 + b2 = c2.
注意
在直角三角形中
看清哪个角是直角
已知两边没有指明是直角边还是斜边时一定要分类讨论

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