资源简介

(共31张PPT)
湘教版数学八年级上册培优精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.5.2.3勾股定理的逆定理第5章直角三角形5.2.3勾股定理的逆定理练习题核心知识点：如果三角形的三边长a、b、c满足$$a^2+b^2=c^2$$，那么这个三角形是直角三角形，且边长c所对的角为直角。该定理是判断三角形是否为直角三角形的核心依据，与勾股定理互为逆定理，同时可用于判断勾股数、解决几何证明和实际判定问题。一、基础填空题1.已知三角形三边长为6、8、10，该三角形______（填“是”或“不是”）直角三角形。2.一组能够构成直角三角形的正整数边长，称为________。3.三角形三边长为5、12、13，则最长边上的角的度数为______°。二、单项选择题4.下列各组线段，不能构成直角三角形的是（）A. 7，24，25 B. 6，8，10 C. 4，5，6 D. 9，12，155.若△ABC三边长满足$$(a-b)(a^2+b^2-c^2)=0$$，则△ABC是（）A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形三、基础解答题6.判断三边长分别为1.5、2、2.5的三角形是否为直角三角形。7.已知一个三角形三边长为9、40、41，求证：该三角形为直角三角形。四、综合应用题8.如图，在四边形ABCD中，AB=3，BC=4，∠B=90°，CD=12，AD=13，连接AC，求证：△ACD是直角三角形，并求四边形ABCD的面积。参考答案与解析1.是解析：验证$$6^2+8^2=36+64=100=10^2$$，满足勾股定理逆定理，为直角三角形。2.勾股数解析：符合勾股数的定义，正整数、能构成直角三角形三边。3. 90解析：$$5^2+12^2=13^2$$，最长边13所对的角为直角。4. C解析：$$4^2+5^2=16+25=41\neq36=6^2$$，不满足逆定理，无法构成直角三角形。5. D解析：由式子可得$$a=b$$或$$a^2+b^2=c^2$$，三角形为等腰三角形或直角三角形。6.解：取最长边2.5，计算得$$1.5^2+2^2=2.25+4=6.25=2.5^2$$，满足勾股定理逆定理，因此该三角形是直角三角形。7.证明：最长边为41，$$9^2+40^2=81+1600=1681$$，$$41^2=1681$$，即$$9^2+40^2=41^2$$，故此三角形为直角三角形。8.解：∵∠B=90°，AB=3，BC=4，∴$$AC=\sqrt{3^2+4^2}=5$$。又∵AC=5，CD=12，AD=13，$$5^2+12^2=13^2$$，∴△ACD为直角三角形，∠ACD=90°。四边形面积=$$\frac{1}{2} \times 3 \times 4+\frac{1}{2} \times 5 \times 12=6+30=36$$。答：四边形ABCD面积为36。练习小结：运用勾股定理逆定理解题，核心步骤为：1.找出三角形最长边；2.计算两条短边的平方和与最长边的平方；3.对比数值，相等即为直角三角形，反之则不是。注意勾股数必须是正整数，小数、分数边长仅可判定直角三角形，不属于勾股数。学习目标
1.掌握勾股定理的逆定理及勾股数.（重点）
2.能证明勾股定理的逆定理，能利用勾股定理的逆
定理判断一个三角形是直角三角形.
3.能够运用勾股定理的逆定理解决问题．
同学们知道古埃及人用什么方法得到直角的吗
打 13 个等距的结，把一根绳子分成等长的 12 段，然后以 3 段，4 段，5 段的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角.
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（13）
（12）
（11）
（10）
（9）
下面有三组数分别是一个三角形的三边长 a， b， c：
①5，12，13； ②7，24，25； ③8，15，17.
问题 分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？
是
勾股定理的逆定理
1
下面有三组数分别是一个三角形的三边长 a， b， c：
①5，12，13； ②7，24，25； ③8，15，17.
问题1 这三组数在数量关系上有什么相同点？
① 5，12，13 满足 52 + 122 = 132，② 7，24，25 满足 72 + 242 = 252，
③ 8，15，17 满足 82 + 152 = 172.
问题2 古埃及人用来画直角的三边满足这个等式吗？
∵ 32 + 42 = 52，∴满足.
a2 + b2 = c2
我觉得这个猜想不准确，因为测量结果可能有误差.
我也觉得猜想不严谨，前面我们只取了几组数据，不能由部分代表整体.
问题3 据此你有什么猜想呢
由上面几个例子，我们猜想：
命题2 如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2 + b2 = c2，那么这个三角形是直角三角形.
△ABC≌△A′B′C′ 　　
？
∠C 是直角　　　
△ABC 是直角三角形　　
A　
B　
C　
a
b
c
已知：如图，△ABC 的三边长 a，b，c，满足 a2+b2 = c2 .
求证：△ABC 是直角三角形．
构造两直角边分别为a，b 的 Rt△A′B′C′
证一证：
证明：作 Rt△A′B′C′，使∠C′=90°，A′C′ = b，B′C′ = a，
∴△ABC≌△A′B′C′(SSS).
∴∠C =∠C′ = 90°，即 △ABC 是直角三角形.
则 A′B′ 2=B′C′ 2 + A′C′2 = a2 + b2
A
C
a
B
b
c
勾股定理的逆定理:
如果三角形的三边长 a ，b ，c 满足
a2 + b2 = c2，
那么这个三角形是直角三角形.
A
C
B
a
b
c
勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三边长，且满足两条较小边的平方和等于最长边的平方，即可判断此三角形为直角三角形 ，最长边所对应的角为直角.
特别说明：
要点归纳
例1 下面以 a，b，c 为边长的三角形是不是直角三角形？
(1) a = 6， b = 8，c = 10；
解：(1) 因为 62 + 82 =100，102=100，所以 62 + 82 =102.
因此这个三角形是直角三角形.
(2) a = 12，b = 15，c = 20.
(2) 因为122 + 152 = 369，202 =400，所以122 + 152≠202.
因此这个三角形不是直角三角形.
分析 根据勾股定理的逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较短边的平方和是否等于最长边的平方.
典例精析
【变式题】若 △ABC 的三边 a，b，c 满足 a∶b∶ c = 3∶4∶5，试判断 △ABC 的形状.
解：设 a = 3k，b = 4k，c = 5k (k＞0)，
∵ (3k)2 + (4k)2 = 25k2，(5k)2 = 25k2，
∴ (3k)2 + (4k)2 = (5k)2.
∴ △ABC 是直角三角形，且∠C 是直角.
例2 如图，在 △ABC 中，已知 AB = 10，BD = 6，AD = 8，AC = 17，求 DC 的长.
解：在 △ABD 中，AB =10，BD = 6，AD = 8，
因为 6 + 8 = 10 ，即 BD + AD = AB ，
所以△ADB 为直角三角形，且∠ADB = 90°.
所以∠ADC =180° -∠ADB = 90°.
在Rt△ADC中，DC = AC -AD ，
所以 DC = = 15.
1.下列各组线段中，能构成直角三角形的是（　　）
A．2，3，4 B．3，4，6
C．5，12，13 D．4，6，7
C
2. 一个三角形的三边的长分别是 3，4，5，则这个三角形最长边上的高是 （　　）
A．4 B．3 C．2.5 D．2.4
D
3. 若△ABC 的三边 a，b，c 满足 (a - b)(a2 + b2 - c2) = 0，则△ABC 是________________________.
等腰三角形或直角三角形
练一练
1
2
勾股定理的逆定理的应用
例3 如图，某港口 P 位于东西方向的海岸线上. “远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行 16 海里，“海天”号每小时航行 12 海里. 它们离开港口一个半小时后分别位于点 Q，R 处，且相距 30 海里. 如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号
沿哪个方向航行吗？
N
E
P
Q
R
2
问题1 认真审题，弄清已知是什么，要解决的问题是什么？
1
2
N
E
P
Q
R
16×1.5 = 24
12×1.5 = 18
30
“远航”号的航向、两艘船的一个半小时后的航程及距离已知，如图.
问题2 由于我们现在所能得到的都是线段长，要求角，由此你联想到了什么？
实质是要求出两艘船航向所成角.
勾股定理的逆定理.
解：根据题意得
PQ = 16×1.5 = 24 (海里)，
PR = 12×1.5 = 18 (海里)，
QR = 30 海里.
∵242 + 182 = 302，即 PQ2 + PR2 = QR2，∴∠QPR = 90°.
由“远航”号沿东北方向航行可知∠1 = 45°，
∴∠2 = 45°，即“海天”号沿西北方向航行.
N
E
P
Q
R
1
2
解决实际问题的步骤：①构建几何模型 (从整体到局部)；②标注有用信息，明确已知和所求；③应用数学知识求解；④得到实际问题的解.
（1）证明：∵CD = 1，BC＝ ，BD = 2，
∴ CD2 + BD2 = BC2.
∴ △BDC 是直角三角形.
（2）解：设腰长 AB = AC = x，则 AD = x - 1.
在 Rt△ADB 中，∵AB2 = AD2 + BD2，
∴ x2 = (x - 1)2 + 22，
解得
用到了方程的思想
例4 如图，△ABC 中，AB = AC，D 是 AC 边上的
一点，CD = 1，BC = ，BD = 2．
（1）求证：△BCD 是直角三角形；
（2）求 △ABC 的面积．
返回
C
2.清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41……根据上述规律，写出第⑤组勾股数为____________．
11，60，61
返回
3. 当满足下列条件时， 不是直角三角形的是( )
C
A.
B.
C.
D. ,,
4. 如图，在由
小正方形组成的 网格中，每个小正
方形的顶点称为格点.点，，， ，
，均在格点上，其中点，，，
能与点， 构成一个直角三角形的是
( )
D
A. 点 B. 点
C. 点 D. 点
返回
5.如图，在中，，，， 为直
线上一动点，连接，则线段 的最小值是___.
【点拨】由题意知当时,线段 的长最
小.因为，， ，所以
，所以 ，所以
，即
，解得 .
返回
6.如图，在四边形中， ，
，，,则 的
度数为______.
【点拨】如图，连接 ，因为
， ，所以 是
所以 .
等边三角形，所以， . 因为 ，
，所以 ，所以
，
返回
8.如图，把一块 土地划出一个
后，测得米，米， 米，
米，其中 .
（1）判断 的形状，并说明理由；
【解】 是直角三角形.理由：因为
，米， 米，
所以 （米）.因为
米，米，所以 ，所以
， 是直角三角形.
（2）求图中阴影部分土地的面积.
图中阴影部分土地的面积
（平方米）.
返回
9. [全国初中数学联赛]已知p，q均为质数，但满足5p2＋3q＝59，则以p＋3，1－p＋q，2p＋q－4为边长的三角形是(　　)
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
B
勾股定理
的逆定理
内容
如果三角形的三边长 a ，b ，c 满足 a2+b2 = c2，那么这个三角形是直角三角形.
注意
最长边不一定是 c， ∠C 也不一定是直角.
勾股数一定是正整数
应用
航海问题
与勾股定理结合解决不规则图形等问题

展开更多......

收起↑