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湘教版数学八年级上册培优精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.5.3直角三角形全等的判定第5章直角三角形5.3直角三角形全等的判定练习题核心知识点：直角三角形全等除通用的SSS、SAS、ASA、AAS判定定理外，拥有专属判定定理HL（斜边、直角边）。内容为：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。HL定理仅适用于直角三角形，是直角三角形全等判定的专属简便方法，解题时需优先区分普通三角形与直角三角形的判定差异。一、基础填空题1.判定两个直角三角形全等的专属定理是______定理。2.已知Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°，AB=DE，AC=DF，则可判定两个三角形______。3.判定普通三角形全等的四种方法中，______（填“都能”或“不能”）用于直角三角形全等判定。二、单项选择题4.下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（）A.一条直角边和一个锐角对应相等B.斜边和一条直角边对应相等C.两个锐角对应相等D.斜边和一个锐角对应相等5.在Rt△ABC与Rt△ABD中，∠ACB=∠ADB=90°，AB为公共斜边，若利用HL判定全等，需添加的条件是（）A. ∠CAB=∠DAB B. AC=AD C. ∠ABC=∠ABD D. BC=BD三、基础解答证明题6.已知：如图，AC⊥BC，AD⊥BD，垂足分别为C、D，AC=BD。求证：Rt△ABC≌Rt△BAD。7.如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BD=CD，求证：∠B=∠C。四、综合证明应用题8.已知：如图，AB⊥CF，DE⊥CF，垂足分别为B、E，AC=DF，AB=DE。求证：CE=BF。参考答案与解析1. HL（斜边、直角边）解析：HL是直角三角形独有的全等判定定理，普通三角形无法使用。2.全等解析：两个直角三角形斜边、一条直角边对应相等，满足HL判定条件，三角形全等。3.都能解析：直角三角形是特殊的三角形，通用全等判定方法全部适用。4. C解析：两个锐角对应相等只能证明三角形相似，无法确定边长关系，不能判定全等。5. B解析：HL需要斜边+一条直角边对应相等，AB为公共斜边，需添加一组直角边相等，AC=AD符合条件。6.证明：∵AC⊥BC，AD⊥BD，∴∠C=∠D=90°，△ABC和△BAD均为直角三角形。在Rt△ABC和Rt△BAD中，AB=BA（公共斜边），AC=BD（已知），∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL）。7.证明：∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°。在Rt△ADB和Rt△ADC中，AD=AD（公共直角边），BD=CD（已知），∴Rt△ADB≌Rt△ADC（SAS），∴∠B=∠C（全等三角形对应角相等）。8.证明：∵AB⊥CF，DE⊥CF，∴∠ABC=∠DEF=90°。在Rt△ABC和Rt△DEF中，AC=DF，AB=DE，∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）。∴BC=EF（全等三角形对应边相等），∴BC-BE=EF-BE，即CE=BF。练习小结：1.直角三角形全等优先观察能否用HL，简化证明步骤；2. HL定理必须满足“直角、斜边、一条直角边”三个条件；3.仅角相等无法判定全等，必须包含至少一组对应边相等；4.证明线段、角相等，可先证直角三角形全等，利用全等性质推导。学习目标
1.探索并理解直角三角形全等的判定方法“HL”
2.会用直角三角形全等的判定方法“HL”判定两个直角三角形全等．
3.
SSS
SAS
ASA
AAS
旧知回顾:我们学过的判定三角形全等的方法
如图，Rt△ABC 中，∠C = 90°，直角边是_____，_____，斜边是______.
C
B
A
AC
BC
AB
思考：
前面学过的四种判定三角形全等的方法，对直角三角形是否适用？
A
B
C
A′
B′
C′
1. 两个直角三角形中，斜边和一个锐角对应相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？
2. 两个直角三角形中，有一条直角边和一锐角对应相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？
3. 两个直角三角形中，两直角边对应相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？
口答：
如果这两个三角形都是直角三
角形，即∠C = ∠C' = 90°，
且 AB = A'B'，AC = A'C'，现在能
判定 △ABC≌△A'B'C' 吗？
B
C
A
A'
B'
C'
动脑想一想
我们知道，证明三角形全等不存
在 SSA 定理.
任意画一个Rt△ABC，使∠C = 90°.再画一个 Rt△A′B′C′，使∠C′ = 90°，B′C′ = BC，A′B′ = AB，把画好的Rt△A′B′ C′ 剪下来，放到 Rt△ABC 上，它们能重合吗？
A
B
C
直角三角形全等的判定
作图探究
画图思路
(1) 先画 ∠MC′N＝90°；
A
B
C
M
C′
N
(2) 在射线 C′M 上截取 B′C′＝BC；
M
C′
A
B
C
N
B′
M
C′
画图思路
(3) 以点 B′ 为圆心，AB 为半径画弧，交射线 C′N 于 A′；
M
C′
A
B
C
N
B′
A′
画图思路
(4) 连接 A′B′.
M
C′
A
B
C
N
B′
A′
思考：通过上面的探究，你能得出什么结论？
画图思路
B
C
A
A'
B'
C'
在 Rt△ABC 和 Rt△A'B'C' 中∵AB = A'B'，AC = A'C'，
根据勾股定理，
BC2 = AB2－AC2，
B'C'2 = A'B'2－A'C'2，
∴BC = B'C'.
∴Rt△ABC ≌ Rt△A'B'C'.
证明猜想：
“斜边、直角边”定理
文字语言：
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等
(简写成“斜边、直角边”或“HL”).
几何语言：
A
B
C
A′
B′
C′
在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中，
∴ Rt△ABC≌Rt△A′B′C′ (斜边、直角边).
AB=A′B′，
BC=B′C′，
“SSA”可以判定两个直角三角形全等，但是“边边”指的是斜边和一直角边，而“角”指的是直角.
要点归纳
例1 如图，BD，CE，是△ABC 的高，且BE＝CD.
求证：Rt△BEC＝Rt△CDB.
证明：因为 BD，CE 是△ABC 的高， 所以∠BEC＝∠CDB＝90°.
BC = CB，
BE = CD，
在 Rt△BEC 和 Rt△CDB 中，
所以Rt△ABC≌Rt△BAD (斜边、直角边).
应用“HL”的前提条件是在直角三角形中.
这是应用“HL”判定方法的书写格式.
A
B
C
E
D
例3 如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度 AC 与右边滑梯水平方向的长度 DF 相等，两个滑梯的倾斜角 ∠B 和 ∠F 的大小有什么关系？
解：在 Rt△ABC 和 Rt△DEF 中，
BC = EF，
AC = DF，
∴ Rt△ABC≌Rt△DEF (HL).
∴∠B = ∠DEF
(全等三角形对应角相等).
∵ ∠DEF +∠F = 90°，
∴∠B +∠F = 90°.
1. 两个同样大小的直角三角板按如图所
示的方式摆放，其中两条一样长的直角
边交于点，另一直角边， 分别落
在的边和上，且 ，
作射线，则在说明为 的平分
线的过程中，证全等的依据是( )
C
A. 边角边 B. 角边角
C. 斜边、直角边 D. 边边边
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2．如图所示，已知在△ABC中，∠C＝90°，AD＝AC，DE⊥AB交BC于点E，若∠B＝28°，则∠AEC＝(　　)
A．28° B．59° C．60° D．62°
B
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3. 如图，在和 中，
，添加一个条件，可使用“斜边、直角边”判
定 ，则添加的条件是_________________
_______________.
（答案不唯一）
4．如图所示的网格是正方形网格(小正方形的边长均为1)，图形的各个顶点均在格点上，则∠1＋∠2的度数是________．
45°
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5．[长沙市雅礼教育集团期末]如图，AD是△ABC的高，E是AD上一点，连接BE，AD＝BD，BE＝AC.若AD＝4，S△ABC＝14，则线段AE的长为________．
1
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6．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，连接对角线AC，且AC＝AD，点E在边BC上，连接DE，过点A作AF⊥DE，垂足为F，若AB＝AF.求证：
(1)∠DAC＝∠FAB；
【证明】因为AF⊥DE，所以∠AFD＝90°.
在Rt△AFD和Rt△ABC中，AD＝AC，AF＝AB，所以Rt△AFD≌Rt△ABC(斜边、直角边)．所以∠DAF＝∠CAB.
所以∠DAF＋∠CAF＝∠CAB＋∠CAF，即∠DAC＝∠FAB.
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(2)DF＝CE＋EF.
【证明】如图，连接AE，
易知∠AFE＝90°.
在Rt△AEF和Rt△AEB中，AE＝AE，AF＝AB，
所以Rt△AEF≌Rt△AEB(斜边、直角边)，所以EF＝BE.
因为Rt△AFD≌Rt△ABC，所以DF＝BC.
因为BC＝CE＋BE＝CE＋EF，所以DF＝CE＋EF.
7．综合实践课上，数学兴趣小组给出了利用无刻度的直尺和圆规作直角三角形的三种方案：①已知两条直角边长；②已知一条直角边长和斜边长；③已知一个锐角和斜边长．图①、图②、图③分别对应以上三种方案中的一种，根据尺规作图痕迹，其对应顺序正确的是(　　)
A．①②③ B．②③① C．①③② D．③①②
C
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“斜边、 直角边”
内容
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.
前提条件
在直角三角形中

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