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湘教版数学八年级上册培优精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.5.4.1角平分线的性质定理第5章直角三角形5.4.1角平分线的性质定理练习题核心知识点：角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。几何语言：若OP平分∠AOB，PM⊥OA，PN⊥OB，则PM=PN。定理使用前提：点在角平分线上、垂直角的两边、垂线段长度相等。常用于求线段长度、证明线段相等、转化距离问题，是几何证明高频考点。一、基础填空题1.角平分线上的点到角两边的________相等。2.已知OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，若PD=4cm，则PE=______cm。3.在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，BC=10，BD=6，则点D到AB的距离为______。二、单项选择题4.下列关于角平分线性质的说法正确的是（）A.任意一点到角两边距离相等B.角平分线上的任意点到角两边距离相等C.角平分线上的点到角顶点距离相等D.角内点都能使用该定理5.已知OP平分∠MON，PA⊥OM，PB⊥ON，PA=5，则PB的长为（）A. 3 B. 4 C. 5 D. 10三、基础解答证明题6.已知：如图，AD平分∠BAC，DB⊥AB，DC⊥AC。求证：DB=DC。7.如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，若AB=8，BC=6，DE=3，求△ABC的面积。四、综合应用题8.已知：如图，△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，AC=AE。求证：CD=DE。参考答案与解析1.距离解析：直接考查角平分线性质定理文字定义。2. 4解析：点P在角平分线上，到角两边垂线段相等，PE=PD=4cm。3. 4解析：CD=BC-BD=10-6=4，AD是角平分线，D到AB距离=CD=4。4. B解析：定理核心：点在角平分线上，垂线段距离相等，其余选项条件不满足。5. C解析：OP为角平分线，PA、PB为两边垂线段，故PB=PA=5。6.证明：∵AD平分∠BAC，DB⊥AB，DC⊥AC，根据角平分线的性质定理，角平分线上的点到角两边的距离相等，∴DB=DC。7.解：∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC，∴DF=DE=3。S△ABC=S△ABD+S△BCD=$$\frac12\times8\times3+\frac12\times6\times3=12+9=21$$。答：△ABC面积为21。8.证明：∵AD平分∠BAC，∠C=90°即DC⊥AC，DE⊥AB，根据角平分线的性质定理，可得CD=DE。得证。练习小结：使用角平分线性质定理的三要素：①点在角平分线上；②过点向角两边作垂线；③垂线段相等。解题技巧：看到角平分线+垂直，直接转化线段长度，无需反复证全等，简化解题步骤，是八年级几何快速解题的关键。学习目标
1.探究并掌握角平分线的性质定理.
2.能运用角的平分线性质解决简单的几何问题.
3.
问题1：在纸上画一个角，你能得到这个角的平分线吗？
用量角器度量，也可用折纸的方法．　　
问题2：如果把前面的纸片换成木板、钢板等，还能用对折的方法得到木板、钢板的角平分线吗？
问题3：如图，是一个角平分仪，其中AB = AD，BC =
DC.将点 A 放在角的顶点，AB 和 AD 沿着角的两边放下，沿 AC 画一条射线 AE，AE 就是角平分线，
你能说明它的道理吗
A
B
C
(E)
D
其依据是 SSS，两全等三角形的
对应角相等.
角平分线的性质
A
O
B
P
D
E
C
探究 在∠AOB 的平分线 OC 上任取一点 P，作 PD ⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点 D、E. 比较线段 PD，PE 的长度，它们相等吗？由此你能得出什么结论？
猜想： PD = PE
如图，∠AOC = ∠BOC，点 P 在 OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E.求证：PD = PE.
证明：
∵ PD⊥OA，PE⊥OB，
∴ ∠PDO = ∠PEO = 90°.
在 △PDO 和 △PEO 中，
∠PDO = ∠PEO，
∠DOP = ∠EOP，
OP = OP，
∴ △PDO≌△PEO(角角边).
∴ PD = PE.
验证猜想
A
O
B
P
D
E
C
应用所具备的条件：
(1) 角的平分线；
(2) 点在该平分线上；
(3) 垂直距离.
定理的作用：
证明线段相等.
要点归纳
角平分线的性质定理：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等
A
O
B
P
D
E
C
∵ OC 是∠AOB 的平分线，
∴ PD = PE.
PD⊥OA，PE⊥OB，
(角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等).
应用格式：
注意事项：证明距离相等时的三个理由，必须写全，不能遗漏.
A
O
B
P
D
E
C
判一判：(1) 如下左图，因为 AD 平分∠BAC (已知)，
所以 BD ＝ CD .
( )
在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等
×
B
A
D
C
(2) 如上右图，因为 DC⊥AC，DB⊥AB (已知)，
所以 BD ＝CD.
( )
在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等
×
B
A
D
C
例1 已知：如图，在 △ABC 中，AD 是它的角平分线，且 BD = CD， DE⊥AB， DF⊥AC. 垂足分别为 E，F.
求证：EB = FC.
A
B
C
D
E
F
证明：∵AD 是 ∠BAC 的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴ DE = DF，∠DEB =∠DFC = 90°.
在 Rt△BDE 和 Rt△CDF 中，
DE = DF，
BD = CD，
∴ Rt△BDE≌Rt△CDF (斜边、直角边).
∴ EB = FC.
典例精析
例2 如图，AM 是∠BAC 的平分线，点 P 在 AM 上，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别是 D，E，PD = 4 cm，则 PE = ______cm.
B
A
C
P
M
D
E
4
温馨提示：存在两条垂线段———直接应用
1. 应用角平分线的性质：
存在角平分线
涉及距离问题
2. 联系角平分线的性质：
面积
周长
条件
角平分线的性质
方法归纳
1. 如图，为 的平分线，
，，垂足分别是, ,则
下列结论不一定正确的是( )
D
A.
B.
C.
D.
返回
2．[娄底市期末]如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，△ABC的面积是10，CD∶BD＝2∶3，DE＝2，则AC的长是________．
4
返回
返回
8
4．如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为点D，E，BE，CD相交于点O，OB＝OC，连接AO.若∠AOD＝55°，则∠BAC＝(　　)
A．35° B．55° C．60° D．70°
D
返回
5. 如图，，， 分别平分
，，过点，且与垂直，若 ，
，则四边形的面积是____ .
40
返回
6. 如图，已知BP是∠ABC的平分线，AP⊥BP，若S△BPC＝10 cm2，则S△ABC等于(　　)
A．20 cm2 B．30 cm2
C．25 cm2 D．不能确定
A
7. 如图，在等腰三
角形中，， ，
为的中点，点在 上，
， 若是等腰三角形 的
或
腰上的一点，则当是以 为腰的等腰三角形时，
的度数是_____________.
角平分线
性质定理
一个点：角平分线上的点；
二距离：点到角两边的距离；
两相等：两条垂线段相等
辅助线
添加
过角平分线上一点向两边作垂线段

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