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湘教版数学八年级上册培优精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.小结与复习第4章三角形湘教版八年级下册第4章三角形全章知识点汇总章节整体框架：本章核心分为三大模块——尺规作图、等腰与等边三角形、线段垂直平分线，全部为几何证明、计算、作图高频考点，是初中几何核心基础章节。一、全章尺规作图汇总（必考）本章所有尺规作图工具统一：无刻度直尺+圆规，禁止刻度尺、量角器，必须保留作图痕迹，结尾书写总结语句。1.基础作图1：作一个角等于已知角原理：SSS全等判定步骤：①作一条初始射线；②以已知角顶点为圆心，任意长画弧，交角两边于两点；③以新射线顶点为圆心，等半径画弧；④以弧交点为圆心，截取原角两点间距为半径画弧，交于一点；⑤过交点作射线，所得角与已知角相等。2.基础作图2：已知三边作三角形（SSS）①先截取一条定长线段作为底边；②底边两端点分别以另外两条线段长为半径画弧；③两弧交点即为三角形顶点，连接三边成型。3.基础作图3：已知两边夹角作三角形（SAS）①截取第一条已知线段；②以线段端点为顶点，作已知夹角；③在角的另一射线上截取第二条已知线段；④连接两端点，成型三角形。4.基础作图4：已知两角夹边作三角形（ASA）①先截取已知夹边线段；②以线段两端点为顶点，分别作两个已知角；③两角射线相交得顶点，成型三角形。5.进阶作图1：作线段垂直平分线核心要求：画弧半径大于线段一半长度步骤：两端点为圆心画弧，上下各一个交点，连接两交点得直线，即为垂直平分线，可直接找线段中点。结果：得到直线6.进阶作图2：作角平分线原理：SSS全等步骤：顶点画弧交两边，两点再画等半径弧，角内交于一点，连接顶点与交点得射线。结果：得到射线二、等腰三角形（性质+判定）1.定义有两条边相等的三角形为等腰三角形，包含腰、底边、顶角、底角，等边三角形是特殊等腰三角形。2.核心性质（边→角）①等边对等角：同一三角形中，两腰相等→两底角相等；②三线合一（重难点）：顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合； 易错：三线合一仅适用于底边和顶角，腰上的三线不重合；③轴对称图形，1条对称轴；④底角必为锐角，顶角可为锐角、直角、钝角。3.核心判定（角→边）①定义法：两条边相等→等腰三角形；②定理法：等角对等边，同一三角形两角相等→对边相等，为等腰三角形；③高频模型：平行线+角平分线→等腰三角形。4.角度计算核心顶角+2×底角=180°，已知锐角需分类讨论（顶角/底角），钝角、直角只能为顶角。三、等边三角形（性质+判定）1.定义三条边都相等的三角形，特殊的等腰三角形。2.性质①三边全部相等；②三角全部相等，均为60°；③三边均满足三线合一；④轴对称图形，3条对称轴。3.三大判定方法①三边相等→等边三角形；②三角相等→等边三角形；③高频秒杀：有一个角是60°的等腰三角形，一定是等边三角形。四、线段垂直平分线（性质+判定）1.定义垂直且平分一条线段的直线，一条线段仅有一条垂直平分线。2.性质定理（线→边等）线段垂直平分线上的任意一点，到线段两端点的距离相等（可直接证线段相等，无需证全等）。几何语言：∵点P在AB中垂线上，∴PA=PB3.判定定理（边等→线）到线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。几何语言：∵PA=PB，∴点P在AB中垂线上 单点只能定点，两点确定整条垂直平分线。4.经典题型：周长替换模型利用PA=PB等量代换，将含动点的三角形周长转化为固定线段和，是填空压轴高频考点。五、全章核心定理互逆关系（必背）1.等腰：等边对等角（性质） 等角对等边（判定）2.中垂线：点在线上距相等（性质） 距相等点在线上（判定）六、全章高频易错扣分点汇总1.尺规作图：半径必须过半、保留所有痕迹、区分直线/射线/线段，禁止用度量工具；2.等腰三角形：不乱用三线合一，仅限底边顶角；角度计算必分类讨论；3.从属关系：等边一定是等腰，等腰不一定是等边；4.定理依据：性质、判定严禁混用，几何书写必须对应定理；5.中垂线是直线，单个点不能判定整条直线为中垂线。七、全章速记口诀尺规作图靠SSS，痕迹不擦分不丢；等腰等边互包含，等角对等边对等角；三线合一底边用，六十等腰变等边；中垂线上距离等，两点定线判平分；性质判定分正反，几何解题不出错。底边和腰不相等的等腰三角形
2. 三角形的三边关系：
1. 三角形的分类
三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.
按边分
按角分
三边各不相等的三角形
等腰三角形
等边三角形
直角三角形
锐角三角形
钝角三角形
一、三角形
3. 三角形的高、中线与角平分线
高：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段.三条高或其延长线相交于一点，如图①.
中线：连接一个顶点和它的对边中点的线段.三条中线相交于一点（重心），如图②.
角平分线：一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段.三条角平分线相交于一点，如图③.
图①
图②
图③
4. 三角形的内角和定理与外角的性质
(1) 三角形的内角和等于 180°；
(2) 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；
(3) 三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角.
1. 命题
2. 逆命题
(1) 定义：对某一件事情作出判断的语句 (陈述句)
叫作命题.
将原命题的条件改成结论，并将结论改成条件，便可以得到原命题的逆命题.
(2) 结构形式：
命题都可以写成“如果……，那么……” 的形式，“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论.
二、命题与证明
(3) 表达形式：
命题都是由条件和结论两部分组成.
4. 证明与图形有关的命题的步骤：
(1) 画出图形；(2) 写出已知、求证；(3) 写出证明过程.
正确的命题为真命题，错误的命题为假命题.
3. 真命题和假命题
5. 反证法的步骤
(1) 假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；
(2) 从假设出发，经过推理，得出矛盾；
(3) 由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确.
1. 全等三角形的性质
2. 全等三角形的判定方法
3. 三角形的稳定性
对应角相等，对应边相等
角边角
边边边
边角边
角角边
依据：边边边
三、全等三角形
2. 作一个角等于已知角
1. 作一个角的平分线
3. 作三角形
(1) 根据 SAS、ASA、SSS 作三角形；
(2) 已知底边及底边上的高作等腰三角形.
四、用尺规作三角形
1. 等腰（边）三角形的性质
2. 等腰（边）三角形的判定方法
轴对称图形
三线合一
两底角相等(等边对等角)
60°
60°
60°
有两个角相等(等角对等边)
三边相等
三个角都是60°
有一个角是60°的等腰三角形
等腰三角形
等边三角形
有两条边相等
五、等腰三角形
等边三角形
等腰三角形
1. 线段垂直平分线的性质定理
2. 线段垂直平分线性质定理的逆定理 (判定)
3. 线段垂直平分线的作法
线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.
到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.
六、线段的垂直平分线
·
·
A
B
C
D
E
1．如图，点D在△ABC中，写出图中所有三角形：______________________________；线段BC是△______和△______的边；△ABD的3个内角是______________________，三条边是____________________；∠FAC是△________的外角．
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△ABD，△ADC，△BDC，△ABC
BCD
∠BAD，∠ABD，∠ADB
AB，AD，BD
ABC
返回
A
3．若三角形的三边长是三个连续自然数，其周长m满足1 992＜m＜2 028，则这样的三角形有________个．
11
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4．[株洲市期末]如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，BC＝10，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下面结论：①△BCE的周长－△ABE的周长＝4；
②∠AFG＝∠AGF；③S△ACF＝S△BCF；
④∠FAG＝2∠ACF；⑤AD＝2.4.
正确的是________．(填序号)
①②④
5．如图所示，在△ABC中，∠C>∠B，
AD是高，AE是△ABC的角平分线．
(1)当∠B＝26°，∠C＝74°时，∠DAE的度数为______；
24°
(2)根据第(1)问得到的启示，判断∠C－∠B与∠DAE之间有怎样的等量关系，并说明理由．
∠C－∠B＝2∠DAE.理由如下：
在△ABC中，∠BAC＝180°－∠B－∠C.
因为AD是△ABC的高，所以∠BDA＝90°.
所以∠BAD＝180°－∠BDA－∠B＝90°－∠B.
因为AE是△ABC的角平分线，
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6．如图，在三角形纸片ABC中，AB＝AC，∠B＝20°，点D是边BC上的动点，将三角形纸片沿AD翻折，使点B落在点B′处，当B′D⊥BC时，∠BAD的度数为____________．
25°或115°
7. 如图①，点A，B分别在射线OM，ON上运动(不与点O重合)，AC，BC分别是∠BAO和∠ABO的平分线，延长BC交OM于点G.
(1)若∠O＝60°，求∠ACG的度数；
【解】因为∠O＝60°，
所以∠ABO＋∠BAO＝120°.
因为AC，BC分别是∠BAO和∠ABO的平分线，
(2)如图②，若∠O＝72°，过点C作CF∥OA交AB于点F，直接写出∠BGO与∠ACF的数量关系．
∠BGO－∠ACF＝54°
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8. 下列语句中属于定理的是( )
C
A. 在直线上任取一点
B. 如果两个角相等，那么这两个角是同位角
C. 对顶角相等
D. 直线和 垂直吗
9. 对于命题“若，则 ”，试举
一个反例说明它是一个假命题：________________________.
,（答案不唯一）
10.如图，点，分别在线段， 上，连
接，， .现有以下三个论断：
；； .如果
以其中两个论断为条件，另一个论断为结论
构造命题，能够构成___个真命题.
3
【点拨】以①②为条件，③为结论能够构成
真命题，理由如下：因为 ，所以
.又因为 ，所以
，所以，所以 ；
以①③为条件，②为结论能够构成真命题，
理由如下：因为，所以. 因为 ，
所以，所以，所以 ；以②③为
条件，①为结论能够构成真命题，理由如下：
因为，所以 ，所以
. 又因为 ，所以
，所以 .综上,以其中两
个论断为条件，另一个论断为结论构造命题，
能够构成3个真命题.
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11．如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则∠2－∠1＝________°.
90
12. 如图①，AD与BC交于点E，连接AB和CD，AB和CD的延
长线交于点F，满足∠ABC＝∠ADC＝α，AE＝CF.
(1)当α＝90°时，直接写出BE与BF的数量关系；
【解】BE＝BF.
(2)如图②，当90°<α<180°时，求证：BE＝BF.
【证明】如图，在上截取.连接 ，因为
,所以,所以 .
在和中，所以 ,所以
, ,
所以,所以,所以 .
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13. 有一个等腰三角形 被墨汁污染了，
现在只有它的底边和 还清楚可见（如图所示）.
（1）请用直尺与圆规画出一个与原来形状一样的等腰三角
形 （不写画法，保留画图痕迹）；
【解】如图， 即为所求.
(2)在(1)的条件下，如果射线BE与边AC相交于点E，且射线BE恰好将△ABC分割成两个等腰三角形，请画出射线BE，此时∠A的度数为____________．
如图，
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14．用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
已知：△ABC.
求作：点P，使点P到A，C两点的
距离相等，且点P在△ABC边AB的高上．
【解】如图，点P为所作．
15. [“希望杯”全国竞赛]如图所示，△DAC和△EBC均是等边三角形，点C在AB上，AE，BD分别与CD，CE交于点M，N，连接MN.有如下结论：①△ACE≌△DCB，②CM＝CN，③AC＝DN，④MN∥AB，其中，正确的个数是(　　)
A．3 B．2 C．1 D．4
A
16. 如图，已知∠AOB＝50°，点P为∠AOB内部一点，点M、点N为射线OA、射线OB上的两个动点，当△PMN的周长最小时，∠MPN的度数为________．
80°
18. 在△ABC中，AB＝AC，O是平面内一点且OB＝OC，若点A到BC的距离为8，点O到BC的距离为4，则AO的长为________．
4或12
【点拨】因为OB＝OC，所以点O在BC的垂直平分线上．又因为AB＝AC，所以点A也在BC的垂直平分线上，所以AO所在直线是BC的垂直平分线．当点O和点A在BC同侧时，AO＝8－4＝4；当点O和点A在BC两侧时，AO＝8＋4＝12.综上所述，AO的长为4或12.
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