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湘教版数学八年级上册培优精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.章末复习第5章直角三角形第5章直角三角形综合练习题第五章核心知识汇总：本章重点包含直角三角形性质、含30°角直角三角形性质、勾股定理及逆定理、直角三角形全等判定（HL）、角平分线性质及逆定理。所有题型围绕章节核心考点设计，适配单元巩固、随堂检测、期末复习。一、基础填空题（每空3分，共18分）1.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，若斜边AB=10，则30°角所对的直角边BC=______。2.直角三角形两直角边长为5、12，则斜边长为______。3.三边长为9、12、15的三角形______（填“是”或“不是”）直角三角形。4.直角三角形全等的专属判定定理是______定理。5.角平分线上的点到角两边的______相等。6.在角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的______上。二、单项选择题（每题4分，共20分）7.下列关于直角三角形的性质说法错误的是（）A.直角三角形两锐角互余B. 30°角对的直角边等于斜边一半C.斜边中线等于斜边的一半D.任意两边平方和等于第三边平方8.下列各组数中，不属于勾股数的是（）A. 6、8、10 B. 7、24、25 C. 5、7、9 D. 9、12、159.判定两个直角三角形全等，不能使用的条件是（）A. HL B. AAA C. SAS D. AAS10.点P在∠AOB内部，PM⊥OA，PN⊥OB，若PM=PN，则（）A. OP=OA B. OP平分∠AOB C. OP⊥AB D. ∠AOB=90°11.一棵大树折断后，折断部分与地面成30°角，树干剩余高4m，则折断部分长度为（）A. 4m B. 8m C. 10m D. 12m三、基础解答题（每题8分，共32分）12.在Rt△ABC中，∠C=90°，a=8，b=15，求斜边c和三角形周长。13.已知三角形三边长为12、16、20，求证该三角形是直角三角形。14.已知：AC⊥BC，AD⊥BD，AC=BD，求证：Rt△ABC≌Rt△BAD。15.如图，AD平分∠BAC，DB⊥AB，DC⊥AC，求证：DB=DC。四、综合应用题（每题15分，共30分）16.台风导致电线杆断裂，电线杆原高18m，断裂后顶端落地点距离杆底12m，求电线杆断裂处距离地面的高度。17.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，CD=4，AB=15，求△ABD的面积。参考答案与详细解析1. 5解析：含30°角直角三角形性质，30°对直角边=斜边的一半。2. 13解析：勾股定理$$5^2+12^2=13^2$$。3.是解析：$$9^2+12^2=15^2$$，满足勾股定理逆定理。4. HL（斜边、直角边）解析：直角三角形独有全等判定定理。5.距离解析：角平分线性质定理核心内容。6.平分线解析：角平分线逆定理核心定义。7. D解析：勾股定理仅适用两直角边平方和等于斜边平方，并非任意两边。8. C解析：$$5^2+7^2\neq9^2$$，无法构成直角三角形，不是勾股数。9. B解析：AAA只能判定相似，无法判定三角形全等。10. B解析：依据角平分线逆定理，等距证平分。11. B解析：30°角对直角边为4m，斜边（折断部分）=8m。12.解：由勾股定理得$$c=\sqrt{8^2+15^2}=\sqrt{289}=17$$，周长=8+15+17=40。答：斜边为17，周长为40。13.证明：最长边为20，$$12^2+16^2=144+256=400=20^2$$，满足勾股定理逆定理，故此三角形为直角三角形。14.证明：∵AC⊥BC，AD⊥BD，∴∠C=∠D=90°。在Rt△ABC和Rt△BAD中，AB=BA（公共边），AC=BD（已知），∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL）。15.证明：∵AD平分∠BAC，DB⊥AB，DC⊥AC，根据角平分线性质定理，角平分线上的点到角两边距离相等，∴DB=DC。16.解：设断裂处离地高$$x$$m，则折断部分长$$(18-x)$$m。由勾股定理：$$x^2+12^2=(18-x)^2$$，展开化简得$$x^2+144=324-36x+x^2$$，解得$$x=5$$。答：断裂处距离地面5米。17.解：∵AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB，∴DE=CD=4。$$S_{\triangle ABD}=\frac12\times AB\times DE=\frac12\times15\times4=30$$。答：△ABD面积为30。章节复习小结：本章解题核心思路：1.含30°直角三角形优先用边长倍数关系快速计算；2.边长判定用勾股定理，边长计算用勾股定理公式；3.直角三角形全等优先用HL简化证明；4.角平分线问题牢记“平分得等距、等距证平分”，规避重复证全等的繁琐步骤。直角三角形的性质定理1
直角三角形的两个锐角______.
互余
直角三角形的判定定理1
有两个角______的三角形是直角三角形.
互余
一、直角三角形的性质与判定
概念梳理
直角三角形的重要推论
1. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的_____.
一半
2. 在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的_____.
一半
3. 在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于____°.
30
1. 如果直角三角形两直角边分别为 a，b，斜边
为 c，那么
a2 + b2 = c2
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
在直角三角形中才可以运用.
2. 勾股定理的应用条件
二、勾股定理
3. 勾股定理表达式的常见变形：
a2＝c2－b2， b2＝c2－a2，
A
B
C
c
a
b
三、勾股定理的逆定理
1. 勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长 a，b，c 满足
a2 + b2 = c2 ，
那么这个三角形是直角三角形.
满足 a2 + b2 = c2 的三个正整数，称为勾股数.
2. 勾股数
A
B
C
c
a
b
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.
简写成“斜边，直角边”或“HL”.
A
B
C
D
E
F
注意：①对应相等；
②“HL”仅适用直角三角形；
③书写格式应为:
∵在 Rt△ABC 和 Rt△DEF 中，
AB = DE，
AC = DF，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF (HL).
四、直角三角形全等的判定
图形
已知 条件
结论
P
C
P
C
OP 平分∠AOB
PD ⊥ OA 于 D
PE ⊥ OB 于 E
PD = PE
OP 平分 ∠AOB
PD = PE
PD⊥ OA 于 D
PE ⊥ OB 于 E
角的平分线的判定
角的平分线的性质
五、 角平分线的性质与判定
1. 如图是脊柱侧弯的检测
示意图，在体检时为方便测出角
的大小，需将 转化为与它相等的角，
则图中与 相等的角是( )
B
A. B. C. D.
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2．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，点D，E分别在边AC，BC上，且DC＝DE，BE的垂直平分线交AB于点F，交BE于点G，连接EF，DF.
(1)试判断△DEF的形状，并说明理由．
【解】△DEF是直角三角形，理由如下：
因为FG是线段BE的垂直平分线，所以BF＝EF，
所以∠B＝∠FEB.因为DC＝DE，所以∠DEC＝∠C.
因为∠A＝90°，所以∠B＋∠C＝90°，
所以∠FEB＋∠DEC＝90°，
所以∠DEF＝90°，所以△DEF是直角三角形．
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(2)若∠B?∠C＝7?11，求∠ADE的度数．
【解】因为∠B?∠C＝7?11，所以可设∠B＝(7x)°，∠C＝(11x)°.
因为∠B＋∠C＝90°，所以7x＋11x＝90，解得x＝5，
所以∠C＝55°.所以∠DEC＝∠C＝55°，
所以∠ADE＝∠DEC＋∠C＝110°.
返回
108°
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4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边的中线，点E在BC上，且CE＝AC，∠BAE＝15°，则∠DEB的大小为(　　)
A．125° B．75° C．105° D．115°
C
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5. 如图，△ABC中，∠A＝∠C＝30°，AB＝12，点D是AC边上的动点，连接DB，以DB为边在其左侧作等边三角形BDE，在点D的运动过程中，线段AC的中点M与点E距离的最小值为________．
3
6. [黄冈市竞赛]如图，在直线l上依次摆放七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别为1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1＋2S2＋2S3＋S4＝(　　)
A．5 B．4 C．6 D．16
C
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【点拨】先根据正方形中∠ABD＝90°，AB＝DB.可证得△ABC≌△BDE，于是有AC＝BE，再利用勾股定理，得DE2＋BE2＝BD2，即DE2＋AC2＝BD2.所以S1＋S2＝1.同理，S2＋S3＝2，S3＋S4＝3.所以S1＋2S2＋2S3＋S4＝1＋2＋3＝6.
7. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，M为边AB的中点，点D在边BC上．过点M作ME⊥MD于点M，与边AC交于点E，连接DE，探究线段AE，DE，DB之间满足什么数量关系？并说明理由．
【解】方法1：ED2＝AE2＋BD2.理由如下：
如图①，作AN∥BC交DM的延长线于点N，连接EN，
所以∠NAM＝∠B，∠ANM＝∠BDM.
因为M为边AB的中点，所以AM＝BM.
所以△ANM≌△BDM，所以AN＝BD，MN＝MD.
又因为ME⊥MD，所以ME是线段DN的垂直平分线，所以ED＝EN.
因为∠C＝90°，AN∥BC，所以∠EAN＝90°，
所以EN2＝AE2＋AN2，所以ED2＝AE2＋BD2.
方法2：ED2＝AE2＋BD2.理由如下：
如图②，延长EM到点E′，使得EM＝ME′，连接DE′，BE′，则∠EMD＝∠E′MD＝90°.
又因为EM＝E′M，MD＝MD，
所以△EMD≌△E′MD，
所以DE＝DE′.
因为M为AB的中点，所以AM＝BM.
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在△AEM和△BE′M中，AM＝BM，∠AME＝∠BME′，EM＝E′M，所以△AEM≌△BE′M，
所以AE＝BE′，∠AEM＝∠BE′M，所以AC∥BE′.
因为∠C＝90°，所以∠E′BD＝90°.
在Rt△DBE′中，BD2＋E′B2＝E′D2.
所以ED2＝AE2＋BD2.
8. 如图，在四边形ABCD中，AC为∠BAD的平分线，过点C作CF⊥AD，已知CB＝CD.若CF＝6，AB＝4，S△ACD＝21，则DF的长为________．
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9. 如图，在
中，，，
为的中点，为 的角
平分线，的面积记为 ，
B
A. 13 B. C. D.
的面积记为，则 为
( )
【点拨】如图，过分别作于 ，
于.因为为 的角平分线，
所以，所以 .
所以.因为， ,
所以 ，所以
.因为是 的中点，所以
，
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10. 如图，在△ABC中，AB＝5，BC＝4，AC＝3，点O是△ABC三条角平分线的交点，则△BCO的边BC上的高是________．
1
【点拨】过O作OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，OD⊥AB于D，如图．因为在△ABC中，AB＝5，BC＝4，AC＝3，所以BC2＋AC2＝42＋32＝25，AB2＝52＝25，所以BC2＋AC2＝AB2，所以△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°.因为点O为△ABC三条角平分线的交点，所以OE＝OF＝OD.
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11. 在中， ，，
是的角平分线，它们相交于点 .
（1）如图①，连接，求证：点在 的平分线上；
【证明】如图①，过点分别作，， 的垂线段，垂足
分别为点，， .
因为，是的角平分线，所以， ，
所以，所以点在 的平分线上.
（2）如图②，延长交于点，过点
作于点，于点 .求证：
.
如图②，过点作交的延长线于点 .
因为是的平分线， ，
所以 .
因为 ，所以 .
因为是 的平分线，
所以 ，
所以，所以是 的平分线.
又因为,所以，所以 .
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12.如图，在一张长方形纸板 上
放着一个长方体木块.已知
， ，该木块的
长与平行，横截面是边长为 的
正方形，则一只蚂蚁从点爬过木块到达点 需要走的最短路
程为________.
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13.如图，在中， ，
，，为上一点，若 是
的平分线，则 ___.
5
【点拨】如图，过点作于点 .
因为 ，所以.又因为 是
的平分线，所以.在
和中， 所以
（斜边、直角边），所以 .
因为在中， ，
所以 .设
，则 .因
为在中， ，所以
，解得 ，所以
.
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