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　第三十章　学情评估
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.如图，若⊙O的半径为8，圆心到一条直线的距离为6，则这条直线可能是(　　)
A．l1 B．l2 C．l3 D．l4
(第1题)　　　　　(第2题)
　　　　　(第3题)　　　　　(第4题)
2．如图，AB是⊙O的直径，过点D的切线与AB的延长线相交于点C，且∠C＝3∠A，则∠A＝(　　)
A．18° B．36° C．54° D．60°
3．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，连接OA，AC，则∠OAC的度数为(　　)
A．20° B．25° C．30° D．40°
4．在中国古代文化中，玉璧寓意宇宙的广阔与秩序，也经常被视为君子修身齐家的象征．如图是某玉璧的平面示意图，由一个正方形的内切圆和外接圆组成．已知内切圆的半径是2，则图中阴影部分的面积是(　　)
A．π B．2π C．3π D．4π
5．如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB＝6，BC＝9，CA＝8，则AF的长为(　　)
A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
(第5题)
　　　　　　　(第6题)　　　　　　　(第7题)
6．中国凉亭是自然与人文的交汇点，它不仅是遮阳避雨的休憩之所，更是园林的诗眼、山水的情怀，体现了天人合一、虚实相生的传统哲学意境．有一个凉亭，它的地基的平面示意图如图所示，该地基的平面示意图可以近似看作是半径为5 m的⊙O的内接正六边形，则这个正六边形地基的周长为(　　)
A．20 m B．15 m C．25 m D．30 m
7．如图，在△ABC中，BA＝BC，∠B＝40°，点D在BC边上，点O为△ADC的内心，当△ABD为钝角三角形时，α<∠AOC<β，则α和β的值分别为(　　)
A．α＝110°，β＝130° B．α＝100°，β＝135°
C．α＝110°，β＝135° D．α＝100°，β＝130°
8. 已知⊙O及⊙O外一点P，过点P作出⊙O的一条切线(只用圆规和三角尺这两种工具)，以下是甲、乙两名同学的作法：
甲：①连接OP，作OP的垂直平分线l，交OP于点A；②以点A为圆心，OA的长为半径画弧，交⊙O于点M；③作直线PM，则直线PM即为所求(如图①)．
乙：①让三角尺的一条直角边始终经过点P；②调整三角尺的位置，让它的另一条直角边过圆心O，直角顶点落在⊙O上，记这时直角顶点的位置为点M；③作直线PM，则直线PM即为所求(如图②)．
对于两人的作法，下列说法正确的是(　　)
A．甲、乙都对 B．甲、乙都不对
C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对
(第8题)
　　　　　(第9题)　　　　　(第10题)
9．如图，直线AB，BC，CD分别与⊙O相切于点E，F，G，且AB∥CD，OB＝6 cm，OC＝8 cm，则⊙O的直径为(　　)
A．4.8 cm B．6 cm C．8 cm D．9.6 cm
10．如图，在边长为4的等边三角形AOB中，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则线段PQ长度的最小值为(　　)
A. B. C．2 D.
二、填空题(本大题共3小题，每小题4分，共12分)11.如图，⊙O是△ABC的内切圆，点D，E是切点，∠A＝50°，∠C＝60°，则∠DOE＝________．
(第11题)　　　　　　(第13题)
12．已知⊙O的半径r＝5，直线l1∥l2，且l1与⊙O相切，圆心O到l2的距离为7，则l1与l2之间的距离为________．
13．如图，在正六边形ABCDEF中，AB＝2，连接AC，AE，以点D为圆心、CD的长为半径作圆弧CE，则图中阴影部分的面积是________．
三、解答题(本大题共4小题，共48分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)14.(8分)如图，点O是Rt△ABC斜边AC边上的一点，以OA为半径的⊙O与边BC相切于点D.求证：AD平分∠BAC.
15．(12分)如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O.
(1)若点P是上的动点，连接BP，FP，求∠BPF的度数；
(2)已知△ADF的面积为2 .
①求∠DAF的度数；
②求⊙O的半径．
16．(13分)如图①，在△ABC中，AB＝AC，点O在边AB上，⊙O过点B且分别与边AB，BC相交于D，E两点，EF⊥AC，垂足为F.
(1)求证：直线EF是⊙O的切线；
(2)如图②，当△ABC是等边三角形，且直线DF与⊙O相切时，写出长度为线段BE长度的2倍的所有线段．
17．(15分)如图，在△ACB中，∠CAB＝90°，∠ABC＝30°，AB＝12 cm，半圆O的直径DE在直线AB上，且DE＝12 cm，点O在△ACB的左侧，OA＝10 cm.若半圆O沿AB方向以2 cm/s的速度向右运动，设运动时间为t s.
(1)当t＝________时，半圆O与直线AC相切；
(2)当t＝5时，试判断直线BC与半圆O的位置关系，并说明理由；
(3)当t＝8时，求半圆O与三角形重合部分的面积．
答案
1．B　2.A　3.C　4.D　5.B　6.D　7.C　8.A　9.D　10.B
11．110°　12.2或12　13.4 －
14．证明：如图，连接OD.
∵⊙O与边BC相切于点D，
∴OD⊥BC，即∠ODC＝90°.
∵△ABC为直角三角形，
∴∠ODC＝∠B＝90°，
∴OD∥AB，∴∠1＝∠3.
∵OD＝OA，∴∠1＝∠2，
∴∠3＝∠2，∴AD平分∠BAC.
15．解：(1)如图，连接AP，FO，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴AF＝AB，
∠AOF＝＝60°，
∴∠APF＝∠AOF＝30°.
∵AF＝AB，∴＝，
∴∠APB＝∠APF＝30°，
∴∠BPF＝∠APB＋∠APF＝60°.
(2)①∵∠AOF＝60°，AO＝FO，
∴△AOF是等边三角形，
∴∠DAF＝60°.
②∵AD是⊙O的直径，∴∠AFD＝90°.
在Rt△AFD中，∵∠DAF＝60°，
∴∠ADF＝30°，
∴AD＝2AF，∴易得DF＝AF，
∴S△ADF＝AF·DF＝AF2＝2 ，∴AF＝2，由①知△AOF是等边三角形，∴OA＝AF＝2，即⊙O的半径为2.
16．(1)证明：如图①，连接OE.
∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.
∵在△BOE中，OB＝OE，
∴∠B＝∠OEB.
∴∠OEB＝∠C，∴OE∥AC.
∵EF⊥AC，∴OE⊥EF.
∵OE为⊙O的半径，
∴直线EF是⊙O的切线．
　　
(2)解：如图②，连接DE，
∵直线DF与⊙O相切，直线EF是⊙O的切线，
∴∠ADF＝90°，DF＝EF.
∵BD是⊙O的直径，∴∠BED＝90°.
∵EF⊥AC，∴∠EFC＝∠AFE＝90°.
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，
∴∠AFD＝∠BDE＝∠CEF＝30°，
∴BD＝2BE.∵∠AFE＝90°，
∴∠DFE＝∠AFE－∠AFD＝60°，
∴△DEF是等边三角形，
∴DF＝DE＝EF，
∴△ADF≌△BED≌△CFE，
∴AF＝CE＝BD＝2BE，AD＝BE.
∵BD＝2OD，∴BE＝OD，
∴AO＝AD＋OD＝2BE.
∴长度为线段BE长度的2倍的所有线段为AF，CE，BD，AO.
17．解：(1)2或8
(2)相切．理由如下：当t＝5时，半圆O运动的距离为5×2＝10(cm)，此时点O与点A重合．
如图①，过点A作BC的垂线，交BC于点F，
∵∠AFB＝90°，∠ABC＝30°，AB＝12 cm，
∴AF＝AB＝6 cm.
∵AE＝DE＝6 cm，
∴AF＝AE，∴点F在半圆O上，即AF为半圆O的半径，∴当t＝5时，直线BC与半圆O相切．
　
(3)当t＝8时，半圆O运动的距离为8×2＝16(cm)，此时点O运动到线段AB的中点处，点A，B分别和点D，E重合．如图②，过点O作BC的垂线，交BC于点G，设此时半圆O与BC相交于点M，连接OM.
∵∠OEM＝30°，OE＝OM，
∴∠OME＝∠OEM＝30°，
∴∠MOD＝60°.
∵OD＝OE＝DE＝6 cm，
∴扇形MOA的面积为＝6π(cm2)．∵∠OGE＝90°，
∴OG＝OE＝3 cm.
在Rt△OGE中，根据勾股定理，
得GE＝＝3 cm.
∵OE＝OM，OG⊥EM，∴MG＝GE，
∴EM＝6 cm，
∴S△OEM＝EM·OG＝×6 ×3＝9 (cm2)，
∴当t＝8时，半圆O与三角形重合部分的面积为(6π＋9 )cm2.

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