资源简介

1．通过史实，了解万有引力定律的发现过程。知道万有引力定律。
2．认识发现万有引力定律的重要意义。认识科学定律对人类探索未知世界的作用。
3．会计算人造地球卫星的环绕速度。知道第二宇宙速度和第三宇宙速度。
4．初步了解相对论时空观。
万有引力与宇宙航行 开普勒行星 运动定律 2025年：广东卷·T5；安徽卷·T9；湖南卷·T4；云南卷·T5 2024年：安徽卷·T5；山东卷·T5 2023年：湖北卷·T2；浙江1月选考·T10
万有引力定律应 用及宇宙航行 2025年：河南卷·T3；海南卷·T4；陕晋宁青卷·T2；山东卷·T6；四川卷·T6；北京卷·T7；浙江1月选考·T6; 湖北卷·T2；重庆卷·T7；甘肃卷·T2；河北卷·T7 2024年：海南卷·T5; 重庆卷·T7；全国甲卷·T16；湖北卷·T4；广东卷·T9；江西卷·T4；河北卷·T8；新课标卷·T16；湖南卷·T7；浙江1月选考·T9
1．复习时应了解近几年中国在航空航天领域的发展及取得的成就。知道开普勒行星运动定律，熟练掌握万有引力定律的基本应用，培养学生的模型构建素养及运算和估算能力，熟练应用万有引力定律的两条基本思路解决相关问题。
2．复习中应注意本章所涉及的比例法、环绕法、重力加速度法等科学思维方法在天体运动问题中的应用。
第1讲　万有引力定律及其应用
目标 要求 　 　 1.理解开普勒行星运动定律和万有引力定律，并会解决相关问题。2.掌握计算天体质量和密度的方法。3.初步了解相对论时空观。
一、开普勒三定律
1．定律内容
定律 内容 图示或公式
开普勒第一定律(轨道定律) 所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上
开普勒第二定律(面积定律) 对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等
开普勒第三定律(周期定律) 所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比都相等 ＝k，k是一个与行星无关的常量
2．适用条件：适用于宇宙中一切环绕同一中心天体的运动。
二、万有引力定律及应用
1．内容：自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小与两物体质量的乘积成正比，与两物体间距离的二次方成反比。
2．公式：F＝G，其中G为引力常量，G＝6.67×10-11_N·m2/kg2，其值由卡文迪什通过扭秤实验测得。公式中的r是两个物体之间的距离。
3．适用条件：适用于两个质点或均匀球体；r为两质点或均匀球体球心间的距离。
三、相对论时空观与牛顿力学的局限性
1．相对论时空观
(1)爱因斯坦的两个假设
①在不同的惯性参考系中，物理规律的形式都是相同的。
②真空中的光速在不同的惯性参考系中大小都是相同的。
(2)爱因斯坦假设的结果
①时间延缓效应
如果相对于地面以v运动的惯性参考系上的人观察到与其一起运动的物体完成某个动作的时间间隔为Δτ，地面上的人观察到该物体完成这个动作的时间间隔为Δt，那么两者之间的关系是Δt＝。
②长度收缩效应
如果与杆相对静止的人测得杆长是l0，沿着杆的方向，以v相对杆运动的人测得杆长是l，那么两者之间的关系是l＝l0。
2．牛顿力学的成就与局限性
牛顿力学适用于宏观物体、低速运动。
1．判断正误
(1)当两物体间的距离趋近于零时，万有引力趋近于无穷大。(×)
(2)地面上的物体所受地球的引力方向一定指向地心。(√)
(3)卡文迪什利用扭秤实验装置比较准确地测出了引力常量。(√)
(4)围绕同一天体运动的不同行星椭圆轨道不一样，但都有一个共同的焦点。(√)
(5)行星在椭圆轨道上运行速率是变化的，离太阳越远，运行速率越大。(×)
2．(粤教版教材原题改编)两个质量均匀的球形物体，两球心相距r时它们之间的万有引力为F，若将两球的半径都加倍，两球心的距离也加倍，它们之间的作用力为(　　)
A．2F B．4F
C．8F D．16F
解析：D　由M＝πR3ρ可知，两球半径加倍后，其质量M′＝8M，又r′＝2r，由万有引力定律F＝，F′＝，可得F′＝16F，选项D正确。
3．(2025·新课标卷，15)“天都一号”通导技术试验卫星测距试验的成功，标志着我国在深空轨道精密测量领域取得了技术新突破。“天都一号”在环月椭圆轨道上运行时(　　)
A．受月球的引力大小保持不变
B．相对月球的速度大小保持不变
C．离月球越近，其相对月球的速度越大
D．离月球越近，其所受月球的引力越小
解析：C　“天都一号”在环月椭圆轨道上运行时与月球的距离不断发生变化，根据F＝G可知受月球的引力大小发生变化，离月球越近，其所受月球的引力越大，故AD错误；根据开普勒第二定律可知，“天都一号”在环月椭圆轨道上运行时相对月球的速度大小改变，近月点速度最大，远月点速度最小，即离月球越近，相对月球的速度越大，故B错误，C正确。
考点一　开普勒行星运动定律
考向1　开普勒第一定律和第二定律的理解及应用
　如图是某小行星绕太阳运动的椭圆轨道，M、N、P是小行星依次经过的三个位置，F1、F2为椭圆的两个焦点。小行星由M到N和由N到P的过程中，通过的路程相等，小行星与太阳中心的连线扫过的面积分别为S1和S2。已知由M到N过程中，太阳的引力对小行星做正功。下列判断正确的是(　　)
A．太阳位于焦点F1处
B．S1>S2
C．在M和N处，小行星的动能EkM>EkN
D．在N和P处，小行星的加速度aN>aP
解析：B　已知由M到N过程中，太阳的引力对小行星做正功，说明小行星靠近太阳运动，所以太阳位于焦点F2处，A错误；根据开普勒行星运动定律可知小行星由M到P的过程中速度逐渐增大，小行星由M到N和由N到P的过程中，通过的路程相等，所以小行星由M到N运动时间大于由N到P的运动时间，由开普勒第二定律可知S1>S2，B正确；由动能定理，M到N过程中，万有引力做正功，则动能增大，即EkM由开普勒第二定律可知va·Δt·a＝·Δt·b，可得va＝。可推知，行星到太阳的距离越大，行星的速率越小，反之越大。
考向2　开普勒第三定律的理解及应用
　(2024·山东卷，5)“鹊桥二号”中继星环绕月球运行，其24小时椭圆轨道的半长轴为a。已知地球同步卫星的轨道半径为r，则月球与地球质量之比可表示为(　　)
A．
C．
解析：D　“鹊桥二号”中继星在24小时椭圆轨道上运行时，由开普勒第三定律有＝k，对地球同步卫星由开普勒第三定律有＝k′，则有，D正确。
　(2025·云南卷，5)国际编号为192391的小行星绕太阳公转的周期约为5.8年，该小行星与太阳系内八大行星几乎在同一平面内做圆周运动。规定地球绕太阳公转的轨道半径为1 AU，八大行星绕太阳的公转轨道半径如表所示。忽略其他行星对该小行星的引力作用，则该小行星的公转轨道应介于(　　)
行星 水星 金星 地球 火星 木星 土星 天王星 海王星
轨道半径R/AU 0.39 0.72 1.0 1.5 5.2 9.5 19 30
A．金星与地球的公转轨道之间
B．地球与火星的公转轨道之间
C．火星与木星的公转轨道之间
D．天王星与海王星的公转轨道之间
解析：C　由开普勒第三定律得R行＝R地，代入数据解得R行＝3.2 AU，结合图表可知该小行星的公转轨道应介于火星与木星的公转轨道之间，C正确。
易错提醒：开普勒第三定律＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同，故该定律只能用在绕同一中心天体公转的星体之间。
考点二　万有引力定律的理解
考向1　万有引力的计算
　(经典高考题)火星的质量约为地球质量的，半径约为地球半径的，则同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力的比值约为(　　)
A．0.2 B．0.4
C．2.0 D．2.5
解析：B　万有引力表达式为F＝G，则同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力的比值为＝0.4，故B正确。
考向2　万有引力与重力的关系
　(2025·广州广雅中学期中)某行星为质量分布均匀的球体，半径为R、质量为M。科研人员研究同一物体在该行星上的重力时，发现物体在“两极”处的重力为“赤道”上某处重力的1.1倍。已知引力常量为G，则该行星自转的角速度为(　　)
A． C．
解析：B　设该行星“赤道”上某处的重力加速度大小为g，该行星自转的角速度为ω，物体的质量为m，物体在“两极”处所受行星的万有引力大小等于重力大小，即G＝1.1mg，物体在“赤道”上某处时所受行星的万有引力按效果进行分解，有G＝mg＋mω2R，联立解得ω＝ ，故选B。
考向3　地球外部某点和地球内部某点加速度的计算
　(2025·长春外国语学校月考)若地球半径为R，把地球看作质量分布均匀的球体，已知质量分布均匀的球壳对球内任一质点的万有引力为零。中国空间站轨道距离地面高度为h，所在处的重力加速度为g1；“蛟龙”号载人潜水器下潜深度为d，所在处的重力加速度为g2；地表处重力加速度为g，不计地球自转影响，下列关系式正确的是(　　)
A．g1＝g B．g2＝g
C．g1＝g2 D．g1＝g2
解析：C　对于中国空间站，根据万有引力提供向心力可得＝mg1，解得g1＝，在地球表面＝mg，因此g1＝g，A错误；设地球密度为ρ，在地球表面万有引力等于重力，即＝m1g，又因为m地＝ρV＝，代入得g＝，由于质量分布均匀的球壳对球内任一质点的万有引力为零，因此g2＝g，B错误；由以上各式联立可得，C正确，D错误。
[归纳总结]　万有引力的“两个推论”
(1)推论1：在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的各部分万有引力的合力为零，即∑F引＝0。
(2)推论2：在匀质球体内部距离球心r处的质点m受到的万有引力等于球体内半径为r的同心球体M′对它的万有引力，即F＝G 。
地球对物体的万有引力F表现为两个效果，如图所示。
(1)在赤道上：G＝mg1＋mω2R。
(2)在两极上：G＝mg2。
(3)在一般位置：万有引力G等于重力mg与向心力F向的矢量和。
考点三　天体质量和密度的估算
　(2024·海南卷，6)“嫦娥六号”进入环月圆轨道，周期为T，轨道高度与月球半径之比为k，引力常量为G，则月球的平均密度为(　　)
A． C．(1＋k)3
解析：D　设月球的质量为M，月球的半径为R，“嫦娥六号”的质量为m，则“嫦娥六号”的轨道半径为r＝(k＋1)R，由万有引力提供向心力得G(kR＋R)，月球的体积V＝πR3，月球的平均密度ρ＝，联立解得ρ＝(1＋k)3，D正确。
　(2024·新课标卷，16)天文学家发现，在太阳系外的一颗红矮星有两颗行星绕其运行，其中行星GJ1002c的轨道近似为圆，轨道半径约为日地距离的0.07倍，周期约为0.06年，则这颗红矮星的质量约为太阳质量的(　　)
A．0.001倍 B．0.1倍
C．10倍 D．1000倍
解析：B　根据万有引力提供向心力，地球绕太阳运动时有Gr1，则M太＝，行星GJ1002c绕红矮星运动，Gr2，则M＝，则红矮星质量与太阳质量之比为≈0.1。故选B。
　(2025·江苏泰州期末)航天员在月球表面将一片羽毛和一个铁锤从同一高度由静止同时释放，二者几乎同时落地。若羽毛和铁锤是从高度为h处开始下落，经时间t落到月球表面。已知引力常量为G，月球的半径为R(不考虑月球自转的影响)。求：
(1)月球表面的自由落体加速度大小g月；
(2)月球的质量M；
(3)月球的密度ρ。
解析：(1)羽毛和铁锤在月球表面附近做自由落体运动，有h＝g月t2
解得g月＝。
(2)不考虑月球自转的影响，对在月球表面上质量为m的物体，有
G＝mg月
解得M＝。
(3)假设月球为均匀球体，则其体积V＝πR3
根据密度公式可知，ρ＝
解得ρ＝。
答案：(1)　(2)　(3)
求解天体质量和密度的两种方法
(1)利用卫星绕天体周期T和半径r的方法
①由Gr，得天体的质量M＝。
②若已知天体的半径R，则天体的密度ρ＝。
(2)利用天体表面的重力加速度g和天体半径R的方法
①由G＝mg，得天体质量M＝。
②天体密度ρ＝。
③GM＝gR2称为黄金代换公式。
素养拓展　用填补法计算万有引力
“填补法”：对非对称的物体，通过填补后构成对称物体，然后再利用对称物体所满足的物理规律进行求解的方法。
如图所示，通过填补后完整球体对外部质点的引力为F，挖去的小球对外部质点的引力记为F1，挖掉小球后的剩余部分对外部质点引力为F2，则有F2＝F－F1。
　有一质量为M、半径为R、密度均匀的球体，在距离球心O为2R的地方有一质量为m的质点。现从球体中挖去半径为0.5R的小球体，如图所示，引力常量为G，则剩余部分对m的万有引力为(　　)
A．
C．
解析：A　挖去小球前球对质点的万有引力F1＝G，挖去的球体的质量M′＝，被挖部分对质点的引力为F2＝，则剩余部分对质点m的万有引力F＝F1－F2＝，故A正确。
　如图所示，将一个半径为R、质量为M的均匀大球，沿直径挖去两个半径分别为大球一半的小球，并把其中一个放在球外与大球靠在一起。若挖去的小球的球心、球外小球的球心、大球的球心在一条直线上，则大球中剩余部分与球外小球的万有引力大小约为(已知引力常量为G)(　　)
A．0.01 B．0.02
C．0.05 D．0.04
解析：D　由题意知，所挖出小球的半径为，质量为，则未挖出小球前大球对球外小球的万有引力大小为F＝G，将所挖出的其中一个小球填在原位置，填入左侧原位置小球对球外小球的万有引力为F1＝，填入右侧原位置小球对球外小球的万有引力为F2＝G，则大球中剩余部分对球外小球的万有引力大小为F3＝F－F1－F2＝0.04，故D正确。
限时规范训练(25)　万有引力定律及其应用
(建议用时：40分钟　满分：67分)
(选择题1～6题每题5分，7～11题每题6分，12题7分，共67分)
[基础巩固练]
1．(2024·全国甲卷，16)2024年5月，嫦娥六号探测器发射成功，开启了人类首次从月球背面采样返回之旅。将采得的样品带回地球，飞行器需经过月面起飞、环月飞行、月地转移等过程。月球表面自由落体加速度约为地球表面自由落体加速度的。下列说法正确的是(　　)
A．在环月飞行时，样品所受合力为零
B．若将样品放置在月球正面，它对月球表面压力等于零
C．样品在不同过程中受到的引力不同，所以质量也不同
D．样品放置在月球背面时对月球的压力，比放置在地球表面时对地球的压力小
解析：D　在环月飞行时，样品所受的合力提供向心力，不为零，A错误；若将样品放置在月球正面，根据牛顿第三定律可知，它对月球表面的压力等于月球对它的支持力，根据力的平衡条件可知，月球对它的支持力等于它在月球上的重力，不为零，故它对月球表面的压力不为零，B错误；质量是物体的固有属性，不会随受到的引力的变化而变化，C错误；由于月球表面重力加速度较地球表面的小，则样品在月球表面所受重力较在地球表面的小，结合B项分析可知，样品放置在月球背面时对月球的压力较其放在地球表面时对地球的压力小，D正确。
2．(2025·内蒙古高考适应性演练)紫金山—阿特拉斯彗星由紫金山天文台首次发现，其绕太阳运行周期约为6万年。该彗星轨道的半长轴与日地平均距离的比值约为(　　)
A．1.5×103　　　　 B．1.5×104
C．1.5×106 D．1.5×107
解析：A　由开普勒第三定律，可得该彗星轨道的半长轴与日地平均距离的比值为≈1.5×103，故选A。
3．(2025·广东卷，5)一颗绕太阳运行的小行星，其轨道近日点和远日点到太阳的距离分别约为地球到太阳距离的5倍和7倍。关于该小行星，下列说法正确的是(　　)
A．公转周期约为6年
B．从远日点到近日点所受太阳引力大小逐渐减小
C．从远日点到近日点线速度大小逐渐减小
D．在近日点加速度大小约为地球公转加速度的
解析：D　由题意可知该小行星轨道的半长轴为地球到太阳距离的6倍，由开普勒第三定律可知，其中a小行星为小行星轨道的半长轴，可得T小行星＝ T地＝14.7年，A错误；从远日点到近日点，该小行星到太阳的距离逐渐减小，由万有引力定律F引＝可知从远日点到近日点，该小行星所受太阳引力大小逐渐增大，B错误；从远日点到近日点，该小行星到太阳的距离逐渐减小，由开普勒第二定律可知，当行星离太阳较近的时候，运行的速度较大，而离太阳较远的时候速度较小，因此从远日点到近日点，该小行星的线速度大小逐渐增大，C错误；由万有引力定律F引＝和牛顿第二定律F引＝ma可得a＝，由于该小行星的轨道近日点到太阳的距离约为地球到太阳距离的5倍，则该小行星在近日点的加速度大小约为地球公转加速度的，D正确。
4．(2025·陕西安康三模)如图所示，天问一号在近火圆轨道的角速度大小为ω，已知引力常量为G，则火星的平均密度为(　　)
A．
C．
解析：D　设火星的质量为M，半径为R，平均密度为ρ，则有M＝ρ·πR3，天问一号在近火圆轨道运行时，有＝mω2R，联立解得ρ＝，故选D。
5．(2025·北京市东城区二模)质量为m的物块静止放置于地球赤道某处的水平桌面上。已知地球质量为M，半径为R，自转周期为T，引力常量为G。若考虑地球自转，将地球视为质量均匀分布的球体，则物块对桌面的压力大小F等于(　　)
A．G B．mR
C．GR D．GR
解析：C　对物块，由牛顿第二定律有－FN＝mR，解得物块受到的支持力FN＝R，根据牛顿第三定律，可知物块对桌面的压力F大小为R。故选C。
6．(2026·山东实验中学高三开学考)一与地球密度相同的星球表面的重力加速度是地球表面的重力加速度的2倍，则该星球的质量是地球质量的(忽略其自转影响)(　　)
A．倍 B．2倍
C．4倍 D．8倍
解析：D　根据πR3，可得ρ＝，由于星球与地球密度相同，星球表面的重力加速度是地球表面的重力加速度的2倍，则星球的半径是地球半径的2倍，则该星球的质量是地球质量的8倍。故选D。
[能力提升练]
7．(2025·湖南卷，4)我国研制的天问二号探测器，任务是对伴地小行星及彗星交会等进行多目标探测。某同学提出探究方案，通过释放卫星绕小行星进行圆周运动，可测得小行星半径R和质量M。为探测某自转周期为T0的小行星，卫星先在其同步轨道上运行，测得距离小行星表面高度为h，接下来变轨到小行星表面附近绕其做匀速圆周运动，测得周期为T1。已知引力常量为G，不考虑其他天体对卫星的引力，可根据以上物理量得到R＝。下列选项正确的是(　　)
A．a为T1，b为T0，c为T1
B．a为T1，b为T0，c为T0
C．a为T0，b为T1，c为T1
D．a为T0，b为T1，c为T0
解析：A　根据题意，卫星在小行星的同步轨道和小行星表面附近轨道运行时轨道半径分别为R＋h、R。由开普勒第三定律有，解得R＝h，设小行星和卫星的质量分别为M、m，卫星绕小行星表面附近做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力有R，解得M＝，对应结果可得a为T1，b为T0，c为T1，故A正确，B、C、D错误。
8．(多选)(2026·湖北武汉高三质检)2019年4月10日晚，数百名科学家参与合作的“事件视界望远镜(EHT)”项目在全球多地同时召开新闻发布会，发布了人类拍到的首张黑洞照片。理论表明：黑洞质量M和半径R的关系为，其中c为光速，G为引力常量。若观察到黑洞周围有一星体绕它做匀速圆周运动，速率为v，轨道半径为r，则可知(　　)
A．该黑洞的质量M＝
B．该黑洞的质量M＝
C．该黑洞的半径R＝
D．该黑洞的半径R＝
解析：BC　星体绕黑洞做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力，则有，可得该黑洞的质量为M＝，故A错误，B正确；根据题意可知，则该黑洞的半径为R＝，故C正确，D错误。
9．如图是某矿区打出的一口深度为d的水井，如果质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，地球可以看作是质量分布均匀的球体，地球半径为R，则水井底部和离地面高度为d处的重力加速度大小之比为(　　)
A．
C． D．
解析：B　根据万有引力定律得，地球表面上的重力加速度为g＝，设离地面高度为d处的重力加速度为g′，由万有引力定律有g′＝，两式联立得g′＝。在地面上质量为m的物体，根据万有引力定律有＝mg，从而得g＝πR；根据题意，球壳对其内部物体的引力为零，则水井底部的物体只受到其以下球体对它的引力，同理有g″＝，式中M′＝ρ·π(R－d)3，联立得g″＝g。所以，故B正确。
10．(2024·黑吉辽卷，7)如图(a)，将一弹簧振子竖直悬挂，以小球的平衡位置为坐标原点O，竖直向上为正方向建立x轴。若将小球从弹簧原长处由静止释放，其在地球与某球状天体表面做简谐运动的图像如图(b)所示(不考虑自转影响)。设地球、该天体的平均密度分别为ρ1和ρ2，地球半径是该天体半径的n倍。的值为(　　)
　
图(a)　　　　图(b)　　　　
A．2n B．
C．
解析：C　在地球表面，小球处于平衡位置时有m0g1＝k·2A，在该天体表面，小球处于平衡位置时有m0g2＝kA，联立解得，在星球表面有G＝mg，星球的密度ρ＝，又V＝πR3，解得ρ＝，则，C正确。
11．(多选)(2025·四川眉山高三诊断)由于地球自转的影响，地球表面的重力加速度会随纬度的变化而有所不同。已知地球表面两极处的重力加速度大小为g0，在赤道处的重力加速度大小为g，地球自转的周期为T，引力常量为G。假设地球可视为质量均匀分布的球体。下列说法正确的是(　　)
A．质量为m的物体在地球北极受到的重力大小为mg
B．质量为m的物体在地球赤道上受到的万有引力大小为mg
C．地球的半径为
D．地球的密度为
解析：CD　质量为m的物体在地球北极受到的地球引力等于其重力，大小为mg0，A错误；质量为m的物体在地球赤道上受到的万有引力大小等于其在地球两极受到的万有引力，大小为mg0，B错误；设地球半径为R，在地球赤道上随地球自转物体的质量为m，由牛顿第二定律可得mg0－mg＝mR，解得R＝，C正确；设地球质量为M，地球半径为R，质量为m的物体在地球表面两极处受到的万有引力等于其重力，可得G，又V＝πR3，则有ρ＝，D正确。
[培优创新练]
12．(多选)(课标变化题：科技强国)2025年10月3日，我国天问一号环绕器成功观测到星际天体阿特拉斯(3I/ATLAS)并拍照。如图甲所示，天问一号环绕器距离目标天体约3000万公里，是目前观测该天体距离最近的探测器之一。该观测是天问一号的一次重要拓展任务，利用探测器观测暗弱天体为天问二号开展小行星探测进行了技术试验，积累了经验。阿特拉斯沿双曲线轨道穿越太阳系，与火星轨道的关系如图乙所示。设火星轨道为圆形，轨道半径为r0，两轨道在同一平面上，两轨道交点为a、c，阿特拉斯的近日点b到太阳的距离为r。设太阳质量为M，阿特拉斯质量为m，在a处时速度为v。太阳和阿特拉斯间的引力势能公式为Ep＝－G(规定无限远处引力势能为0，G为引力常量，r′为太阳与阿特拉斯距离)。忽略火星与阿特拉斯之间的万有引力，下列说法正确的是(　　)
图甲 　图乙
A．阿特拉斯飞出太阳系后隔一段时间又会飞回太阳系
B．阿特拉斯在b处的加速度为a＝G
C.阿特拉斯在b处的速度为vb＝
D.阿特拉斯在b处的速度大于火星的环绕速度
解析：BCD　[2025课标新变化：2025课标中突出“科技强国意识”，旨在培养学生的民族自豪感、科学报国情怀与责任担当，这与高考物理落实“立德树人”核心价值、彰显“科技自立自强”高度契合。结合这一导向，2026年高考可能会以我国“航天科技”(如卫星变轨、北斗导航)、“深海探测”或“高端制造”为背景，聚集万有引力、运动学及能量转换等核心知识点设计试题，凸显物理学在科技创新中的重要支撑地位。]
由题意可知，阿特拉斯沿双曲线轨道穿越太阳系，则其远离太阳系后不会回归，A错误；阿特拉斯在b点受太阳的万有引力，有G＝ma，可得a＝G，B正确；阿特拉斯从a到b过程系统机械能守恒，有，可得vb＝，C正确；若某天体绕太阳做圆周运动的轨道半径为r1，轨道恰与阿特拉斯轨道在b处相切，阿特拉斯经过圆周上的b点时做离心运动，所以其在b点的速度大于这个天体的速度，因这个天体的轨道半径小于火星的轨道半径，由v＝可知，该天体的速度大于火星的环绕速度，所以阿特拉斯在b处的速度大于火星的环绕速度，D正确。(共66张PPT)
第五章 万有引力与宇宙航行
1．通过史实，了解万有引力定律的发现过程。知道万有引力定律。
2．认识发现万有引力定律的重要意义。认识科学定律对人类探索未知世界的作用。
3．会计算人造地球卫星的环绕速度。知道第二宇宙速度和第三宇宙速度。
4．初步了解相对论时空观。
万有引力与宇宙航行 开普勒行星运动定律 2025年：广东卷·T5；安徽卷·T9；湖南卷·T4；云南卷·T5
2024年：安徽卷·T5；山东卷·T5
2023年：湖北卷·T2；浙江1月选考·T10
万有引力定律应用及宇宙航行 2025年：河南卷·T3；海南卷·T4；陕晋宁青卷·T2；山东卷·T6；四川卷·T6；北京卷·T7；浙江1月选考·T6; 湖北卷·T2；重庆卷·T7；甘肃卷·T2；河北卷·T7
2024年：海南卷·T5; 重庆卷·T7；全国甲卷·T16；湖北卷·T4；广东卷·T9；江西卷·T4；河北卷·T8；新课标卷·T16；湖南卷·T7；浙江1月选考·T9
1．复习时应了解近几年中国在航空航天领域的发展及取得的成就。知道开普勒行星运动定律，熟练掌握万有引力定律的基本应用，培养学生的模型构建素养及运算和估算能力，熟练应用万有引力定律的两条基本思路解决相关问题。
2．复习中应注意本章所涉及的比例法、环绕法、重力加速度法等科学思维方法在天体运动问题中的应用。
第1讲　万有引力定律及其应用
1.理解开普勒行星运动定律和万有引力定律，并会解决相关问题。2.掌握计算天体质量和密度的方法。3.初步了解相对论时空观。
目标
要求
1
强基础 固本增分
2
研考点 精准突破
3
限时规范训练
栏
目
导
引
强基础
固本增分
一、开普勒三定律
1．定律内容
定律 内容 图示或公式
开普勒第一定律(轨道定律) 所有行星绕太阳运动的轨道都是____，太阳处在____的一个焦点上

椭圆
椭圆
定律 内容 图示或公式
开普勒第二定律(面积定律) 对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的____相等

开普勒第三定律(周期定律) 所有行星轨道的半长轴的______跟它的公转周期的______的比都相等 ＝k，k是一个与行星无关的常量
面积
三次方
二次方
2．适用条件：适用于宇宙中一切环绕同一中心天体的运动。
二、万有引力定律及应用
1．内容：自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小与________________成正比，与____________________成反比。
2．公式：F＝__，其中G为引力常量，G＝6.67×10-11 N·m2/kg2，其值由卡文迪什通过扭秤实验测得。公式中的r是两个物体之间的____。
3．适用条件：适用于两个____或均匀球体；r为两质点或均匀球体球心间的距离。
两物体质量的乘积
两物体间距离的二次方
G
距离
质点
三、相对论时空观与牛顿力学的局限性
1．相对论时空观
(1)爱因斯坦的两个假设
①在不同的惯性参考系中，物理规律的形式都是____的。
②真空中的光速在不同的惯性参考系中大小都是____的。
(2)爱因斯坦假设的结果
①时间延缓效应
如果相对于地面以v运动的惯性参考系上的人观察到与其一起运动的物体完成某个动作的时间间隔为Δτ，地面上的人观察到该物体完成这个动作
的时间间隔为Δt，那么两者之间的关系是Δt＝_________。
相同
相同
②长度收缩效应
如果与杆相对静止的人测得杆长是l0，沿着杆的方向，以v相对杆运动的
人测得杆长是l，那么两者之间的关系是l＝______________。
2．牛顿力学的成就与局限性
牛顿力学适用于宏观物体、低速运动。
l0
1．判断正误
(1)当两物体间的距离趋近于零时，万有引力趋近于无穷大。( )
(2)地面上的物体所受地球的引力方向一定指向地心。( )
(3)卡文迪什利用扭秤实验装置比较准确地测出了引力常量。( )
(4)围绕同一天体运动的不同行星椭圆轨道不一样，但都有一个共同的焦点。( )
(5)行星在椭圆轨道上运行速率是变化的，离太阳越远，运行速率越大。
( )
×
√
√
√
×
2．(粤教版教材原题改编)两个质量均匀的球形物体，两球心相距r时它们之间的万有引力为F，若将两球的半径都加倍，两球心的距离也加倍，它们之间的作用力为(　　)
A．2F B．4F
C．8F D．16F
解析：D　由M＝πR3ρ可知，两球半径加倍后，其质量M′＝8M，又r′＝2r，由万有引力定律F＝，F′＝，可得F′＝16F，选项D正确。
D
3．(2025·新课标卷，15)“天都一号”通导技术试验卫星测距试验的成功，标志着我国在深空轨道精密测量领域取得了技术新突破。“天都一号”在环月椭圆轨道上运行时(　　)
A．受月球的引力大小保持不变
B．相对月球的速度大小保持不变
C．离月球越近，其相对月球的速度越大
D．离月球越近，其所受月球的引力越小
C
解析：C　“天都一号”在环月椭圆轨道上运行时与月球的距离不断发生变化，根据F＝G可知受月球的引力大小发生变化，离月球越近，其所受月球的引力越大，故AD错误；根据开普勒第二定律可知，“天都一号”在环月椭圆轨道上运行时相对月球的速度大小改变，近月点速度最大，远月点速度最小，即离月球越近，相对月球的速度越大，故B错误，C正确。
研考点
精准突破
考点一　开普勒行星运动定律
考向1　开普勒第一定律和第二定律的理解及应用
如图是某小行星绕太阳运动的椭圆轨道，M、N、P是小行星依次经过的三个位置，F1、F2为椭圆的两个焦点。小行星由M到N和由N到P的过程中，通过的路程相等，小行星与太阳中心的连线扫过的面积分别为S1和S2。已知由M到N过程中，太阳的引力对小行星做正功。下列判断正确的是(　　)
A．太阳位于焦点F1处
B．S1>S2
C．在M和N处，小行星的动能EkM>EkN
D．在N和P处，小行星的加速度aN>aP
B
解析：B　已知由M到N过程中，太阳的引力对小行星做正功，说明小行星靠近太阳运动，所以太阳位于焦点F2处，A错误；根据开普勒行星运动定律可知小行星由M到P的过程中速度逐渐增大，小行星由M到N和由N到P的过程中，通过的路程相等，所以小行星由M到N运动时间大于由N到P的运动时间，由开普勒第二定律可知S1>S2，B正确；由动能定理，M到N过程中，万有引力做正功，则动能增大，即EkM由开普勒第二定律可知va·Δt·a＝·Δt·b，可得va＝。可推知，行星到太阳的距离越大，行星的速率越小，反之越大。
D
考向2　开普勒第三定律的理解及应用
(2024·山东卷，5)“鹊桥二号”中继星环绕月球运行，其24小时椭圆轨道的半长轴为a。已知地球同步卫星的轨道半径为r，则月球与地球质量之比可表示为(　　)
A． C．
解析：D　“鹊桥二号”中继星在24小时椭圆轨道上运行时，由开普勒第三定律有＝k，对地球同步卫星由开普勒第三定律有＝k′，则有，D正确。
(2025·云南卷，5)国际编号为192391的小行星绕太阳公转的周期约为5.8年，该小行星与太阳系内八大行星几乎在同一平面内做圆周运动。规定地球绕太阳公转的轨道半径为1 AU，八大行星绕太阳的公转轨道半径如表所示。忽略其他行星对该小行星的引力作用，则该小行星的公转轨道应介于(　　)
A．金星与地球的公转轨道之间 B．地球与火星的公转轨道之间
C．火星与木星的公转轨道之间 D．天王星与海王星的公转轨道之间
行星 水星 金星 地球 火星 木星 土星 天王星 海王星
轨道半径R/AU 0.39 0.72 1.0 1.5 5.2 9.5 19 30
C
解析：C　由开普勒第三定律得R行＝R地，代入数据解得R行＝3.2 AU，结合图表可知该小行星的公转轨道应介于火星与木星的公转轨道之间，C正确。
行星 水星 金星 地球 火星 木星 土星 天王星 海王星
轨道半径R/AU 0.39 0.72 1.0 1.5 5.2 9.5 19 30
易错提醒：开普勒第三定律＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同，故该定律只能用在绕同一中心天体公转的星体之间。
考点二　万有引力定律的理解
考向1　万有引力的计算
(经典高考题)火星的质量约为地球质量的，半径约为地球半径的，则同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力的比值约为(　　)
A．0.2 B．0.4
C．2.0 D．2.5
解析：B　万有引力表达式为F＝G，则同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力的比值为＝0.4，故B正确。
B
考向2　万有引力与重力的关系
(2025·广州广雅中学期中)某行星为质量分布均匀的球体，半径为R、质量为M。科研人员研究同一物体在该行星上的重力时，发现物体在“两极”处的重力为“赤道”上某处重力的1.1倍。已知引力常量为G，则该行星自转的角速度为(　　)
A． C．
B
解析：B　设该行星“赤道”上某处的重力加速度大小为g，该行星自转的角速度为ω，物体的质量为m，物体在“两极”处所受行星的万有引力大小等于重力大小，即G＝1.1mg，物体在“赤道”上某处时所受行星的万有引力按效果进行分解，有G＝mg＋mω2R，联立解得ω＝ ，故选B。
地球对物体的万有引力F表现为两个效果，如图所示。
(1)在赤道上：G＝mg1＋mω2R。
(2)在两极上：G＝mg2。
(3)在一般位置：万有引力G等于重力mg与向心力F向
的矢量和。
考向3　地球外部某点和地球内部某点加速度的计算
(2025·长春外国语学校月考)若地球半径为R，把地球看作质量分布均匀的球体，已知质量分布均匀的球壳对球内任一质点的万有引力为零。中国空间站轨道距离地面高度为h，所在处的重力加速度为g1；“蛟龙”号载人潜水器下潜深度为d，所在处的重力加速度为g2；地表处重力加速度为g，不计地球自转影响，下列关系式正确的是(　　)
A．g1＝g B．g2＝g
C．g1＝g2 D．g1＝g2
C
解析：C　对于中国空间站，根据万有引力提供向心力可得＝mg1，解得g1＝，在地球表面＝mg，因此g1＝g，A错误；设地球密度为ρ，在地球表面万有引力等于重力，即＝m1g，又因为m地＝ρV＝，代入得g＝，由于质量分布均匀的球壳对球内任一质点的万有引力为零，因此g2＝g，B错误；由以上各式联立可得，C正确，D错误。
[归纳总结]　万有引力的“两个推论”
(1)推论1：在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的各部分万有引力的合力为零，即∑F引＝0。
(2)推论2：在匀质球体内部距离球心r处的质点m受到的万有引力等于球体内半径为r的同心球体M′对它的万有引力，即F＝G 。
考点三　天体质量和密度的估算
(2024·海南卷，6)“嫦娥六号”进入环月圆轨道，周期为T，轨道高度与月球半径之比为k，引力常量为G，则月球的平均密度为(　　)
A． C．(1＋k)3
解析：D　设月球的质量为M，月球的半径为R，“嫦娥六号”的质量为m，则“嫦娥六号”的轨道半径为r＝(k＋1)R，由万有引力提供向心力得G(kR＋R)，月球的体积V＝πR3，月球的平均密度ρ＝，联立解得ρ＝(1＋k)3，D正确。
D
求解天体质量和密度的两种方法
(1)利用卫星绕天体周期T和半径r的方法
①由Gr，得天体的质量M＝。
②若已知天体的半径R，则天体的密度ρ＝。
(2)利用天体表面的重力加速度g和天体半径R的方法
①由G＝mg，得天体质量M＝。
②天体密度ρ＝。
③GM＝gR2称为黄金代换公式。
(2024·新课标卷，16)天文学家发现，在太阳系外的一颗红矮星有两颗行星绕其运行，其中行星GJ1002c的轨道近似为圆，轨道半径约为日地距离的0.07倍，周期约为0.06年，则这颗红矮星的质量约为太阳质量的
(　　)
A．0.001倍 B．0.1倍
C．10倍 D．1000倍
B
解析：B　根据万有引力提供向心力，地球绕太阳运动时有Gr1，则M太＝，行星GJ1002c绕红矮星运动，Gr2，则M＝，则红矮星质量与太阳质量之比为≈0.1。故选B。
(2025·江苏泰州期末)航天员在月球表面将一片羽毛和一个铁锤从同一高度由静止同时释放，二者几乎同时落地。若羽毛和铁锤是从高度为h处开始下落，经时间t落到月球表面。已知引力常量为G，月球的半径为R(不考虑月球自转的影响)。求：
(1)月球表面的自由落体加速度大小g月；
(2)月球的质量M；
(3)月球的密度ρ。
解析：(1)羽毛和铁锤在月球表面附近做自由落体运动，有h＝g月t2
解得g月＝。
(2)不考虑月球自转的影响，对在月球表面上质量为m的物体，有
G＝mg月
解得M＝。
(3)假设月球为均匀球体，则其体积V＝πR3
根据密度公式可知，ρ＝解得ρ＝。
答案：(1)　(2)　(3)
素养拓展　用填补法计算万有引力
“填补法”：对非对称的物体，通过填补后构成对称物体，然后再利用对称物体所满足的物理规律进行求解的方法。
如图所示，通过填补后完整球体对外部质点的引力为F，挖去的小球对外部质点的引力记为F1，挖掉小球后的剩余部分对外部质点引力为F2，则有F2＝F－F1。
有一质量为M、半径为R、密度均匀的球体，在距离球心O为2R的地方有一质量为m的质点。现从球体中挖去半径为0.5R的小球体，如图所示，引力常量为G，则剩余部分对m的万有引力为(　　)
A．
C．
A
解析：A　挖去小球前球对质点的万有引力F1＝G，挖去的球体的质量M′＝，被挖部分对质点的引力为F2＝，则剩余部分对质点m的万有引力F＝F1－F2＝，故A正确。
如图所示，将一个半径为R、质量为M的均匀大球，沿直径挖去两个半径分别为大球一半的小球，并把其中一个放在球外与大球靠在一起。若挖去的小球的球心、球外小球的球心、大球的球心在一条直线上，则大球中剩余部分与球外小球的万有引力大小约为(已知引力常量为G)(　　)
A．0.01 B．0.02
C．0.05 D．0.04
D
解析：D　由题意知，所挖出小球的半径为，质量为，则未挖出小球前大球对球外小球的万有引力大小为F＝G，将所挖出的其中一个小球填在原位置，填入左侧原位置小球对球外小球的万有引力为F1＝，填入右侧原位置小球对球外小球的万有引力为F2＝G，则大球中剩余部分对球外小球的万
有引力大小为F3＝F－F1－F2＝0.04，故D正确。
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限时规范
训练(25)　万有引力定律及其应用
(建议用时：40分钟　满分：67分)
(选择题1～6题每题5分，7～11题每题6分，12题7分，共67分)
[基础巩固练]
1．(2024·全国甲卷，16)2024年5月，嫦娥六号探测器发射成功，开启了人类首次从月球背面采样返回之旅。将采得的样品带回地球，飞行器需经过月面起飞、环月飞行、月地转移等过程。月球表面自由落体加速度约为地球表面自由落体加速度的。下列说法正确的是(　　)
A．在环月飞行时，样品所受合力为零
B．若将样品放置在月球正面，它对月球表面压力等于零
C．样品在不同过程中受到的引力不同，所以质量也不同
D．样品放置在月球背面时对月球的压力，比放置在地球表面时对地球的压力小
D
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解析：D　在环月飞行时，样品所受的合力提供向心力，不为零，A错误；若将样品放置在月球正面，根据牛顿第三定律可知，它对月球表面的压力等于月球对它的支持力，根据力的平衡条件可知，月球对它的支持力等于它在月球上的重力，不为零，故它对月球表面的压力不为零，B错误；质量是物体的固有属性，不会随受到的引力的变化而变化，C错误；由于月球表面重力加速度较地球表面的小，则样品在月球表面所受重力较在地球表面的小，结合B项分析可知，样品放置在月球背面时对月球的压力较其放在地球表面时对地球的压力小，D正确。
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2．(2025·内蒙古高考适应性演练)紫金山—阿特拉斯彗星由紫金山天文台首次发现，其绕太阳运行周期约为6万年。该彗星轨道的半长轴与日地平均距离的比值约为(　　)
A．1.5×103　　　　 B．1.5×104
C．1.5×106 D．1.5×107
解析：A　由开普勒第三定律，可得该彗星轨道的半长轴与日地平均距离的比值为≈1.5×103，故选A。
A
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3．(2025·广东卷，5)一颗绕太阳运行的小行星，其轨道近日点和远日点到太阳的距离分别约为地球到太阳距离的5倍和7倍。关于该小行星，下列说法正确的是(　　)
A．公转周期约为6年
B．从远日点到近日点所受太阳引力大小逐渐减小
C．从远日点到近日点线速度大小逐渐减小
D．在近日点加速度大小约为地球公转加速度的
D
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解析：D　由题意可知该小行星轨道的半长轴为地球到太阳距离的6倍，由开普勒第三定律可知，其中a小行星为小行星轨道的半长轴，可得T小行星＝ T地＝14.7年，A错误；从远日点到近日点，该小行星到太阳的距离逐渐减小，由万有引力定律F引＝可知从远日点到近日点，该小行星所受太阳引力大小逐渐增大，B错误；从远日点到近
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日点，该小行星到太阳的距离逐渐减小，由开普勒第二定律可知，当行星离太阳较近的时候，运行的速度较大，而离太阳较远的时候速度较小，因此从远日点到近日点，该小行星的线速度大小逐渐增大，C错误；由万有引力定律F引＝和牛顿第二定律F引＝ma可得a＝，由于该小行星的轨道近日点到太阳的距离约为地球到太阳距离的5倍，则该小行星在近日点的加速度大小约为地球公转加速度的，D正确。
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4．(2025·陕西安康三模)如图所示，天问一号在近火圆轨道的角速度大小为ω，已知引力常量为G，则火星的平均密度为(　　)
A．
C．
解析：D　设火星的质量为M，半径为R，平均密度为ρ，则有M＝ρ·πR3，天问一号在近火圆轨道运行时，有＝mω2R，联立解得ρ＝，故选D。
D
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5．(2025·北京市东城区二模)质量为m的物块静止放置于地球赤道某处的水平桌面上。已知地球质量为M，半径为R，自转周期为T，引力常量为G。若考虑地球自转，将地球视为质量均匀分布的球体，则物块对桌面的压力大小F等于(　　)
A．G B．mR
C．GR D．GR
C
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解析：C　对物块，由牛顿第二定律有－FN＝mR，解得物块受到的支持力FN＝R，根据牛顿第三定律，可知物块对桌面的压力F大小为R。故选C。
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6．(2026·山东实验中学高三开学考)一与地球密度相同的星球表面的重力加速度是地球表面的重力加速度的2倍，则该星球的质量是地球质量的(忽略其自转影响)(　　)
A．倍 B．2倍
C．4倍 D．8倍
解析：D　根据πR3，可得ρ＝，由于星球与地球密度相同，星球表面的重力加速度是地球表面的重力加速度的2倍，则星球的半径是地球半径的2倍，则该星球的质量是地球质量的8倍。故选D。
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[能力提升练]
7．(2025·湖南卷，4)我国研制的天问二号探测器，任务是对伴地小行星及彗星交会等进行多目标探测。某同学提出探究方案，通过释放卫星绕小行星进行圆周运动，可测得小行星半径R和质量M。为探测某自转周期为T0的小行星，卫星先在其同步轨道上运行，测得距离小行星表面高度为h，接下来变轨到小行星表面附近绕其做匀速圆周运动，测得周期为T1。已知引力常量为G，不考虑其他天体对卫星的引力，可根据以上物理量得到R＝。下列选项正确的是(　　)
A．a为T1，b为T0，c为T1 B．a为T1，b为T0，c为T0
C．a为T0，b为T1，c为T1 D．a为T0，b为T1，c为T0
A
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解析：A　根据题意，卫星在小行星的同步轨道和小行星表面附近轨道运行时轨道半径分别为R＋h、R。由开普勒第三定律有，解得R＝h，设小行星和卫星的质量分别为M、m，卫星绕小行星表面附近做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力有R，解得M＝，对应结果可得a为T1，b为T0，c为T1，故A正确，B、C、D错误。
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8．(多选)(2026·湖北武汉高三质检)2019年4月10日晚，数百名科学家参与合作的“事件视界望远镜(EHT)”项目在全球多地同时召开新闻发布会，发布了人类拍到的首张黑洞照片。理论表明：黑洞质量M和半径R的关系为，其中c为光速，G为引力常量。若观察到黑洞周围有一星体绕它做匀速圆周运动，速率为v，轨道半径为r，则可知(　　)
A．该黑洞的质量M＝ B．该黑洞的质量M＝
C．该黑洞的半径R＝ D．该黑洞的半径R＝
BC
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解析：BC　星体绕黑洞做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力，则有，可得该黑洞的质量为M＝，故A错误，B正确；根据题意可知，则该黑洞的半径为R＝，故C正确，D错误。
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9．如图是某矿区打出的一口深度为d的水井，如果质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，地球可以看作是质量分布均匀的球体，地球半径为R，则水井底部和离地面高度为d处的重力加速度大小之比为(　　)
A．
C． D．
B
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解析：B　根据万有引力定律得，地球表面上的重力加速度为g＝，设离地面高度为d处的重力加速度为g′，由万有引力定律有g′＝，两式联立得g′＝。在地面上质量为m的物体，根据万有引力定
律有＝mg，从而得g＝πR；根据题意，球壳对其内部物体的引力为零，则水井底部的物体只受到其以下球体对它的引力，同理有g″＝，式中M′＝ρ·π(R－d)3，联立得g″＝g。所以，故B正确。
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10．(2024·黑吉辽卷，7)如图(a)，将一弹簧振子竖直悬挂，以小球的平衡位置为坐标原点O，竖直向上为正方向建立x轴。若将小球从弹簧原长处由静止释放，其在地球与某球状天体表面做简谐运动的图像如图(b)所示(不考虑自转影响)。设地球、该天体的平均密度分别为ρ1和ρ2，地球半径是该天体半径的n倍。的值为(　　)
A．2n B．
C．
C
图(a)　　　　图(b)
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解析：C　在地球表面，小球处于平衡位置时有m0g1＝k·2A，在该天体表面，小球处于平衡位置时有m0g2＝kA，联立解得，在星球表面有G＝mg，星球的密度ρ＝，又V＝πR3，解得ρ＝，则，C正确。
图(a)　　　　图(b)
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11．(多选)(2025·四川眉山高三诊断)由于地球自转的影响，地球表面的重力加速度会随纬度的变化而有所不同。已知地球表面两极处的重力加速度大小为g0，在赤道处的重力加速度大小为g，地球自转的周期为T，引力常量为G。假设地球可视为质量均匀分布的球体。下列说法正确的是
(　　)
A．质量为m的物体在地球北极受到的重力大小为mg
B．质量为m的物体在地球赤道上受到的万有引力大小为mg
C．地球的半径为
D．地球的密度为
CD
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解析：CD　质量为m的物体在地球北极受到的地球引力等于其重力，大小为mg0，A错误；质量为m的物体在地球赤道上受到的万有引力大小等于其在地球两极受到的万有引力，大小为mg0，B错误；设地球半径为R，在地球赤道上随地球自转物体的质量为m，由牛顿第二定律可得mg0－mg＝mR，解得R＝，C正确；设地球质量为M，地球半径为R，质量为m的物体在地球表面两极处受到的万有引力等于其重力，可得G，又V＝πR3，则有ρ＝，D正确。
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[培优创新练]
12．(多选)(课标变化题：科技强国)2025年10月3日，我国天问一号环绕器成功观测到星际天体阿特拉斯(3I/ATLAS)并拍照。如图甲所示，天问一号环绕器距离目标天体约3000万公里，是目前观测该天体距离最近的探测器之一。该观测是天问一号的一次重要拓展任务，利用探测器观测暗弱天体为天问二号开展小行星探测进行了技术试验，积
累了经验。阿特拉斯沿双曲线轨道穿越太阳系，与火星轨道的关系如图乙所示。设火星轨道为圆形，轨道半径为r0，两轨道在同一平面上，两轨道交点为a、c，阿特拉斯的近日点b到太阳的距离为
图甲
图乙
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r。设太阳质量为M，阿特拉斯质量为m，在a处时速度为v。太阳和阿特拉斯间的引力势能公式为Ep＝－G(规定无限远处引力势能为0，G为引力常量，r′为太阳与阿特拉斯距离)。忽略火星与阿特拉斯之间的万有引力，下列说法正确的是(　　)
A．阿特拉斯飞出太阳系后隔一段时间又会飞回太阳系
B．阿特拉斯在b处的加速度为a＝G
C.阿特拉斯在b处的速度为vb＝
D.阿特拉斯在b处的速度大于火星的环绕速度
图甲
图乙
BCD
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解析：BCD　[2025课标新变化：2025课标中突出“科技强国意识”，旨在培养学生的民族自豪感、科学报国情怀与责任担当，这与高考物理落实“立德树人”核心价值、彰显“科技自立自强”高度契合。结合这一导向，2026年高考可能会以我国“航天科技”(如卫星变轨、北斗导航)、“深海探测”或“高端制造”为背景，聚集万有引力、运动学及能量转换等核心知识点设计试题，凸显物理学在科技创新中的重要支撑地位。]
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由题意可知，阿特拉斯沿双曲线轨道穿越太阳系，则其远离太阳系后不会回归，A错误；阿特拉斯在b点受太阳的万有引力，有G＝ma，可得a＝G，
图甲
图乙
B正确；阿特拉斯从a到b过程系统机械能守恒，有
，可得vb＝，C正确；若某天体绕太阳做圆周运动的轨道半径为r1，轨道恰与阿特拉斯轨道在b处相切，阿特拉斯经过圆周上的b点时做离心运动，所以其在b点的速度大于这个天体的速度，因这个天体的轨道半径小于火星的轨道半径，由v＝可知，该天体的速度大于火星的环绕速度，所以阿特拉斯在b处的速度大于火星的环绕速度，D正确。
第1讲　万有引力定律及其应用
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(建议用时：40分钟　满分：67分)
(选择题1～6题每题5分，7～11题每题6分，12题7分，共67分)
[基础巩固练]
1．(2024·全国甲卷，16)2024年5月，嫦娥六号探测器发射成功，开启了人类首次从月球背面采样返回之旅。将采得的样品带回地球，飞行器需经过月面起飞、环月飞行、月地转移等过程。月球表面自由落体加速度约为地球表面自由落体加速度的。下列说法正确的是(　　)
A．在环月飞行时，样品所受合力为零
B．若将样品放置在月球正面，它对月球表面压力等于零
C．样品在不同过程中受到的引力不同，所以质量也不同
D．样品放置在月球背面时对月球的压力，比放置在地球表面时对地球的压力小
解析：D　在环月飞行时，样品所受的合力提供向心力，不为零，A错误；若将样品放置在月球正面，根据牛顿第三定律可知，它对月球表面的压力等于月球对它的支持力，根据力的平衡条件可知，月球对它的支持力等于它在月球上的重力，不为零，故它对月球表面的压力不为零，B错误；质量是物体的固有属性，不会随受到的引力的变化而变化，C错误；由于月球表面重力加速度较地球表面的小，则样品在月球表面所受重力较在地球表面的小，结合B项分析可知，样品放置在月球背面时对月球的压力较其放在地球表面时对地球的压力小，D正确。
2．(2025·内蒙古高考适应性演练)紫金山—阿特拉斯彗星由紫金山天文台首次发现，其绕太阳运行周期约为6万年。该彗星轨道的半长轴与日地平均距离的比值约为(　　)
A．1.5×103　　　　 B．1.5×104
C．1.5×106 D．1.5×107
解析：A　由开普勒第三定律，可得该彗星轨道的半长轴与日地平均距离的比值为≈1.5×103，故选A。
3．(2025·广东卷，5)一颗绕太阳运行的小行星，其轨道近日点和远日点到太阳的距离分别约为地球到太阳距离的5倍和7倍。关于该小行星，下列说法正确的是(　　)
A．公转周期约为6年
B．从远日点到近日点所受太阳引力大小逐渐减小
C．从远日点到近日点线速度大小逐渐减小
D．在近日点加速度大小约为地球公转加速度的
解析：D　由题意可知该小行星轨道的半长轴为地球到太阳距离的6倍，由开普勒第三定律可知，其中a小行星为小行星轨道的半长轴，可得T小行星＝ T地＝14.7年，A错误；从远日点到近日点，该小行星到太阳的距离逐渐减小，由万有引力定律F引＝可知从远日点到近日点，该小行星所受太阳引力大小逐渐增大，B错误；从远日点到近日点，该小行星到太阳的距离逐渐减小，由开普勒第二定律可知，当行星离太阳较近的时候，运行的速度较大，而离太阳较远的时候速度较小，因此从远日点到近日点，该小行星的线速度大小逐渐增大，C错误；由万有引力定律F引＝和牛顿第二定律F引＝ma可得a＝，由于该小行星的轨道近日点到太阳的距离约为地球到太阳距离的5倍，则该小行星在近日点的加速度大小约为地球公转加速度的，D正确。
4．(2025·陕西安康三模)如图所示，天问一号在近火圆轨道的角速度大小为ω，已知引力常量为G，则火星的平均密度为(　　)
A．
C．
解析：D　设火星的质量为M，半径为R，平均密度为ρ，则有M＝ρ·πR3，天问一号在近火圆轨道运行时，有＝mω2R，联立解得ρ＝，故选D。
5．(2025·北京市东城区二模)质量为m的物块静止放置于地球赤道某处的水平桌面上。已知地球质量为M，半径为R，自转周期为T，引力常量为G。若考虑地球自转，将地球视为质量均匀分布的球体，则物块对桌面的压力大小F等于(　　)
A．G B．mR
C．GR D．GR
解析：C　对物块，由牛顿第二定律有－FN＝mR，解得物块受到的支持力FN＝R，根据牛顿第三定律，可知物块对桌面的压力F大小为R。故选C。
6．(2026·山东实验中学高三开学考)一与地球密度相同的星球表面的重力加速度是地球表面的重力加速度的2倍，则该星球的质量是地球质量的(忽略其自转影响)(　　)
A．倍 B．2倍
C．4倍 D．8倍
解析：D　根据πR3，可得ρ＝，由于星球与地球密度相同，星球表面的重力加速度是地球表面的重力加速度的2倍，则星球的半径是地球半径的2倍，则该星球的质量是地球质量的8倍。故选D。
[能力提升练]
7．(2025·湖南卷，4)我国研制的天问二号探测器，任务是对伴地小行星及彗星交会等进行多目标探测。某同学提出探究方案，通过释放卫星绕小行星进行圆周运动，可测得小行星半径R和质量M。为探测某自转周期为T0的小行星，卫星先在其同步轨道上运行，测得距离小行星表面高度为h，接下来变轨到小行星表面附近绕其做匀速圆周运动，测得周期为T1。已知引力常量为G，不考虑其他天体对卫星的引力，可根据以上物理量得到R＝。下列选项正确的是(　　)
A．a为T1，b为T0，c为T1
B．a为T1，b为T0，c为T0
C．a为T0，b为T1，c为T1
D．a为T0，b为T1，c为T0
解析：A　根据题意，卫星在小行星的同步轨道和小行星表面附近轨道运行时轨道半径分别为R＋h、R。由开普勒第三定律有，解得R＝h，设小行星和卫星的质量分别为M、m，卫星绕小行星表面附近做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力有R，解得M＝，对应结果可得a为T1，b为T0，c为T1，故A正确，B、C、D错误。
8．(多选)(2026·湖北武汉高三质检)2019年4月10日晚，数百名科学家参与合作的“事件视界望远镜(EHT)”项目在全球多地同时召开新闻发布会，发布了人类拍到的首张黑洞照片。理论表明：黑洞质量M和半径R的关系为，其中c为光速，G为引力常量。若观察到黑洞周围有一星体绕它做匀速圆周运动，速率为v，轨道半径为r，则可知(　　)
A．该黑洞的质量M＝
B．该黑洞的质量M＝
C．该黑洞的半径R＝
D．该黑洞的半径R＝
解析：BC　星体绕黑洞做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力，则有，可得该黑洞的质量为M＝，故A错误，B正确；根据题意可知，则该黑洞的半径为R＝，故C正确，D错误。
9．如图是某矿区打出的一口深度为d的水井，如果质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，地球可以看作是质量分布均匀的球体，地球半径为R，则水井底部和离地面高度为d处的重力加速度大小之比为(　　)
A．
C． D．
解析：B　根据万有引力定律得，地球表面上的重力加速度为g＝，设离地面高度为d处的重力加速度为g′，由万有引力定律有g′＝，两式联立得g′＝。在地面上质量为m的物体，根据万有引力定律有＝mg，从而得g＝πR；根据题意，球壳对其内部物体的引力为零，则水井底部的物体只受到其以下球体对它的引力，同理有g″＝，式中M′＝ρ·π(R－d)3，联立得g″＝g。所以，故B正确。
10．(2024·黑吉辽卷，7)如图(a)，将一弹簧振子竖直悬挂，以小球的平衡位置为坐标原点O，竖直向上为正方向建立x轴。若将小球从弹簧原长处由静止释放，其在地球与某球状天体表面做简谐运动的图像如图(b)所示(不考虑自转影响)。设地球、该天体的平均密度分别为ρ1和ρ2，地球半径是该天体半径的n倍。的值为(　　)
　
图(a)　　　　图(b)　　　　
A．2n B．
C．
解析：C　在地球表面，小球处于平衡位置时有m0g1＝k·2A，在该天体表面，小球处于平衡位置时有m0g2＝kA，联立解得，在星球表面有G＝mg，星球的密度ρ＝，又V＝πR3，解得ρ＝，则，C正确。
11．(多选)(2025·四川眉山高三诊断)由于地球自转的影响，地球表面的重力加速度会随纬度的变化而有所不同。已知地球表面两极处的重力加速度大小为g0，在赤道处的重力加速度大小为g，地球自转的周期为T，引力常量为G。假设地球可视为质量均匀分布的球体。下列说法正确的是(　　)
A．质量为m的物体在地球北极受到的重力大小为mg
B．质量为m的物体在地球赤道上受到的万有引力大小为mg
C．地球的半径为
D．地球的密度为
解析：CD　质量为m的物体在地球北极受到的地球引力等于其重力，大小为mg0，A错误；质量为m的物体在地球赤道上受到的万有引力大小等于其在地球两极受到的万有引力，大小为mg0，B错误；设地球半径为R，在地球赤道上随地球自转物体的质量为m，由牛顿第二定律可得mg0－mg＝mR，解得R＝，C正确；设地球质量为M，地球半径为R，质量为m的物体在地球表面两极处受到的万有引力等于其重力，可得G，又V＝πR3，则有ρ＝，D正确。
[培优创新练]
12．(多选)(课标变化题：科技强国)2025年10月3日，我国天问一号环绕器成功观测到星际天体阿特拉斯(3I/ATLAS)并拍照。如图甲所示，天问一号环绕器距离目标天体约3000万公里，是目前观测该天体距离最近的探测器之一。该观测是天问一号的一次重要拓展任务，利用探测器观测暗弱天体为天问二号开展小行星探测进行了技术试验，积累了经验。阿特拉斯沿双曲线轨道穿越太阳系，与火星轨道的关系如图乙所示。设火星轨道为圆形，轨道半径为r0，两轨道在同一平面上，两轨道交点为a、c，阿特拉斯的近日点b到太阳的距离为r。设太阳质量为M，阿特拉斯质量为m，在a处时速度为v。太阳和阿特拉斯间的引力势能公式为Ep＝－G(规定无限远处引力势能为0，G为引力常量，r′为太阳与阿特拉斯距离)。忽略火星与阿特拉斯之间的万有引力，下列说法正确的是(　　)
图甲 　图乙
A．阿特拉斯飞出太阳系后隔一段时间又会飞回太阳系
B．阿特拉斯在b处的加速度为a＝G
C.阿特拉斯在b处的速度为vb＝
D.阿特拉斯在b处的速度大于火星的环绕速度
解析：BCD　[2025课标新变化：2025课标中突出“科技强国意识”，旨在培养学生的民族自豪感、科学报国情怀与责任担当，这与高考物理落实“立德树人”核心价值、彰显“科技自立自强”高度契合。结合这一导向，2026年高考可能会以我国“航天科技”(如卫星变轨、北斗导航)、“深海探测”或“高端制造”为背景，聚集万有引力、运动学及能量转换等核心知识点设计试题，凸显物理学在科技创新中的重要支撑地位。]
由题意可知，阿特拉斯沿双曲线轨道穿越太阳系，则其远离太阳系后不会回归，A错误；阿特拉斯在b点受太阳的万有引力，有G＝ma，可得a＝G，B正确；阿特拉斯从a到b过程系统机械能守恒，有，可得vb＝，C正确；若某天体绕太阳做圆周运动的轨道半径为r1，轨道恰与阿特拉斯轨道在b处相切，阿特拉斯经过圆周上的b点时做离心运动，所以其在b点的速度大于这个天体的速度，因这个天体的轨道半径小于火星的轨道半径，由v＝可知，该天体的速度大于火星的环绕速度，所以阿特拉斯在b处的速度大于火星的环绕速度，D正确。

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