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(共59张PPT)
专题突破7　天体运动的三大热点问题
1.掌握卫星变轨和追及问题的实质，会处理人造卫星的变轨、对接和追及问题。2.掌握双星、多星系统，会解决相关问题。
目标
要求
1
研考点 精准突破
2
限时规范训练
栏
目
导
引
研考点
精准突破
考点一　卫星变轨和对接问题
考向1　卫星变轨问题中各物理量的比较
(2026·八省联考，2)如图为卫星的发射过程，发射后先在近地轨道①上做匀速圆周运动，再经过椭圆轨道②后，最终到达预定轨道③上，已知③轨道高度低于同步卫星轨道，下列说法正确的是(　　)
A．卫星在轨道①上运行的速度大于地球的第一宇宙速度
B．卫星从轨道②上的P点运动到Q点过程中万有引力做正功
C．卫星在轨道②上P点的速度小于在轨道①上P点的速度
D．卫星在轨道②上的运行周期小于24 h
D
解析：D　根据可得v＝，可知卫星在轨道①的轨道半径略大于地球半径，圆轨道①上的运行速度一定小于等于第一宇宙速度，A项错误；卫星远离地球的过程需要克服万有引力做功，B项错误；从轨道①到轨道②需点火加速，卫星在轨道②上P点的速度
大于在轨道①上P点的速度，C项错误；根据开普勒第三定律可得，可知卫星在轨道②上的运行周期小于在卫星在轨道③上的运行周期，则卫星在轨道②上的运行周期小于24 h，D项正确。
变轨前、后各物理量的变化规律
(1)卫星在不同轨道上运行时机械能不同，轨道半径越大，机械能越大。
(2)卫星经过不同轨道的相交点时，加速度相等，在大轨道上的速度大于在小轨道上的速度。
D
考向2　变轨过程中能量变化
2025年9月27日，我国在太原卫星发射中心使用长征六号改运载火箭，成功将卫星互联网低轨11组卫星发射升空。假设先将卫星发射到半径为r1＝r的圆轨道上做匀速圆周运动，到A点时使卫星加速进入椭圆轨道，到椭圆轨道的远地点B点时，再次改变卫星的速度，使卫星进入半径为r2＝2r的圆轨道做匀速圆周运动。已知卫星在椭圆轨道上时到地心的距离与速度的乘积为定值，卫星在椭圆轨道上A点时的速度为v，卫星的质量为m，地球的质量为m地，引力常量为G，则发动机在A点对卫星做的功与在B点对卫星做的功之差为(不计卫星的质量变化)(　　)
A．
C．
解析：D　当卫星在r1＝r的圆轨道上运行时，有G ，解得在此圆轨道上运行时通过A点的速度为v0＝ ，所以发动机在A点对卫星做的功为W1＝；当卫星在r2＝2r的圆轨道上运行时，有G，解得在此圆轨道上运行时通过B点的速度为v0′＝ ，而根据卫星在椭圆轨道上时到地心的距离与速度的乘积为定值可知，在椭圆轨道上通过B点时的速度为v1＝v，故发动机在B点对卫星做的功为W2＝mv0′2－mv2，所以W1－W2＝，D正确。
[归纳总结]　卫星的两类变轨问题
两类变轨 离心运动 近心运动
示意图
变轨起因 卫星速度突然增大 卫星速度突然减小
万有引力与向心 力的大小关系 Gm
考向3　卫星对接问题
(2025·河北唐山模拟)宇宙飞船和空间站在同一轨道上运动。若飞船想与前方的空间站对接，飞船为了追上空间站，可采取的方法是(　　)
A．飞船加速直到追上空间站，完成对接
B．飞船从原轨道减速至一个较低轨道，再加速追上空间站完成对接
C．飞船加速至一个较高轨道，再减速追上空间站，完成对接
D．无论飞船采取何种措施，均不能与空间站对接
B
解析：B　飞船在轨道上正常运行时，有G。当飞船直接加速时，所需向心力F需＝m增大，则G＜m，故飞船做离心运动，轨道半径增大，将导致与空间站不在同一轨道上，A错误；飞船若先减速，它的轨道半径将减小，但运行速度增大，故在低轨道上飞船可接近空间站，当飞船运动到合适的位置再加速，回到原轨道，即可追上空间站，B正确，D错误；若飞船先加速，它的轨道半径将增大，但运行速度减小，再减速，仍旧追不上空间站，C错误。
对接模型
(1)同轨道运行，后面的飞船先减速降低高度，再加速提升高度，完成对接。
(2)低轨道飞船通过合理地加速，沿椭圆轨道(做离心运动)追上高轨道空间站与其完成对接。
(2025·四川成都七中高三诊断)假设神舟二十号飞船在对接前在1轨道做匀速圆周运动，空间站组合体在2轨道做匀速圆周运动，神舟二十号在B点采用喷气的方法改变速度，从而达到变轨的目的，通过调整，对接稳定后飞船与组合体仍沿2轨道一起做匀速圆周运动，则下列说法正确的是(　　)
A．飞船从A点到B点线速度不变
B．飞船从B点到C点机械能守恒
C．飞船在B点应沿速度反方向喷气，对接稳定后在2轨
道周期小于在1轨道周期
D．飞船在B点应沿速度反方向喷气，对接稳定后在C点
的速度大小小于喷气前在B点的速度大小
D
解析：D　由于线速度是矢量，既有大小又有方向，飞船从A点到B点线速度大小不变，方向改变，A错误；飞船从B点到C点，做加速运动，速度增大，喷气对飞船做正功，飞船的机械能增大，机械能不守恒，B错误；飞船在B点应沿速度反方向喷气，对接稳定后2轨道的半径大于1轨道的半
径，由地球的万有引力提供向心力，可得Gr，解得T＝2π，可知对接稳定后在2轨道周期大于在1轨道周期，C错误；飞船在B点应沿速度反方向喷气，对接稳定后2轨道的半径大于1轨道的半径，由地球的万有引力提供向心力，可得G，解得v＝，可知对接稳定后在C点的速度大小小于喷气前在B点的速度大小，D正确。
考点二　天体的追及问题
(2023·浙江1月选考，10)太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动。当地球恰好运行到某地外行星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，称为“行星冲日”。已知地球及各地外行星绕太阳运动的轨道半径如下表，则相邻两次“冲日”时间间隔约为(　　)
A．火星365天 B．火星800天
C．天王星365天 D．天王星800天
行星名称 地球 火星 木星 土星 天王星 海王星
轨道半径R/AU 1.0 1.5 5.2 9.5 19 30
B
解析：B　根据开普勒第三定律有，设相邻两次“冲日”时间间隔为t，则＝1，解得t＝，R火＝1.5R地，t火≈800天，R天＝
19R地，t天≈370天，故B正确。
情境1：当两卫星位于和地球连线的半径上同侧时，两卫星相距最近。
同向运行，从图中位置至又相距最近满足ω1t－ω2t＝n·2π(n＝1，2，3，…)。
(多选)(2025·湖南长沙期末)墨子号量子科学实验卫星在国际上首次实现千公里级基于纠缠的量子密钥分发。若墨子号卫星绕地球在赤道平面内做匀速圆周运动，大约每3 h绕一圈。t＝0时刻，墨子号卫星A与地球静止轨道卫星B相距最远，如图所示，卫星A、B同方向转动，则(　　)
A．卫星A的速度大小是卫星B的4倍
B．卫星A的轨道半径为卫星B的
C．卫星A、B每隔 h与地心共线一次
D．卫星A的向心加速度大小是卫星B的8倍
BC
解析：BC　地球静止轨道卫星B的周期为T2＝24 h，根据开普勒第三定律，可得r1＝r2 r2，可知卫星A的轨道半径为卫星B的，故B正确；根据万有引力提供向心力有，可得v＝ ，卫星A的轨道半径
为卫星B的，则卫星A的速度大小是卫星B的2倍，故A错误；当A比B多转半周时，卫星A、B与地心共线一次，故有t＝π，解得t＝ h，故C正确；根据万有引力提供向心力有＝ma，可得a＝，卫星A的轨道半径为卫星B的，则卫星A的向心加速度大小是卫星B的16倍，故D错误。
情境2：当两卫星位于和地球连线的半径上两侧时，两卫星相距最远。
从图中相距最近位置到相距最远位置满足ω1t′－ω2t′＝(2n－1)π(n＝1，2，3，…)。
考点三　宇宙双星及多星模型
考向1　双星问题
(2025·四川资阳高三期末联考)天玑星是北斗七星之一，在天玑星周围还有一颗伴星，它们组成双星系统，各自绕二者连线上的某一点O做匀速圆周运动，伴星距O点较远，如图所示。现已知天玑星的质量为M，二者之间连线的距离为L，运动周期均为T，万有引力常量为G。下列说法正确的是(　　)
A．伴星的线速度小于天玑星的线速度
B．伴星的质量大于天玑星的质量
C．天玑星的运动半径为
D．天玑星和伴星的总质量为
D
解析：D　双星的周期相同，角速度相同，根据v＝ωr，伴星的线速度大于天玑星的线速度，故A错误；设伴星的质量为m，运动半径为r，天玑星的运动半径为R，则GR得mr＝MR；由r>R得m＝，故D正确。
(1)模型构建：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统。
(2)模型信息
①各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即
＝m1ω12r1，＝m2ω22r2。
②两颗星的周期及角速度都相同，即T1＝T2，ω1＝ω2。
③两颗星的轨道半径与它们之间的距离关系为r1＋r2＝L。
考向2　三星问题
(2024·重庆卷，7)在万有引力作用下，太空中的某三个天体可以做相对位置不变的圆周运动，假设a、b两个天体的质量均为M，相距为2r，其连线的中点为O，另一天体c(图中未画出)质量为m(m M)，若c处于a、b连线的垂直平分线上某特殊位置，a、b、c可视为绕O点做角速度相同的匀速圆周运动，且相对位置不变。忽略其他天体的影响，引力常量为G，则(　　)
A．c的线速度大小为a的倍 B．c的向心加速度大小为b的一半
C．c在一个周期内的路程为2πr D．c的角速度大小为
A
解析：A　a、b、c三个天体做圆周运动的角速度相同，设为ω，由于m M，则a做匀速圆周运动所需向心力几乎由a、b间的万有引力提供，有＝Mω2r，解得ω＝，故D错误；设c与a、b的连线和a、b连线的垂直平分线的夹角均为α，则c做匀速圆周运动的半径rc＝，c与a、b之间的距离均为l＝，c受a、b万有引力的合力F＝2Gcos α，对c由牛顿第二定律得F＝mω2rc，联立解得α＝30°，rc＝r，由v＝ωr可知，，即c的线速度大小为a的倍，故A正确；由a＝ω2r可知，，即c的向心加速度大小为b的倍，故B错误；c在一个周期内运动的路程为s＝2πrc＝2πr，故C错误。
考向3　四星问题
(2025·东北三省三校第二次联考)太空中存在一些离其他恒星很远的、由四颗星体组成的四星系统，可忽略其他星体对它们的引力作用。现有这样一种稳定运行的正三角形四星系统，四颗星分别位于某一正三角形三个顶点和其几何中心上。四颗星质量均为m，正三角形边长为L，引力常量为G，则下列说法正确的是(　　)
A．位于顶点的三颗星运动的角速度与它们质量的大小无关
B．该四星系统做圆周运动的半径为L
C．每个处于顶点处的星体所受向心力大小为
D．该四星系统的运动周期为2πL
D
解析：D　该四星系统做圆周运动的半径r＝L，B错误；每个处于顶点处的星体所受向心力大小F＝·cos 30°＝，C错误；根据牛顿第二定律可得，解得ω＝，T＝2πL ，位于顶点的三颗星
运动的角速度与它们质量的大小有关，A错误，D正确。
[归纳总结]　常见的多星及规律
常见的三星模型 ①＝ma向
②×cos 30°×2＝ma向
常见的四星模型 ①×cos 45°×2＋＝ma向
②×cos 30°×2＋＝ma向
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限时规范
训练(27)　天体运动的三大热点问题
(建议用时：40分钟　满分：70分)
(选择题1～7题每题5分，8～11题每题6分，共59分)
[基础巩固练]
1．2025年7月15日，天舟九号货运飞船在发射约3小时后，与中国空间站后向对接口精准完成交会对接，为航天员送达物资。为实现飞船与空间站顺利对接，飞船安装有几十台微动力发动机，负责精确地控制它的各种转动和平动。对接前飞船要先到达和空间站很近的相对静止的某个停泊位置(距空间站200 m)。为到达这个位置，飞船由惯性飞行状态转入发动机调控状态，下列说法正确的是(　　)
D
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A．飞船先到空间站同一圆周轨道上同方向运动，在合适位置减速靠近即可
B．飞船先到与空间站圆周轨道垂直的同半径轨道上运动，在合适位置减速靠近即可
C.飞船先到空间站轨道下方圆周轨道上同方向运动，在合适的位置减速即可
D．飞船先到空间站轨道上方圆周轨道上同方向运动，在合适的位置减速即可
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解析：D　卫星变轨时，由低轨道进入高轨道需要点火加速，反之要减速，所以飞船先到空间站下方的圆周轨道上同方向运动，在合适的位置加速靠近即可，或者飞船先到空间站轨道上方圆周轨道上同方向运动，在合适的位置减速即可，故选D。
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2．(2024·湖北卷，4)太空碎片会对航天器带来危害。设空间站在地球附近沿逆时针方向做匀速圆周运动，如图中实线所示。为了避开碎片，空间站在P点向图中箭头所指径向方向极短时间喷射气体，使空间站获得一定的反冲速度，从而实现变轨。变轨后的轨道如图中虚线所示，其半长轴大于原轨道半径。则(　　)
A．空间站变轨前、后在P点的加速度相同
B．空间站变轨后的运动周期比变轨前的小
C．空间站变轨后在P点的速度比变轨前的小
D．空间站变轨前的速度比变轨后在近地点的大
A
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解析：A　变轨前、后，根据a＝可知，空间站在P点的加速度相同，A正确；由于变轨后的轨道半长轴大于变轨前的轨道半径，则根据开普勒第三定律可知，空间站变轨后的运动周期比变轨前的大，B错误；变轨时，空间站喷气加速，因此变轨后其在P点的速度比变轨前的大，C错误；变轨后，空间站在近地点的速度最大，大于变轨后在P点的速度，结合C项分析可知，变轨后空间站在近地点的速度大于变轨前的速度，D错误。
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3．(2025·四川卷，6)某人造地球卫星运行轨道与赤道共面，绕行方向与地球自转方向相同。该卫星持续发射信号，位于赤道的某观测站接收到的信号强度随时间变化的规律如图所示，T为地球自转周期。已知该卫星的运动可视为匀速圆周运动，地球质量为M，万有引力常量为G。则该卫星轨道半径为(　　)
A. B.
C. D.
A
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解析：A　观测站与卫星相距最近时，赤道上观测站接收到的信号最强，地球自转周期为T，根据题图可知，观测站与卫星相距最近的最短间隔时间为，由于地球自转方向与卫星运动方向一致，地球转0.5圈的时间内，卫星转1.5圈，则卫星的运行周期为，根据万有引力提供向心力可得r，将T卫＝代入可得r＝ ，A正确。
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4．(多选)(2025·四川达州二模)嫦娥六号实现了人类首次月球背面采样，其返回舱的运动轨迹如图所示。返回舱从A点首次进入大气层，经速度修正后从B点穿出大气层，经过最高点C后，从D点再次进入大气层。由上述信息可以判断，返回舱(　　)
A．从A点到B点的过程中机械能守恒
B．在C点的速率小于第一宇宙速度
C．在D点所受地球引力小于其在地表的重力
D．在A、B、D三点的速度相等
BC
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解析：BC　从A点到B点的过程中，有空气阻力做功，机械能不守恒，故A错误；第一宇宙速度是围绕地球做圆周运动的最大环绕速度，返回舱在C点的速率小于第一宇宙速度，故B正确；在地表根据万有引力与重力的关系有＝mg，返回舱在D点离地心的距离较大，则返回舱所受地球引力小于其在地表的重力，故C正确；速度沿轨迹的切线方向，可知返回舱在A、B、D三点的速度方向不相等，故D错误。
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5．(多选)(2025·宁夏银川一模)2025年2月20日，中国航天科技研制的“实践25号卫星”在距离地面3.6万千米的同步轨道，成功实现了人类历史上首次太空加油。这次为服役多年的“北斗2号卫星”注入了142 kg的燃料，提升了其轨道维持能力达300%，瞬间让它焕发活力。图中P、Q分别是“实践25号卫星”和“北斗2号卫星”对接前各自在预定轨道运行的情景，下列说法正确的是(　　)
A．在预定轨道运行时，P的周期小于Q的周期
B．在预定轨道运行时，P的速率小于Q的速率
C．为了实现对接，P应减速
D．为了实现对接，P应加速
AD
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解析：AD　根据开普勒第三定律可得＝k，因P的轨道
半径小，所以周期也小，即在预定轨道运行时，P的周期
小于Q的周期，故A正确；由万有引力提供向心力，有
，解得v＝，所以在预定轨道运行时，P的速率大于Q的速率，故B错误；根据变轨原理可知，为了实现对接，P应加速做离心运动，故C错误，D正确。
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6．(多选)(2025·四川达州模拟)嫦娥七号计划于2026年发射，将前往月球南极寻找水冰存在的证据。若嫦娥七号探测器由地面发射后，经地月转移轨道，在A点变轨后进入绕月圆形轨道Ⅰ，在B点变轨后进入环月椭圆轨道Ⅱ，轨道Ⅱ可视为与月面相切于C点。轨道Ⅰ的半径是月球半径的k倍，仅考虑月球的引力，下列说法正确的是(　　)
A．嫦娥七号在A点变轨时加速，在B点变轨时减速
B．嫦娥七号在A点变轨时减速，在B点变轨时加速
C．嫦娥七号从B点向C点运动过程中，速度和加速
度均越来越大
D．嫦娥七号在轨道Ⅰ上的向心加速度是月球表面重力加速度的
CD
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解析：CD　嫦娥七号在A、B两点变轨时均由高轨道变轨到低轨道，可知在A、B两点均需要减速，故AB错误；嫦娥七号从B点向C点运动过程中，离月球表面中心越来越近，引力越来越大，加速度越来越大，引力做正功，速度越来越大，故C正确；根据G＝mg，解得g＝，由于轨道Ⅰ的半径是月球半径的k倍，可知嫦娥七号在轨道Ⅰ上的向心加速度是月球表面重力加速度的，故D正确。
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7．(多选)(2025·重庆万州高三联考)如图所示是宇宙中存在的某三星系统，忽略其他星体的万有引力，三个星体A、B、C在边长为d的等边三角形的三个顶点上绕同一圆心O做匀速圆周运动。已知A、B、C的质量分别为2m、3m、3m，引力常量为G，则下列说法正确的是(　　)
A．三个星体组成的系统动量守恒
B．A的周期小于B、C的周期
C．A所受万有引力的大小为
D．若B的角速度为ω，则A与圆心O的距离为
AD
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解析：AD　该系统属于稳定的三星系统，三个星体的角速度、周期相同，动量大小不变，运动过程中总动量不变，A正确，B错误；A所受万有引力的大小为F＝，C错误；若B的角速度为ω，则A的角速度也为ω，根据＝2mω2r，解得A与圆心O的距离为r＝，D正确。
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[能力提升练]
8．(2025·北京海淀三模)如图所示，太空中有A、B双星系统绕O点逆时针做匀速圆周运动，运动周期为T1，它们的轨道半径分别为RA、RB，RAA．A的线速度大于B的线速度
B．B的质量为
C．若A也有一颗运动周期为T2的卫星，则其轨道半
径一定大于C的轨道半径
D．若知道C绕B运动的轨道半径，则可求出C的质量
C
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解析：C　由于A、B星的角速度相等，根据v＝ωr，可知，角速度相等时，半径越大，线速度越大，因此A的线速度小于B的线速度，A错误；根据万有引力定律和牛顿第二定律可知，对于A星而言G＝mARA，解得mB＝，B错误；设A星的
卫星的轨道半径为r1，B星的卫星的轨道半径为r2，根据万有引力定律及牛顿第二定律可得r1，解得r1＝，同理可得r2＝，根据上述求解可知mA＝，mB＝，由于RAmB，故r1>r2，C正确；即使知道C绕B运动的轨道半径，也只能求得中心天体B星的质量，而无法求得C星的质量，D错误。故选C。
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9．(多选)如图，在万有引力作用下，a、b两卫星在同
一平面内绕某一行星c沿逆时针方向做匀速圆周运动，
已知轨道半径之比为ra∶rb＝1∶4，则下列说法中正确
的有(　　)
A．a、b运动的周期之比为Ta∶Tb＝1∶8
B．a、b运动的周期之比为Ta∶Tb＝1∶4
C．从图示位置开始，在b转动一周的过程中，a、b、c共线12次
D．从图示位置开始，在b转动一周的过程中，a、b、c共线14次
AD
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解析：AD　根据开普勒第三定律：半径的三次方与周期的二次方成正比，则a、b运动的周期之比为1∶8，A正确，B错误；设题图所示位置ac连线与bc连线的夹角为θ<，b转动一周(圆心角为2π)的时间为Tb，则a、b相距最远时有Tb－Tb>(π－θ)＋n·2π(n＝0，1，2，3，…)，可
知n＝0，1，2，…，6，n可取7个值；a、b相距最近时有Tb－Tb>(2π－θ)＋m·2π(m＝0，1，2，3，…)，可知m＝0，1，2，…，6，m可取7个值，故在b转动一周的过程中，a、b、c共线14次，C错误，D正确。
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10．(多选)如图为一种四颗星体组成的稳定系统，四颗质量均为m的星体位于边长为L的正方形四个顶点，四颗星体在同一平面内围绕同一点做匀速圆周运动，忽略其他星体对它们的作用，引力常量为G，下列说法中正确的是(　　)
A．星体做匀速圆周运动的圆心不一定是正方形的中心
B．每个星体做匀速圆周运动的角速度均为
C．若边长L和星体质量m均是原来的两倍，星体做匀速
圆周运动的加速度大小是原来的两倍
D．若边长L和星体质量m均是原来的两倍，星体做匀速圆周运动的线速度大小不变
BD
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解析：BD　四颗星体在同一平面内围绕同一点做匀速圆周
运动，所以星体做匀速圆周运动的圆心一定是正方形的中
心，故A错误；由L，可知ω
＝ ，故B正确；由＝ma可知，若边长L和星体质量m均为原来的两倍，星体做匀速圆周运动的加速度大小是原来的，故C错误；由可知，星体做匀速圆周运动的线速度大小为v＝ ，所以若边长L和星体质量m均是原来的两倍，星体做匀速圆周运动的线速度大小不变，故D正确。
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11．(多选)(2025·湖南衡阳期末)地月系统可认为是月球绕地球做匀速圆周运动，如图(a)所示，月球绕地球运动的周期为T1；也可以认为地月系统是一个双星系统，如图(b)所示，在相互之间的万有引力作用下，绕连线上的O点做匀速圆周运动，月球绕O点运动的周期为T2。若地球、月球质量分别为M、m，两球心相距为r，万有引力常量为G，下列说法正确的是
(　　)
图(a)　 图(b)
CD
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A．图(a)中月球绕地球运动的周期T1等于图(b)中月球绕O点运动的周期T2
B．图(a)中，地球密度为
C．地月双星轨道中O点到地心距离为r
D．图(a)中，若把部分月壤运回到地球，最终月球绕地球做圆周运动轨道半径将变小
图(a)　 图(b)
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解析：CD　根据万有引力提供向心力r，解得图(a)中月球绕地球运动的周期为T1＝2π，若地月系统是一个双星系统，设地月双星轨道中O点到地心距离为r1，地月双星轨道中O点到月球圆心距离为r2，则Gr1，可得mr2＝Mr1，且r1＋r2＝r，解得r1＝r，T2＝2π，
可知图(a)月球绕地球运动的周期T1大于图
(b)中月球绕O点运动的周期T2，故A错误，
图(a)　 图(b)
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C正确；根据万有引力提供向心力有r，设地球的半径为R，地球的体积为V＝πR3，图(a)中，地球密度为ρ＝，故B错误；图(a)中，若把部分月壤运回到地球，设部分月壤质量为Δm，则(m－Δm)r动，月球绕地球做圆周运动轨道半径将
变小，故D正确。
图(a)　 图(b)
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[培优创新练]
12．(11分)(课标变化原创题：科技强国)“嫦娥奔月”的神话寄托了古人对浩瀚星海的向往。如今，中国探月工程(嫦娥工程)与空间站工程(天宫工程)将此变为现实。
(1)已知月球质量约为地球质量的，半径约为地球半径的。求月球表面的重力加速度g月与地球表面重力加速度g地的比值k(忽略星球自转)。
(2)空间站进行物资补给时，货运飞船需与空间站完成交会对接。假设对接前，空间站在半径为r的圆轨道上运行，飞船通过两次加速(时间极短)实现对接。第一次加速后，飞船进入一个椭圆轨道，该轨道在远地点与空间站所在的圆轨道相切，近地点与空间站所在的圆轨道相距最近的距离为Δr(Δr r)。当飞船第一次运动到椭圆轨道远地点时，进行第二次加速，最终进入空间站所在的圆轨道并完成对接。若地球质量为M，引力常量为G，飞船质量为m(已知引力势能表达式为Ep＝)。求飞船从第一次加速到第二次加速所需的时间Δt。
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解析：(1)物体在星球表面所受重力等于万有引力有mg＝G
则k＝2＝2＝。
(2)从第一次加速(近地点)到第二次加速(远地点)，飞船运动了椭圆轨道的一半。椭圆轨道的半长轴
a＝
根据开普勒第三定律及万有引力提供向心力知，椭圆轨道周期
T＝2π
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所以所需时间
Δt＝＝π＝π
由于Δr r，则有Δt≈π。
答案：(1)　(2)π
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[名师点评]　本题关联“嫦娥工程”和“天宫空间站”这两项世界级的航天成就。设问亮点在于将传统的分析卫星变轨前后的线速度、角速度、加速大小，改为求解实际变轨的时间上来，让人耳目一新。引导学生关注国家科技前沿，理解复杂工程背后的基础物理原理，这类对实际变轨问题的探究形式很可能在未来高考中出现。
专题突破7　天体运动的三大热点问题
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目标 要求 　 　 1.掌握卫星变轨和追及问题的实质，会处理人造卫星的变轨、对接和追及问题。2.掌握双星、多星系统，会解决相关问题。
考点一　卫星变轨和对接问题
考向1　卫星变轨问题中各物理量的比较
　(2026·八省联考，2)如图为卫星的发射过程，发射后先在近地轨道①上做匀速圆周运动，再经过椭圆轨道②后，最终到达预定轨道③上，已知③轨道高度低于同步卫星轨道，下列说法正确的是(　　)
A．卫星在轨道①上运行的速度大于地球的第一宇宙速度
B．卫星从轨道②上的P点运动到Q点过程中万有引力做正功
C．卫星在轨道②上P点的速度小于在轨道①上P点的速度
D．卫星在轨道②上的运行周期小于24 h
解析：D　根据可得v＝，可知卫星在轨道①的轨道半径略大于地球半径，圆轨道①上的运行速度一定小于等于第一宇宙速度，A项错误；卫星远离地球的过程需要克服万有引力做功，B项错误；从轨道①到轨道②需点火加速，卫星在轨道②上P点的速度大于在轨道①上P点的速度，C项错误；根据开普勒第三定律可得，可知卫星在轨道②上的运行周期小于在卫星在轨道③上的运行周期，则卫星在轨道②上的运行周期小于24 h，D项正确。
变轨前、后各物理量的变化规律
(1)卫星在不同轨道上运行时机械能不同，轨道半径越大，机械能越大。
(2)卫星经过不同轨道的相交点时，加速度相等，在大轨道上的速度大于在小轨道上的速度。
考向2　变轨过程中能量变化
　2025年9月27日，我国在太原卫星发射中心使用长征六号改运载火箭，成功将卫星互联网低轨11组卫星发射升空。假设先将卫星发射到半径为r1＝r的圆轨道上做匀速圆周运动，到A点时使卫星加速进入椭圆轨道，到椭圆轨道的远地点B点时，再次改变卫星的速度，使卫星进入半径为r2＝2r的圆轨道做匀速圆周运动。已知卫星在椭圆轨道上时到地心的距离与速度的乘积为定值，卫星在椭圆轨道上A点时的速度为v，卫星的质量为m，地球的质量为m地，引力常量为G，则发动机在A点对卫星做的功与在B点对卫星做的功之差为(不计卫星的质量变化)(　　)
A．
C．
解析：D　当卫星在r1＝r的圆轨道上运行时，有G ，解得在此圆轨道上运行时通过A点的速度为v0＝ ，所以发动机在A点对卫星做的功为W1＝；当卫星在r2＝2r的圆轨道上运行时，有G，解得在此圆轨道上运行时通过B点的速度为v0′＝ ，而根据卫星在椭圆轨道上时到地心的距离与速度的乘积为定值可知，在椭圆轨道上通过B点时的速度为v1＝v，故发动机在B点对卫星做的功为W2＝mv0′2－mv2，所以W1－W2＝，D正确。
[归纳总结]　卫星的两类变轨问题
两类变轨 离心运动 近心运动
示意图
变轨起因 卫星速度突然增大 卫星速度突然减小
万有引力与向心 力的大小关系 Gm
考向3　卫星对接问题
　(2025·河北唐山模拟)宇宙飞船和空间站在同一轨道上运动。若飞船想与前方的空间站对接，飞船为了追上空间站，可采取的方法是(　　)
A．飞船加速直到追上空间站，完成对接
B．飞船从原轨道减速至一个较低轨道，再加速追上空间站完成对接
C．飞船加速至一个较高轨道，再减速追上空间站，完成对接
D．无论飞船采取何种措施，均不能与空间站对接
解析：B　飞船在轨道上正常运行时，有G。当飞船直接加速时，所需向心力F需＝m增大，则G＜m，故飞船做离心运动，轨道半径增大，将导致与空间站不在同一轨道上，A错误；飞船若先减速，它的轨道半径将减小，但运行速度增大，故在低轨道上飞船可接近空间站，当飞船运动到合适的位置再加速，回到原轨道，即可追上空间站，B正确，D错误；若飞船先加速，它的轨道半径将增大，但运行速度减小，再减速，仍旧追不上空间站，C错误。
对接模型
(1)同轨道运行，后面的飞船先减速降低高度，再加速提升高度，完成对接。
(2)低轨道飞船通过合理地加速，沿椭圆轨道(做离心运动)追上高轨道空间站与其完成对接。
　(2025·四川成都七中高三诊断)假设神舟二十号飞船在对接前在1轨道做匀速圆周运动，空间站组合体在2轨道做匀速圆周运动，神舟二十号在B点采用喷气的方法改变速度，从而达到变轨的目的，通过调整，对接稳定后飞船与组合体仍沿2轨道一起做匀速圆周运动，则下列说法正确的是(　　)
A．飞船从A点到B点线速度不变
B．飞船从B点到C点机械能守恒
C．飞船在B点应沿速度反方向喷气，对接稳定后在2轨道周期小于在1轨道周期
D．飞船在B点应沿速度反方向喷气，对接稳定后在C点的速度大小小于喷气前在B点的速度大小
解析：D　由于线速度是矢量，既有大小又有方向，飞船从A点到B点线速度大小不变，方向改变，A错误；飞船从B点到C点，做加速运动，速度增大，喷气对飞船做正功，飞船的机械能增大，机械能不守恒，B错误；飞船在B点应沿速度反方向喷气，对接稳定后2轨道的半径大于1轨道的半径，由地球的万有引力提供向心力，可得Gr，解得T＝2π，可知对接稳定后在2轨道周期大于在1轨道周期，C错误；飞船在B点应沿速度反方向喷气，对接稳定后2轨道的半径大于1轨道的半径，由地球的万有引力提供向心力，可得G，解得v＝，可知对接稳定后在C点的速度大小小于喷气前在B点的速度大小，D正确。
考点二　天体的追及问题
　(2023·浙江1月选考，10)太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动。当地球恰好运行到某地外行星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，称为“行星冲日”。已知地球及各地外行星绕太阳运动的轨道半径如下表，则相邻两次“冲日”时间间隔约为(　　)
行星名称 地球 火星 木星 土星 天王星 海王星
轨道半径R/AU 1.0 1.5 5.2 9.5 19 30
A．火星365天 B．火星800天
C．天王星365天 D．天王星800天
解析：B　根据开普勒第三定律有，设相邻两次“冲日”时间间隔为t，则＝1，解得t＝，R火＝1.5R地，t火≈800天，R天＝19R地，
t天≈370天，故B正确。
情境1：当两卫星位于和地球连线的半径上同侧时，两卫星相距最近。
同向运行，从图中位置至又相距最近满足ω1t－ω2t＝n·2π(n＝1，2，3，…)。
情境2：当两卫星位于和地球连线的半径上两侧时，两卫星相距最远。
从图中相距最近位置到相距最远位置满足ω1t′－ω2t′＝(2n－1)π(n＝1，2，3，…)。
　(多选)(2025·湖南长沙期末)墨子号量子科学实验卫星在国际上首次实现千公里级基于纠缠的量子密钥分发。若墨子号卫星绕地球在赤道平面内做匀速圆周运动，大约每3 h绕一圈。t＝0时刻，墨子号卫星A与地球静止轨道卫星B相距最远，如图所示，卫星A、B同方向转动，则(　　)
A．卫星A的速度大小是卫星B的4倍
B．卫星A的轨道半径为卫星B的
C．卫星A、B每隔 h与地心共线一次
D．卫星A的向心加速度大小是卫星B的8倍
解析：BC　地球静止轨道卫星B的周期为T2＝24 h，根据开普勒第三定律，可得r1＝r2 r2，可知卫星A的轨道半径为卫星B的，故B正确；根据万有引力提供向心力有，可得v＝ ，卫星A的轨道半径为卫星B的，则卫星A的速度大小是卫星B的2倍，故A错误；当A比B多转半周时，卫星A、B与地心共线一次，故有t＝π，解得t＝ h，故C正确；根据万有引力提供向心力有＝ma，可得a＝，卫星A的轨道半径为卫星B的，则卫星A的向心加速度大小是卫星B的16倍，故D错误。
考点三　宇宙双星及多星模型
考向1　双星问题
　(2025·四川资阳高三期末联考)天玑星是北斗七星之一，在天玑星周围还有一颗伴星，它们组成双星系统，各自绕二者连线上的某一点O做匀速圆周运动，伴星距O点较远，如图所示。现已知天玑星的质量为M，二者之间连线的距离为L，运动周期均为T，万有引力常量为G。下列说法正确的是(　　)
A．伴星的线速度小于天玑星的线速度
B．伴星的质量大于天玑星的质量
C．天玑星的运动半径为
D．天玑星和伴星的总质量为
解析：D　双星的周期相同，角速度相同，根据v＝ωr，伴星的线速度大于天玑星的线速度，故A错误；设伴星的质量为m，运动半径为r，天玑星的运动半径为R，则GR得mr＝MR；由r>R得m(1)模型构建：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统。
(2)模型信息
①各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即＝m1ω12r1，＝m2ω22r2。
②两颗星的周期及角速度都相同，即T1＝T2，ω1＝ω2。
③两颗星的轨道半径与它们之间的距离关系为r1＋r2＝L。
考向2　三星问题
　(2024·重庆卷，7)在万有引力作用下，太空中的某三个天体可以做相对位置不变的圆周运动，假设a、b两个天体的质量均为M，相距为2r，其连线的中点为O，另一天体c(图中未画出)质量为m(m M)，若c处于a、b连线的垂直平分线上某特殊位置，a、b、c可视为绕O点做角速度相同的匀速圆周运动，且相对位置不变。忽略其他天体的影响，引力常量为G，则(　　)
A．c的线速度大小为a的倍
B．c的向心加速度大小为b的一半
C．c在一个周期内的路程为2πr
D．c的角速度大小为
解析：A　a、b、c三个天体做圆周运动的角速度相同，设为ω，由于m M，则a做匀速圆周运动所需向心力几乎由a、b间的万有引力提供，有＝Mω2r，解得ω＝，故D错误；设c与a、b的连线和a、b连线的垂直平分线的夹角均为α，则c做匀速圆周运动的半径rc＝，c与a、b之间的距离均为l＝，c受a、b万有引力的合力F＝2Gcos α，对c由牛顿第二定律得F＝mω2rc，联立解得α＝30°，rc＝r，由v＝ωr可知，，即c的线速度大小为a的倍，故A正确；由a＝ω2r可知，，即c的向心加速度大小为b的倍，故B错误；c在一个周期内运动的路程为s＝2πrc＝2πr，故C错误。
考向3　四星问题
　(2025·东北三省三校第二次联考)太空中存在一些离其他恒星很远的、由四颗星体组成的四星系统，可忽略其他星体对它们的引力作用。现有这样一种稳定运行的正三角形四星系统，四颗星分别位于某一正三角形三个顶点和其几何中心上。四颗星质量均为m，正三角形边长为L，引力常量为G，则下列说法正确的是(　　)
A．位于顶点的三颗星运动的角速度与它们质量的大小无关
B．该四星系统做圆周运动的半径为L
C．每个处于顶点处的星体所受向心力大小为
D．该四星系统的运动周期为2πL
解析：D　该四星系统做圆周运动的半径r＝L，B错误；每个处于顶点处的星体所受向心力大小F＝·cos 30°＝，C错误；根据牛顿第二定律可得，解得ω＝，T＝2πL ，位于顶点的三颗星运动的角速度与它们质量的大小有关，A错误，D正确。
[归纳总结]　常见的多星及规律
常见的三星模型 ①＝ma向
②×cos 30°×2＝ma向
常见的四星模型 ①×cos 45°×2＋＝ma向
②×cos 30°×2＋＝ma向
限时规范训练(27)　天体运动的三大热点问题
(建议用时：40分钟　满分：70分)
(选择题1～7题每题5分，8～11题每题6分，共59分)
[基础巩固练]
1．2025年7月15日，天舟九号货运飞船在发射约3小时后，与中国空间站后向对接口精准完成交会对接，为航天员送达物资。为实现飞船与空间站顺利对接，飞船安装有几十台微动力发动机，负责精确地控制它的各种转动和平动。对接前飞船要先到达和空间站很近的相对静止的某个停泊位置(距空间站200 m)。为到达这个位置，飞船由惯性飞行状态转入发动机调控状态，下列说法正确的是(　　)
A．飞船先到空间站同一圆周轨道上同方向运动，在合适位置减速靠近即可
B．飞船先到与空间站圆周轨道垂直的同半径轨道上运动，在合适位置减速靠近即可
C.飞船先到空间站轨道下方圆周轨道上同方向运动，在合适的位置减速即可
D．飞船先到空间站轨道上方圆周轨道上同方向运动，在合适的位置减速即可
解析：D　卫星变轨时，由低轨道进入高轨道需要点火加速，反之要减速，所以飞船先到空间站下方的圆周轨道上同方向运动，在合适的位置加速靠近即可，或者飞船先到空间站轨道上方圆周轨道上同方向运动，在合适的位置减速即可，故选D。
2．(2024·湖北卷，4)太空碎片会对航天器带来危害。设空间站在地球附近沿逆时针方向做匀速圆周运动，如图中实线所示。为了避开碎片，空间站在P点向图中箭头所指径向方向极短时间喷射气体，使空间站获得一定的反冲速度，从而实现变轨。变轨后的轨道如图中虚线所示，其半长轴大于原轨道半径。则(　　)
A．空间站变轨前、后在P点的加速度相同
B．空间站变轨后的运动周期比变轨前的小
C．空间站变轨后在P点的速度比变轨前的小
D．空间站变轨前的速度比变轨后在近地点的大
解析：A　变轨前、后，根据a＝可知，空间站在P点的加速度相同，A正确；由于变轨后的轨道半长轴大于变轨前的轨道半径，则根据开普勒第三定律可知，空间站变轨后的运动周期比变轨前的大，B错误；变轨时，空间站喷气加速，因此变轨后其在P点的速度比变轨前的大，C错误；变轨后，空间站在近地点的速度最大，大于变轨后在P点的速度，结合C项分析可知，变轨后空间站在近地点的速度大于变轨前的速度，D错误。
3．(2025·四川卷，6)某人造地球卫星运行轨道与赤道共面，绕行方向与地球自转方向相同。该卫星持续发射信号，位于赤道的某观测站接收到的信号强度随时间变化的规律如图所示，T为地球自转周期。已知该卫星的运动可视为匀速圆周运动，地球质量为M，万有引力常量为G。则该卫星轨道半径为(　　)
A. B.
C. D.
解析：A　观测站与卫星相距最近时，赤道上观测站接收到的信号最强，地球自转周期为T，根据题图可知，观测站与卫星相距最近的最短间隔时间为，由于地球自转方向与卫星运动方向一致，地球转0.5圈的时间内，卫星转1.5圈，则卫星的运行周期为，根据万有引力提供向心力可得r，将T卫＝代入可得r＝ ，A正确。
4．(多选)(2025·四川达州二模)嫦娥六号实现了人类首次月球背面采样，其返回舱的运动轨迹如图所示。返回舱从A点首次进入大气层，经速度修正后从B点穿出大气层，经过最高点C后，从D点再次进入大气层。由上述信息可以判断，返回舱(　　)
A．从A点到B点的过程中机械能守恒
B．在C点的速率小于第一宇宙速度
C．在D点所受地球引力小于其在地表的重力
D．在A、B、D三点的速度相等
解析：BC　从A点到B点的过程中，有空气阻力做功，机械能不守恒，故A错误；第一宇宙速度是围绕地球做圆周运动的最大环绕速度，返回舱在C点的速率小于第一宇宙速度，故B正确；在地表根据万有引力与重力的关系有＝mg，返回舱在D点离地心的距离较大，则返回舱所受地球引力小于其在地表的重力，故C正确；速度沿轨迹的切线方向，可知返回舱在A、B、D三点的速度方向不相等，故D错误。
5．(多选)(2025·宁夏银川一模)2025年2月20日，中国航天科技研制的“实践25号卫星”在距离地面3.6万千米的同步轨道，成功实现了人类历史上首次太空加油。这次为服役多年的“北斗2号卫星”注入了142 kg的燃料，提升了其轨道维持能力达300%，瞬间让它焕发活力。图中P、Q分别是“实践25号卫星”和“北斗2号卫星”对接前各自在预定轨道运行的情景，下列说法正确的是(　　)
A．在预定轨道运行时，P的周期小于Q的周期
B．在预定轨道运行时，P的速率小于Q的速率
C．为了实现对接，P应减速
D．为了实现对接，P应加速
解析：AD　根据开普勒第三定律可得＝k，因P的轨道半径小，所以周期也小，即在预定轨道运行时，P的周期小于Q的周期，故A正确；由万有引力提供向心力，有，解得v＝，所以在预定轨道运行时，P的速率大于Q的速率，故B错误；根据变轨原理可知，为了实现对接，P应加速做离心运动，故C错误，D正确。
6．(多选)(2025·四川达州模拟)嫦娥七号计划于2026年发射，将前往月球南极寻找水冰存在的证据。若嫦娥七号探测器由地面发射后，经地月转移轨道，在A点变轨后进入绕月圆形轨道Ⅰ，在B点变轨后进入环月椭圆轨道Ⅱ，轨道Ⅱ可视为与月面相切于C点。轨道Ⅰ的半径是月球半径的k倍，仅考虑月球的引力，下列说法正确的是(　　)
A．嫦娥七号在A点变轨时加速，在B点变轨时减速
B．嫦娥七号在A点变轨时减速，在B点变轨时加速
C．嫦娥七号从B点向C点运动过程中，速度和加速度均越来越大
D．嫦娥七号在轨道Ⅰ上的向心加速度是月球表面重力加速度的
解析：CD　嫦娥七号在A、B两点变轨时均由高轨道变轨到低轨道，可知在A、B两点均需要减速，故AB错误；嫦娥七号从B点向C点运动过程中，离月球表面中心越来越近，引力越来越大，加速度越来越大，引力做正功，速度越来越大，故C正确；根据G＝mg，解得g＝，由于轨道Ⅰ的半径是月球半径的k倍，可知嫦娥七号在轨道Ⅰ上的向心加速度是月球表面重力加速度的，故D正确。
7．(多选)(2025·重庆万州高三联考)如图所示是宇宙中存在的某三星系统，忽略其他星体的万有引力，三个星体A、B、C在边长为d的等边三角形的三个顶点上绕同一圆心O做匀速圆周运动。已知A、B、C的质量分别为2m、3m、3m，引力常量为G，则下列说法正确的是(　　)
A．三个星体组成的系统动量守恒
B．A的周期小于B、C的周期
C．A所受万有引力的大小为
D．若B的角速度为ω，则A与圆心O的距离为
解析：AD　该系统属于稳定的三星系统，三个星体的角速度、周期相同，动量大小不变，运动过程中总动量不变，A正确，B错误；A所受万有引力的大小为F＝，C错误；若B的角速度为ω，则A的角速度也为ω，根据＝2mω2r，解得A与圆心O的距离为r＝，D正确。
[能力提升练]
8．(2025·北京海淀三模)如图所示，太空中有A、B双星系统绕O点逆时针做匀速圆周运动，运动周期为T1，它们的轨道半径分别为RA、RB，RAA．A的线速度大于B的线速度
B．B的质量为
C．若A也有一颗运动周期为T2的卫星，则其轨道半径一定大于C的轨道半径
D．若知道C绕B运动的轨道半径，则可求出C的质量
解析：C　由于A、B星的角速度相等，根据v＝ωr，可知，角速度相等时，半径越大，线速度越大，因此A的线速度小于B的线速度，A错误；根据万有引力定律和牛顿第二定律可知，对于A星而言G＝mARA，解得mB＝，B错误；设A星的卫星的轨道半径为r1，B星的卫星的轨道半径为r2，根据万有引力定律及牛顿第二定律可得r1，解得r1＝，同理可得r2＝，根据上述求解可知mA＝，mB＝，由于RAmB，故r1>r2，C正确；即使知道C绕B运动的轨道半径，也只能求得中心天体B星的质量，而无法求得C星的质量，D错误。故选C。
9．(多选)如图，在万有引力作用下，a、b两卫星在同一平面内绕某一行星c沿逆时针方向做匀速圆周运动，已知轨道半径之比为ra∶rb＝1∶4，则下列说法中正确的有(　　)
A．a、b运动的周期之比为Ta∶Tb＝1∶8
B．a、b运动的周期之比为Ta∶Tb＝1∶4
C．从图示位置开始，在b转动一周的过程中，a、b、c共线12次
D．从图示位置开始，在b转动一周的过程中，a、b、c共线14次
解析：AD　根据开普勒第三定律：半径的三次方与周期的二次方成正比，则a、b运动的周期之比为1∶8，A正确，B错误；设题图所示位置ac连线与bc连线的夹角为θ<，b转动一周(圆心角为2π)的时间为Tb，则a、b相距最远时有Tb－Tb>(π－θ)＋n·2π(n＝0，1，2，3，…)，可知n＝0，1，2，…，6，n可取7个值；a、b相距最近时有Tb－Tb>(2π－θ)＋m·2π(m＝0，1，2，3，…)，可知m＝0，1，2，…，6，m可取7个值，故在b转动一周的过程中，a、b、c共线14次，C错误，D正确。
10．(多选)如图为一种四颗星体组成的稳定系统，四颗质量均为m的星体位于边长为L的正方形四个顶点，四颗星体在同一平面内围绕同一点做匀速圆周运动，忽略其他星体对它们的作用，引力常量为G，下列说法中正确的是(　　)
A．星体做匀速圆周运动的圆心不一定是正方形的中心
B．每个星体做匀速圆周运动的角速度均为
C．若边长L和星体质量m均是原来的两倍，星体做匀速圆周运动的加速度大小是原来的两倍
D．若边长L和星体质量m均是原来的两倍，星体做匀速圆周运动的线速度大小不变
解析：BD　四颗星体在同一平面内围绕同一点做匀速圆周运动，所以星体做匀速圆周运动的圆心一定是正方形的中心，故A错误；由L，可知ω＝ ，故B正确；由＝ma可知，若边长L和星体质量m均为原来的两倍，星体做匀速圆周运动的加速度大小是原来的，故C错误；由可知，星体做匀速圆周运动的线速度大小为v＝ ，所以若边长L和星体质量m均是原来的两倍，星体做匀速圆周运动的线速度大小不变，故D正确。
11．(多选)(2025·湖南衡阳期末)地月系统可认为是月球绕地球做匀速圆周运动，如图(a)所示，月球绕地球运动的周期为T1；也可以认为地月系统是一个双星系统，如图(b)所示，在相互之间的万有引力作用下，绕连线上的O点做匀速圆周运动，月球绕O点运动的周期为T2。若地球、月球质量分别为M、m，两球心相距为r，万有引力常量为G，下列说法正确的是(　　)
图(a)　 图(b)
A．图(a)中月球绕地球运动的周期T1等于图(b)中月球绕O点运动的周期T2
B．图(a)中，地球密度为
C．地月双星轨道中O点到地心距离为r
D．图(a)中，若把部分月壤运回到地球，最终月球绕地球做圆周运动轨道半径将变小
解析：CD　根据万有引力提供向心力r，解得图(a)中月球绕地球运动的周期为T1＝2π，若地月系统是一个双星系统，设地月双星轨道中O点到地心距离为r1，地月双星轨道中O点到月球圆心距离为r2，则Gr1，可得mr2＝Mr1，且r1＋r2＝r，解得r1＝r，T2＝2π，可知图(a)月球绕地球运动的周期T1大于图(b)中月球绕O点运动的周期T2，故A错误，C正确；根据万有引力提供向心力有r，设地球的半径为R，地球的体积为V＝πR3，图(a)中，地球密度为ρ＝，故B错误；图(a)中，若把部分月壤运回到地球，设部分月壤质量为Δm，则(m－Δm)r[培优创新练]
12．(12分)(课标变化原创题：科技强国)“嫦娥奔月”的神话寄托了古人对浩瀚星海的向往。如今，中国探月工程(嫦娥工程)与空间站工程(天宫工程)将此变为现实。
(1)已知月球质量约为地球质量的，半径约为地球半径的。求月球表面的重力加速度g月与地球表面重力加速度g地的比值k(忽略星球自转)。
(2)空间站进行物资补给时，货运飞船需与空间站完成交会对接。假设对接前，空间站在半径为r的圆轨道上运行，飞船通过两次加速(时间极短)实现对接。第一次加速后，飞船进入一个椭圆轨道，该轨道在远地点与空间站所在的圆轨道相切，近地点与空间站所在的圆轨道相距最近的距离为Δr(Δr r)。当飞船第一次运动到椭圆轨道远地点时，进行第二次加速，最终进入空间站所在的圆轨道并完成对接。若地球质量为M，引力常量为G，飞船质量为m(已知引力势能表达式为Ep＝)。求飞船从第一次加速到第二次加速所需的时间Δt。
解析：(1)物体在星球表面所受重力等于万有引力有mg＝G
则k＝2＝2＝。
(2)从第一次加速(近地点)到第二次加速(远地点)，飞船运动了椭圆轨道的一半。椭圆轨道的半长轴
a＝
根据开普勒第三定律及万有引力提供向心力知，椭圆轨道周期
T＝2π
所以所需时间
Δt＝＝π＝π
由于Δr r，则有Δt≈π。
答案：(1)　(2)π
[名师点评]　本题关联“嫦娥工程”和“天宫空间站”这两项世界级的航天成就。设问亮点在于将传统的分析卫星变轨前后的线速度、角速度、加速大小，改为求解实际变轨的时间上来，让人耳目一新。引导学生关注国家科技前沿，理解复杂工程背后的基础物理原理，这类对实际变轨问题的探究形式很可能在未来高考中出现。限时规范训练(27)　天体运动的三大热点问题
(建议用时：40分钟　满分：70分)
(选择题1～7题每题5分，8～11题每题6分，共59分)
[基础巩固练]
1．2025年7月15日，天舟九号货运飞船在发射约3小时后，与中国空间站后向对接口精准完成交会对接，为航天员送达物资。为实现飞船与空间站顺利对接，飞船安装有几十台微动力发动机，负责精确地控制它的各种转动和平动。对接前飞船要先到达和空间站很近的相对静止的某个停泊位置(距空间站200 m)。为到达这个位置，飞船由惯性飞行状态转入发动机调控状态，下列说法正确的是(　　)
A．飞船先到空间站同一圆周轨道上同方向运动，在合适位置减速靠近即可
B．飞船先到与空间站圆周轨道垂直的同半径轨道上运动，在合适位置减速靠近即可
C.飞船先到空间站轨道下方圆周轨道上同方向运动，在合适的位置减速即可
D．飞船先到空间站轨道上方圆周轨道上同方向运动，在合适的位置减速即可
解析：D　卫星变轨时，由低轨道进入高轨道需要点火加速，反之要减速，所以飞船先到空间站下方的圆周轨道上同方向运动，在合适的位置加速靠近即可，或者飞船先到空间站轨道上方圆周轨道上同方向运动，在合适的位置减速即可，故选D。
2．(2024·湖北卷，4)太空碎片会对航天器带来危害。设空间站在地球附近沿逆时针方向做匀速圆周运动，如图中实线所示。为了避开碎片，空间站在P点向图中箭头所指径向方向极短时间喷射气体，使空间站获得一定的反冲速度，从而实现变轨。变轨后的轨道如图中虚线所示，其半长轴大于原轨道半径。则(　　)
A．空间站变轨前、后在P点的加速度相同
B．空间站变轨后的运动周期比变轨前的小
C．空间站变轨后在P点的速度比变轨前的小
D．空间站变轨前的速度比变轨后在近地点的大
解析：A　变轨前、后，根据a＝可知，空间站在P点的加速度相同，A正确；由于变轨后的轨道半长轴大于变轨前的轨道半径，则根据开普勒第三定律可知，空间站变轨后的运动周期比变轨前的大，B错误；变轨时，空间站喷气加速，因此变轨后其在P点的速度比变轨前的大，C错误；变轨后，空间站在近地点的速度最大，大于变轨后在P点的速度，结合C项分析可知，变轨后空间站在近地点的速度大于变轨前的速度，D错误。
3．(2025·四川卷，6)某人造地球卫星运行轨道与赤道共面，绕行方向与地球自转方向相同。该卫星持续发射信号，位于赤道的某观测站接收到的信号强度随时间变化的规律如图所示，T为地球自转周期。已知该卫星的运动可视为匀速圆周运动，地球质量为M，万有引力常量为G。则该卫星轨道半径为(　　)
A. B.
C. D.
解析：A　观测站与卫星相距最近时，赤道上观测站接收到的信号最强，地球自转周期为T，根据题图可知，观测站与卫星相距最近的最短间隔时间为，由于地球自转方向与卫星运动方向一致，地球转0.5圈的时间内，卫星转1.5圈，则卫星的运行周期为，根据万有引力提供向心力可得r，将T卫＝代入可得r＝ ，A正确。
4．(多选)(2025·四川达州二模)嫦娥六号实现了人类首次月球背面采样，其返回舱的运动轨迹如图所示。返回舱从A点首次进入大气层，经速度修正后从B点穿出大气层，经过最高点C后，从D点再次进入大气层。由上述信息可以判断，返回舱(　　)
A．从A点到B点的过程中机械能守恒
B．在C点的速率小于第一宇宙速度
C．在D点所受地球引力小于其在地表的重力
D．在A、B、D三点的速度相等
解析：BC　从A点到B点的过程中，有空气阻力做功，机械能不守恒，故A错误；第一宇宙速度是围绕地球做圆周运动的最大环绕速度，返回舱在C点的速率小于第一宇宙速度，故B正确；在地表根据万有引力与重力的关系有＝mg，返回舱在D点离地心的距离较大，则返回舱所受地球引力小于其在地表的重力，故C正确；速度沿轨迹的切线方向，可知返回舱在A、B、D三点的速度方向不相等，故D错误。
5．(多选)(2025·宁夏银川一模)2025年2月20日，中国航天科技研制的“实践25号卫星”在距离地面3.6万千米的同步轨道，成功实现了人类历史上首次太空加油。这次为服役多年的“北斗2号卫星”注入了142 kg的燃料，提升了其轨道维持能力达300%，瞬间让它焕发活力。图中P、Q分别是“实践25号卫星”和“北斗2号卫星”对接前各自在预定轨道运行的情景，下列说法正确的是(　　)
A．在预定轨道运行时，P的周期小于Q的周期
B．在预定轨道运行时，P的速率小于Q的速率
C．为了实现对接，P应减速
D．为了实现对接，P应加速
解析：AD　根据开普勒第三定律可得＝k，因P的轨道半径小，所以周期也小，即在预定轨道运行时，P的周期小于Q的周期，故A正确；由万有引力提供向心力，有，解得v＝，所以在预定轨道运行时，P的速率大于Q的速率，故B错误；根据变轨原理可知，为了实现对接，P应加速做离心运动，故C错误，D正确。
6．(多选)(2025·四川达州模拟)嫦娥七号计划于2026年发射，将前往月球南极寻找水冰存在的证据。若嫦娥七号探测器由地面发射后，经地月转移轨道，在A点变轨后进入绕月圆形轨道Ⅰ，在B点变轨后进入环月椭圆轨道Ⅱ，轨道Ⅱ可视为与月面相切于C点。轨道Ⅰ的半径是月球半径的k倍，仅考虑月球的引力，下列说法正确的是(　　)
A．嫦娥七号在A点变轨时加速，在B点变轨时减速
B．嫦娥七号在A点变轨时减速，在B点变轨时加速
C．嫦娥七号从B点向C点运动过程中，速度和加速度均越来越大
D．嫦娥七号在轨道Ⅰ上的向心加速度是月球表面重力加速度的
解析：CD　嫦娥七号在A、B两点变轨时均由高轨道变轨到低轨道，可知在A、B两点均需要减速，故AB错误；嫦娥七号从B点向C点运动过程中，离月球表面中心越来越近，引力越来越大，加速度越来越大，引力做正功，速度越来越大，故C正确；根据G＝mg，解得g＝，由于轨道Ⅰ的半径是月球半径的k倍，可知嫦娥七号在轨道Ⅰ上的向心加速度是月球表面重力加速度的，故D正确。
7．(多选)(2025·重庆万州高三联考)如图所示是宇宙中存在的某三星系统，忽略其他星体的万有引力，三个星体A、B、C在边长为d的等边三角形的三个顶点上绕同一圆心O做匀速圆周运动。已知A、B、C的质量分别为2m、3m、3m，引力常量为G，则下列说法正确的是(　　)
A．三个星体组成的系统动量守恒
B．A的周期小于B、C的周期
C．A所受万有引力的大小为
D．若B的角速度为ω，则A与圆心O的距离为
解析：AD　该系统属于稳定的三星系统，三个星体的角速度、周期相同，动量大小不变，运动过程中总动量不变，A正确，B错误；A所受万有引力的大小为F＝，C错误；若B的角速度为ω，则A的角速度也为ω，根据＝2mω2r，解得A与圆心O的距离为r＝，D正确。
[能力提升练]
8．(2025·北京海淀三模)如图所示，太空中有A、B双星系统绕O点逆时针做匀速圆周运动，运动周期为T1，它们的轨道半径分别为RA、RB，RAA．A的线速度大于B的线速度
B．B的质量为
C．若A也有一颗运动周期为T2的卫星，则其轨道半径一定大于C的轨道半径
D．若知道C绕B运动的轨道半径，则可求出C的质量
解析：C　由于A、B星的角速度相等，根据v＝ωr，可知，角速度相等时，半径越大，线速度越大，因此A的线速度小于B的线速度，A错误；根据万有引力定律和牛顿第二定律可知，对于A星而言G＝mARA，解得mB＝，B错误；设A星的卫星的轨道半径为r1，B星的卫星的轨道半径为r2，根据万有引力定律及牛顿第二定律可得r1，解得r1＝，同理可得r2＝，根据上述求解可知mA＝，mB＝，由于RAmB，故r1>r2，C正确；即使知道C绕B运动的轨道半径，也只能求得中心天体B星的质量，而无法求得C星的质量，D错误。故选C。
9．(多选)如图，在万有引力作用下，a、b两卫星在同一平面内绕某一行星c沿逆时针方向做匀速圆周运动，已知轨道半径之比为ra∶rb＝1∶4，则下列说法中正确的有(　　)
A．a、b运动的周期之比为Ta∶Tb＝1∶8
B．a、b运动的周期之比为Ta∶Tb＝1∶4
C．从图示位置开始，在b转动一周的过程中，a、b、c共线12次
D．从图示位置开始，在b转动一周的过程中，a、b、c共线14次
解析：AD　根据开普勒第三定律：半径的三次方与周期的二次方成正比，则a、b运动的周期之比为1∶8，A正确，B错误；设题图所示位置ac连线与bc连线的夹角为θ<，b转动一周(圆心角为2π)的时间为Tb，则a、b相距最远时有Tb－Tb>(π－θ)＋n·2π(n＝0，1，2，3，…)，可知n＝0，1，2，…，6，n可取7个值；a、b相距最近时有Tb－Tb>(2π－θ)＋m·2π(m＝0，1，2，3，…)，可知m＝0，1，2，…，6，m可取7个值，故在b转动一周的过程中，a、b、c共线14次，C错误，D正确。
10．(多选)如图为一种四颗星体组成的稳定系统，四颗质量均为m的星体位于边长为L的正方形四个顶点，四颗星体在同一平面内围绕同一点做匀速圆周运动，忽略其他星体对它们的作用，引力常量为G，下列说法中正确的是(　　)
A．星体做匀速圆周运动的圆心不一定是正方形的中心
B．每个星体做匀速圆周运动的角速度均为
C．若边长L和星体质量m均是原来的两倍，星体做匀速圆周运动的加速度大小是原来的两倍
D．若边长L和星体质量m均是原来的两倍，星体做匀速圆周运动的线速度大小不变
解析：BD　四颗星体在同一平面内围绕同一点做匀速圆周运动，所以星体做匀速圆周运动的圆心一定是正方形的中心，故A错误；由L，可知ω＝ ，故B正确；由＝ma可知，若边长L和星体质量m均为原来的两倍，星体做匀速圆周运动的加速度大小是原来的，故C错误；由可知，星体做匀速圆周运动的线速度大小为v＝ ，所以若边长L和星体质量m均是原来的两倍，星体做匀速圆周运动的线速度大小不变，故D正确。
11．(多选)(2025·湖南衡阳期末)地月系统可认为是月球绕地球做匀速圆周运动，如图(a)所示，月球绕地球运动的周期为T1；也可以认为地月系统是一个双星系统，如图(b)所示，在相互之间的万有引力作用下，绕连线上的O点做匀速圆周运动，月球绕O点运动的周期为T2。若地球、月球质量分别为M、m，两球心相距为r，万有引力常量为G，下列说法正确的是(　　)
图(a)　 图(b)
A．图(a)中月球绕地球运动的周期T1等于图(b)中月球绕O点运动的周期T2
B．图(a)中，地球密度为
C．地月双星轨道中O点到地心距离为r
D．图(a)中，若把部分月壤运回到地球，最终月球绕地球做圆周运动轨道半径将变小
解析：CD　根据万有引力提供向心力r，解得图(a)中月球绕地球运动的周期为T1＝2π，若地月系统是一个双星系统，设地月双星轨道中O点到地心距离为r1，地月双星轨道中O点到月球圆心距离为r2，则Gr1，可得mr2＝Mr1，且r1＋r2＝r，解得r1＝r，T2＝2π，可知图(a)月球绕地球运动的周期T1大于图(b)中月球绕O点运动的周期T2，故A错误，C正确；根据万有引力提供向心力有r，设地球的半径为R，地球的体积为V＝πR3，图(a)中，地球密度为ρ＝，故B错误；图(a)中，若把部分月壤运回到地球，设部分月壤质量为Δm，则(m－Δm)r[培优创新练]
12．(12分)(课标变化原创题：科技强国)“嫦娥奔月”的神话寄托了古人对浩瀚星海的向往。如今，中国探月工程(嫦娥工程)与空间站工程(天宫工程)将此变为现实。
(1)已知月球质量约为地球质量的，半径约为地球半径的。求月球表面的重力加速度g月与地球表面重力加速度g地的比值k(忽略星球自转)。
(2)空间站进行物资补给时，货运飞船需与空间站完成交会对接。假设对接前，空间站在半径为r的圆轨道上运行，飞船通过两次加速(时间极短)实现对接。第一次加速后，飞船进入一个椭圆轨道，该轨道在远地点与空间站所在的圆轨道相切，近地点与空间站所在的圆轨道相距最近的距离为Δr(Δr r)。当飞船第一次运动到椭圆轨道远地点时，进行第二次加速，最终进入空间站所在的圆轨道并完成对接。若地球质量为M，引力常量为G，飞船质量为m(已知引力势能表达式为Ep＝)。求飞船从第一次加速到第二次加速所需的时间Δt。
解析：(1)物体在星球表面所受重力等于万有引力有mg＝G
则k＝2＝2＝。
(2)从第一次加速(近地点)到第二次加速(远地点)，飞船运动了椭圆轨道的一半。椭圆轨道的半长轴
a＝
根据开普勒第三定律及万有引力提供向心力知，椭圆轨道周期
T＝2π
所以所需时间
Δt＝＝π＝π
由于Δr r，则有Δt≈π。
答案：(1)　(2)π
[名师点评]　本题关联“嫦娥工程”和“天宫空间站”这两项世界级的航天成就。设问亮点在于将传统的分析卫星变轨前后的线速度、角速度、加速大小，改为求解实际变轨的时间上来，让人耳目一新。引导学生关注国家科技前沿，理解复杂工程背后的基础物理原理，这类对实际变轨问题的探究形式很可能在未来高考中出现。

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